ΚΡΟΤΔΗ Όηαλ δύν ζώκαηα ιεζηάδνλ ην έλα ην άιιν θαη αιιειεηδξνύλ, ε θηλεηηθή θαηάζηαζή ηνο ή ηνιάρηζηνλ ην ελόο αό αηά κεηαβάιιεηαη αόηνκα. Σηελ εξίησζε αηή ιέκε όηη έρνκε θξνύζε. ηε Μεραληθή κε ηνλ όξν θξνύζε ελλννύκε ηε ζύγθξνζε δύν ζωκάηωλ ν θηλνύληαη ην έλα ζρεηηθά κε ην άιιν. Σν θαηλόκελν ηεο θξνύζεο έρεη δύν ραξαθηεξηζηηθά: i. Δρεη νιύ κηθξή ρξνληθή δηάξθεηα. ii. Καηά ηε δηάξθεηα ηεο εαθήο ησλ δύν ζσκάησλ αλαηύζζνληαη νιύ ηζρξέο δλάκεηο. Οη δλάκεηο αηέο έρνλ ζρέζε δξάζεο αληίδξαζεο, ην κέηξν ηνο κεηαβάιιεηαη θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο θαη είλαη ζγθξηηηθά νιύ κεγαιύηεξεο αό άιιεο εμσηεξηθέο δλάκεηο, όσο είλαη νη βαξηηθέο, νη ννίεο κνξεί λα αζθνύληαη ηαηόρξνλα ζηα δύν ζώκαηα θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο. Κξνύζε ζηνλ κηθξόθνζκν Η έλλνηα ηεο θξνύζεο έρεη εεθηαζεί θαη ζην κηθξόθνζκν, ώζηε λα εξηιακβάλεη θαη ηελ αιιειείδξαζε κεηαμύ δύν ζσκαηίσλ, ηα ννία δελ έξρνληαη ζε εαθή. Γηα αξάδεηγκα, όηαλ έλα ζσκάηην α (ξήλαο Ηe θηλείηαη ξνο έλαλ άιιν ξήλα Π, νη αιιειεηδξάζεηο ηνο, ν είλαη νιύ αζζελείο όηαλ βξίζθνληαη καθξηά, γίλνληαη νιύ ηζρξέο όηαλ ηα ζσκάηηα ιεζηάζνλ, κε ανηέιεζκα ηελ αόηνκε αιιαγή ζηελ θηλεηηθή ηνο θαηάζηαζε. Η ρξνληθή δηάξθεηα κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ηνο θαηάζηαζεο είλαη νιύ κηθξή. Σηελ εξίησζε αηή, ην ζσκάηην α θαη ν ξήλαο Π δελ έξρνληαη ζε εαθή, αιιά ηζρύνλ ηα δύν θύξηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο θξνύζεο: εκθάληζε νιύ ηζρξώλ δλάκεσλ γηα νιύ κηθξό ρξνληθό δηάζηεκα. Δνκέλσο: Ολνκάδνκε θξνύζε θάζε θαηλόκελν θαη ην κηθξόθνζκν, ζην ννίν δύν ζωκάηηα αιιειεηδξνύλ κε ζρεηηθά κεγάιεο δλάκεηο γηα νιύ κηθξό ρξόλν. Σηε ζύγρξνλε θζηθή ην θαηλόκελν ν εξηγξάςακε αξαάλσ νλνκάδεηαη θαη ζθέδαζε. ΣΑ ΔΗΓΖ ΣΖ ΚΡΟΤΖ Α) Αλάινγα κε ηε δηεύζλζε θίλεζεο ηωλ ζωκάηωλ ξηλ ζγθξνζηνύλ. Αλάινγα κε ηηο δηεζύλζεηο ησλ ηαρηήησλ ησλ δύν ζσκάησλ, ζε ζρέζε κε ηελ εζεία ν ζλδέεη ηα θέληξα κάδαο ηνο, ε θξνύζεηο δηαθξίλνληαη ζε θεληξηθέο (ή κεηωηθέο), έθθεληξεο θαη ιάγηεο. ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα
α) Κεληξηθή (ή κεηωηθή) θξνύζε Κεληξηθή (ή κεηωηθή) νλνκάδεηαη ε θξνύζε, ζηελ ννία ηα δηαλύζκαηα ηωλ ηαρηή-ηωλ ηωλ θέληξωλ κάδαο ηωλ ζωκάηωλ ν ζγθξνύνληαη βξίζθνληαη άλω ζηελ εζεία ν ζλδέεη ηα θέληξα κάδαο ηνο. Αλ ηα ζώκαηα ν ζγθξνύνληαη είλαη ζθαίξεο θαη ε θξνύζε ηνο είλαη θεληξηθή, ηόηε νη ηαρύηεηέο ηνο ζα βξίζθνληαη άλσ ζηελ ίδηα (αξρηθή) εζεία θαη κεηά ηελ θξνύζε, όσο θαίλεηαη ζην αξαθάησ ζρήκα. β) Έθθεληξε θξνύζε Έθθεληξε νλνκάδεηαη ε θξνύζε ζηελ ννία ηα δηαλύζκαηα ηωλ ηαρηήηωλ ηωλ θέληξωλ κάδαο ηωλ ζωκάηωλ ν ζγθξνύνληαη είλαη αξάιιεια κεηαμύ ηνο. Σηελ έθθεληξε θξνύζε, εεηδή νη δλάκεηο ν αλαηύζζνληαη έρνλ δηαθνξεηηθή δηεύζλζε αό αηή ν έρνλ νη ηαρύηεηεο ησλ δύν ζσκάησλ, ηα ζώκαηα κεηά ηελ θξνύζε θηλνύληαη ζε δηαθνξεηηθέο δηεζύλζεηο. γ) Πιάγηα θξνύζε Πιάγηα νλνκάδεηαη ε θξνύζε ζηελ ννία ηα δηαλύζκαηα ηωλ ηαρηήηωλ ηωλ θέληξωλ κάδαο ηωλ ζωκάηωλ ν ζγθξνύνληαη δελ έρνλ ηελ ίδηα δηεύζλζε όσο θαίλεηαη ζην δηιαλό ζρήκα. Σηελ ιάγηα θξνύζε, νη ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ έρνλ δηαθνξεηηθέο δηεζύλζεηο θαη κεηά ηελ θξνύζε. Ζ δηαηήξεζε ηεο νξκήο ζηηο θξνύζεηο (ΑΓΟ) Δεηδή ε θξνύζε είλαη έλα θαηλόκελν ν δηαξθεί νιύ ιίγν ρξόλν, νη σζήζεηο ησλ εμσηεξηθώλ δλάκεσλ αλ άξρνλ είλαη ακειεηέεο θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο. Έηζη, ην ζύζηεκα ησλ ζσκάησλ ν ζγθξνύνληαη κνξεί λα ζεσξεζεί κνλσκέλν, γηα ηε ρξνληθή δηάξθεηα ηεο θξνύζεο, νόηε ε νξκή ην ζζηήκαηνο δηαηεξείηαη. Δνκέλσο: Ζ νιηθή νξκή ελόο ζζηήκαηνο ζωκάηωλ, θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο, δηαηεξείηαη. Αλ P νι(ξηλ) ε νξκή ην ζζηήκαηνο ακέζσο ξηλ ηελ θξνύζε, P t ε νξκή ην ζζηήκαηνο θάνηα ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο θαη P νι(κεηά) ε νξκή ην ζζηήκαηνο ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε, ηόηε ζε όια ηα είδε θξνύζεο ηζρύεη: P νι(ξηλ) P t P νι(κεηά) (ΑΓΟ) ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα
