ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΑ- ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗ ΣΗΜΕΙΟΥ Θεώρημα: Αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της προβολής της στην υποτείνουσα επί την υποτείνουσα. ΤΥΠΟΣ: ΑΒ = ΒΔ. ΒΓ, ΑΓ = ΓΔ. ΒΓ. Πόρισμα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του ισούται με το λόγο των προβολών τους στην υποτείνουσα. ΤΥΠΟΣ: ΑΒ / ΑΓ = ΒΔ / ΓΔ. Πυθαγόρειο θεώρημα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του και αντίστροφα. ΤΥΠΟΣ: ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ. Θεώρημα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο των προβολών των καθέτων πλευρών στην υποτείνουσα. ΤΥΠΟΣ: ΑΔ = ΒΔ. ΔΓ. Β Α Δ Γ Πόρισμα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ. ΑΒ = ΒΓ. ΑΔ ή β. γ = α. υ α. ˆ 90 και ύψος ΑΔ ισχύει η σχέση: ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα για οξεία γωνία: Το τετράγωνο μιας πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σ αυτή (σχήμα ). ΤΥΠΟΣ: a γ Β α α γ Β Α Δ β Γ (Σχήμα ) (Σχήμα ) Γ β Α Δ Γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα για αμβλεία γωνία: Το τετράγωνο μιας πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σ αυτή (σχήμα ). ΤΥΠΟΣ: a ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα

ΠΟΡΙΣΜΑ : Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι επόμενες ισοδυναμίες: a ˆ 90 (ορθογώνιο τρίγωνο) a ˆ 90 (οξυγώνιο τρίγωνο) a ˆ 90 (αμβλυγώνιο τρίγωνο) ΝΟΜΟΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ: a Aˆ a a Bˆ a a ˆ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ο θεώρημα διαμέσων: Το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου είναι ίσο με το διπλάσιο τετράγωνο της διαμέσου, που περιέχεται μεταξύ αυτών, αυξημένο κατά το ήμισυ του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. ΤΥΠΟΣ: ο θεώρημα διαμέσων: Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου είναι ίση με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω σ αυτή. γ Α a Β Δ Μ Γ β ΤΥΠΟΣ: a M (με β>γ) ΤΥΠΟΙ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 4 a 4 a 4 a a ΤΕΜΝΟΥΣΕΣ ΚΥΚΛΟΥ Θεώρημα : Αν δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ κύκλου ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Σ, τότε είναι: ΣΑΣΒ = ΣΓΣΔ. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα

Πόρισμα: Έστω ένας κύκλος (O, ρ) και ένα σημείο Σ με ΟΣ = α. Αν μια ευθεία διέρχεται από το Σ και τέμνει τον κύκλο στα Α, Β τότε: Αν το Σ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, θα είναι ΣΑΣΒ= - a. Αν το Σ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, θα είναι ΣΑΣΒ= a - Αν δοθεί ένα σημείο Σ στο επίπεδο του κύκλου (Ο, ρ) με ΣΟ = α, τότε ο σταθερός αριθμός a - ονομάζεται δύναμη του σημείου Σ ως προς τον κύκλο (Ο, ρ). Πόρισμα: Αν Σ είναι σημείο εκτός κύκλου (Ο, ρ), τότε η δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο ισούται με ΣΕ, όπου ΣΕ το εφαπτόμενο ευθύγραμμο τμήμα από το Σ στον κύκλο. ΤΥΠΟΣ: ( ) ( ). Θεώρημα : Αν δύο τμήματα ΑΒ, ΓΔ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Σ και ισχύει ΣΑΣΒ = ΣΓΣΔ, τότε το τετράπλευρο με κορυφές τα Α, Β, Γ, Δ είναι εγγράψιμο. ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ Θεώρημα : Αν από ένα σημείο Ρ εκτός κύκλου (O,R) φέρουμε ένα εφαπτόμενο τμήμα ΡΓ και μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα Α, Β τότε ισχύει: P PA PB Β Α Ρ Θεώρημα : Έστω μια γωνία ώστε να ισχύει P σημεία Α, Β, Γ. Γ xp ˆ y, δύο σημεία Α, Β της πλευράς Ρx και σημείο Γ της Py, PA PB. Τότε το τμήμα ΡΓ είναι εφαπτόμενο στον κύκλο που ορίζουν τα ΕΜΒΑΔΑ Κάθε κυρτό πολύγωνο μαζί με τα εσωτερικά του σημεία είναι ένα κυρτό χωρίο, που λέγεται πολυγωνικό χωρίο. Δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα, αν και μόνο αν ορίζονται από ίσα πολύγωνα, δηλαδή πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες μεταξύ των ίσων πλευρών τους γωνίες ίσες μία προς μία. Ένα πολυγωνικό χωρίο λέγεται τριγωνικό, τετραπλευρικό, πενταγωνικό κ.λ.π., όταν ορίζεται από τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο κ.τ.λ. αντιστοίχως. Ένα σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, των οποίων τα πολύγωνα δεν έχουν ανά δύο κοινά εσωτερικά σημεία, λέγεται πολυγωνική επιφάνεια. Εμβαδόν τριγώνου Γ Εμβαδόν Ορθογωνίου τριγώνου Α γ Β Α Β ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 3 υ υ β Δ β Γ β

