α) Να δείμεηε όηη ν ιόγνο δύν δηαδνρηθώλ ηηκώλ ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξόο.

Transcript

1 ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η πεξίνδνο κηαο θζίλνπζαο αξκνληθήο ηαιάληωζεο είλαη Τ θαη ην πιάηνο ηεο αθνινπζεί ηνλ εθζεηηθό λόκν Α k = Α 0 e -Λt όπνπ Λ ζηαζεξή πνζόηεηα. α) Να δείμεηε όηη ν ιόγνο δύν δηαδνρηθώλ ηηκώλ ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξόο. β. Να δείμεηε όηη ν ιόγνο δύν δηαδνρηθώλ ηηκώλ κέγηζηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξόο. γ. Σε πόζν ρξόλν ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο ζα γίλεη Α = Α 0 /2 δ. Μεηά πόζν ρξόλν t ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαληωηή ζα γίλεη Δ ν /2 α) A A n n 1 e Λ.t = ζηαζ. β) E E n n 1 e 2Λ.t = ζηαζ γ) ln 2 δ) Λ ln 2 2Λ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Σην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο απνδίδεηαη ε απνκάθξπλζε x ελόο ζώκαηνο κάδαο m=1kg ην νπνίν εθηειεί θζίλνπζα κεραληθή ηαιάληωζε, ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Η δύλακε αληίζηαζεο πνπ κεηαηξέπεη ηελ ηαιάληωζε ζε θζίλνπζα είλαη ηεο κνξθήο F=-bπ. α. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά Λ ηεο ηαιάληωζεο. β. Nα ππνινγίζεηε ηε κέγηζηε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=2s. γ. Πόζν είλαη ην έξγν ηεο δύλακεο αληίζηαζεο F ζηε δηάξθεηα ηεο δεύηεξεο πεξηόδνπ ηεο ηαιάληωζεο. Να ζεωξεζεί όηη ε ζηαζεξά D ηεο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο είλαη ίζε κε απηή ηεο ακείωηεο ειεύζεξεο ηαιάληωζεο. Γίλεηαη: ln1,2=0,182 θαη π 2 = 10. α) Λ=0,091s -1 β) 0,30 m γ) -13, J ΚΕΦ.1 ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Κύθιωκα ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεωλ απνηειείηαη από ππθλωηή ρωξεηηθόηεηαο C= 10κF, ηδαληθό πελίν κε ζπληειεζηή απηεπαγωγήο L = 0,1 Η θαη δηαθόπηε. Έλαο κεηαγωγόο κ κπνξεί λα εηζάγεη ζην θύθιωκα, ζε ζεηξά, έλαλ αληηζηάηε ωκηθήο αληίζηαζεο R= 0,1 Ω. Αξρηθά, ν ππθλωηήο είλαη θνξηηζκέλνο κε θνξηίν Q = 200 κc, ν κεηαγωγόο κ βξίζθεηαη ζηε ζέζε (1) θαη ν δηαθόπηεο & είλαη αλνηθηόο. Α. Κάπνηα ρξνληθή ζηηγκή θιείλνπκε ην δηαθόπηε δ. Να ππνινγίζεηε: 1. Τε γωληαθή ζπρλόηεηα ηεο ηαιάληωζεο. 2. Τελ νιηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάληωζεο ηνπ θπθιώκαηνο. 3. Τε κέγηζηε ηηκή ηεο έληαζεο ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ην πελίν. Β. Κάπνηα ρξνληθή ζηηγκή πνπ ζεωξνύκε ωο ρξνληθή ζηηγκή t = 0 θαη o ππθλωηήο είλαη πιήξωο θνξηηζκέλνο κεηαθέξνπκε αθαξηαία ην κεηαγωγό κ από ηε ζέζε (1) ζηε ζέζε (2), ρωξίο λα ζρεκαηηζηεί ζπηλζήξαο. Λόγω ηεο ωκηθήο αληίζηαζεο R ην θύθιωκα εθηειεί θζίλνπζεο ειεθηξηθέο ηαιαληώζεηο θαη ε κέγηζηε ηηκή ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλωηή κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν, ζύκθωλα κε ηε ζρέζε R t 2L Q= Q 0. e όπνπ t=θτ, θ=0, 1,2 Να πξνζδηνξίζεηε ηε ρξνληθή ζηηγκή t πνπ ε κέγηζηε ηηκή ηνπ θνξηίνπ ηνπ ππθλωηή ππνδηπιαζηάδεηαη. Απ. 1) ω 0 = 10 3 rad/sec, 2) Δ = J, 3) I = 0,2 Α, Β. t = 21n2 s ΚΕΦ.1 ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 2

