11. Ευστάθει ια βραχωδών πρανών Σύνοψη Αντικείμενο του 11 ου Κεφαλαίου είναι η παρουσίαση των συνηθέστερων μηχανισμών μ αστοχίας των βραχωδών πρανών και ο τρόπος υπολογισμός του αντίστοιχου συντελεστή ασφαλείας. Παρουσιάζονται τα εξιδανικευμέναα μοντέλα τεσσάρων μηχανισμών αστοχίας: ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια, ολίσθηση τεμάχους πετρώματος σε επίπεδη επιφάνεια, ολίσθηση πρισματικών τεμαχών πετρώματοςς (ολίσθηση σφήνας), ανατροπή παρακατακόρυφων δομών. Παρά το γεγονός ότι τα μοντέλα αυτά είναι πολύ απλοποιημένα, βοηθούν στην κατανόηση και δείχνουν τις σημαντικές παραμέτρους, μαζί με την ευαισθησία τους. Κατά τον σχεδιασμό και την ανάλυση της ευστάθειας μίας πραγματικής επιφάνειας εκσκαφής, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη, πέρα από αυτά τα πρωτογενή μοντέλα, και η καταλληλότητάά τους για το πραγματικό πρόβλημα. π Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1, 6, 9, 10. Τεχνική Γεωλογία. 11.1. Μορφές αστοχίας σε βραχώδη πρανή Οι μηχανισμοί αστοχίας επιφανειακών εκσκαφών σε πετρώματα σχετίζονται σε μεγάλο ποσοστό με την παρουσία και τη μηχανική συμπεριφορά των ασυνεχειών του πετρώματος, και με τηνν υφή της βραχομάζας σε σχέση με το μέγεθος της εκσκαφής. Όπως αναπτύχθηκε και στο Κεφάλαιο 1, όταν το μέγεθος των τ τεμαχών της βραχομάζας είναι της ίδιας τάξης με εκείνο της εκσκαφής και λίγες ασυνέχειες α ελέγχουν τη συμπεριφορά της, τότε η ευστάθεια της εκσκαφής θα πρέπει να αναλύεται εξετάζοντας τουςς πιθανούς μηχανισμούς ολίσθησης μεμονωμένων τεμαχών πετρώματος. Όταν η βραχομάζα είναι πολύ πυκνά διακλασμένη, ώστε τα τεμάχη του άρρηκτου πετρώματος να είναι πολύύ μικρά σε σχέση με την εκσκαφή, τότε η συμπεριφορά της μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ως ισότροπη και η βραχομάζα μπορεί να αντιμετωπισθεί ως ένα ισοδύναμο συνεχές μέσο. Κατά τη μελέτη της ευστάθειας επιφανειακών εκσκαφών, θα πρέπει αρχικά να εντοπίζεται ο βασικός μηχανισμός της πιθανής αστάθειας των πρανών της εκσκαφής.. Στο Σχήμα 150 απεικονίζονται δύο διαφορετικοί μηχανισμοί αστοχίας βραχωδών πρανών, όπως προκύπτει από την αριθμητική προσομοίωση του πρανούς με κώδικα ηλεκτρονικούη ύ υπολογιστή. Το Σχήμα 150α απεικονίζει την αστοχία ενός πρανούς σε μία πολύ ασθενή κατακερματισμένηη βραχομάζα. Τα τεμάχη άρρηκτου πετρώματος είναι μικρά σε σχέση με την εκσκαφή, και έτσι η βραχομάζα, λόγω του έντονου κατακερματισμού της, συμπεριφέρεται ως ένα ψευδοσυνεχές μέσο. Η επιφάνεια αστοχίας διέρχεται μέσα από τη βραχομάζα, και ομοιάζει με ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια, όπως συμβαίνει κατά την αστοχία πρανώνν σε συνεκτικά εδάφη. Το Σχήμα 150β, απεικονίζει την αστοχία ενός πρανούς ογκοτεμαχισμένης στρωσιγενού ς βραχομάζας, με ασυνέχειες στρώσης μεγάλης εμμονής και διακλάσεις εγκάρσια ε στηη στρώση. Η βραχομάζαα συμπεριφέρεται ως ασυνεχές μέσο και η αστοχία εμφανίζεται με ολίσθηση τεμαχών επάνω στις ασυνέχειες της στρώσης. Η κατάσταση αυτή είναι συνήθης στα ογκοτεμαχισμένα πετρώματα, όπου η επιφάνεια αστοχίας καθορίζεται από συγκεκριμένες προϋπάρχουσες ασυνέχειες. Σχήμα 150 (α) Ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια σε πολύ πτωχής ποιότητας βραχομάζα. (β) Ολίσθηση τεμαχών πετρώματος πάνω στις στρώσεις σε στρωσιγενή και εγκάρσια διακλασμένη βραχομάζα. 227
Οι τέσσερις μηχανισμοί, που παραδοσιακά θεωρούνται ως οι βασικοί μηχανισμοί αστοχίας των βραχωδών πρανών, συνοψίζονται ως εξής: Ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια. Εμφανίζεται σε πολύ πτωχής ποιότητας βραχομάζες, πυκνά διακλασμένες, με πτωχό αλληλοκλείδωμα τεμαχών, αποσαθρωμένες και χωρίς προεξέχον σύστημα ασυνεχειών. Ολίσθηση τεμάχους πετρώματος σε επίπεδη επιφάνεια. Δύναται να συμβεί όταν υπάρχει σαφής επικράτηση ενός συστήματος ασυνεχειών, συνήθως της στρώσης, που έχει διεύθυνση σχεδόν παράλληλη με το πρανές και κλίση ομόρροπη και μικρότερη της κλίσης του πρανούς. Ολίσθηση σφήνας σε δύο τεμνόμενες ασυνέχειες. Δύναται να συμβεί όταν η κλίση της ευθείας τομής των δύο επιπέδων των ασυνεχειών είναι ομόρροπη και μικρότερη από την κλίση του πρανούς. Ανατροπή παρακατακόρυφων δομών. Δύναται να συμβεί για μεγάλη κλίση ασυνεχειών των στρωμάτων, η οποία να είναι αντίρροπη προς την κλίση της επιφάνειας του πρανούς. Στην περίπτωση ολίσθησης σε καμπύλη επιφάνεια, η γεωμετρία της επιφάνειας αστοχίας είναι συνάρτηση της γεωμετρίας του πρανούς και της αντοχής της βραχομάζας. Στους υπόλοιπους τρεις βασικούς μηχανισμούς η επιφάνεια αστοχίας καθορίζεται από τις ασυνέχειες, οι οποίες δημιουργούν επίπεδα ολίσθησης και ανατροπής τεμαχών πετρώματος από την επιφάνεια της εκσκαφής. 11.2. Αναγνώριση των πιθανών μηχανισμών αστοχίας του πρανούς Οι διαφορετικές μορφές αστοχίας των βραχωδών πρανών, οι οποίες σχετίζονται με διαφορετικές γεωλογικές δομές, θα πρέπει να αναγνωρίζονται έγκαιρα, ώστε να εφαρμόζεται η κατάλληλη μέθοδος για την ανάλυση της ευστάθειας του πρανούς κατά τον σχεδιασμό. Στο στάδιο της γεωλογικής έρευνας, που προηγείται του σχεδιασμού ενός γεωτεχνικού έργου, αποτυπώνεται ο τεκτονισμός της βραχομάζας και καταγράφονται τα στοιχεία προσανατολισμού (π.χ. κλίση και διεύθυνση κλίσης) των ασυνεχειών της. Οι πόλοι των επιπέδων των ασυνεχειών της βραχομάζας προβάλλονται σε διαγράμματα στερεογραφικής προβολής, όπως αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 151α, με τη βοήθεια των οποίων, και ύστερα από την κατάλληλη στατιστική επεξεργασία, εντοπίζονται και επισημαίνονται εκείνοι οι προσανατολισμοί, όπου συγκεντρώνονται οι περισσότερες ασυνέχειες (Σχήμα 151β). Διακρίνονται έτσι οι οικογένειες ασυνεχειών της βραχομάζας, και προβάλλονται γραφικά οι μέγιστοι κύκλοι και οι πόλοι του (κατά προσέγγιση) κοινού προσανατολισμού κάθε οικογένειας (Σχήμα 151γ). Ο μηχανικός μπορεί να αξιοποιήσει αυτά τα στοιχεία για την αναγνώριση των ασυνεχειών, που δύνανται να αποτελέσουν επίπεδα αστοχίας του πρανούς, και εκείνων που είναι λιγότερο ή καθόλου πιθανό να συμμετέχουν στην αστοχία του πρανούς. Κάθε ένας από τους βασικούς μηχανισμούς αστοχίας των βραχωδών πρανών αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τυπική μορφή της στερεογραφικής προβολής του τεκτονισμού της βραχομάζας. Για την εκτίμηση της ευστάθειας, το επίπεδο της επιφάνειας του πρανούς πρέπει να συμπεριλαμβάνεται στη στερεογραφική προβολή, αφού η ολίσθηση μπορεί να συμβεί μόνο ως αποτέλεσμα της κίνησης προς την ελεύθερη επιφάνεια του μετώπου του πρανούς. Στην περίπτωση ολίσθησης τμήματος ασθενούς βραχομάζας σε καμπύλη επιφάνεια οι ασυνέχειες είναι τυχαία