Εμβαδόν Παραλληλογράμμου, Εμβαδόν Ορθογωνίου Εμβαδόν Τετραγώνου ή Εμβαδόν Τραπεζίου ( ),, Εμβαδόν Ρόμβου Κ Δ α Δ Γ Α Β α Δ β Γ Α Β Α Α Γ δ Δ υ β β Β α Γ Β Λ υ Γ ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ: ( )( )( ) [Τύπος του Ήρωνα] 4R 3 ( για ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α ) 4 ( ) ( ) ( ) Οι παραπάνω τύποι ισχύουν για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, όπου: τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ρ είναι η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στην πλευρά α, κ.λ.π. ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν: Σύγκριση Εμβαδών a A. Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με τον λόγο των αντίστοιχων υψών. Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα ύψη, ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με τον λόγο των αντίστοιχων βάσεων. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 4

Αν δύο τρίγωνα ( ή πολύγωνα ) είναι όμοια με λόγο ομοιότητος λ, τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με λ. Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων αυτών είναι ίσος με τον λόγο των γινομένων των πλευρών τους, που περιέχουν τις γωνίες αυτές. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρω τη διάμεσο ΑΔ, αυτό χωρίζεται σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα, δηλαδή: Ε ΑΒΔ =Ε ΑΔΓ. Αν G το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ τότε: Ε ΑΒG =Ε ΑGΓ =Ε GΒΓ. Αν Σ τυχαίο σημείο της διαμέσου ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: Ε ΑΒΣ =Ε ΑΣΓ. Έστω Σ, M δύο τυχαία σημεία της διαμέσου ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ τότε: Ε ΒΣΜ =Ε ΣΜΓ. Αν Σ, Λ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει: Ε ΑΣΛ = 4 ΕΑΒΓ. Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρνω την παράλληλη προς την ΒΓ. Αν πάρουμε σημεία Κ, Λ τυχαία σημεία της (ε) τότε ισχύει Ε ΑΒΓ =Ε ΚΒΓ =Ε ΛΒΓ. Αν ΒΔ διαγώνιος του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ τότε: Ε ΑΒΔ =Ε ΔΒΓ. E ABM BM Αν M τυχαίο σημείο της ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ τότε:. E M Αν M τυχαίο σημείο της ΒΓ και τυχαίο σημείο της ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τότε: E ABN BM. E M AN Αν M, N, Κ, Λ τα μέσα τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τότε ισχύει: Ε ΜΛΚΝ = ΕΑΒΓΔ AM ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ-ΚΥΚΛΟΥ- ΕΜΒΑΔΑ Κανονικό πολύγωνο λέγεται κάθε κυρτό πολύγωνο που έχει ίσες όλες τις πλευρές του και όλες τις γωνίες του. Αν Φ ν είναι μία από τις γωνίες ενός κανονικού ν-γώνου, τότε Κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται το κέντρο περιγγεγραμμένου κύκλου του. 360 80. του εγγεγραμμένου ή του Ακτίνα ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται κάθε ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου που καταλήγει σε κορυφή του πολυγώνου. Απόστημα ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται το απόστημα οποιασδήποτε πλευράς του. Κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται η γωνία που σχηματίζουν δύο διαδοχικές γωνίες του. Αν ˆ η κεντρική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου, τότε ˆ 360. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 5