3 ΑΚΗΕΙ 1.Η πεξίνδνο κηαο θζίλνπζαο αξκνληθήο ηαιάληωζεο είλαη Τ θαη ην πιάηνο ηεο αθνινπζεί ηνλ εθζεηηθό λόκν Α k = Α 0 e -Λt όπνπ Λ ζηαζεξή πνζόηεηα.. Μεηά από Ν 1 =18 πιήξεηο ηαιαληώζεηο πνπ δηαξθνύλ t 1 =13,86s, ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ίζν κε Α 0 /2. Να βξείηε ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο, όηαλ γίλνπλ αθόκα Ν =72 πιήξεηο ηαιαληώζεηο. A = Α 0 /32 2.Τν πιάηνο κηαο θζίλνπζαο αξκνληθήο ηαιάληωζεο αθνινπζεί ηνλ εθζεηηθό λόκν Α k = Α 0 e -Λt όπνπ Α 0 ην αξρηθό πιάηνο θαη Λ ζηαζεξή πνζόηεηα. α. Σε πόζν ρξόλν ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο ζα γίλεη Α = Α 0 /2 β. Αλ γηα θάζε πιήξε ηαιάληωζε ε επί ηνηο % ειάηηωζε ηεο νιηθήο ελέξγεηαο Δ ηεο ηαιάληωζεο είλαη 36%, λα βξείηε ηελ επί ηνηο % κεηαβνιή ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάληωζεο. ln 2 α) β) -20% (ειάηηωζε)] Λ 3.Τν πιάηνο ηεο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο αξκνληθνύ ηαιαληωηή κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν, ζύκθωλα κε ηελ εμίζωζε Α k = Α 0 e -Λt.Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ε νιηθή ελέξγεηα ηνπ ηαιαληωηή είλαη Δ α. Μεηά πόζν ρξόλν t ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαληωηή ζα γίλεη Δ /2 β. Πόζε είλαη ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαληωηή ηε ρξνληθή ζηηγκή t =3t ln 2 α) β) E/8 2Λ 4.Σην έλα άθξν ηδαληθνύ νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο K = 100 Ν/m είλαη ζπλδεδεκέλν ζώκα κάδαο m = 1kg ην νπνίν κπνξεί λα θηλείηαη πάλω ζε νξηδόληην επίπεδν. Τν άιιν άθξν ηνπ ειαηεξίνπ ζηεξεώλεηαη ζε αθιόλεηα ζεκείν. Απνκαθξύλνπκε ην ζώκα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θαηά ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ θαηά 0,2 m θαη ην αθήλνπκε ειεύζεξν.λόγω ηξηβώλ ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο ιαηηώλεηαη θαηά 20% κεηά από θάζε πιήξε ηαιάληωζε. α. Πνηα είλαη ε ηδηνζπρλόηεηα f 0 ηνπ ηαιαληωηή; β. Πόζε ελέξγεηα αθαηξείηαη από ηνλ ηαιαληωηή κέζω ηνπ έξγνπ ηωλ ηξηβώλ ζηε δηάξθεηα κηαο πεξηόδνπ; γ. Πόζε ελέξγεηα πξέπεη λα κεηαθεξζεί ζηνλ ηαιαληωηή κέζω ηνπ έξγνπ εμωηεξηθήο πεξηνδηθήο δύλακεο, ζε ρξόλν t= 62,8 s, ώζηε λα εθηειεί ακείωηεο ηαιαληώζεηο κε ζπρλόηεηα f 0. α) 5/π Hz β) 0,72J γ) 72J 5.Τν πιάηνο ηεο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο αξκνληθνύ ηαιαληωηή κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν, ζύκθωλα κε ηελ εμίζωζε Α k = Α 0 e -Λt. Τν πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 είλαη Α 0 = 8cm θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 20s είλαη Αθ= 2cm. Να βξείηε: α. Τε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο είλαη Α 0 /2 β. Τελ ηηκή ηεο ζηαζεξάο Λ ηεο ηαιάληωζεο. ΚΕΦ.1 ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