Β)Σα είδε ηεο θξνύζεο, αλάινγα κε ηε δηαηήξεζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην ζζηήκαηνο ηωλ ζγθξνόκελωλ ζωκάηωλ. Σε αληίζεζε κε ηελ νιηθή νξκή ελόο ζζηήκαηνο ζγθξνόκελσλ ζσκάησλ, ε νιηθή θηλεηηθή ελέξγεηα ( Κ νι ) ην ζζηήκαηνο, θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο, δε δηαηεξείηαη άληα. Αηό αθξηβώο ανηειεί θαη ην θξηηήξην κε ην ννίν ηαμηλνκνύκε ηηο θξνύζεηο. Κάζε θξνύζε εξηιακβάλεη δύν ζηάδηα: Σην ξώην ζηάδην, ηα δύν ζώκαηα έξρνληαη ζε εαθή κεηαμύ ηνο θαη αξρίδνλ λα αξακνξθώλνληαη, κέρξη λα ανθηήζνλ ηελ ίδηα ζηηγκηαία ηαρύηεηα. Η ααηηνύκελε ελέξγεηα γηα ηελ αξακόξθσζε ησλ ζσκάησλ ξνέξρεηαη αό ηε κεραληθή ηνο ελέξγεηα. Δεηδή ε θξνύζε είλαη έλα θαηλόκελν ακειεηέαο ρξνληθήο δηάξθεηαο, ηα ζώκαηα θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο αξακέλνλ ζηηο ίδηεο ζέζεηο, κε ανηέιεζκα ε δλακηθή ηνο ελέξγεηα, ν εμαξηάηαη αό ηε ζέζε ηνο ζην ρώξν, λα κε κεηαβάιιεηαη. Δνκέλσο, ηειηθά ε ααηηνύκελε ελέξγεηα γηα ηελ αξακόξθσζε ησλ ζσκάησλ θαη ηελ ζέξκαλζή ηνο ξνέξρεηαη αό ηελ θηλεηηθή ηνο ελέξγεηα. Σην δεύηεξν ζηάδην, αλάινγα κε ηε θύζε ησλ ζσκάησλ ν ζγθξνύνληαη, ε θξνύζε δηαθξίλεηαη ζε ειαζηηθή ή ζε αλειαζηηθή. α) ΔΛΑΣΗΚΖ ΚΡΟΤΖ Η αξακόξθσζε εμαθαλίδεηαη θαη ην ζύζηεκα ανθηά άιη ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα ν είρε ξηλ αό ηελ θξνύζε. Η θξνύζε αηή, ζηελ ννία ε νιηθή θηλεηηθή ελέξγεηα ην ζζηήκαηνο δηαηεξείηαη, ιέγεηαη ειαζηηθή. Δνκέλσο: Διαζηηθή νλνκάδεηαη ε θξνύζε, ζηελ ννία δηαηεξείηαη ε νιηθή θηλεηηθή ελέξγεηα ην ζζηήκαηνο ηωλ ζγθξνόκελωλ ζωκάηωλ. Σηελ ειαζηηθή θξνύζε, ε δηαηήξεζε ηεο ελέξγεηαο (κεραληθήο ελέξγεηαο) ην ζζηήκαηνο δηαηώλεηαη κε ηελ αξαθάησ ζρέζε: β) ΑΝΔΛΑΣΗΚΖ ΚΡΟΤΖ Κ νι (αξρ)κ νι (ηει) Η αξακόξθσζε ησλ ζσκάησλ δελ εμαθαλίδεηαη ηειείσο θαη έλα κέξνο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ν δααλήζεθε γηα ηελ αξακόξθσζε δε γίλεηαη άιη θηλεηηθή ελέξγεηα, αιιά ζεξκόηεηα κέξνο ηεο ννίαο ανξξνθάηαη αό ηα ζώκαηα, αμάλνληαο ηελ ζεξκνθξαζία ηνο. Η θξνύζε, ζηελ ννία δε δηαηεξείηαη ε νιηθή θηλεηηθή ελέξγεηα ην ζζηήκαηνο, ιέγεηαη αλειαζηηθή. Δνκέλσο: Αλειαζηηθή νλνκάδεηαη ε θξνύζε, ζηελ ννία έλα κέξνο ηεο αξρηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηωλ ζγθξνόκελωλ ζωκάηωλ κεηαηξέεηαη ζε ζεξκόηεηα. Μηα εηδηθή εξίησζε αλειαζηηθήο θξνύζεο είλαη εθείλε όν ηα ζώκαηα δελ ανρσξίδνληαη κεηά ηελ θξνύζε, αιιά αξακέλνλ ελσκέλα ζ έλα ζζζσκάησκα θαη θηλνύληαη κε θνηλή ηαρύηεηα. Η θξνύζε αηή νλνκάδεηαη ιαζηηθή. ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 3
Σηελ αλειαζηηθή θξνύζε, ε αξρή δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο (ΑΓΔ) ην ζζηήκαηνο δηαηώλεηαη κε ηελ αξαθάησ ζρέζε: Κ νι (ξηλ) Κ νι (κεηά) +Q (ΑΓΔ) όν Q είλαη ε αώιεηα θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην ζζηήκαηνο, ε ννία γίλεηαη ελέξγεηα αξακόξθσζεο θαη ζεξκόηεηα. Q Κ νι (ξηλ) - Κ νι (κεηά) Γελ ηζρύεη ε δηαηήξεζε ηεο θηλεηηθήο (κεραληθήο ΑΓΜΔ) ελέξγεηαο, αθνύ είλαη: Κνι (ξηλ) > Κνι (κεηά) ΚΔΝΣΡΗΚΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΚΡΟΤΖ ΓΤΟ ΦΑΗΡΩΝ Γύν ζθαίξεο Σ θαη Σ κε κάδεο θαη θηλνύληαη άλσ ζηελ ίδηα εζεία κε ηαρύηεηεο θαη Οη ζθαίξεο ζγθξνύνληαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά θαη κεηά ηελ θξνύζε έρνλ ηαρύηεηεο θαίλεηαη ζην ζρήκα. θαη όσο Αλ γλσξίδνκε ηηο κάδεο ησλ ζθαηξώλ θαη ηηο ηαρύηεηέο ηνο ξηλ ηελ θξνύζε, ηόηε κνξνύκε λα νινγίζνκε ηηο ηαρύηεηεο ησλ δύν ζθαηξώλ κεηά ηελ θξνύζε, κε εθαξκνγή ηεο δηαηήξεζεο ηεο νξκήο θαη ηεο δηαηήξεζεο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην ζζηήκαηνο. Αό ηε δηαηήξεζε ηεο νξκήο έρνκε: ΑΓΟ: P νι(ξηλ) P νι(κεηά) P P P P Δεηδή ε θξνύζε είλαη θεληξηθή νη νξκέο θαη ηαρύηεηεο ησλ ζθαηξώλ ξίλ θαη κεηά ηελ θξνύζε είλαη άλσ ζηελ ίδηα εζεία νόηε θαηαιήγνκε ζηελ αιγεβξηθή ζρέζε : + + > ( - ) ( - ) () Αό ηε δηαηήξεζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο έρνκε: Κ νι (ξηλ) Κ νι (κεηά) > Κ + Κ + > + + > ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 4
( - ) ( - ) > ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) () Γηαηξώληαο ηηο ζρέζεηο () θαη () θαηά κέιε έρνκε : + + (3) Παξαηήξεζε : Αό ηελ ζρέζε (3) έρνκε : + + > - - > - - ( - ) δει. θαηά ηελ θεληξηθή ειαζηηθή θξνύζε δύν ζθαηξώλ νη δηαθνξέο ηωλ ηαρηήηωλ ηνο ξηλ θαη κεηά ηελ θξνύζε είλαη αληίζεηεο Δηδηθέο εξηηώζεηο α) Οη δύν ζθαίξεο θαη έρνλ ίζεο κάδεο ( ) Οη εμηζώζεηο () θαη (3) δίλνλ : (): - - (3): + + Πξνζζέηνληαο θαηά κέιε έρνκε: > Αό (3) > + + > Γει. θαηά ηελ θεληξηθή ειαζηηθή θξνύζε δύν ζθαηξώλ ν έρνλ ίζεο κάδεο νη ζθαίξεο αληαιιάζζνλ ηαρύηεηεο. Παξαηήξεζε: Όηαλ νη δύν ζθαίξεο Σ θαη Σ έρνλ ίζεο κάδεο ( ) θαη ε ζθαίξα Σ είλαη αθίλεηε ξηλ ηελ θξνύζε ( 0 ) ηόηε νη δύν ζθαίξεο αληαιιάζζνλ ηαρύηεηεο 0 θαη Η ζθαίξα Σ ζηακαηά θαη κεηαθέξεηαη όιε ηεο ε θηλεηηθή ελέξγεηα ζηελ ζθαίξα Σ β) Ζ ζθαίξα είλαη αθίλεηε ξίλ ηελ θξνύζε ( 0 ) Οη εμηζώζεηο () θαη (3) δίλνλ : (): ( - ) (3): + () ( 3) ( - ) ( + ) > - + > ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 5
( - ) ( + ) > ( - ) (4) (3) ( 4) + > ( ) ( ) > (5) Παξαηεξήζεηο Αλ > ( 4) ηόηε >0 θαη δει. ε ζθαίξα Σ ζλερίδεη κεηά ηελ θξνύζε λα θηλείηαη ξνο ηελ θαηεύζλζε ν είρε ξηλ ηελ θξνύζε. Αλ < ( 4) ηόηε <0 θαη δει. ε ζθαίξα Σ θηλείηαη κεηά ηελ θξνύζε ξνο ηελ αληίζεηε θαηεύζλζε ν είρε ξηλ ηελ θξνύζε. Αλ ε ζθαίξα Σ είλαη αθίλεηε ξίλ ηελ θξνύζε ( 0 ) ηόηε νη ηαρύηεηεο ησλ ζθαηξώλ κεηά ηελ θξνύζε ζα είλαη : θαη ( - ) ΔΛΑΣΗΚΖ ΚΡΟΤΖ ΩΜΑΣΟ ΜΔ ΑΛΛΟ ΑΚΗΝΖΣΟ ΠΟΛΤ ΜΔΓΑΛΖ ΜΑΕΑ Αλ ε ζθαίξα Σ έρεη νιύ κεγαιύηεξε κάδα αό ηε Σ θαη είλαη αθίλεηε ξηλ ηελ θξνύζε (ρ έλα καιάθη Σ κε κάδα ν ρηά ζε αθίλεην ηνίρν κεγάιεο κάδαο )νη ζρέζεηο (4) θαη (5) δίλνλ: << > 0 (4) : ( - ) > > 0 0 > - (5) : > >.0. 0 > 0 Γειαδή ε ζθαίξα κηθξήο κάδαο αλαθιάηαη κε ηαρύηεηα ίδην κέηξν θαη αληίζεηεο θνξάο αό αηήλ ν είρε ξηλ ηελ θξνύζε. Τν ζώκα κεγάιεο κάδαο αξακέλεη ξαθηηθά αθίλεην. ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 6
ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ α)κάζεηε ξόζηωζε κάιαο ζε ηνίρν Σύκθσλα κε ηα αξαάλσ όηαλ κηα ζθαίξα κηθξήο κάδαο ξνζθξνύεη ειαζηηθά θαη θάζεηα ζηελ εηθάλεηα ελόο ηνίρν ή ζην δάεδν αλαθιάηαη κε ηαρύηεηα ίδην κέηξν θαη αληίζεηεο θνξάο. β)πιάγηα ξόζηωζε κάιαο ζε ηνίρν Σηελ εξίησζε ν ε ζθαίξα ξνζθξνύεη ειαζηηθά θαη ιάγηα ζε έλαλ ηνίρν αλαιύνκε ηελ ηαρύηεηά ηεο ζε δύν ζληζηώζεο, ηε κία ( x ) θάζεηε ζηνλ ηνίρν θαη ηελ άιιε ( y ) αξάιιειε κε αηόλ Σύκθσλα κε ηα αξαάλσ ε θάζεηε ζηνλ ηνίρν ζληζηώζα ηεο ηαρύηεηαο ζα αιιάμεη θνξά θαη ζα δηαηεξήζεη ην κέηξν ηεο ( x - x ). H δύλακε ν αζθείηαη ζηε ζθαίξα θαηά ηελ θξνύζε είλαη θάζεηε ζηνλ ηνίρν, άξα ε y ζληζηώζα ηεο ηαρύηεηαο δε κεηαβάιιεηαη ( y y ). Τν κέηξν ηεο ηαρύηεηαο κεηά ηελ θξνύζε είλαη: χ y χ y δειαδή ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηεο ζθαίξαο δε κεηαβάιιεηαη. y Αλ θαη α νη γσλίεο ν ζρεκαηίδνλ ε θαη ε, αληίζηνηρα, κε ηελ θάζεηε ζηνλ ηνίρν ηζρύεη εκ θαη εκα y νόηε εκ εκα θαη α Γειαδή ε γωλία ξόζηωζεο ηεο ζθαίξαο είλαη ίζε κε ηε γωλία αλάθιαζεο. ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 7
ΚΔΝΣΡΗΚΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΚΡΟΤΖ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ Γν ζθαίξεο Σ θαη Σ, ν έρνλ κάδεο kg θαη kg αληίζηνηρα, θηλνύληαη ζε ιείν νξηδόληην είεδν θαηά κήθνο ηεο ίδηαο εζείαο θαη ιεζηάδνλ ε κηα ηελ άιιε κε ηαρύηεηεο κέηξσλ 6 /s θαη 9 /s, αληίζηνηρα. Οη δν ζθαίξεο ζγθξνύνληαη κεησηθά. Μεηά ηελ θξνύζε ε ζθαίξα Σ αιιάδεη θαηεύζλζε θηλνύκελε κε ηαρύηεηα κέηξν 4 /s. α) Να νινγίζεηε ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηεο ζθαίξαο Σ κεηά ηελ θξνύζε. β) Να εμεηάζεηε αλ ε θξνύζε είλαη ειαζηηθή. γ) Να νινγίζεηε: ) ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο θάζε ζθαίξαο θαηά ηελ θξνύζε. Τη αξαηεξείηε; ) ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο θάζε ζθαίξαο θαηά ηελ θξνύζε. Τη αξαηεξείηε; 3) Τε κέζε δύλακε ν αζθήζεθε ζηε θάζε ζθαίξα θαηά ηελ θξνύζε αλ αηή δηαξθεί ρξόλν Γt 0,0s. α. /s β. ειαζηηθή γ. )ΓΚ 80 J, ΓΚ -80 J ) Γp -0 kg./s, Γp 0 kg./s 3) F - 000N, F 000N ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ Μηα ζθαίξα Α κάδαο kg, θηλείηαη άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζλζε ην άμνλα x'x κε ηαρύηεηα κέηξν 5/s θαη ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε άιιε ζθαίξα Β, ν έρεη κάδα 4kg. Να βξείηε: ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζθαηξώλ κεηά ηελ θξνύζε, αλ ε ζθαίξα Β αξρηθά α) είλαη αθίλεηε β) θηλείηαη νκόξξνα κε ηελ Α, κε ηαρύηεηα κέηξν /s. Α. α)- 3 /s, /s, β) 0, /s, 3, /s. ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 8
ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 3 Σώκα Σ κάδαο θηλνύκελν ξνο ηε ζεηηθή θνξά ζε ιείν νξηδόληην είεδν ζγθξνύεηαη κε ηαρύηεηα κέηξν 8 /s θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε αθίλεην ζώκα κάδαο. Η ρξνληθή δηάξθεηα ηεο θξνύζεο ζεσξείηαη ακειεηέα. Ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε, ην ζώκα κάδαο θηλείηαη αληίξξνα κε ηαρύηεηα κέηξν 4 /s. Να νινγίζεηε: α) ην ιόγν ησλ καδώλ. β) ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζώκαηνο κάδαο ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. γ) ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο θάζε ζθαίξαο θαηά ηελ θξνύζε θαη ην νζνζηό ηεο αξρηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην ζώκαηνο κάδαο ν κεηαβηβάζηεθε ζην ζώκα κάδαο ιόγσ ηεο θξνύζεο. δ) ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηεο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ησλ δύν ζσκάησλ θαη ηε κέζε δύλακε ν αζθήζεθε ζηε θάζε ζθαίξα θαηά ηελ θξνύζε αλ αηή δηαξθεί ρξόλν Γt 0,0s αλ 3kg. Τη αξαηεξείηε; Γίλεηαη gl0 /s. α. 3 β. 4 /s γ. 75 % δ. Γp - kg./s, Γp kg./s, F - 00N, F 00N αληίζεηεο ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 4 Τν ζώκα κάδαο kg ην αξαθάησ ζρήκαηνο βάιιεηαη κε αξρηθή ηαρύηεηα κέηξν o 0/s άλσ ζε νξηδόληην δάεδν ν αξνζηάδεη ζληειεζηή ηξηβήο κ0,. Αθνύ δηαλύζεη αόζηαζε s 9 ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε ην αθίλεην ζώκα κάδαο 6kg ν είλαη αξρηθά αθίλεην. Να βξείηε: α) ηελ ηαρύηεηα ην ζώκαηνο κάδαο ιίγν ξηλ ηελ θξνύζε. β) ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. γ) ην νζνζηό ηεο ελέξγεηαο ην ζώκαηνο ν κεηαβηβάζηεθε ζην ζώκα κάδαο. δ) ηελ αόζηαζε d ν ζα αέρνλ ηα ζώκαηα όηαλ ζηακαηνύλ. Γίλεηαη ε εηηάρλζε ηεο βαξύηεηαο gl0 /s. α. 8 /s β. -4 /s, 4 /s γ. 75 % δ. d8 ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 9
ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 5 Αξρηθά ε ζθαίξα βξίζθεηαη αθίλεηε θαη ην λήκα ζε θαηαθόξθε ζέζε. Δθηξένκε ηε ζθαίξα κάδαο αό ηελ αξρηθή ηεο ζέζε ώζηε ην λήκα κήθνο,6 λα ζρεκαηίδεη κε ηελ θαηαθόξθν γσλία θ 60 0 θαη ηελ αθήλνκε ειεύζεξε. Όηαλ αηή εξάζεη αό ηελ αξρηθή ηεο ζέζε ηζνξξνίαο ζγθξνύεηαη ειαζηηθά κε αθίλεην ζώκα κάδαο 3 ν βξηζθόηαλ άλσ ζε νξηδόληην είεδν κε ηξηβέο. Τν ζώκα κεηά ηελ θξνύζε, αθνύ δηαλύζεη δηάζηεκα s ζηακαηάεη. Να βξεζνύλ: α) Τν κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζώκαηνο κάδαο ειάρηζηα ξηλ ηελ θξνύζε. β) Τν ζλεκίηνλν ηεο ηειηθήο γσλίαο αόθιηζεο ζ ν ζα ζρεκαηίζεη ην λήκα κε ηελ θαηαθόξθν κεηά ηελ ειαζηηθή θξνύζε. γ) Τν δηάζηεκα s κέρξη λα ζηακαηήζεη ην ζώκα. δ) Τν νζνζηό αώιεηαο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην θαηά ηελ θξνύζε. ε) Τελ ηάζε ην λήκαηνο ειάρηζηα ξηλ ηελ θξνύζε θαη ειάρηζηα κεηά ηελ θξνύζε. Γίλνληαη ν ζληειεζηήο ηξηβήο νιίζζεζεο κεηαμύ ζώκαηνο θαη εηέδν κ0,,ε εηηάρλζε ηεο βαξύηεηαο gl0 /s, θαη kg α. 4 /s β. ζλζ 7/8 γ. δ. 75% ε. Τ 0 Ν, Τ,5Ν ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 6 Σθαίξα κάδαο Kg θξέκεηαη κέζσ λήκαηνο κήθνο 5 αό αθιόλεην ζεκείν. Ανκαθξύλνκε ηε ζθαίξα αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο, ώζηε ην λήκα λα γίλεη νξηδόληην θαη κεηά ηελ αθήλνκε ειεύζεξε. Σην ρακειόηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηεο ε ζθαίξα ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε ζώκα κάδαο 4 Kg. Τν ζώκα αξρηθά εξεκεί άλσ ζε νξηδόληην δάεδν, δεκέλν ζηελ άθξε νξηδόληην ειαηεξίν ζηαζεξάο k 00N/, ν αξρηθά έρεη ην θζηθό ην κήθνο. Τν άιιν άθξν ην ειαηεξίν είλαη ζηεξεσκέλν. Να βξεζεί Α.ην ύςνο h ν θηάλεη ε ζθαίξα κάδαο κεηά ηελ θξνύζε. Β. ε κέγηζηε ζζείξσζε ην ειαηεξίν αλ: α. Τν δάεδν είλαη ιείν. β. Παξνζηάδεη ζληειεζηή ηξηβήο κ 7 /. Γίλεηαη: g 0/s Α. Α.h,8 B. α. x0,8, β. x0,6 ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 0
ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 7 Τν ζώκα κάδαο kg ην αξαθάησ ζρήκαηνο, αθνκάεη ρσξίο λα έρεη ξνζδεζεί ζην ειεύζεξν άθξν νξηδόληην ηδαληθνύ ειαηεξίν ζηαζεξάο K0 4 N/. Τν ειαηήξην είλαη ζκηεζκέλν ζε ζρέζε κε ην θζηθό ην κήθνο θαηά Γ 0, κε ηε βνήζεηα λήκαηνο. Κάνηα ζηηγκή ην λήκα θόβεηαη θαη ην ζώκα κάδαο ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε ην αξρηθά αθίλεην ζώκα κάδαο 4kg. Τν νξηδόληην είεδν είλαη ιείν. To κεηά ηελ θξνύζε θηλείηαη ζε κε ιείν θεθιηκέλν είεδν γσλίαο θιίζεο θ30 0 ν αξνζηάδεη ηξηβέο κε ζληειεζηή ηξηβήο νιίζζεζεο 3 κ. 5 Α. Να νινγίζεηε: α) ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζώκαηνο ιίγν ξηλ ηελ θξνύζε ην κε ην ζώκα. β) ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ ακέζσο κεηά ηελ ειαζηηθή ηνο θξνύζε. γ) ην δηάζηεκα ν ζα δηαλύζεη ην κέρξη λα ζηακαηήζεη. Β. Θα εηζηξέςεη ην ζηε βάζε ην θεθιηκέλν εηέδν, αλ νηεζεί όηη ην κήθνο ην θεθιηκέλν εηέδν είλαη αξθεηά κεγάιν γηα ηελ θίλεζε ην ζώκαηνο; Γίλεηαη ε εηηάρλζε βαξύηεηαο gl0 /s. Α. α. 0 /s β. -6 /s, 4 /s γ. Β. ζα εηζηξέςεη ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 8 Τν έλα άθξν θαηαθόξθν ειαηεξίν ζηεξεώλεηαη ζε νξηδόληην δάεδν θαη ζην άιιν άθξν ην ξνζδέλεηαη έλαο δίζθνο κάδαο, ν ννίνο ξνθαιεί ζηαηηθή αξακόξθσζε Γl0,l. Αό ύςνο h,8 άλσ αό ην δίζθν αθήλεηαη ειεύζεξα κηθξή ζθαίξα κάδαο ε ννία ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε ην δίζθν. Αλ ε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο είλαη ακειεηέα, λα βξείηε: α. ην θιάζκα ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο ν κεηαβηβάζηεθε ζην δίζθν. β. ηε κέγηζηε ζζείξσζε ην ειαηεξίν κεηά ηελ θξνύζε. Γίλνληαη g0/s θαη 5. Α: α) α5/9 β) 0,3 ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα
ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 9 Διαηήξην ζηαζεξάο k00n/ βξίζθεηαη άλσ ζε ιείν ιάγην είεδν θιίζεο θ30 0, όσο ζην ζρήκα. Σην άλσ άθξν ην ειαηεξίν ηζνξξνεί ζθαίξα κε κάδα kg ελώ ην θάησ άθξν ην είλαη ζηεξεσκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Αό ην ζεκείν Α ν αέρεη αόζηαζε l4 αό ην αθήλεηαη λα νιηζζήζεη ζθαίξα κάδαο /3. Η ζθαίξα θαηεβαίλνληαο ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε ηε ζθαίξα. Να νινγηζηεί ζε όζε αόζηαζε αό ην ζεκείν ηεο ζύγθξνζεο νη ηαρύηεηεο ησλ θαη ζα κεδεληζηνύλ ζηηγκηαία. Γίλεηαη g0/s. Α: s, s 0, 0 ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα
ΑΚΖΔΗ.Μάια κάδαο Kg ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε δεύηεξε, αξρηθά αθίλεηε κάια. Η δεύηεξε κάια κεηά ηελ θξνύζε ανθηά ηαρύηεηα ίζε κε ηα /5 ηεο ηαρύηεηαο ν είρε ε ξώηε κάια ξηλ ηελ θξνύζε. Να νινγηζζνύλ: α. Η κάδα ηεο δεύηεξεο κάιαο. β. Τν νζνζηό ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο, ν κεηαθέξζεθε ζηε δεύηεξε κάια. Α. α) 4 Kg, β) 64%.Μία ζθαίξα κάδαο θηλείηαη κε ηαρύηεηα θαη ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε άιιε αθίλεηε ζθαίξα κάδαο. Μεηά ηελ θξνύζε ε δεύηεξε ζθαίξα θηλείηαη κε ηαρύηεηα,. Να βξείηε: α. ην ιόγν ησλ καδώλ / β. ην νζνζηό ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο Α ν κεηαβηβάζηεθε ζηε Β. Α. α) / 3/, β) 96% 3.Μηα ζθαίξα κάδαο ζγθξνύεηαη ηειείσο ειαζηηθά θαη κεησηθά κε δεύηεξε αθίλεηε ζθαίξα κάδαο. Πνηνο ξέεη λα είλαη ν ιόγνο ησλ καδώλ ησλ δύν ζθαηξώλ, ώζηε κεηά αό ηελ θξνύζε νη ζθαίξεο λα θηλεζνύλ κε ηαρύηεηεο ην ίδην κέηξν θαη αληίζεηεο θνξάο; Α. / 3 4.Γύν ζθαίξεο Σ θαη Σ κε κάδεο kg θαη 3kg θηλνύληαη κε ηαρύηεηεο 5 /s θαη 3 /s, ίδηαο θνξάο.. Οη ζθαίξεο ζγθξνύνληαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά. Να νινγίζεηε: α. ηηο ηαρύηεηεο ησλ δύν ζθαηξώλ κεηά ηελ θξνύζε. β. ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο ζθαίξαο Σ γ. ην νζνζηό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο Σ Α: α. /s, 4 /s β. Γp-3 kg./s γ.π 77,78% 5.Σθαίξα κάδαο kg ν θηλείηαη ξνο ηα δεμηά κε ηαρύηεηα κέηξν 8 /s ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε άιιε ζθαίξα κάδαο 3 kg ν θηλείηαη ξνο ηα αξηζηεξά κε ηαρύηεηα κέηξν 4 /s α. Να νινγίζεηε ηηο ηαρύηεηεο ησλ δύν ζθαηξώλ κεηά ηε ζύγθξνζε. β. Να νινγίζεηε ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο κάδαο. γ. Σκβηβάδεηαη ην ανηέιεζκα ην εξσηήκαηνο (β) κε ην γεγνλόο όηη ε ζύγθξνζε ησλ δύν ζθαηξώλ είλαη ειαζηηθή; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ αάληεζή ζαο. Α: α. -0 /s /s β. ΓΚ -8 J γ.γκ -ΓΚ ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 3