προσανατολισμένες και συνεπώς δεν υπάρχει κάποιο προεξέχον επίπεδο, όπου θα μπορούσε να συμβεί η ολίσθηση. Η παρουσία μίας οικογένειας ασυνεχειών με κλίση προς το μέτωπο του πρανούς και γωνία κλίσης μικρότερη από εκείνη του πρανούς, δημιουργεί τις προϋποθέσεις για αστοχία με ολίσθηση σε επίπεδη επιφάνεια. Σφηνοειδής ολίσθηση μπορεί να συμβεί κατά μήκος της ευθείας τομής των δύο επιπέδων ασυνεχειών ή σε ένα από τα δύο επίπεδα. Τέλος, η παρουσία ασυνεχειών μεγάλης κλίσης αντίρροπα προς την κλίση του πρανούς υποδεικνύει τον κίνδυνο ανατροπής. Η αναγνώριση των πιθανών μηχανισμών αστοχίας του πρανούς με τη βοήθεια της στερεογραφικής προβολής ακολουθείται από τη διερεύνηση της δυνατότητας κίνησης ογκοτεμαχίων πετρώματος προς την ελεύθερη επιφάνεια του πρανούς, χωρίς να γίνεται αναφορά στις δυνάμεις που την παράγουν. Η μελέτη της δυνατότητας κίνησης, και συνεπώς της δυνατότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου μηχανισμού αστοχίας, καλείται κινηματική ανάλυση (π.χ. Hudson & Harrison 2007). Ανάλογα με τη γεωμετρία του πρανούς και τον προσανατολισμό των ασυνεχειών, η αστοχία μπορεί να είναι κινηματικά εφικτή ή όχι. Η κινηματική ανάλυση δεν παρέχει ένα μέτρο της ασφάλειας του πρανούς έναντι αστοχίας, αλλά μία αρχική εκτίμηση για τη δυνατότητα εμφάνισης της αστοχίας. 228
Σχήμα 151 Γραφική παρουσίαση μεγάλου αριθμού υπαίθριων μετρήσεων του προσανατολισμούύ των ασυνεχειών: (α) πολική προβολή, (β) ισοπληθείς των πόλων των ασυνεχειών, (γ) κυκλογραφική προβολή των μέγιστων κύκλων σε ισοεπιφανειακό δίκτυο των μεσημβρινών. 11.3. Ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια Στα βραχώδη πρανή η αστοχία εκδηλώνεται κυρίως με ολισθήσεις σε προκαθορισμπ μένα επίπεδα ασυνεχειών, όπως στρώσεις και διακλάσεις. Εντούτοις, σε κατακερματισμένα ή αποσαθρωμένα πετρώματα, όταν δεν υπάρχουν προεξέχοντα δομικά επίπεδα, η επιφάνεια αστοχίας, με καμπυλόγραμμο σχήμα, τείνει να ακολουθήσει τη διαδρομή ελάχιστηςς διατμητικήςς αντίστασης μέσα στο πρανές (Σχήμα 152α). Η αστοχία αυτή καλείται ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια και μπορεί να εκδηλωθεί ότανν η βραχομάζα είναι αποσαθρωμένη, τα τεμάχη του πετρώματος είναι πολύ μικρά σε σχέση με το μέγεθος του πρανούς, μεε πτωχό αλληλοκλείδωμα λόγω του σχήματός τους. Συχνά, μίας τέτοιας μορφής αστοχία αναφέρεται και ως κυκλική αστοχία (circular failure), αν και η επιφάνεια αστοχίαςς είναι γενικάά καμπύλη. Τυπικά, ο τεκτονισμός της βραχομάζας θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από πολύ πυκνές και τυχαίουυ προσανατολισμού ασυνέχειες, όπωςς φαίνεται ενδεικτικά στο Σχήμα 152β. Το ακριβές σχήμα της επιφάνειας ολίσθησης καθορίζεται από τις γεωλογικές συνθήκες που επικρατούν στο πρανές. Σε ομοιογενείς ασθενείς βραχομάζες (πυκνά διακλασμένη, αποσαθρωμένη ή εδαφοποιημένη βραχομάζα) η επιφάνεια ολίσθησης τείνει να είναι κυκλική και ρηχήή και συχνά περιλαμβάνε ει μία εφελκυστική ρωγμή κοντά στο φρύδι του πρανούς. Εάν η βραχομάζα είναι στρωσιγενής ή φυλλώδης ή σχιστοποιημένη και τεκτονικώς διατμημένη, τότε η επιφάνεια ολίσθησης τείνει να λάβει μία επιμήκη μορφή σε διεύθυνση παράλληλη με τη στρώση ή τη φύλλωση. Εξάλλου, μεε την παρουσία κάποιου κυρίαρχουυ επιπέδου αδυναμίας (π.χ. ρήγμα, ενδιάμεση αργιλική στρώση) η επιφάνεια ολίσθησης τείνει να ακολουθήσει ι, 229
σε μεγάλο τμήμα του μήκους της, αυτό το επίπεδο αδυναμίας. Σε μη συνεκτικές βραχομάζες η επιφάνεια ολίσθησης μπορεί να είναι ρηχή καιι μεγάλης ακτίνας καμπυλότητας ώστε να ομοιάζει με επίπεδη. Σε άλλες περιπτώσεις, η επιφάνεια ολίσθησης μπορεί να περιορίζεται από την ύπαρξη σκληρού πετρώματος με στρώσεις μικρής κλίσης στον πόδα του τ πρανούς. Σχήμα 152 (α) Ενδεικτικό σκαρίφημα ολίσθησης τμήματος ασθενούς βραχομάζαςς σε καμπύλη επιφάνεια. (β) Στερεογραφική προβολή των πόλων των ασυνεχειών της βραχομάζας. Οι ασυνέχειες είναι τυχαία προσανατολισμένες. 11.3.1. Ανάλυση ευστάθειας Για την ανάλυση της ευστάθειας του πρανούς απαιτείται ο καθορισμός της πιθανής επιφάνειας ολίσθησης και ο προσδιορισμός του συντελεστή ασφαλείας έναντι ολίσθησης στην προκαθορισμένη καμπύλη επιφάνεια. Ο υπολογισμός του συντελεστή ασφαλείας πραγματοποιείται συνήθως στο επίπεδο, αγνοώντας την τρίτη διάσταση κατά μήκος του πρανούς. Η θεώρηση διδιάστατης επιφάνειας ολίσθησης είναιι γενικά μία προσέγγιση, καθώς οι πραγματικές επιφάνειες ε είναι γενικά τριδιάστατες. Για την εκτίμηση των συνθηκών ευστάθειας του πρανούς υπολογίζεται ο συντελεστής ασφαλείας (F) που μπορεί να ορισθεί ως ο λόγος της διαθέσιμης διατμητικής αντοχής (τ( av ) προς τηη δρώσα διατμητική τάση (τ) στην επιφάνεια ολίσθησης: = (11.255) = + tan (11.256) Εκφράζοντας τη διατμητική αντοχή της βραχομάζας σύμφωνα με το κριτήριο Mohr-Coulomb, ο συντελεστής ασφαλείας γράφεται ως: S m, φ m είναι η συνοχή και η γωνία τριβής της βραχομάζας, σ n η ορθή τάση στη επιφάνεια ολίσθησης. Υπενθυμίζεται ότι τα κριτήρια αστοχίας του πετρώματος και της βραχομάζας είναι διατυπωμέναα ως προς τις ενεργές τάσεις. Από την (11.256) προκύπτει η διατμητική τάση κατά μήκος της επιφάνειας ολίσθησης συναρτήσει του συντελεστή ασφαλείας ως: = + tan (11.257) 230
Για τον προσδιορισμό του συντελεστή ασφαλείας, η βραχομάζα επάνω από την επιφάνεια ολίσθησης χωρίζεται σε (νοητές) κατακόρυφες λωρίδες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 153α. Ο απαιτούμενος αριθμός των λωρίδων εξαρτάται από τη γεωμετρία και τη γεωλογία του πρανούς. Οι Ο δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε λωρίδα (για ξηρές συνθήκες πρανούς) φαίνονταιαι στο Σχήμα 153β και περιλαμβάνουν: το βάρος της λωρίδας (W i ), τις οριζόντιες (ορθές) και κατακόρυφες ( διατμητικές) δυνάμεις στις σ πλευρές ς της λωρίδας (E i και X i i, αντίστοιχα), την ορθή και τη διατμητική δύναμη στη βάση της λωρίδας (N i και T i, αντίστοιχα). Στην περίπτωση παρουσίας υπόγειου νερού στο πρανές θα πρέπει να συνυπολογίζονται και οι συνισταμένες δυνάμεις λόγω των υδροστατικών πιέσεων στηη βάση κάθε λωρίδας. Εκτός Ε από τοο βάρος της λωρίδας, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί από τη γεωμετρία της λωρίδας και το μοναδιαίο βάρος της βραχομάζας, όλες οι άλλες δυνάμεις είναι άγνωστες και πρέπει να υπολογιστούν έτσι ώστε να ικανοποιείται η στατική ισορροπία. Σχήμα 153 Μέθοδος των λωρίδων για την ανάλυση της ευστάθειας πρανούς έναντι ολίσθησης σε καμπύλη επιφάνεια. Η διατμητική δύναμη στη βάση της λωρίδας μπορεί να υπολογιστεί απόό τη διατμητική τάση τ και το μήκος της βάσης Δl i : = (11.258) Αντικαθιστώντας τη διατμητική τάση από τη σχέση (11.257) προκύπτει: = + tan (11.259) Η ορθή δύναμη N i ισούται με το γινόμενο της ορθής τάσης σ n επί το μήκος της βάσης της λωρίδας, δηλ. N i =σ n Δl i. Αντικαθιστώντας στην (11.259) προκύπτει: = + tan (11.260) Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι, εάνν η ορθή δύναμη και ο συντελεστήςς ασφαλείαςς μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας, τότε η διατμητική δύναμη στη βάση είναι ε γνωστή. Εντούτοις, επειδή ο αριθμός των αγνώστων δυνάμεων, που ισούται με 4n 2 (n το πλήθος των λωρίδων) ), είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των διαθέσιμων εξισώσεων ισορροπίας (=3n), το ο πρόβλημα είναι ε στατικά αόριστο, και συνεπώς για την επίλυσή του θα πρέπει να γίνουν ορισμένες παραδοχές. Οι διαθέσιμες μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος, γνωστές ως «μέθοδοι των λωρίδων», διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τις παραδοχές που υιοθετούν ώστε να καταστήσουν το πρόβλημα στατικά ορισμένο, δηλ. να μειώσουν τον αριθμό των αγνώστων ώστε να συμπίπτει με τον αριθμό των διαθέσιμων εξισώσεων ισορροπίας. Επιπλέον, διαφέρουν ως προς το ποιες εξισώσεις ισορροπίας ικανοποιούνται από την ανάλυση. Δύο πολλοί γνωστές μέθοδοι είναι η απλοποιημένηη Bishop και η Janbu. Κατά την απλοποιημένη η μέθοδο Bishop, γίνεται η παραδοχή κυκλικής επιφάνειας ολίσθησης και οριζόντιωνν δυνάμεων στις πλευρές των λωρίδων (αγνοούνται οι διατμητικές δυνάμεις στις διεπιφάνειεςς των λωρίδων). Λαμβάνοντας την ισορροπία δυνάμεων κατά την κατακόρυφη διεύθυνση και στη συνέχεια την ισορροπία ροπών για το σύνολοο 231
της ολισθαίνουσας μάζας ως προς το κέντρο τουυ κύκλου ολίσθησης, προκύπτει η εξίσωση υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας ( π.χ. Duncan & Wright 2005). Η μέθοδος Janbu επιτρέπει την ανάλυσηη καμπύλης επιφάνειας οποιουδήποτο τε σχήματος. Όπως και η μέθοδος Bishop, επίσης δέχεται οριζόντιες μόνο δυνάμεις στις πλευρές των λωρίδων, οι οποίες, επιπλέον, είναι ίσες σε όλες τις λωρίδες. Η ανάλυση ικανοποιεί την κατακόρυφη ισορροπία δυνάμεων. Η μέθοδος Janbu δίνει τιμές του συντελεστή ασφαλείας με ικανοποιητική ακρίβεια στις σ περιπτώσεις ρηχών επιφανειώνν ολίσθησης, που θεωρούνται τυπικέςς σε βραχομάζες με γωνία τριβής μεγαλύτερη μ από 30 ο. Η ακρίβεια της μεθόδου μειώνεται σημαντικά για βαθιές επιφάνειες ολίσθησης σε βραχομάζες με χαμηλή γωνία τριβής. Οι εξισώσεις της μεθόδους δίνονται σε πολλά γνωστά εγχειρίδια εδαφομηχανικής (π.χ. Duncan & Wright 2005). Για τον έλεγχο της ευστάθειας του πρανούς θα πρέπει να εξετάζονται όλες οι πιθανές επιφάνειες ολίσθησης υπολογίζοντας για κάθε μία ξεχωριστά τον συντελεστή ασφαλείας,, και να εντοπίζεται η δυσμενέστερη εξ αυτών, για την οποία προκύπτει η ελάχιστη τιμή του συντελεστήή ασφαλείας. Σήμερα, για την υπολογιστική διαδικασία χρησιμοποιούνταιι προγράμματα Η/Υ, τα οποία ενσωματώνουν τις τ εξισώσεις κάθε μεθόδου μαζί με τις αντίστοιχες παραδοχές. Στο Σχήμα 154 δίνεται εικόναα από τα αποτελέσματαα υπολογισμού με πρόγραμμα Η/Υ του συντελεστήή ασφαλείας πρανούς σε ασθενή βραχομάζα. Για την επίλυση επιλέχθηκε η απλοποιημένη μέθοδος Janbu. Το πρόγραμμα επέλυσε τις εξισώσεις της μεθόδου για κυκλικές επιφάνειες ολίσθησης με κέντρα εντός του προκαθορισμένου τετραγώνου και υπολόγισε το συντελεστή ασφαλείας για κάθε μία από αυτές. Στην εικόνα φαίνεται ο δυσμενέστερος κύκλος ολίσθησης, δηλ. αυτός που δίνει το χαμηλότερο συντελεστή ασφαλείας, F= =1.65. Η τιμή του συντελεστή ασφαλείας υποδηλώνει ότι το πρανές για τη συγκεκριμένη γεωμετρία και με τιςς δεδομένες ιδιότητες τηςς βραχομάζας είναι ευσταθές. Σχήμα 154 Εικόνα αποτελεσμάτων υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας για πρανές ασθενούς βραχομάζας. Η επίλυση έγινε με το πρόγραμμα SLIDE του οίκου λογισμικού λ Rocscience. 2322
Οι μέθοδοι των λωρίδων εμπίπτουν στη γενικότερη κατηγορία μεθόδων υπολογισμού, που είναι γνωστές ως μέθοδοι οριακής ισορροπίας. Οι μέθοδοι αυτές έχουν χρησιμοποιηθεί εκτεταμένα στο παρελθόν κυρίως λόγω της σχετικής απλότητάς τους. Με τον προγραμματισμό των εξισώσεων επίλυσης σε κώδικες Η/Υ (ή ακόμη και σε ένα απλό υπολογιστικό φύλλο εργασίας), δίνεται η δυνατότητα στον μηχανικό να αξιολογήσει την ευαισθησία που παρουσιάζει ο σχεδιασμός του στη μεταβολή των γεωτεχνικών παραμέτρων. Η πολυετής χρήση των μεθόδων, κυρίως για την εκτίμηση της ευστάθειας εδαφικών πρανών, έχει οδηγήσει στη διατύπωση προτεινόμενων τιμών του συντελεστή ασφαλείας για διάφορες περιπτώσεις, ώστε αφενός να διασφαλίζεται η ευστάθεια του πρανούς λαμβάνοντας υπόψη και τις διάφορες αβεβαιότητες, και αφετέρου να περιορίζονται οι παραμορφώσεις εντός αποδεκτών ορίων. Ωστόσο, υστερούν σε ακρίβεια και ευελιξία έναντι άλλων μεθόδων, όπως είναι οι αριθμητικές μέθοδοι, ειδικότερα για προβλήματα ευστάθειας που περιλαμβάνουν και μέτρα στήριξης της βραχομάζας. 11.3.2. Υπολογισμός συντελεστή ασφαλείας από διαγράμματα Μία γρήγορη εκτίμηση του συντελεστή ασφαλείας, για απλές περιπτώσεις, μπορεί να γίνει με τη χρήση διαγραμμάτων (Hoek & Bray 1981), τα οποία συσχετίζουν τον συντελεστή ασφαλείας με το μοναδιαίο βάρος του πετρώματος, τις παραμέτρους αντοχής της βραχομάζας και το ύψος και τη γωνία κλίσης του πρανούς. Η χρήση αυτών των διαγραμμάτων προϋποθέτει ότι ικανοποιούνται οι επόμενες παραδοχές: Η βραχομάζα είναι ομοιογενής και ισότροπη, και η διατμητική της αντοχή καθορίζεται από το κριτήριο Mohr-Coulomb. Η επιφάνεια ολίσθησης είναι κυκλική και διέρχεται από τον πόδα του πρανούς. Υφίσταται εφελκυστική ρωγμή στην άνω επιφάνεια ή στο μέτωπο του πρανούς. Η θέση της εφελκυστικής ρωγμής και της επιφάνειας ολίσθησης είναι εκείνες που ελαχιστοποιούν τον συντελεστή ασφαλείας για τη συγκεκριμένη γεωμετρία πρανούς και για δεδομένες συνθήκες υπόγειου νερού. Οι συνθήκες υπόγειου νερού είναι προκαθορισμένες. Οι Hoek & Bray δίνουν διαγράμματα για πέντε περιπτώσεις: ξηρές συνθήκες, κορεσμένο πρανές και τρεις διαφορετικές γεωμετρίες της επιφάνειας του υπόγειου νερού. Τα διαγράμματα ισχύουν για μοναδιαίο βάρος πετρώματος 18.9 kn/m 3. Εάν το μοναδιαίο βάρος του πετρώματος διαφέρει σημαντικά, μπορεί να απαιτείται ακριβής ανάλυση. Για τον υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας με τη χρήση των διαγραμμάτων των Hoek & Bray ακολουθούνται τα εξής βήματα: (1) Καθορίζονται οι συνθήκες υπόγειου νερού, επιλέγοντας μεταξύ των πέντε περιπτώσεων που αναφέρθηκαν παραπάνω. Στη συνέχεια επιλέγεται το αντίστοιχο διάγραμμα από το οποίο θα προκύψει ο συντελεστής ασφαλείας. (2) Καθορίζονται οι παράμετροι αντοχής της βραχομάζας του