4 γ. Τν πιάηνο Α k ηεο ηαιάληωζεο ηε ρξνληθή ζηηγκή 30s. Γίλεηαη: ln2 = 0,693. Απ: α) 10s, β) Λ=69, s -1 γ)1cm 6.Σε κηα θζίλνπζα κεραληθή ηαιάληωζε νη κέγηζηεο απνκαθξύλζεηο πξνο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε ειαηηώλνληαη ζύκθωλα κε ηε ζρέζε Α k = Α 0 e (ln4)t Σε ρξόλν 10T όπνπ Τ ε πεξίνδνο ηεο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο, ε κέγηζηε απνκάθξπλζε ειαηηώλεηαη θαηά 50%. α. Να ππνινγίζεηε ηελ πεξίνδν Τ ηεο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο. β. Να ππνινγίζεηε ηνλ αξηζκό ηωλ πιήξωλ ηαιαληώζεωλ ζην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ ε κέγηζηε απνκάθξπλζε κεηώλεηαη από Α 0 /4 ζε Α 0 /16 Απ: α) Τ = 0,05s, β) Ν = 20 ηαι. 7.Οη κέγηζηεο απνκαθξύλζεηο πξνο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε κηαο θζίλνπζαο ηαιάληωζεο κεηώλνληαη ζύκθωλα κε ηε ζρέζε Α k = Α 0 e -Λt. Όηαλ πξαγκαηνπνηνύληαη 40 πιήξεηο ηαιαληώζεηο, ε κέγηζηε απνκάθξπλζε ηεο ηαιάληωζεο γίλεηαη A 40 = Α 0 /2 α. Να ππνινγίζεηε ηε κέγηζηε απνκάθξπλζε ηεο ηαιάληωζεο, όηαλ πξαγκαηνπνηεζνύλ 120 πιήξεηο ηαιαληώζεηο αθόκε. β. Να ππνινγίζεηε ην θιάζκα ηεο αξρηθήο ελέξγεηαο Δ ηεο ηαιάληωζεο πνπ γίλεηαη ζεξκόηεηα, ζην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ πξαγκαηνπνηνύληαη νη 120 πιήξεηο ηαιαληώζεηο. Απ: α) A 160 = Α 0 /16 β) Κ= 63 /256 8.Έλα ζώκα εθηειεί θζίλνπζα ηαιάληωζε πνπ ην πιάηνο ηεο κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν. Τελ t= 0 ην πιάηνο είλαη 16 cm ελώ ηελ t= 4s ην πιάηνο είλαη 8 cm. α) Πνηό ην πιάηνο όηαλ t= 8 s β) Πόηε ην πιάηνο γίλεηαη 2 cm Απ: α) 4cm β)12s 9.Έλα ζώκα εθηειεί θζίλνπζα ηαιάληωζε ην πιάηνο ηεο νπνίαο αθνινπζεί ην λόκν Α k = Α 0 e -Λt.Τν ζώκα ηε ρξνληθή ζηηγκή 10 s έρεη εθηειέζεη 5 πιήξεηο ηαιαληώζεηο θαη ην πιάηνο είλαη Α 0 /2 α) Πνηα ε ηηκή ηεο ζηαζεξά ο Λ. β) Πνην ην πιάηνο (ζπλαξηήζεη ηνπ Α 0 ) όηαλ ην ζώκα έρεη εθηειέζεη ζπλνιηθά 10 πιήξεηο ηαιαληώζεηο. γ) Πνην ην πιάηνο ζπλαξηήζεη ηνπ Α όηαλ γίλνπλ αθόκα 15 ηαιαληώζεηο. Απ.:α)ln2/10s -1 β) Α 0 /4 γ) Α 0 /16 ΚΕΦ.1 ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

5 10.Έλα ζώκα εθηειεί θζίλνπζα ηαιάληωζε ην πιάηνο ηεο νπνίαο αθνινπζεί ην λόκν Α k = Α 0 e -Λt.Τελ t= 0 ην πιάηνο είλαη Α = 20 cm ελώ ε ζηαζεξά επαλαθνξάο είλαη D=100 Ν/m. Τελ t = 2s ην πιάηνο είλαη 10 cm. α) Πνηα ε ηηκή ηεο ζηαζεξά ο Λ; β) Πόζε ελέξγεηα έρεη απνκείλεη ζην ηαιαληωηή ηελ t = 2s ; γ) Σε πόζν ρξόλν ε ελέξγεηα ηνπ ηαιαληωηή έρεη γίλεη κηζή; Απ : α)1n2/2 s -1 β) 0,5 J γ) 1 s 11.Σε κία θζίλνπζα ηαιάληωζε ε δύλακε απόζβεζεο δίλεηαη από ηε ζρέζε F=-b.π Τελ t=0 ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο είλαη 8 cm θαη ζε ρξόλν 2s έρεη γίλεη 4 cm. α) Πνην ην πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο ηελ t= 6 s. β) Πνην ην πνζνζηό απώιεηαο ηεο αξρηθήο ελέξγεηα ο ηελ t= 6 s Απ.: α) Α 0 /8 β) 98,4375% 12.