Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας Μείωση ρύπανσης ατμόσφαιρας Προσέγγιση αντιμετώπισης: μονοδρόμηση οδών αποδοτικότερη διαχείριση κίνησης Ερώτηση: είναι δυνατόν να μονοδρομηθούν συγκεκριμένοι οδοί και αν ναι, πώς; Πάντα είναι δυνατή η μονοδρόμηση οδών Απλά τοποθετείται ένα σχετικό σήμα!! Πρέπει όμως πάντα να υπάρχει τρόπος μετάβασης από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε άλλο

Απλουστευμένη εκδοχή του προβλήματος Υπόθεση: κάθε οδός είναι διπλής κατεύθυνσης Ζητούμενο: κάθε οδός να μονοδρομηθεί τελικά Γραφοθεωρητική διατύπωση του προβλήματος Γωνίες οδών κορυφές γραφήματος Υπάρχει ακμή μεταξύ δύο κορυφών στο γράφημα οι αντίστοιχες γωνίες οδών συνδέονται από οδό διπλής κατεύθυνσης Αναθέτουμε κατευθύνσεις στις ακμές ώστε να λάβουμε ένα προσανατολισμένο γράφημα (oriented graph) Από τα κατευθυνόμενα γραφήματα, τα προσανατολισμένα είναι αυτά που δεν περιέχουν 2-cycles, δηλ., το πολύ μία από τις ακμές (x, y) και (y, x) είναι κατευθυνόμενες ακμές του γραφήματος Στο δικατευθυνόμενο γράφημα που προκύπτει είναι δυνατή η μετάβαση από κάθε σημείο σε κάθε άλλο το δικατευθυνόμενο γράφημα είναι ισχυρά συνεκτικό (strongly connected)

Ισχυρά συνεκτικά προσανατολισμένα γραφήματα Κάθε γράφημα G έχει ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή; Αρκεί το γράφημα G να είναι συνεκτικό; Συνεκτικό: υπάρχει σε αυτό μονοπάτι από κάθε κορυφή σε κάθε άλλη Όχι! Τα παρακάτω γραφήματα είναι ισχυρά συνεκτικά αλλά δεν έχουν ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή Σε όλες τις περιπτώσεις, υπάρχει πρόβλημα με την κατεύθυνση της ακμής a

Ισχυρά συνεκτικά προσανατολισμένα γραφήματα Αν κατευθύνουμε την κόκκινη ακμή από την κορυφή α προς την b δεν υπάρχει μονοπάτι από την b στην α Αν κατευθύνουμε την κόκκινη ακμή από την κορυφή b προς την α δεν υπάρχει μονοπάτι από την α στην b

Ισχυρά συνεκτικά προσανατολισμένα γραφήματα Μια ακμή x σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα G λέγεται γέφυρα (bridge) αν η απομάκρυνσή της χωρίς την απομάκρυνση των κορυφών που συνδέει δημιουργεί μη συνεκτικό γράφημα Όλες οι κόκκινες ακμές (με επιγραφή a) είναι γέφυρες (bridges) Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα διαθέτει ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή, τότε δεν μπορεί να περιέχει γέφυρες Ισχύει και το αντίστροφο: αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα δεν περιέχει γέφυρες, τότε διαθέτει ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή

Θεώρημα [Robbins, 1939] Ένα γράφημα G διαθέτει ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή αν και μόνον αν το G είναι συνεκτικό και δεν περιέχει γέφυρες

Θεώρημα [Robbins, 1939]: απόδειξη Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα διαθέτει ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή η συνεκτικότητα διατηρείται όποια ακμή και αν απομακρυνθεί (χωρίς να απομακρυνθούν τα άκρα της) καμία ακμή δεν είναι γέφυρα Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα δεν περιέχει γέφυρες Αναθέτουμε κατεύθυνση σε μία ακμή κάθε φορά Αφού σε κάθε βήμα η ακμή {u, v} δεν είναι γέφυρα δε μπορεί να γίνει μετά την απόδοση κατεύθυνσης σε αυτή το γράφημα διαθέτει ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή

Άλλη εκδοχή του προβλήματος Υπόθεση: κάθε οδός είναι διπλής κατεύθυνσης Ζητούμενο: κάποιες οδοί να μονοδρομηθούν Έστω D κατευθυνόμενο γράφημα με σύνολο κορυφών το σύνολο των γωνιών των οδών κατευθυνόμενη ακμή από την x στην y αν υπάρχει δρόμος που συνδέει τις x και y και επιτρέπεται η κυκλοφορία από την x στην y Αντικαθιστούμε τις 2 κατευθυνόμενες ακμές σε δρόμους διπλής κατεύθυνσης με 1 μία μη κατευθυνόμενη ακμή Το γράφημα G που προκύπτει είναι μικτό (mixed graph) αφού από τις κορυφές του κάποιες συνδέονται με ακμές μιας κατεύθυνσης κάποιες συνδέονται με μη κατευθυνόμενες ακμές Το κατευθυνόμενο γράφημα D λέμε ότι υπόκειται του γραφήματος G και συμβολίζεται D(G)

Συνεκτικότητα μικτών γραφημάτων Ένα μικτό γράφημα G είναι ισχυρά συνεκτικό αν το υποκείμενο γράφημά του D(G) είναι ισχυρά συνεκτικό Ένα μικτό γράφημα G είναι συνεκτικό αν όταν αγνοήσουμε τις κατευθύνσεις των ακμών του λαμβάνουμε συνεκτικό γράφημα Μια μη κατευθυνόμενη ακμή a σε ένα μικτό γράφημα είναι γέφυρα αν η απομάκρυνση της a αλλά όχι των κορυφών στα άκρα της δίνει μικρό γράφημα που δεν είναι συνεκτικό Τα γραφήματα G1, G2 και G3 είναι συνεκτικά αλλά το G2 δεν είναι ισχυρά συνεκτικό η ακμή a στο G3 είναι γέφυρα

Θεώρημα [Boesch και Tindell, 1977] Έστω G ισχυρά συνεκτικό μικτό γράφημα Τότε για κάθε ακμή {u, v} του G που δεν είναι γέφυρα, υπάρχει κατευθυνόμενη εκδοχή της {u, v} τέτοια ώστε το μικτό γράφημα που προκύπτει να είναι ισχυρά συνεκτικό Για την απόδειξη χρησιμοποιούμε το επόμενο Λήμμα

Λήμμα Έστω G ισχυρά συνεκτικό μικτό γράφημα και {u, v} μια ακμή του G Έστω D ' το κατευθυνόμενο γράφημα που προκύπτει από το D(G) παραλείποντας τις κατευθυνόμενες ακμές (u, v) και (v, u) αλλά όχι τις κορυφές u και v Έστω A το σύνολο όλων των κορυφών που είναι προσπελάσιμες από τη u μέσω ενός μονοπατιού στο γράφημα D', εκτός από την κορυφή u Έστω B το σύνολο κορυφών που ορίζεται ανάλογα για την v Υποθέτουμε ότι u B και v A Τότε η ακμή {u, v} είναι γέφυρα στο γράφημα G

Λήμμα: απόδειξη Κάθε κορυφή w του G ανήκει στο σύνολο A ή στο σύνολο B Αν κάποια κορυφή w δεν ανήκει ούτε στο A ούτε στο B, τότε στο D(G) δεν θα υπήρχε μονοπάτι από την u στην w ή από την v στη w το G δεν θα ήταν ισχυρά συνεκτικό Τα A και B πρέπει να είναι ξένα μεταξύ τους Έστω κορυφή w A B Από τον ορισμό των Α και Β: w u, v Λόγω της ισχυρής συνεκτικότητας: υπάρχει στο D(G) μονοπάτι από την w στη u και μονοπάτι από την w στ v (i) υπάρχει μονοπάτι από την w στη u στο D' ή (ii) υπάρχει μονοπάτι από την w στη v στο D (i) υπάρχει μονοπάτι από τη v στη w στη u στο D η u ανήκει στο σύνολο B (ii) η v ανήκει στο σύνολο A Στο G χωρίς την ακμή {u, v}, δε μπορεί να υπάρχει απλή ή κατευθυνόμενη ακμή που να συνδέει κορυφές από τα σύνολο A και B Αν υπήρχε τέτοια απλή ή κατευθυνόμενη ακμή, θα υπήρχε κατευθυνόμενη ακμή στο D' της μορφής (u', v') ή (v', u'), για u' A και v' B Αν υπήρχε ακμή της μορφής (u', v'): v' θα ανήκε στο σύνολο A αντίφαση αφού τα A και B είναι ξένα μεταξύ τους Αν υπήρχε ακμή της μορφής (v', u'): πάλι καταλήγουμε σε ανάλογη αντίφαση Αποδείξαμε ότι τα A και B διαμερίζουν τις κορυφές του G και στο G χωρίς την ακμή {u, v} δεν υπάρχει απλή ή κατευθυνόμενη ακμή μεταξύ κορυφών αυτών των δύο συνόλων το γράφημα G χωρίς την ακμή {u, v} δεν είναι συνεκτικό η ακμή {u, v} είναι γέφυρα