πρανούς. Στο βήμα αυτό μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι εμπειρικές μέθοδοι εκτίμησης της αντοχής της βραχομάζας, οι οποίες παρουσιάσθηκαν στο κεφάλαιο 10. (3) Υπολογίζεται ο αδιάστατος συντελεστής c/[γhtan(φ)] και σημειώνεται η τιμή του στην εξωτερική κυκλική κλίμακα του αντίστοιχου διαγράμματος. c=s m, φ=φ m, γ είναι οι παράμετροι διατμητικής αντοχής και το μοναδιαίο βάρος της βραχομάζας αντίστοιχα. Η είναι το ύψος του πρανούς. (4) Με αφετηρία την τιμή του αδιάστατου συντελεστή c/[γhtan(φ)] ακολουθείται η ακτινική γραμμή μέχρι την τομή με την καμπύλη που αντιστοιχεί στη γωνία κλίσης του πρανούς. (5) Υπολογίζονται οι λόγοι tan(φ)/f και c/(γ H F), ο ένας εκ των οποίων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας F. 11.3.3. Υπολογισμός με αριθμητική προσομοίωση Η αριθμητική προσομοίωση είναι μία εναλλακτική μέθοδος υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας του πρανούς, η οποία μπορεί να δώσει πολύτιμες πληροφορίες για τη συμπεριφορά της βραχομάζας και των στοιχείων ενίσχυσης και στήριξής της, ειδικότερα σε προβλήματα με πολύπλοκη γεωμετρία και γεωλογία. Με τον όρο αριθμητική προσομοίωση νοείται η εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας, κίνησης, ροής, μετάδοσης θερμότητας, κλπ., του προβλήματος. Σήμερα, οι αριθμητικές μέθοδοι τείνουν να επικρατήσουν έναντι των εμπειρικών και αναλυτικών μεθόδων, που χρησιμοποιούνταν στο παρελθόν. Διακρίνονται σε εκείνες που επιλύουν το πρόβλημα 233
θεωρώντας τη βραχομάζα ως συνεχές υλικό, και σε εκείνες που συμπεριλαμβάνουν στους αλγόριθμους επίλυσης τόσο τα διακριτά τεμάχη άρρηκτου πετρώματος όσο και τις ασυνέχειες που τα διαχωρίζουν. Στην πρώτη κατηγορία περιλαμβάνονται, μεταξύ άλλων, οι μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων (finite elements method, FEM) και πεπερασμένων διαφορών (finite differences method, FDM). Στη δεύτερη ανήκουν η μέθοδος διακριτών στοιχείων (distinct elements method, DEM) και η μέθοδος ανάλυσης ασυνεχούς παραμόρφωσης (discontinuous deformation analysis, DDA). Η πρώτη κατηγορία μεθόδων προτιμάται για την προσομοίωση πυκνά διακλασμένης ή ασθενούς ή πολύ αποσαθρωμένης βραχομάζας. Η δεύτερη κατηγορία είναι περισσότερο κατάλληλη για την προσομοίωση ογκοτεμαχισμένων πετρωμάτων, όπου η αστοχία καθορίζεται κυρίως από τη γεωμετρία και τις ιδιότητες των ασυνεχειών. Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος ευστάθειας βραχώδους πρανούς με αριθμητική προσομοίωση ξεκινάει με την επιλογή και απεικόνιση αρχικά του δοθέντος προβλήματος με τημορφή ενός μοντέλου, στο οποίο σημειώνονται τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά. Στη συνέχεια η περιοχή του μοντέλου, που καταλαμβάνεται από τη βραχομάζα, διακριτοποιείται, χωρίζεται δηλαδή σε ζώνες ή στοιχεία του ίδιου ή διαφορετικού μεγέθους και γνωστής γεωμετρίας (τρίγωνα ή τετράπλευρα σε δυο διαστάσεις, πυραμίδες ή εξάεδρα πρίσματα σε τρεις διαστάσεις). Η συμπεριφορά των στοιχείων καθορίζεται από την καταστατική σχέση τάσης-τροπής, σύμφωνα με το μοντέλο συμπεριφοράς του πετρώματος, που θεωρείται περισσότερο κατάλληλο στην κάθε περίπτωση. Κατά την επιλογή της κατάλληλης καταστατικής σχέσης λαμβάνεται υπόψη ο χαρακτηρισμός της βραχομάζας από πλευράς συμπεριφοράς (π.χ. γραμμικά ελαστική, ελαστοπλαστική, ψαθυρή κλπ.) και ανισοτροπίας και επιλέγεται εκείνο το κριτήριο αστοχίας, που θεωρείται ότι περιγράφει καλύτερα την κορυφαία αντοχή της βραχομάζας. Στη συνέχεια προσδίδονται στη βραχομάζα (ή στο άρρηκτο πέτρωμα και στις ασυνέχειες) οι κατάλληλες ιδιότητες, που θα πρέπει να είναι γνωστές είτε από την προγενέστερη γεωτεχνική έρευνα είτε από εκτιμήσεις. Καθορίζονται οι τάσεις του φυσικού εντατικού πεδίου και οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος, οι οποίες μπορεί να έχουν τη μορφή κινηματικών περιορισμών (απαγόρευση μετατόπισης ή στροφής) ή προκαθορισμένων εντατικών συνθηκών κατά μήκος των συνόρων του μοντέλου (ή και στο εσωτερικό του). Στη συνέχεια το μοντέλο επιλύεται αριθμητικά. Η διαδικασία της επίλυσης εξαρτάται από τη χρησιμοποιούμενη μέθοδο και τον αντίστοιχο αλγόριθμο επίλυσης. Το θεωρητικό υπόβαθρο και οι λεπτομέρειες εφαρμογής των διαφόρων αριθμητικών μεθόδων δεν αναπτύσσονται εδώ, καθώς αυτό εκπίπτει του σκοπού του παρόντος. Δίνονται μόνο τα απαραίτητα εκείνα στοιχεία για την κατανόηση της μεθοδολογίας υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας σε βραχώδη πρανή ασθενούς βραχομάζας, η οποία θεωρείται ως συνεχές (ή ισοδύναμο συνεχές) μέσο. Στην παρ. 11.3.1 ο συντελεστής ασφαλείας ορίσθηκε ως ο λόγος της διαθέσιμης διατμητικής αντοχής προς τη δρώσα διατμητική τάση στην επιφάνεια ολίσθησης. Εάν η διατμητική αντοχή είναι ίση με τη δρώσα διατμητική τάση, τότε από την εξίσωση (11.255) προκύπτει F=1.0 και η ισορροπία του πρανούς είναι οριακή. Η εξίσωση (11.255) γράφεται αλλιώς ως: = / (11.261) Σύμφωνα με την εξίσωση (11.261), F είναι ο συντελεστής με τον οποίο πρέπει να μειωθεί η διατμητική αντοχή της βραχομάζας, ώστε να προκληθεί στο πρανές κατάσταση οριακής ισορροπίας. Εάν η διατμητική αντοχή της βραχομάζας περιγράφεται από το κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb, η εξίσωση (11.261) γράφεται ως: = + tan = + tan (11.262) Ο υπολογισμός του συντελεστή ασφαλείας μπορεί να πραγματοποιηθεί με αριθμητική προσομοίωση. Η μεθοδολογία αναφέρεται γενικά ως «μείωση διατμητικής αντοχής» (shear strength reduction, SSR) ή «μείωση c-φ» (c-φ reduction). Κατ αυτήν, οι παράμετροι διατμητικής αντοχής της βραχομάχας μειώνονται σταδιακά κατά ένα συντελεστή SRF (συντελεστής μείωσης αντοχής, strength reduction factor), σύμφωνα με τις σχέσεις (π.χ. Griffiths & Lane 1999, Rocscience 2004): = ; tan = tan (11.263) 234
Επιλύεται το αριθμητικό μοντέλο για κάθε τιμήή SRF και αξιολογείται η συμπεριφορά του. Ο συντελεστής ασφαλείας θεωρείται ίσος με τον συντελεστή SRF κατά την οριακή ισορροπία του πρανούς. Σχήμα 155 (a) Αριθμητικό μοντέλο προσομοίωσης πρανούς σε ασθενή βραχομάζα. Φαίνεται η διακριτοποίηση σε τριγωνικά στοιχεία και οι συνοριακές συνθήκες στα όρια του μοντέλου. (β) Μετατοπίσεις της βραχομάζας, που υπολογίσθηκαν από την επίλυση του αριθμητικού μοντέλου. Χρησιμοποιήθηκε ο κώδικας RS2 του οίκου Rocscience. 235