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι: Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο και περιγράψιμο σε κύκλο. ΠΟΡΙΣΜΑ: Ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος κάθε κανονικού πολυγώνου είναι ομόκεντροι κύκλοι. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ: Αν τα σημεία Α, Α,, Α ν διαιρούν έναν κύκλο σε ν ίσα τόξα, τότε το πολύγωνο Α Α Α ν καθώς και το πολύγωνο που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά είναι κανονικά ν-γωνα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ: Αν δύο κανονικά πολύγωνα έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών, είναι όμοια και ο λόγος ομοιότητας τους είναι ίσος με το λόγο των αποστημάτων τους και με το λόγο των ακτινών τους. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ: Με ω ν συμβολίζουμε την κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. Με φ ν συμβολίζουμε τη γωνία (εσωτερική γωνία) κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. Με λ ν συμβολίζουμε την πλευρά κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. Με α ν συμβολίζουμε το απόστημα κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. Με P ν συμβολίζουμε την περίμετρο κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. Με Ε ν συμβολίζουμε το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. Με R συμβολίζουμε την ακτίνα του κανονικού πολυγώνου (που είναι και ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ισχύουν οι τύποι: R 4 E P R R ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ: Για να εγγράψουμε κανονικό τετράγωνο σε κύκλο (Ο,R) φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους και ενώνουμε τα άκρα τους. 4 R 4 R ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 6

Για να εγγράψουμε κανονικό εξάγωνο σε κύκλο (Ο, R) τοποθετούμε διαδοχικές χορδές ίσες με R. 6 R 6 R 3 Για να εγγράψουμε κανονικό τρίγωνο σε κύκλο (O,R) τον χωρίζουμε σε 6 ίσα τρίγωνα (όπως στο εξάγωνο) και συνδέουμε τα σημεία ένα παρά ένα. 3 3 R 3 R Για να εγγράψουμε κανονικό δεκάγωνο σε κύκλο (Ο,R) χωρίζουμε μια ακτίνα του σε μέσο και άκρο λόγο (χρυσή τομή) και παίρνουμε για πλευρά του το μεγαλύτερο τμήμα από τα δύο. 0 R( 5 ) 0 R( 4 0 5 ) Για να κατασκευάσουμε κανονικό 5-γωνο (360 ο :5 = 4) αφαιρούμε ένα τόξο 36 ο από ένα τόξο 60 ο (60 ο -36 ο = 4 ο ). Τα τόξα αυτά τα «δανειζόμαστε» από τα αντίστοιχα κανονικά πολύγωνα. Για να κατασκευάσουμε ή μελετήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο, στηριζόμαστε (αν είναι δυνατόν) στο κανονικό πολύγωνο που έχει διπλάσιο ή το μισό αριθμό πλευρών. ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ: Ο λόγος του αναπτύγματος ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι ό ίδιος για όλους τους κύκλους. ΘΕΩΡΗΜΑ: Το μήκος L ενός κύκλου ακτίνας R δίνεται από τη σχέση: L = πr. Tο μήκος S ενός τόξου με μέτρο μ, το οποίο ανήκει σε κύκλο ακτίνας R δίνεται από τη σχέση: S R (το μ εκφράζει μοίρες). 360 Το μήκος S ενός τόξου μέτρου α, το οποίο ανήκει σε κύκλο ακτίνας R δίνεται από τη σχέση: S = α R. Η μετατροπή του μέτρου ενός τόξου από ακτίνια (α) σε μοίρες (μ) ή αντίστροφα γίνεται από τη σχέση:. 80 ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 7