Θεώρημα [Boesch και Tindell, 1977]: απόδειξη Με βάση το Λήμμα: u B ή v A Αν u B: δίνοντας στην ακμή {u, v} κατεύθυνση από τη u στη v πετυχαίνουμε ισχυρή συνεκτικότητα Αν u Α: δίνοντας στην ακμή {u, v} κατεύθυνση από τη v στη u πετυχαίνουμε ισχυρή συνεκτικότητα Αν u Α και u B: η ανάθεση οποιασδήποτε κατεύθυνσης στην ακμή {u, v} συνεπάγεται ισχυρή συνεκτικότητα

Αλγόριθμος μονοδρόμησης Boesch, Tindell Σταδιακή ανάθεση κατευθύνσεων στις ακμές Αυθαίρετη επιλογή κατευθύνσεων στα 2 πρώτα βήματα

Αλγόριθμος μονοδρόμησης βασισμένος σε DFS Επιγράφουμε τις ακμές με τους ακέραιους 1, 2,, n n: αριθμός κορυφών του αρχικού συνεκτικού, χωρίς γέφυρες γραφήματος Ξεκινάμε επιλέγοντας αυθαίρετα μία κορυφή που την επιγράφουμε με 1 Επιλέγουμε κάποια (χωρίς επιγραφή) κορυφή προσκείμενη στην κορυφή 1 και την επιγράφουμε με 2 Γενικά: έχοντας επιγράψει κορυφές με 1, 2,, k, αναζητούμε όλες τις κορυφές σε απόσταση 1 από την κορυφή με επιγραφή k Αν υπάρχει τέτοια κορυφή την επιγράφουμε με k + 1 Διαφορετικά, βρίσκουμε τη μεγαλύτερη επιγραφή j έτσι ώστε να υπάρχει κορυφή χωρίς επιγραφή σε απόσταση 1 από την j, και επιγράφουμε την κορυφή με k + 1 Η απόδοση κατευθύνσεων γίνεται σύμφωνα με την αρίθμηση Η διαδικασία μπορεί να τερματίσει αν και μόνον αν ξεκινάμε με συνεκτικό γράφημα

Σύγκριση των 2 αλγορίθμων Ο δεύτερος αλγόριθμος είναι γρηγορότερος Στη DFS αναζήτηση, χρειάζονται V(G) βήματα, ένα για την ανάθεση κάθε επιγραφής Σε κάθε βήμα εξετάζουμε συγκεκριμένο αριθμό ακμών E(G) αφού δεν επανεξετάζουμε ακμές που έχουμε ήδη εξετάσει η διαδικασία ανάθεσης επιγραφών απαιτεί βήματα της τάξης του V(G) + E(G) Ο πρώτος αλγόριθμος απαιτεί να καθορίσουμε στο πρώτο κιόλας βήμα αν η u συνδέεται με τη v στο D Το D είναι κατευθυνόμενο γράφημα με V(G) κορυφές απαιτούνται υπολογισμοί της τάξης του V(G) 3 (Reinnold, Nievergelt, Deo, 1977, p. 341) Αφού το πλήθος των ακμών E(G) είναι της τάξης του V(G) 2 ο αλγόριθμος αυτός είναι πιο αργός