Για την παρουσίαση της μεθοδολογίας, εξετάζεται η συνολική ευστάθεια (και όχι οι ενδεχόμενες τοπικές αστοχίες) πρανούς ύψους H=30 m και γωνίας κλίσης a=60 ο σε βραχομάζα με παραμέτρους διατμητικής αντοχής S m =150 kpa, φ m =20 ο (π.χ. μέσες τιμές παραμέτρων διατμητικής αντοχής βραχομάζας κατηγορίας IV κατά RMR) και μέτρο παραμορφωσιμότητας E m =2000 MPa. Στο Σχήμα 155 φαίνεται το αριθμητικό μοντέλο που προετοιμάσθηκε σε κώδικα πεπερασμένων στοιχείων. Στο Σχήμα 155α η βραχομάζα έχει διακριτοποιηθεί σε πεπερασμένα στοιχεία τριγωνικού σχήματος, στα οποία έχουν αποδοθεί οι ιδιότητες της. Καθώς τα όρια του μοντέλου βρίσκονται αρκετά μακριά από την περιοχή του πρανούς, είναι λογικό να υποτεθεί ότι δεν θα επηρεάζονται από την παρουσία του. Έτσι, στις κορυφές των τριγωνικών στοιχείων (κόμβοι), που βρίσκονται στο αριστερό, στο δεξιό και στο κάτω όριο του μοντέλου έχουν τοποθετηθεί στηρίξεις, που αντιστοιχούν σε απαγόρευση της οριζόντιας και κατακόρυφης μετακίνησης. Αρχικά, επιλύεται το αριθμητικό μοντέλο για τις δεδομένες παραμέτρους αντοχής και παραμορφωσιμότητας της βραχομάζας. Στο Σχήμα 155β φαίνονται οι υπολογιζόμενες τιμές του μέτρου του διανύσματος της μετατόπισης σε κάθε θέση εντός της βραχομάζας. Συνεκτιμώντας τις υπολογιζόμενες μετατοπίσεις, μαζί με άλλες παραμέτρους απόκρισης του αριθμητικού μοντέλου (π.χ. την επίτευξη της κορυφαίας αντοχής στα στοιχεία πεπερασμένων διαφορών, τη μέγιστη διατμητική τροπή, κλπ.) μπορεί να εκτιμηθεί η κατάσταση του πρανούς από πλευράς ευστάθειας. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση το πρανές θεωρείται ευσταθές. Το ερώτημα που τίθεται είναι εάν ο συντελεστής ασφαλείας του πρανούς είναι επαρκής. Στη συνέχεια, το αριθμητικό μοντέλο επιλύεται μειώνοντας τις παραμέτρους αντοχής της βραχομάζας για διάφορες τιμές του συντελεστή μείωσης της διατμητικής αντοχής, σύμφωνα με την εξίσωση (11.262). Για την κάθε περίπτωση αξιολογείται η συμπεριφορά του μοντέλου, ώστε να εντοπισθεί ο κρίσιμος συντελεστής ασφαλείας. Στον κώδικα Η/Υ, που χρησιμοποιήθηκε για αυτό το παράδειγμα, η υπολογιστική διαδικασία είναι τυποποιημένη, και το πρόγραμμα δίνει έναν κρίσιμο συντελεστή μείωσης της αντοχής SRF=1.55. Για το ίδιο παράδειγμα η μέθοδος Janbu έδωσε συντελεστή ασφαλείας 1.65. Στο Σχήμα 156 δίνεται η κατανομή της μέγιστης διατμητικής τροπής σε κάθε θέση εντός της βραχομάζας για SRF=1.55. Από αυτό μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέγιστη διατμητική τροπή αναπτύσσεται κατά μήκος καμπύλης επιφάνειας, η γεωμετρία της οποίας είναι παρόμοια με τον κρίσιμο κύκλο ολίσθησης που έδωσε η επίλυση με τη μέθοδο Janbu (βλ. Σχήμα 154). Η μέθοδος SSR (ή c-f reduction) σήμερα είναι ενσωματωμένη ως αυτοματοποιημένη διαδικασία σε αρκετούς γεωτεχνικούς κώδικες πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένων διαφορών. Μπορεί ωστόσο να εφαρμοσθεί με οποιονδήποτε κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ή πεπερασμένων διαφορών, αρκεί αυτός να ενσωματώνει τα κατάλληλα κριτήρια αστοχίας για τη βραχομάζα. Επιπλέον, σημειώνεται ότι δεν είναι απαραίτητο να μειώνονται ταυτόχρονα όλες οι παράμετροι αντοχής της βραχομάζας, εάν κατά την κρίση του μηχανικού αυτό δεν είναι ρεαλιστικό. Η μέθοδος παρουσιάζει αρκετά πλεονεκτήματα, μεταξύ των οποίων είναι η δυνατότητα προσδιορισμού του πεδίου των μετατοπίσεων στη βραχομάζα και των εντατικών μεγεθών των στοιχείων ενίσχυσης και στήριξης, τόσο κατά τις συνθήκες λειτουργίας, όσο και κατά την οριακή κατάσταση. Ένα από τα μειονεκτήματα της μεθόδου είναι ότι δεν υπάρχει ακόμη μεγάλη συσσωρευμένη εμπειρία από την εφαρμογή της σε πρακτικά προβλήματα ευστάθειας πρανών. Για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας της μεθόδου, οι Hammah et al. (2005) υπολόγισαν τον συντελεστή ασφαλείας με τη μέθοδο SSR για περισσότερες από 30 περιπτώσεις μελέτης πρανών από τη διεθνή βιβλιογραφία. Στη συνέχεια σύγκριναν τα αποτελέσματα, με εκείνα που προκύπτουν από τις μεθόδους οριακής ισορροπίας, διαπιστώνοντας ότι δίνουν παρόμοιες τιμές του συντελεστή ασφαλείας. Μία από τις δυσκολίες εφαρμογής της μεθόδου είναι η επιλογή των κατάλληλων κριτηρίων αξιολόγησης της κατάστασης ισορροπίας του πρανούς. Κατά τους Griffiths & Lane (1999), ένα κατάλληλο κριτήριο μπορεί να είναι η σύγκλιση ή μη των αποτελεσμάτων της επίλυσης εντός ενός προκαθορισμένου οριακού σφάλματος. Εάν ο αλγόριθμος της επίλυσης δεν έχει συγκλίνει ύστερα από πολλές επαναλήψεις του υπολογισμού, τότε δεν έχει υπολογιστεί μία στατικά αποδεκτή εντατική κατάσταση, που να ικανοποιεί ταυτόχρονα και το κριτήριο αστοχίας της βραχομάζας. Συνήθως αυτή η κατάσταση συνοδεύεται από ραγδαία αύξηση των μετατοπίσεων στη βραχομάζα. Οι Griffiths & Lane (1999) παρουσιάζουν τα αποτελέσματά τους με διαγράμματα μεταβολής του αδιάστατου συντελεστή Ε m δ max /(γh 2 ) ως προς τον συντελεστή SRF. Ε m είναι το μέτρο παραμορφωσιμότητας, δ max η μέγιστη τιμή του μέτρου της μετατόπισης στους κόμβους του μοντέλου, γ το μοναδιαίο βάρος και Η το ύψος του πρανούς. Η διερεύνηση πραγματοποιήθηκε για εδαφικά πρανή, όμως με ελαφρές τροποποιήσεις μπορεί να εφαρμοσθεί και σε πρανή ασθενούς βραχομάζας. Τέτοια γραφήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με την παραμόρφωση της γεωμετρίας του πρανούς 236
και την απεικόνιση των διανυσμάτωνν της μετατόπισης για την αξιολόγηση του συντελεστή ασφαλείας και του μηχανισμού αστοχίας του πρανούς. Σχήμα 156 Η μέγιστη διατμητική τροπή στα τριγωνικάά πεπερασμέναα στοιχεία αναπτύσσεται κατά μήκος καμπύλης επιφάνειας, που διέρχεται από τον πόδα του τ πρανούς. Η επιφάνεια είναι παρόμοιαα με τον κρίσιμο κύκλο ολίσθησης που υπολογίσθηκε με ανάλυση οριακής με τη μέθοδο Janbuu (βλ. Σχήμα 154). 11.4. Ολίσθηση τεμάχους σε επίπεδηη επιφάνεια Σε ογκοτεμαχισμένα πετρώματα οι πιθανοί μηχανισμοί αστοχίας καθορίζονται από τηη γεωμετρία του πρανούς και από τον προσανατολισμό των ασυνεχειών.. Συνήθως, το δίκτυο των ασυνεχειών του πετρώματος, σε συνδυασμό με την ελεύθερη επιφάνεια του πρανούς, σχηματίζουν πρισματικά τεμάχη διαφόρων μεγεθών, τα οποία δύνανται να ολισθήσουν προς τον κενό χώρο υπό της επίδραση της βαρύτητας. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η ολίσθηση των τεμαχών συμβαίνει σε επίπεδα ασυνεχειών μεγάλης εμμονής με δυσμενή προσανατολισμό ως προς την επιφάνεια του πρανούς. Ο μηχανισμός αυτός αναφέρεται ως «ολίσθηση σε επίπεδη επιφάνεια» ή πιο συνοπτικά ως «επίπεδη ολίσθηση» ή «επίπεδη αστοχία». Η επίπεδη ολίσθησηη εμπίπτει στη γενικότερη κατηγορίαα των μηχανισμών αστοχίας με μεταφορική κίνηση. Σε ένα βραχώδες πρανές, οι επιφάνειες επίπεδης ολίσθησης είναι συνήθως δομικές ασυνέχειες, α όπως επίπεδα στρώσης, ρήγματα, διακλάσεις ή η επιφάνεια επαφής ς του υγιούς βραχώδους υποβάθρου με το υπερκείμενο αποσαθρωμένο πέτρωμα. Κατά τους Hoek & Bray (1981) και τους Wyllie & Mah (2004), ολίσθηση σε επίπεδη επιφάνεια ε δεν εμφανίζεται πολύ συχνά στην πράξη, καθώς, για να συμβεί, θα πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχροναα ορισμένες αυστηρές γεωμετρικές προϋποθέσεις. Θεωρούν ωστόσο ότι η εξέταση αυτού του μηχανισμού είναι χρήσιμη, διότι καταδεικνύει την ευαισθησία της ευστάθειας του πρανούς στη διατμητική αντοχή του επιπέδου ολίσθησης και στις συνθήκες υπόγειου νερού. Εντούτοις, στα πρανή π των μεγάλων επιφανειακώνε ν εκμεταλλεύσεων, εξαιτίας της συνεχούς μεταβολής του προσανατολισμού και τουυ ύψους των πρανών, η επίπεδη αστοχία είναι περισσότερο συχνή. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τα στατιστικά στοιχεία των παρατηρούμενων αστοχιών. Για παράδειγμα, οι Stead & Scoble (1983) αναγνώρισαν την επίπεδη ολίσθησηη ως τη δεύτερη συχνότερα παρατηρούμενη αστοχία σε 226 περιπτώσεις μελέτης επιφανειακώνε ν ανθρακωρυχείων στη Μεγάλη Βρετανία. Εξάλλου, κατά τον Goodman (1989), η απλή μαθηματική διατύπωση των εξισώσεων υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας για την επίπεδη ολίσθηση δίνει τη 237
δυνατότητα απλών ανάστροφων αναλύσεων απόό παρατηρούμενες αστοχίες πρανώνν με σκοπό την τ εκτίμησηη της διατμητικής αντοχής των ασυνεχειών επιτόπου. Για να συμβεί ολίσθηση τεμάχους πετρώματος σε μία επίπεδηη επιφάνεια σε βραχώδες πρανές, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες (π.χ. Hoek & Bray 1981, Kliche 1999): α) Η παράταξη του επιπέδου ολίσθησης πρέπει να είναιι σχεδόν παράλληλη με την επιφάνεια του πρανούς. Η μέγιστη απόκλιση είναι περίπου ±20 ο. β) Το επίπεδο ολίσθησης θα α πρέπει να τέμνει την επιφάνεια του πρανούς, δηλαδή να έχει κλίση μικρότερη από την κλίση του πρανούς (Σχήμα 157). γ) Η γωνία κλίσης του επιπέδου ολίσθησης πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη γωνία τριβής. δ) Το επίπεδο ολίσθησης ή να τέμνει ι την άνω επιφάνεια του πρανούς (Σχήμα 157) ή να καταλήγει σε κάποιαα κατακόρυφη ή παρακατακόρυφη ασυνέχεια στο πίσω μέρος του πρανούς ή σε προγενέστερα σχηματισμένη εφελκυστική ρωγμή. ε) ) Να υπάρχουν πλευρικές επιφάνειες (π.χ. διακλάσεις) που να ελευθερώνουν το τέμαχος του πετρώματος. Σχήμα 157 Προοπτική απεικόνιση ολίσθησης τεμάχους σε επίπεδη επιφάνεια. 11.4.1. Υπολογισμός του συντελεστή ασφαλείας Στην παρ. 11.3.1 ο συντελεστής ασφαλείας (F) ορίσθηκε ως ο λόγος της διαθέσιμης διατμητικής αντοχής (τ av v) προς τη δρώσα διατμητική τάση (τ) στην επιφάνεια ολίσθησης. Στο Σχήμα 158α τέμαχος πετρώματος τείνει να ολισθήσει, υπό την επίδραση του βάρους του, σε επίπεδη επιφάνεια. Για την ανάλυση της ευστάθειας λαμβάνεται μία λωρίδα μοναδιαίου μήκους. Θεωρώντας ότι η διατμητική αντοχή του επιπέδου ολίσθησης οφείλεται αποκλειστικά στην τριβή, τότε η εξίσωση (11.255) γράφεται ως: = = tan (11.264) σ n είναι η ορθή τάση στην επιφάνεια ολίσθησης. Εάν το εμβαδό της επιφάνειας ολίσθησης είναι Α, η ορθή τάση μπορεί να υπολογιστεί από τη συνιστώσα του βάρους του τεμάχους κάθετα προς την επιφάνεια ολίσθησης: = cos (11.265) 238
Ομοίως, η διατμητική τάση μπορείί να υπολογιστεί από τη συνιστώσα του βάρους παράλληλα προς την επιφάνεια ολίσθησης: = sin (11.266) Αντικαθιστώντας τις (11.265) και (11.266) στην (11.264) προκύπτει: = tan cos = sin tan = tan tan (11.267) Σχήμα 158 (a) Τέμαχος πετρώματος πουυ τείνει να ολισθήσει υπό την επίδραση του βάρους του. (β) Στο τέμαχος ασκείται και εξωτερική δύναμη Ε. Στο Σχήμα 158β στο τέμαχος ασκείται εκτός από το βάρος του και μία εξωτερική δύναμη Ε υπό γωνία γ ως προς την οριζόντιο. Ακολουθώντας τη μεθοδολογία των Kovári & Fritz (1975), η δύναμη Ε αναλύεται σε συνιστώσες κάθετα και παράλληλαα προς την επιφάνεια ολίσθησης. Η ορθή καιι διατμητική τάση στην επιφάνεια ολίσθησης γράφονται ως: = cos +sin( ( +) (11.268) και = sin cos( +) (11.269) Αντικαθιστώντας τις (11.268) και (11.269) στην (11.264) προκύπτει: 239
= tan = cos +sin( +) sin cos( +) tan (11.270) Στην περίπτωση που στη διατμητική αντοχή του επιπέδου ολίσθησης συνεισφέρει εκτός από την τριβή και μία συνιστώσα συνοχής, τότε η εξίσωση (11.264) γίνεται (για μοναδιαίο μήκος πρανούς): = + tan = +cos +sin( +)tan sin cos( +) (11.271) Από τις εξισώσεις (11.270) ή (11.271) μπορεί να υπολογιστεί ο συντελεστής ασφαλείας έναντι ολίσθησης τεμάχους σε επίπεδη επιφάνεια υπό την επίδραση του βάρους του και εξωτερικής δύναμης Τ. Οι εξισώσεις είναι ανεξάρτητες από το σχήμα του τεμάχους, αρκεί να είναι δυνατός ο υπολογισμός του βάρους του και η επιφάνεια ολίσθησης να είναι επίπεδη. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την περίπτωση του πρανούς που εικονίζεται στο Σχήμα 157 ή όταν το επίπεδο ολίσθησης τέμνει κάποια κατακόρυφη ή παρακατακόρυφη ασυνέχεια (π.χ. εφελκυστική ρωγμή) στο πάνω μέρος του πρανούς ή όταν η άνω επιφάνεια του πρανούς είναι κεκλιμένη, κλπ. Η εξωτερική δύναμη Τ αντιπροσωπεύει την προσφερόμενη δύναμη λόγω τοποθέτησης προεντεταμένων αγκυρίων. Εάν Τ=0, τότε η εξίσωση (11.270) ταυτίζεται με την (11.267). Το βάρος του τεμάχους ανά μέτρο μήκος πρανούς μπορεί να υπολογιστεί από το γινόμενο του μοναδιαίου βάρους ρg επί το εμβαδό του τετραπλεύρου που το περικλείει. Το τελευταίο μπορεί να υπολογιστεί από τις συντεταγμένες των κορυφών του (1, 2, 3 και 4 στο Σχήμα 159), θεωρώντας ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων με αρχή την κορυφή 1. Ο τύπος υπολογισμού του βάρους είναι: = 2 [ ( ) + ( ) + ( ) + ( )] (11.272) Για τη γεωμετρία στο Σχήμα 159 είναι: = =0 =/tan ; = =/tan + ; =+tan =/tan + ; =/tan +tan Η επιφάνεια Α του τεμάχους ανά μέτρο μήκους πρανούς είναι: = / tan + / cos (11.273) Στη γενική περίπτωση, εκτός από τη δύναμη Τ θα ασκούνται και άλλες δυνάμεις, όπως οι υδροστατικές δυνάμεις λόγω της πίεσης του νερού στο επίπεδο ολίσθησης ή στην εφελκυστική ρωγμή ή η συνισταμένη της οριζόντιας και κατακόρυφης συνιστώσας της σεισμικής δράσης, όταν χρησιμοποιείται η «ψευδοστατική» μέθοδος. Η περίπτωση αυτή μπορεί να αντιμετωπισθεί με τις ίδιες εξισώσεις, εάν όλες οι εξωτερικές δυνάμεις αναλυθούν κατά τη διεύθυνση της δύναμης Τ και του βάρους του τεμάχους. Στη συνέχεια χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις (11.270) ή (11.271) με τροποποιημένες τις δυνάμεις Τ και W ως εξής: = cos + sin( +) sin cos( +) tan (11.274) = + cos + sin( +)tan sin cos( +) (11.275) 240