6.Σθαίξα A κάδαο ν θηλείηαη κε ηαρύηεηα 4 /s ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε άιιε αξρηθά αθίλεηε ζθαίξα Β κάδαο. Η ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο Β κεηά ηελ θξνύζε είλαη νινγίζεηε: α. ην ιόγν / ησλ καδώλ ησλ δύν ζθαηξώλ. β. ηελ ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο Α κεηά ηελ θξνύζε. 6 /s. Να γ. ην νζνζηό ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο Α ν κεηαβηβάζηεθε θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θξνύζεο ζηε ζθαίξα Β. Α: α. 3 β. /s γ.75% 7.Γύν ζθαίξεο Σ, Σ κε κάδεο, θηλνύληαη άλσ ζηελ ίδηα εζεία κε ηαρύηεηεο, αληίζεηεο θνξάο θαη ζγθξνύνληαη ειαζηηθά. Γηα ηηο κάδεο ησλ ζθαηξώλ ηζρύεη 4 θαη όηη ξηλ ηελ θξνύζε νη ζθαίξεο είραλ ίζεο θηλεηηθέο ελέξγεηεο. Να νινγίζεηε: α. ην ιόγν ησλ ηαρηήησλ ησλ ζθαηξώλ ξηλ θαη κεηά ηελ θξνύζε. β. ην θιάζκα ηεο ελέξγεηαο ν κεηαβηβάδεηαη αό ηε κία ζθαίξα ζηελ άιιε θαηά ηελ θξνύζε. 8.Τξεηο ζθαίξεο Σ, Σ θαη Σ 3 κε κάδεο, θαη 3 είλαη αθίλεηεο άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν, έηζη ώζηε ηα θέληξα κάδαο ηνο λα βξίζθνληαη άλσ ζηελ ίδηα εζεία, όσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Γίλνκε ζηε ζθαίξα Σ ηαρύηεηα κέηξν 3 /s κε θαηεύζλζε ξνο ηε ζθαίξα Σ. Να νινγίζεηε: α. ηηο ηειηθέο ηαρύηεηεο ησλ ηξηώλ ζθαηξώλ. Α: α), 4 β) 0,96 β. ην θιάζκα ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο Σ κεηαθέξεηαη ζηηο ζθαίξεο Σ θαη Σ 3 Όιεο νη θξνύζεηο λα ζεσξεζνύλ θεληξηθέο θαη ειαζηηθέο. K Α: α Σ - /s, Σ 0, Σ3 /s β. K, K K 3 8 9 9.Γύν ηειείσο ειαζηηθέο ζθαίξεο κε κάδεο kg θαη 3 3 kg αληίζηνηρα, θηλνύληαη ζε ιείν νξηδόληην είεδν θαη ιεζηάδνλ ε κία ηελ άιιε κε ηαρύηεηεο κέηξν o 0/s. Να βξείηε: α) Τηο ηαρύηεηέο ησλ καδώλ κεηά ηελ θξνύζε. β) Τε κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο. γ) Τν νζνζηό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο. δ) Τε κέζε δύλακε ν αζθήζεθε ζηε ζθαίξα θαηά ηελ θξνύζε αλ αηή δηαξθεί ρξόλν Γt 0,0s. α. -0 /s, 0 β. Γp 30 kg./s γ. -00%, δ. 500N ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 4
0.Μηθξή ζθαίξα Σ, κάδαο kg ν θηλείηαη άλσ ζε ιείν είεδν κε ηαρύηεηα 0 /s ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε αθίλεηε ζθαίξα Σ κάδαο 8kg. Να νινγίζεηε: α) ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ κεηά ηελ θξνύζε. β) ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο θάζε ζθαίξαο θαζώο θαη ηε κεηαβνιή ηεο νξκήο ην ζζηήκαηνο ησλ ζθαηξώλ. γ) ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην ζώκαηνο Σ. δ) ην νζνζηό εί ηνηο εθαηό ηεο αξρηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο Σ ν κεηαθέξζεθε θαηά ηελ θξνύζε ζηε ζθαίξα Σ. α. -6 /s, 4 /s β. Γp -8 kg./s, Γp 8 kg./s, Γp νι 0 γ. ΓΚ -64 J δ. 64%.Μηα ζθαίξα Σ κάδαο θηλείηαη άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν κε ηαρύηεηα θαη ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε αθίλεηε ζθαίξα Σ κάδαο ( > ). Μεηά ηελ θξνύζε ε ζθαίξα Σ ζγθξνύεηαη ειαζηηθά κε θαηαθόξθν είεδν ηνίρν, ν είλαη θάζεηνο ζηε δηεύζλζε ηεο θίλεζεο ησλ δν ζθαηξώλ. α) Αλ ν ιόγνο ησλ καδώλ ησλ δν ζθαηξώλ είλαη ι λα εθθξάζεηε ηηο αιγεβξηθέο ηηκέο ησλ ηαρηήησλ ησλ ζθαηξώλ Σ θαη Σ ζε ζλάξηεζε κε ην ι θαη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο. Να βξεζεί: β) γηα νηεο ηηκέο ην ι ε ζθαίξα Σ κεηά ηελ θξνύζε ηεο κε ηε ζθαίξα Σ θηλείηαη ξνο ηα αξηζηεξά. γ) γηα νηα ηηκή ην ι, ε ζθαίξα Σ, κεηά ηε θξνύζε ηεο κε ηνλ ηνίρν ζα δηαηεξεί ζηαζεξή αόζηαζε αό ηελ ζθαίξα Σ. Με βάζε ηελ αξαάλσ ηηκή ην ι, λα νινγηζζεί: δ) ν ιόγνο ηεο ηειηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο Σ, ν έρεη κεηά ηελ θξνύζε ηεο κε ηνλ ηνίρν, ξνο ηελ αξρηθή θηλεηηθή ελέξγεηα ηεο ζθαίξαο Σ. α. - ι, ι ι β. ι> γ. ι3 δ. Κ Κ 3 4.Σώκα κάδαο l έρεη ηαρύηεηα ν θαη ξνζθξνύεη ζε αθίλεην ζώκα κάδαο ν βξίζθεηαη ζε αόζηαζε xl. Μεηά ηελ θξνύζε, ν είλαη ειαζηηθή, ην ξώην ζώκα εηζηξέθεη θαη ζηακαηά ζηελ αξρηθή ην ζέζε. Ο ζληειεζηήο ηξηβήο νιίζζεζεο ησλ δν ζσκάησλ κε ην δάεδν είλαη κ0,5. Να νινγίζεηε: α) ηελ αξρηθή ηαρύηεηα ν ην ξώην ζώκαηνο. β) ην δηάζηεκα ν ζα δηαλύζεη ην δεύηεξν ζώκα κέρξη λα ζηακαηήζεη. Γίλεηαη gl0 /s. Α: α) l0/s, β)4 ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 5