Αποδοτικότητα Ασχοληθήκαμε μόνο με τον προσδιορισμό κατευθύνσεων ώστε να είναι δυνατή η μετάβαση από κάποιο σημείο σε κάποιο άλλο ΔΕΝ ασχοληθήκαμε με το ότι μπορεί να απαιτούνται πολλές «παρακάμψεις» για μια μετάβαση

Απόσταση κορυφών γραφήματος Απόσταση d G (x, y) δύο κορυφών x και y σε ένα συνεκτικό γράφημα G: το μήκος της μικρότερης αλυσίδας μεταξύ τους Απόσταση d D (x, y) δύο κορυφών x και y σε ένα ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα D: το μήκος του συντομότερου μονοπατιού από την x στη y ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύει πάντα ότι d D (x, y) = d D (y, x) Δείτε δύο ισχυρά συνεκτικές προσανατολισμένες εκδοχές D και D' του γραφήματος G d D (a, b)= 11 ενώ d D (a, b) = 3 Για το άτομο που θέλει να μεταβεί από την a στη b η εκδοχή D' είναι πολύ πιο αποδοτική Γενικά: επιθυμούμε ισχυρά συνεκτικές προσανατολισμένες εκδοχές γραφημάτων χωρίς μεγάλες αποστάσεις μεταξύ των κορυφών τους

Αναδιατυπώσεις του προβλήματος 1. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η μέση απόσταση d D (a,b) για κάθε a, b ελαχιστοποιείται 2. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η μέγιστη απόσταση d D (a,b) για κάθε a, b ελαχιστοποιείται 3. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η διαφορά των αποστάσεων d G (a,b) και d D (a,b) είναι κατά μέσο όρο η ελάχιστη δυνατή 4. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η μέγιστη διαφορά των αποστάσεων d G (a,b) και d D (a,b) είναι η ελάχιστη δυνατή

Αποτελέσματα Διάμετρος (diameter) συνεκτικού γραφήματος (ισχυρά συνεκτικού κατευθυνόμενου γραφήματος): η μέγιστη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κορυφών του Chvátal και Thomassen: Κάθε συνεκτικό γράφημα χωρίς γέφυρες και διάμετρο d διαθέτει μια ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή με διάμετρο το πολύ 2d 2 +2d Η εύρεση της ισχυρά συνεκτικής προσανατολισμένης εκδοχής με την ελάχιστη διάμετρο είναι υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα

Στοιχεία υπολογιστικής πολυπλοκότητας Για κάθε πεπερασμένο πρόβλημα υπάρχει αλγόριθμος που το λύνει: «Δοκίμασε όλες τις πιθανές λύσεις» Όμως ψάχνουμε για «καλούς» αλγόριθμους (Edmonds): Διαδικασίες που τερματίζουν σε το πολύ p(n) βήματα, όπου n το μέγεθος της «εισόδου» και p(n) κάποιο πολυώνυμο

Στοιχεία υπολογιστικής πολυπλοκότητας Οι αλγόριθμοι αυτοί μπορεί να είναι ντετερμινιστικοί (deterministic) ή μη ντετερμινιστικοί (nondeterministic) Φανταστείτε ότι κάθε αλγόριθμος μεταβαίνει μεταξύ καταστάσεων Ένας ντετερμινιστικός αλγόριθμος μεταβαίνει κάθε φορά μόνο σε μία επόμενη κατάσταση Ένας μη ντετερμινιστικός αλγόριθμος μπορεί να μεταβεί κάθε φορά σε πολλές επόμενες καταστάσεις ταυτόχρονα Δηλαδή ένας μη ντετερμινιστικός αλγόριθμος μπορεί να εξερευνήσει πολλά ενδεχόμενα ταυτόχρονα

Στοιχεία υπολογιστικής πολυπλοκότητας Η κλάση των προβλημάτων για τα οποία υπάρχει ντετερμινιστικός αλγόριθμος που τερματίζει σε πολυωνυμικό χρόνο καλείται P Η κλάση των προβλημάτων για τα οποία υπάρχει μη ντετερμινιστικός αλγόριθμος που τερματίζει σε πολυωνυμικό χρόνο καλείται NP Παράδειγμα προβλήματος στην κλάση NP είναι το πρόβλημα του καθορισμού του αν ένα γράφημα μπορεί να χρωματιστεί με δεδομένο αριθμό χρωμάτων Όλα τα προβλήματα στην κλάση P ανήκουν επίσης στην κλάση NP ΑΛΛΑ δεν είναι γνωστό αν υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην κλάση NP που δεν ανήκει στην κλάση P