Σε κηα θζίλνπζα ηαιάληωζε ην πιάηνο κεηώλεηαη ζε θάζε πιήξε ηαιάληωζε θαηά 20%. Πνην ην πνζνζηό ειάηηωζεο ηεο ελέξγεηαο ηαιάληωζεο ζε θάζε πιήξε ηαιάληωζε. 13.Ταιαληωηήο εθηειεί θζίλνπζα ηαιάληωζε ην πιάηνο ηεο νπνί αο δίλεηαη απ ηε ζρέζε Α k = 0,2 e -Λt. Όηαλ έρνπλ πξαγκαηνπνηεζεί δύν ηαιαληώζεηο ην πιάηνο είλαη 0,1 m. α) Πνηα ε πεξίνδν ο ηεο ηαιάληωζεο; Απ : 36% β) Αλ ε αξρηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάληωζεο ήηαλ 4 J πόζε ελέξγεηα έρεη απνκείλεη ζην ηαιαληωηή κεηά ηηο δύν ηαιαληώζεηο; Απ :α) 1/6 s β) 1J 14.Σώκα εθηειεί θζίλνπζα ηαιάληωζε κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο x = 16 e - (ln4) t ζπλ2πt (x ζε cm). Πνην ην πιάηνο θαη ε απνκάθξπλζε όηαλ t= 2 s Απ: 1cm, 1 cm 15.Ταιαληωηήο εθηειεί θζίλνπζα ηαιάληωζε όπνπ ε δύλακε απόζβεζεο είλαη F=-b.π =-4π (SI) ελώ ε κάδα ηνπ ζώκαηνο πνπ εθηειεί ηε ηαιάληωζε είλαη m=2/ln2 kg. Τν πιάηνο ηεο ηαιάληωζεο κεηώλεηαη εθζεηηθά κε ην ρξόλν ζύκθωλα κε ηε ζρέζε Α k = 0,2e - Λt Αλ είλαη γλωζηό όηη Λ =b/2m λα βξείηε α) ην πιάηνο όηαλ t = 1 s β) ην πνζνζηό % ηεο αξρηθήο ελέξγεηαο ηνπ ηαιαληωηή πνπ έρεη απνκείλεη ζηνλ ηαιαληωηή ηελ t = 1 s Απ: α) Α 0 /2 β) 25% ΚΕΦ.1 ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

6 16.Ταιαληωηήο εθηειεί θζίλνπζα ηαιάληωζε ην πιάηνο ηεο νπνίαο δίλεηαη απ ηε ζρέζε Α k = Α 0 e -Λt Τελ t =2s ην πιάηνο είλαη Α 0 /2 α) Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ην πιάηνο είλαη Α 0 /8 β) Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ε ελέξγεηα είλαη Δ 0 /2 όπνπ Δ 0 ε νιηθή ελέξγεηα ηελ t = 0. γ) Πνην ην % πνζνζηό κείωζεο ηνπ πιάηνπο ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 2s θαη πνην ην πνζνζηό ηεο αξρηθήο ελέξγεηαο πνπ κεηαηξάπεθε ζε ζεξκόηεηα κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 2 s ; Απ.: α) 6 s β) 1 s γ) 50%, 75% 17.Σε κία θζίλνπζα ειεθηξηθή ηαιάληωζε ηζρύεη Q k = 10-6 e -Λt (SI). Τε ρξνληθή ζηηγκή 2s ην Q k = 10-3 C. Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή όπνπ ην θνξηίν είλαη 10-8 C Απ:4 s 18.Σην θύθιωκα ηελ t= 0 είλαη Q 0 = 10-3 C θαη θιείλνπκε ην δηαθόπηε. Κάπνηα ζηηγκή πνπ ην θνξηίν ηνπ ππθλωηή κεδελίδεηαη ην ξεύκα είλαη 0,2 Α. Να βξείηε ηε κείωζε ηεο ελέξγεηαο ηαιάληωζεο. Γίλνληαη L= 0,4 Η θαη C = 10-5 F Απ : 0,042 J 19.Σε κηα θζίλνπζα ειεθηξηθή ηαιάληωζε Q k = Q 0 e -Λt Η κεηαβνιή % ηνπ κεγίζηνπ θνξηίνπ ζε θάζε πιήξε ηαιάληωζε είλαη 10%. Πνηα ε % κεηαβνιή ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο. Απ: 19% 20.Σε κηα θζίλνπζα ειεθηξηθή ηαιάληωζε ηζρύεη Q k = Q 0 e -Λt ππνδηπιαζηάδεηαη λα βξείηε: Αλ ζε ρξόλν 10 s ην κέγηζην θνξηίν α) ην ρξόλν ώζηε ην κέγηζην θνξηίν λα γίλεη Q 0 /8 β) ην ρξόλν ππνδηπιαζηαζκνύ ηεο ελέξγεηαο ηεο ηαιάληωζεο. Απ: α) 30 s β) 5s ΚΕΦ.1 ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6