3.Σώκα Σ κάδαο kg θηλείηαη ξνο αθίλεην ζώκα Σ κάδαο Όηαλ ε αόζηαζε ησλ δύν ζσκάησλ είλαη x,3, ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζώκαηνο Σ είλαη ν 7 /s. Τα δύν ζώκαηα ζγθξνύνληαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά. Αλ ν ζληειεζηήο ηξηβήο νιίζζεζεο θαζελόο αό ηα δύν ζώκαηα κε ην δάεδν είλαη κ 0,5, λα νινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζώκαηνο Σ ηε ζηηγκή ν ζγθξνύεηαη κε ην ζώκα Σ β. ηα κέηξα ησλ ηαρηήησλ ησλ δύν ζσκάησλ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. γ. ην ξζκό αξαγσγήο ζεξκόηεηαο εμαηηίαο ηεο ηξηβήο νιίζζεζεο κεηαμύ ην ζώκαηνο Σ θαη ην δαέδν, ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. δ. ην δηάζηεκα ν ζα δηαλύζεη ην ζώκα Σ κέρξη λα ζηακαηήζεη. Γίλεηαη: g 0 /s Α: α. 6 /s β. 4.Σθαίξα κάδαο kg θξέκεηαη αό ζηαζεξό ζεκείν κε λήκα κήθνο I,8 ν δελ έρεη βάξνο θαη δελ είλαη ειαζηηθό. Αξρηθά αλςώλεηαη ε ζθαίξα ώζηε ην λήκα λα είλαη ηελησκέλν ζε νξηδόληηα ζέζε θαη ζηε ζλέρεηα αθήλεηαη ειεύζεξε. Σην θαηώηεξν ζεκείν ηεο δηαδξνκήο ηεο ε ζθαίξα ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε αθίλεην θύβν κάδαο kg ν ννίνο κνξεί λα νιηζζαίλεη ζε νξηδόληην είεδν. Αλ ν ζληειεζηήο ηξηβήο νιίζζεζεο κεηαμύ θύβν θαη εηέδν είλαη κ 0, λα βξείηε: α. ηε κέγηζηε γσλία ν ζρεκαηίδεη ην λήκα κε ηελ θαηαθόξθε, κεηά ηελ θξνύζε. - /s, 4 /s γ. dq J 0 δ. dt s s,6 β. ην θιάζκα ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ζθαίξαο ν κεηαβηβάζηεθε ζηνλ θύβν θαηά ηελ θξνύζε. γ. ην δηάζηεκα ν ζα δηαλύζεη ν θύβνο κέρξη λα ζηακαηήζεη. Η δηάξθεηα ηεο θξνύζεο είλαη νιύ κηθξή. Α. α) ζλθ 8/9, β) 8/9. γ) 6 5.Σθαίξα κάδαο Kg είλαη θξεκαζκέλε κέζσ λήκαηνο κήθνο l,5 αό αθιόλεην ζεκείν. Δθηξένκε ην λήκα αό ηελ θνξθή θαηά γσλία θ 60 0 θαη ζηε ζλέρεηα ην αθήλνκε ειεύζεξν. Σην θαηώηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηεο, ε ζθαίξα ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε αθίλεην ζώκα κάδαο 4 Kg ην ννίν βξίζθεηαη ζε νξηδόληην είεδν. Ο ζληειεζηήο ηξηβήο κεηαμύ ζώκαηνο θαη εηέδν είλαη κ0,. Να βξεζεί ην δηάζηεκα, ν ζα δηαλύζεη ην ζώκα ζην νξηδόληην είεδν. g 0/s Α. x ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 6
6.Σθαηξίδην Σ κάδαο θηλείηαη άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν κε ηαρύηεηα 6 /s θαη ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε ην αθίλεην ζθαηξίδην Σ ελόο αινύ εθθξεκνύο, κήθνο l,6. Η κάδα ην ζθαηξηδίν Σ ην εθθξεκνύο είλαη.να νινγίζεηε: α. ηελ ηαρύηεηα ην ζθαηξηδίν Σ ην εθθξεκνύο ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. β. ηε κέγηζηε γσλία εθηξνήο ην λήκαηνο ην εθθξεκνύο αό ηελ αξρηθή θαηαθόξθε ζέζε ην. γ. ηε ζρέζε ησλ καδώλ ησλ δύν ζθαηξηδίσλ, ώζηε ε κέγηζηε γσλία εθηξνήο ην λήκαηνο ην εθθξεκνύο αό ηελ αξρηθή θαηαθόξθε ζέζε ην λα είλαη ε κεγαιύηεξε δλαηή. Γίλεηαη: g 0 /s 7.Μηθξό ζώκα Σ κάδαο 0, kg θηλείηαη άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν κε ηαρύηεηα θαη ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε ην αθίλεην ζθαηξίδην ελόο αινύ εθθξεκνύο, ην ννίν έρεη κάδα 0, kg θαη κήθνο l,6. Μεηά ηελ θξνύζε ην ζθαηξίδην ην εθθξεκνύο εθηξέεηαη θαη ε κέγηζηε γσλία ν ζρεκαηίδεη ην λήκα κε ηελ αξρηθή θαηαθόξθε ζέζε ην είλαη θ 60 0.Να νινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζθαηξηδίν ην εθθξεκνύο ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. β. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζώκαηνο Σ. Α: α. γ. ην κέηξν ηεο ηάζεο ην λήκαηνο ην εθθξεκνύο, ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. Γίλεηαη: g 0 /s. 4/s β. θ60 0 γ. Α: α. 4 /s β. 6 /s γ.τ 4Ν 8.Σθαίξα Α κάδαο θηλείηαη άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν κε ηαρύηεηα 0 /s θαη ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε άιιε ζθαίξα Β κάδαο ε ννία είλαη θξεκαζκέλε κε λήκα κήθνο Ι 0,5 αό αθιόλεην ζεκείν. Μεηά ηελ θξνύζε ε ζθαίξα Β κόιηο δηαγξάθεη ηνλ εζηηγκέλν θύθιν, όσο θαίλεηαη ζην ζρήκα.να νινγίζεηε: α. ηελ ειάρηζηε ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο Β ζην αλώηεξν ζεκείν ην εζηηγκέλν θύθιν, ώζηε ην λήκα λα είλαη ηελησκέλν. β. ηελ ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο Β ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. γ. ην ιόγν ησλ καδώλ θαη ησλ δύν ζθαηξώλ. Γίλεηαη: g 0 /s Α: α. in 5 /s β. 5 /s γ. 3 ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 7