Στοιχεία υπολογιστικής πολυπλοκότητας Ένα πρόβλημα L λέγεται δύσκολο στην κλάση NP ή NP-hard αν το L έχει την εξής ιδιότητα: Αν το L μπορεί να λυθεί από κάποιον ντετερμινιστικό αλγόριθμο πολυωνυμικού χρόνου, τότε το ίδιο μπορεί να γίνει και για κάθε πρόβλημα στην κλάση NP Ένα πρόβλημα λέγεται πλήρες στην κλάση NP ή NPcomplete αν είναι NP-hard και ανήκει στην κλάση NP Ο Cook (1971) απέδειξε ότι υπάρχουν NP-hard και NPcomplete προβλήματα Απόρροια της δουλειάς του είναι π.χ., ότι το πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης κλίκας (clique) σε ένα γράφημα είναι NP-hard Ο Karp (1972) απέδειξε ότι υπάρχουν πάρα πολλά NPcomplete προβλήματα

Στοιχεία υπολογιστικής πολυπλοκότητας Πολλοί επιστήμονες αμφισβητούν πως κάθε πρόβλημα στην κλάση NP μπορεί να λυθεί από ντετερμινιστικό αλγόριθμο πολυωνυμικού χρόνου και κατά συνέπεια αμφισβητούν πως τα NP-hard προβλήματα λύνονται από τέτοιους αλγόριθμους

Αναδιατυπώσεις του προβλήματος Οι Chvátal και Thomassen απέδειξαν ότι η επαναδιατύπωση (2) του προβλήματος είναι NP-hard 1. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η μέση απόσταση d D (a,b) για κάθε a, b ελαχιστοποιείται 2. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η μέγιστη απόσταση d D (a,b) για κάθε a, b ελαχιστοποιείται 3. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η διαφορά των αποστάσεων d G (a,b) και d D (a,b) είναι κατά μέσο όρο η ελάχιστη δυνατή 4. Βρες την ισχυρά συνεκτική προσανατολισμένη εκδοχή D του G όπου η μέγιστη διαφορά των αποστάσεων d G (a,b) και d D (a,b) είναι η ελάχιστη δυνατή Είναι βάσιμο να αμφισβητεί κανείς ότι θα διατυπωθεί ποτέ «καλός» (δηλ., γρήγορος) ντετερμινιστικός αλγόριθμος για το πρόβλημα αυτό

Εύρεση μη αποδοτικών λύσεων Μερικές φορές αρκεί η εύρεση κάποιας ισχυρά συνεκτικής προσανατολισμένης εκδοχής γραφήματος που να μην είναι απαραίτητα αποδοτική Δηλ., χωρίς απαίτηση ελαχιστοποίησης αποστάσεων Παράδειγμα: Συνήθως σε μεγάλα εθνικά πάρκα αποθαρρύνονται οι επισκέπτες να οδηγούν σε πολυσύχναστες περιοχές Μια προσέγγιση είναι η μονοδρόμηση πολλών οδών με μη αποδοτικό τρόπο δηλ., με ανάγκη κάλυψης μεγάλων αποστάσεων για μετάβαση οδικώς από το κάποιο σημείο σε άλλο Αιτιολόγηση: Αν η μετακίνηση με αυτοκίνητο είναι δύσκολη οι άνθρωποι θα ενθαρρυνθούν να χρησιμοποιήσουν άλλους τρόπους μετακίνησης όπως ποδήλατο, πεζοπορία, λεωφορεία Επομένως, είναι ζητούμενο η διάμετρος της προσανατολισμένης εκδοχής να είναι πολύ μεγαλύτερη από τη διάμετρο του αντίστοιχου μη κατευθυνόμενου γραφήματος Ανάλογες μη αποδοτικές εκδοχές είναι δυνατές και για τις υπόλοιπες αναδιατυπώσεις του προβλήματος μονοδρόμησης Ούτε για αυτές τις εκδοχές είναι γνωστοί «καλοί» αλγόριθμοι