Η βασική υπόθεση για τη χρήση των εξισώσεων είναι ότι όλες οι εξωτερικές δυνάμεις δρουν στο κέντρο βάρους του τεμάχους. Δεν λαμβάνονται υπόψη ροπές που θα μπορούσαν να προκαλέσουν περιστροφή του τεμάχους. Εντούτοις, σε πρανή μεγάλης κλίσηςς με στρώσεις επίσης μεγάλης κλίσης πρέπει να ελέγχεται ο κίνδυνος ανατροπής. Για την παρουσίαση της μεθοδολογίας, στο Σχήμα 159 δίνεται μία συνήθης περίπτωση, η οποία εξετάζεται κατά τον σχεδιασμό βραχωδών πρανών έναντι του κινδύνουυ ολίσθησηςς σε επίπεδη επιφάνεια. Σχήμα 159 Τέμαχος πετρώματος που τείνει να ολισθήσει υπό την επίδραση του βάρους του. Το πρανές και η άνω επιφάνεια έχουν γωνίες κλίσης β f και β s αντίστοιχα. Το επίπεδο ολίσθησης έχει γωνία κλίσης β p. Στο τέμαχος ασκούνται οιι εξής δυνάμεις: Το βάρος του W. Η δύναμη U 1 λόγω της πίεσης του νερού στην επιφάνεια ολίσθησης. Προς το τ παρόν δεν εξετάζεται η κατανομή της πίεσης, η οποία θα πρέπει να είναι γνωστήή για τον υπολογισμό της U 1. Η δύναμη U 2 λόγω της τ πίεσης του νερού στην εφελκυστική ρωγμή. Ομοίως, η κατανομή της πίεσης του νερού θα πρέπει να είναι γνωστή για τον υπολογισμό της U 2. Η δύναμη Τ λόγω τοποθέτησης τ ς προεντεταμένων αγκυρίων για τη στήριξη του τεμάχους. Η δύναμη Τ δρα σε γωνία γ από τηνν οριζόντιο. 241
Η δύναμη Ε λόγω σεισμικών δράσεων, η οποία θεωρείται ότι είναι οριζόντια. Στην πράξη, το μέγεθος και η διεύθυνση εφαρμογής της σεισμικής δράσης καθορίζονται με βάση τον εφαρμοζόμενο κανονισμό (π.χ. τον Ελληνικό Αντισεισμικό Κανονισμό ή τον Ευρωκώδικα 8). Στην περίπτωση όπου στους υπολογισμούς υπεισέρχεται κατακόρυφη συνιστώσα, απαιτείται μικρή τροποποίηση των εξισώσεων παρακάτω. Όλες οι δυνάμεις θεωρείται ότι ασκούνται στο κέντρο βάρους του τεμάχους. Για τον υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας αναλύονται οι δυνάμεις κατά τη διεύθυνση της δύναμης Τ και του βάρους του τεμάχους. = sin cos ; = cos + cos (11.276) = cos() ; = tan (11.277) = cos() ; = tan (11.278) Οι τροποποιημένες δυνάμεις W και Ε υπολογίζονται ως: = = (11.279) (11.280) Ο συντελεστής ασφαλείας υπολογίζεται από τις εξισώσεις (11.274) ή (11.275). Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν με την ίδια μορφή ανεξάρτητα από τον αριθμό των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο τέμαχος. Εάν, για παράδειγμα, στην άνω επιφάνεια του τεμάχους ασκείται ένα φορτίο λόγω θεμελίωσης, αρκεί αυτό να αναλυθεί κατά τη διεύθυνση της Τ και του βάρους, και οι προκύπτουσες δυνάμεις να συμπεριληφθούν στις W και T. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν ως προς Τ για τον υπολογισμό της απαιτούμενης δύναμης προέντασης, ώστε να επιτυγχάνεται ένας επιθυμητός συντελεστής ασφαλείας. 11.4.2. Επίδραση του υπόγειου νερού Για ξηρές συνθήκες πρανούς, U 1 =0 και U 2 =0. Εάν μόνον η εφελκυστική ρωγμή περιέχει νερό, όπως μπορεί να συμβεί π.χ. σε περιπτώσεις έντονων βροχοπτώσεων ύστερα από περίοδο ξηρασίας, και ταυτόχρονα πτωχή στράγγιση του νερού στο επίπεδο διάτμησης, τότε U 1 =0, ενώ για τον υπολογισμό της U 2 απαιτείται να γίνει παραδοχή για το ύψος του νερού στην εφελκυστική ρωγμή. Το ύψος της εφελκυστικής ρωγμής προκύπτει από τη γεωμετρία του πρανούς, την κλίση του επιπέδου διάτμησης και την απόστασης της εφελκυστικής ρωγμής από το φρύδι του πρανούς. Στο Σχήμα 159 είναι: h= = +tan / tan + tan (11.281) Εάν θεωρηθεί ότι η εφελκυστική ρωγμή είναι πληρωμένη με νερό μέχρι ύψους ξ*h, τότε στο βάθος της εφελκυστικής ρωγμής η πίεση του νερού θα είναι: = h (11.282) Συνεπώς η δύναμη U 2 θα είναι: = 1 2 h = (h) 2 (11.283) 242
γ w είναι το μοναδιαίο βάρος του νερού. Εάν θεωρηθεί ότι το νερό εισέρχεται από την εφελκυστική ρωγμή στην άνω επιφάνεια του πρανούς και στραγγίζεται στην επιφάνεια του πρανούς, μέσω του επιπέδου διάτμησης, τότε η κατανομή της πίεσης του νερού τόσο στην εφελκυστική ρωγμή όσο και στην επιφάνεια ολίσθησης θα είναι τριγωνική. Η U 2 θα δίνεται από τη σχέση (11.283), ενώ η U 1 θα υπολογίζεται από τη σχέση: = 1 2 = h 2 (11.284) L είναι το μήκος του επιπέδου διάτμησης, που δίνεται από τη σχέση: =/ tan + / cos (11.285) Τέλος, για κορεσμένο πρανές θα πρέπει να τίθεται ξ=1 για τον υπολογισμό των U 1 και U 2. 11.4.3. Ολίσθηση σε τραχεία επιφάνεια Εάν η επιφάνεια ολίσθησης είναι τραχεία, θα πρέπει να υιοθετηθεί ένα μη γραμμικό κριτήριο διατμητικής αντοχής. Έστω ότι η διατμητική αντοχή της επιφάνειας ολίσθησης περιγράφεται από το μη γραμμικό κριτήριο Barton-Bandis. Τότε, θεωρώντας ότι το επίπεδο ολίσθησης έχει μηδενική συνοχή, η εξίσωση (11.264) γίνεται: = tan + log = (11.286) Καθώς η ενεργός γωνία τριβής εξαρτάται από την ορθή τάση, θα μεταβάλλεται κατά μήκος της επιφάνειας ολίσθησης. Το πρόβλημα κανονικά θα πρέπει να επιλυθεί αριθμητικά. Για την εκτίμηση του συντελεστή ασφαλείας μπορούν να γίνουν δυο παραδοχές: (1) η ορθή τάση να θεωρηθεί ομοιόμορφα κατανεμημένη και ίση με τη μέση ορθή τάση στο επίπεδο διάτμησης. Την υπόθεση αυτή διατυπώνει ο Nilsen (1999) για τη διερεύνηση της ευστάθειας βραχώδους πρανούς με διάφορους μεθόδους. (2) Να υπολογιστεί ο συντελεστής ασφαλείας για τη μέγιστη ορθή τάση, η οποία για τη γεωμετρία στο Σχήμα 159 αναπτύσσεται κάτω από το φρύδι του πρανούς (για β s <β p ). Η δυνατότητα αυτή αναφέρεται από τους Wyllie & Mah (2004). Στη συνέχεια οι εξισώσεις του συντελεστή ασφαλείας διατυπώνονται για τη συγκεκριμένη τιμή της ορθής τάσης. 11.4.4. Σεισμικές δράσεις Σεισμικές δράσεις μπορούν να ληφθούν υπόψη στην ανάλυση με την ψευδοστατική μέθοδο. Κατ αυτήν, εφαρμόζεται μία ισοδύναμη αδρανειακή δύναμη λόγω της σεισμικής διέγερσης, η οποία υπολογίζεται με βάση την οριζόντια α h και την κατακόρυφη α V συνιστώσα του σεισμικού συντελεστή που εφαρμόζονται επί του βάρους του ολισθαίνοντος τεμάχους. Λαμβάνοντας υπόψη τις σεισμικές δράσεις, για ξηρές συνθήκες πρανούς χωρίς δυνάμεις προέντασης, ο συντελεστής ασφαλείας γίνεται (Wyllie & Mah 2004): = +cos sin + tan sin + cos + (11.287) α Τ =tan -1 (α V /α H ) η γωνία της αδρανειακής δύναμης από την οριζόντιο. Κατά τον Ελληνικό Αντισεισμικό Κανονισμό (ΕΑΚ-2000, παρ. 5.4.1(1)) η ευστάθεια φυσικών ή τεχνητών πρανών κατά τον σεισμικό κραδασμό θα πρέπει να ελέγχεται με θεώρηση των ακόλουθων πρόσθετων ενεργών επιταχύνσεων που δρουν στην βραχώδη μάζα: οριζόντια α h =α π και κατακόρυφη α v =±0.50α π. α π είναι η σεισμική επιτάχυνση σχεδιασμού του πρανούς. Λαμβάνεται ίση με 0.5α, όπου α είναι η επιτάχυνση σχεδιασμού ανάλογα με τη ζώνη σεισμικής επικινδυνότητας της περιοχής. 243