9.Σθαίξα κάδαο kg θξέκεηαη κε λήκα κήθνο l,5 αό αθιόλεην ζεκείν. Δθηξένκε ηε ζθαίξα, ώζηε ην λήκα λα γίλεη νξηδόληην, θαη ηελ εθηνμεύνκε θαηαθόξθα ξνο ηα θάησ κε αξρηθή ηαρύηεηα κέηξν o 5 3 /s. Σην θαηώηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηεο, ε ζθαίξα ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε ζώκα Σ κάδαο ν είλαη αθίλεην άλσ ζε νξηδόληην δάεδν. Μεηά ηελ θξνύζε, ε ζθαίξα εαλέξρεηαη ζηελ αξρηθή ηεο ζέζε, όν ην λήκα ήηαλ νξηδόληην, ελώ ην ζώκα Σ δηαλύεη δηάζηεκα s 5 άλσ ζην δάεδν κέρξη λα ζηακαηήζεη, ιόγσ ηεο ηξηβήο. Να νινγίζεηε: α. ηελ ηαρύηεηα ηεο ζθαίξαο ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. β. ηελ ηηκή ηεο κάδαο ην ζώκαηνο Σ. γ. ην ζληειεζηή ηξηβήο ην ζώκαηνο Σ κε ην δάεδν. Γίλεηαη: g 0 /s Α: α. -5 /s β. 3 kg γ. κ 0,5 0.Γύν ζθαηξίδηα έρνλ κάδεο θαη / θαη θξέκνληαη αό ην ίδην ζεκείν κε λήκαηα ίζν κήθνο, όσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Τ α ζθαηξίδηα έρνλ νιύ κηθξέο δηαζηάζεηο, ώζηε ζηε ζέζε ηζνξξνίαο θαη ηα δύν λήκαηα λα ζεσξνύληαη θαηαθόξθα, ελώ ηα ζθαηξίδηα εθάηνληαη Αλςώλνκε ην ζθαηξίδην ζε ύςνο h θαη όηαλ ην αθήζνκε ειεύζεξν, αηό ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε ην άιιν. Καηά όζν ζα αλςσζεί θάζε ζθαηξίδην κεηά ηελ θξνύζε; 4 6 Α. Τν ζα αλέβεη ζε ύςνο h h θαη ην ζε h h 9 9.Σώκα Α κάδαο kg Κηλείηαη άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν κε ηαρύηεηα κέηξν 5 /s θαη ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε άιιν αθίλεην ζώκα Β κάδαο 4 kg Τν ζώκα Β είλαη ζηεξεσκέλν ζην έλα άθξν νξηδόληην ειαηεξίν ζηαζεξάο Κ400Ν/, ην ν νίν ην άιιν άθξν είλαη αθιόλεηα ζηεξεσκέλν ζε θαηαθόξθν ηνίρσκα. Η δηεύζλζε θίλεζεο ην θέληξν κάδαο ην ζώκαηνο Α ηαηίδεηαη κε ηνλ άμνλα ην ειαηεξίν. Να νινγίζεηε: α. ηηο ηαρύηεηεο ησλ δύν ζσκάησλ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. β. ηε κέγηζηε ζζείξσζε ην ειαηεξίν. ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 8
γ. ην ξζκό κεηαβνιήο ηεο νξκήο ην ζώκαηνο Β ηε ρξνληθή ζηηγκή ν ζηακαηάεη ζηηγκηαία. Α: α. -3 /s, dp dt kg. s /s β. Γl ax 0, γ. 80.Σώκα Α κάδαο kg θηλείηαη άλσ ζε ιείν νξηδόληην είεδν κε ηαρύηεηα κέηξν 5/s θαη ζγθξνύεηαη θεληξηθά θαη ειαζηηθά κε άιιν αθίλεην ζώκα Β κάδαο. Τν ζώκα Β είλαη ζηεξεσκέλν ζην έλα άθξν νξηδόληην ειαηεξίν, ην ννίν ην άιιν άθξν είλαη ζηεξεσκέλν αθιόλεηα ζε θαηαθόξθν ηνίρσκα. Η δηεύζλζε θίλεζεο ην θέληξν κάδαο ην ζώκαηνο Α ηαηίδεηαη κε ηνλ άμνλα ην ειαηεξίν. Μεηά ηελ θξνύζε, ην ζώκα Α θηλείηαη ξνο αληίζεηε θαηεύζλζε αό ηελ αξρηθή κε ηαρύηεηα κέηξν 3 /s. Η κέγηζηε ζζείξσζε ην ειαηεξίν είλαη ΓΙ 0,. Να νινγίζεηε: α. ηελ ηηκή ηεο κάδαο ην ζώκαηνο Β. β. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην ζώκαηνο Β, ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. γ. ηε ζηαζεξά ην ειαηεξίν. δ. ην νζνζηό εί ηνηο εθαηό ηεο αξρηθήο θηλεηηθή ο ελέξγεηαο ην ζώκαηνο Α ν ανζεθεύζεθε σο δλακηθή ελέξγεηα ζην ειαηήξην, θαηά ηε κέγηζηε ζζείξσζή ην. Α: α. 4 kg β. /s γ.κ400 Ν/ δ. 64% 3.Τν έλα άθξν νξηδόληην ειαηεξίν ζηαζεξάο Κ00N/ είλαη αθιόλεηα ζηεξεσκέλν, όσο δείρλεη ην ζρήκα. Σην ειεύζεξν άθξν ην ειαηεξίν ηννζεηείηαη ζώκα Σ κάδαο kg ρσξίο λα είλαη ζλδεδεκέλν κε ην ειαηήξην, θαη ξνθαιείηαη ζζείξσζε ην ειαηεξίν θαηά Γx. Τν ζώκα Σ έρεη ηαρύηεηα 8/s θαη ζγθξνύεηαη κε ζώκα Σ κάδαο 3 kg ν ηζνξξνεί θαηαθόξθα, δεκέλν ζηελ άθξε αβαξνύο θαη κε εθηαηνύ λήκαηνο κήθνο l 0, 35, ην ννίν ην άιιν άθξν είλαη ζηαζεξά ξνζαξκνζκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Η θξνύζε ησλ ζσκάησλ είλαη κεησηθή θαη ειαζηηθή. Να νινγηζηνύλ: α. ε αξακόξθσζε ην ειαηεξίν. β. νη ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ Σ θαη Σ ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε. γ. ε ηαρύηεηα ην ζώκαηνο Σ όηαλ ην λήκα ζρεκαηίδεη γσλία 90 0 κε ηελ θαηαθόξθν. Α: α. Γx0,8 β. -4 /s, 4 /s γ. 3 /s 4.Σώκα Σ κάδαο 4kg βξίζθεηαη αθίλεην ζε ιείν νξηδόληην είεδν θαη είλαη δεκέλν ζην άθξν νξηδόληην ειαηεξίν, ην άιιν άθξν ην ννίν είλαη αθιόλεηα ζηεξεσκέλν. Έλα δεύηεξν ζώκα Σ κάδαο kg θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα κέηξν 0 /s θαη ζγθξνύεηαη κεησηθά θαη ειαζηηθά κε ην Σ.Να νινγίζεηε: α) ηηο ηαρύηεηεο ησλ δύν ζσκάησλ κεηά ηελ θξνύζε. β) ην κέηξν ηεο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ην ζώκαηνο Σ. γ) ην νζνζηό ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην ζώκαηνο Σ ν κεηαθέξζεθε ζην ζώκα Σ. δ) ηε κέγηζηε ζζείξσζε Γl ην ειαηεξίν. Γίλεηαη ε ζηαζεξά ην ειαηεξίν K00 N/. α. -6 /s, 4 /s β. Γp 6 kg./s γ. 64 % δ. 0,8 ΚΕΦ.5 ΚΡΟΤΔΗ Ειμέλεια: Μαμάτσικος Φώτης Σελίδα 9