11.5. Σφηνοειδής ολίσθησηη Ένας από τους συνηθέστερους μηχανισμούς αστοχίας στα βραχώδη πρανή σε ογκοτεμαχισμέναα πετρώματαα είναι η ολίσθηση πρισματικών τεμαχών πετρώματος προς το μέτωπο του τ πρανούς. Λόγω της μορφής των τεμαχών, τα οποία συχνά ομοιάζουν με σφήνες, ο μηχανισμός αυτός καλείται γενικά ως «σφηνοειδής ολίσθηση». Η σφήνα του πετρώματος σχηματίζεται από την τομή των ασυνεχειών μεε το μέτωπο και την πάνω επιφάνεια του πρανούς. Ανάλογα με τη γεωμετρία της σφήνας και του πρανούς,, η ολίσθηση μπορεί να συμβαίνει σε ένα επίπεδο ασυνέχειας ή σε δύο τεμνόμενα επίπεδα ταυτόχρονα. Στηνν τελευταία περίπτωση η διεύθυνση της ολίσθησης συμπίπτει με τη διεύθυνση της ευθείας τομής των τ επιπέδωνν των ασυνεχειών, καθώς είναι η μοναδική κοινή διεύθυνση για τα δύο επίπεδα. Η αναγνώριση της διεύθυνσης ολίσθησης μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια της στερεογραφικής προβολής, όπου οι μέγιστοι κύκλοι των επιπέδων των ασυνεχειών, α του μετώπου και της άνω επιφάνειας του πρανούς απεικονίζονται στο δίκτυο των μεσημβρινών και εξετάζονται οι κινηματικές συνθήκες. Μπορεί επίσης να πραγματοποιηθεί με πιο προχωρημένες κινηματικές μεθόδους, όπως, για παράδειγμα, με τη «θεωρία τεμαχών» (block theory, Goodman & Shi 1985, Goodmann 1989). Το μέγεθος του τεμάχους μπορεί να ποικίλει από πολύ μικρό έως πολύ μεγάλο (εκατοντάδες κυβικά μέτρα ή περισσότερο) και καθορίζει τις απαιτήσεις της υποστήριξης ς για την ασφαλή διαμόρφωση του πρανούς. Οι περισσότεροι βραχώδειςς σχηματισμοί έχουν, τουλάχιστον κινηματικά, τηη δυνατότητα να δώσουν σφηνοειδείς ολισθήσεις. Για παράδειγμα, ο Shidrel (2015), πραγματοποιώντας συστηματικές μετρήσεις ασυνεχειών και υπολογισμούς ευστάθειας πρανών έναντι σφηνοειδούς ολίσθησης, διαπίστωσε ότι σε όλες τις εκφάνσεις του γεωλογικού σχηματισμού που μελέτησε (γεωλογικός σχηματισμός Artamir στην περιοχή Kope Dagh του Ιράν) εμφανίζονταν συστηματικά αστοχίες σφηνοειδούς ολίσθησης, όπωςς αυτή που φαίνεται στην εικόνα στο Σχήμα 160. Σχήμα 160 Αστοχία σφηνοειδούς ολίσθησης σε πρανές. Πηγή: Shirdel (2015). Η φωτογραφία διατίθεται με άδεια Creativee Commons Attribution International License (CC BY), http://creativecommons.org/licenses/by/ /4.0/. 2444
Όταν η ολίσθηση συμβαίνει σε ένα επίπεδο ασυνέχειας, ο συντελεστής ασφαλείας μπορεί να υπολογιστεί με τις μεθόδους που αναπτύχθηκαν στην παρ. 11.4.. Η πρόσθετη δυσκολία που π εισάγεται αφορά τον υπολογισμό του βάρους της σφήνας από τη γεωμετρία της, καθώς επίσης και τωνν συνισταμένων δυνάμεων λόγω της πίεσης του νερού στις ασυνέχειες. Εντούτοις, η δυσκολία είναι απλά υπολογιστική και όχι καθοριστική για την ανάλυση του μηχανισμού. Για τον λόγο αυτό, στα επόμενα εξετάζεται ο μηχανισμός σφηνοειδούς ολίσθησης σε δύο επίπεδα ασυνεχειών ταυτόχρονα. 11.5.1. Κινηματικές συνθήκες Στο Σχήμα 161 φαίνεται σφήνα πετρώματος, που σχηματίζεται σε βραχώδες πρανές από την τομή δύο επιπέδων ασυνεχειών J1 και J2. Για τη διευκόλυνση της παρουσίασης των γεωμετρικών συνθηκών, θεωρείται τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων Οsnt με αρχή των αξόνωνν το σημείο όπου ό η ευθεία τομής των ασυνεχειώνν τέμνει την επιφάνεια του πρανούς. Ο άξονας s έχει τη διεύθυνση της ευθείας τομής και ο άξονας n είναι κάθετος προς αυτόν. Το επίπεδο s-n είναι κατακόρυφο. Τέλος, ο άξονας h είναι οριζόντιος (κάθετος( στο επίπεδο s-n). Σχήμα 161 Προοπτική απεικόνιση γεωμετρίας σφηνοειδούς ολίσθησης. Για να είναι κινηματικά δυνατή η σφηνοειδής ολίσθηση, θα πρέπει τα δύο επίπεδα ασυνεχειών να τέμνονται σε ευθεία. Η κλίση της ευθείας τομής είναι β si και η διεύθυνσή της a si. Αυτές Α μπορούν να υπολογιστούν είτεε με τη βοήθεια της στερεογραφικής προβολής (βλ. π.χ. Wyllie & Mah 2004), 2 είτε αναλυτικά, με τη θεωρία τεμαχών ή αλλιώς από το εξωτερικό γινόμενο των μοναδιαίων κάθετων διανυσμάτωνν n 1 και n 2 των τ επιπέδων J1 και J2, αντίστοιχα, όπως παρουσιάζεται από τους Kovári & Fritz (1975, 1984). Ταα n 1 και n 2 υπολογίζονται από την κλίση και τη διεύθυνση κλίσης των επιπέδων θεωρώντας ένα τρισορθογώνιοο σύστημα αξόνων με τον άξονα x οριζόντιο με κατεύθυνση προς τον βορρά, τον άξονα y οριζόντιο με κατεύθυνση προς την ανατολή και τον άξονα z κατακόρυφο με κατεύθυνση προς τα πάνω. Για να υπάρχει κινηματική δυνατότηταα ολίσθησης της σφήνας, θα πρέπει η κλίση β si i της ευθείας τομής να είναι μικρότερη από τη φαινόμενη κλίση της επιφάνειας του πρανούς π β fi, μετρούμενη στο επίπεδο που σχηματίζεται από τους άξονες s-n. s Η φαινόμενη κλίση β fi θα είναι ίση με την πραγματική κλίση μόνονν όταν η διεύθυνση κλίσης της επιφάνειας του πρανούς είναι ίση με a si. Επιπλέον, Ε η κλίση της ευθείας τομής πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη γωνία τριβήςς φ j. Τέλος, κινηματική δυνατότητα ολίσθησης υπάρχει μόνο 245
όταν η διεύθυνση της ευθείας τομής των δύο επιπέδων ασυνεχειών κυμαίνεται μεταξύύ a si1 έως a si i2, γωνίες που καθορίζονται από τον προσανατολισμό της επιφάνειας του πρανούς και εκείνο ε των ασυνεχειών. 11.5.2. Υπολογισμός συντελεστή ασφαλείας Στα επόμενα ακολουθείται η μεθοδολογία τωνν Kovári & Fritz (1975,, 1984), θεωρώντας ξηρές συνθήκες πρανούς, διατμητική αντίσταση στα επίπεδα τωνν ασυνεχειώνν λόγω τριβής και επιπλέον ίση γωνία τριβής στις δύο ασυνέχειες. Σημειώνεται ότι η ανάλυση των Kovári & Fritz περιλαμβάνει και την περίπτωση συνοχής στις δύο ασυνέχειες, όπως και εξωτερικές δυνάμεις (π.χ. λόγω υδροστατικών πιέσεων, δύναμη προέντασης ή σεισμικές δράσεις). Η γεωμετρία της σφήνας δίνεται στο Σχήμα 161. Στο Σχήμα 162α δίνεται η πλάγια όψη του πρανούς και της σφήνας σε κατακόρυφο επίπεδο που περιλαμβάνει την ευθεία τομής των επιπέδων J1 και J2, δηλαδή στο επίπεδο των αξόνων n-s. Η ευθεία τομής έχει γωνία κλίσης β si, ενώ η επιφάνεια του πρανούς έχει φαινόμενη γωνία κλίσης β fi. Στο Σχήμα 162β δίνεται τομή σε επίπεδο κάθετο προς την ευθεία τομής των επιπέδων J1-J2, δηλαδή στο επίπεδο των αξόνωνν h-n. Οι δυνάμεις που δρουν δ στη σφήνα δίνονται στο Σχήμα 162β και είναι: N 1, N 2, οι ορθές δυνάμεις στα επίπεδα J1 και J2, αντίστοιχα, και το βάρος W. Σχήμα 162 Γεωμετρία για την ανάλυση της τ ευστάθειαςς σφηνοειδούς ολίσθησης: ( α) τομή σε κατακόρυφο επίπεδο που περιλαμβάνει την ευθεία τομής, (β) τομή σε επίπεδο κάθετα προς την ευθεία τομής. Ο συντελεστής ασφαλείας υπολογίζεται ως ο λόγος της διαθέσιμης διατμητικής δ αντοχής προς τη δρώσα διατμητική τάση. Στην ολίσθηση ανθίσταται η δύναμη τριβής, η οποία αναπτύσσεταα αι λόγω των αντιδράσεωνν N 1 και N 2 στα επίπεδα των ασυνεχειών. Οι δυνάμεις N 1 και N 2 υπολογίζονται από τις εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων κατά την οριζόντια διεύθυνση και τη διεύθυνση κάθετα στη ευθεία ε τομής. Από την ισορροπία ι ως προς την οριζόντια διεύθυνση (κατά τον άξονα h): cos = cos (11.288) Από την ισορροπία δυνάμεων ως προς τη διεύθυνση του άξονα n: sin + sin = cos (11.289) Από τις εξισώσεις (11.288) και (11.289) προκύπτει: 246