Το μέτρο ενός τόξου καλείται και άνοιγμα του τόξου και είναι ίσο με το μέτρο (ή άνοιγμα) της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. ΟΡΙΣΜΟΙ: Εμβαδό κυκλικού δίσκου ή εμβαδό κύκλου λέγεται ο μοναδικός θετικός αριθμός προς τον οποίο τείνει το εμβαδό Ε ν ενός κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο, όταν το πλήθος ν των πλευρών του αυξάνεται απεριόριστα. Κυκλικός τομέας ονομάζεται το κοινό μέρος ενός κυκλικού δίσκου και μια επίκεντρης γωνίας του. Κυκλικό τμήμα καλέιται καθένα από τα δύο κομμάτια στα οποία ένας κυκλικός δίσκος χωρίζεται από μια χορδή του η οποία δεν είναι διάμετρος. Μηνίσκος ονομάζεται το σχήμα που περικλείεται από δύο τόξα που έχουν κοινή χορδή και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της. Μικρόγραμμο τρίγωνο θα καλούμε το σχήμα που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε μία ή δύο πλευρές ενός τριγώνου με τόξα. Καμπυλόγραμμο τρίγωνο θα καλούμε το σχήμα που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε τις τρείς πλευρές ενός τριγώνου με τόξα. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ: Αν η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου είναι R το εμβαδόν του δίνεται από τη σχέση: Ε = πr. Aν ένας κυκλικός τομέας ανήκει σε κύκλο ακτίνας R και προκύπτει από επίκεντρη γωνία μέτρου μ ο θα έχει εμβαδό Ε = π R 360. Δύο τομείς που αντιστοιχούν σε ίσα τόξα έχουν ίσα εμβαδά. Ένας τομέας, που το αντίστοιχο τόξο του είναι άθροισμα αντίστοιχων τόξων άλλων τομέων, έχει εμβαδό ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τομέων αυτών. Γενικότερα τα εμβαδά δύο κυκλικών τομέων είναι ανάλογα των μέτρων των αντιστοίχων τόξων τους. Το εμβαδό ενός κυκλικού τμήματος προσδιορίζεται από τη διαφορά των εμβαδών, του τριγώνου που σχηματίζεται από δύο ακτίνες και τη χορδή του κυκλικού τμήματος από τον αντίστοιχο κυκλικό τομέα. Το εμβαδόν του κοινού μέρους δύο κύκλων που τέμνονται, υπολογίζεται αν φέρουμε την κοινή χορδή ΑΒ τότε Ε= Ε ΑΚΒ +Ε ΑΛΒ. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 8

Το εμβαδό ενός μηνίσκου προσδιορίζεται από τη διαφορά των εμβαδών δύο κυκλικών τμημάτων. Εμβαδά σχημάτων για τα οποία δεν υπάρχουν τύποι ούτε προσδιορίστηκαν συγκεκριμένες διαδικασίες, υπολογίζονται με κατάλληλες προσθέσεις και αφαιρέσεις εμβαδών. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 9

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία είναι 60 ο. Αποδείξτε ότι β = α + γ α. γ. )Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ έχουν μήκη α = 9, β = 6, και 3 3 6. Υπολογίστε τη γωνία. 3)Σε οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση τη ΒΓ φέρνουμε το ύψος ΓΔ. Αποδείξτε ότι ΒΓ = ΑΓ. ΒΔ. 4)Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές έχουν μήκη α = 5, β = 4, και γ = 3. Υπολογίστε το ύψος υ β. 5)Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 9α = 4(μ β+μ γ-μ α). 6)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση την ΒΓ. Αν ΒΜ η διάμεσος να αποδείξετε ότι: ΑΒ = 4 ΜΒ ΒΓ. 7)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε τυχαίο σημείο του ύψους του ΑΔ. Αποδείξτε ότι : ΑΒ ΑΓ = ΒΕ ΕΓ. 8)Ένα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη, + 3, 6. Να δείξετε ότι η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά με μήκος 6 είναι 60 μοίρες. 9)Να βρείτε το είδος του τριγώνου αν έχει διαμέσους με μήκη 3, 4, 5. 0)Με εφαρμογή του θεωρήματος διαμέσων στο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α να a 3 αποδείξετε ότι το ύψος του ισούται με. )Δίνονται δύο τεμνόμενοι κύκλοι. Από τυχαίο σημείο Μ της προέκτασης της κοινής τους χορδής ΑΒ φέρνουμε δύο εφαπτόμενες προς αυτούς, τις ΜΓ και ΜΔ. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΜΓΔ είναι ισοσκελές. )Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Αποδείξτε ότι: ΒΖ. ΒΑ + ΓΕ. ΓΑ = ΒΓ. 3)Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές 7, 7 και γ =7, να υπολογίσετε τη μεγαλύτερη γωνία του. 4)Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι α = λ, β = μ και γ = (λ +μ +λμ 3 ) /, όπου λ και μ είναι γνωστά τμήματα. α) Να βρείτε το είδος των γωνιών του τριγώνου. β) Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΒΓ. γ) Να αποδείξετε ότι 50. 5)Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Αν προεκτείνουμε τη ΒΑ κατά τμήμα ΑΔ = ΒΑ, να αποδείξετε ότι ΓΔ = 4 ΑΒ ΒΓ. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 0

6)Δίνεται κύκλος με ακτίνα 4 cm και σημείο Μ με ΟΜ = 5 cm. Μια τέμνουσα ΜΑΒ του κύκλου ορίζει χορδή ΑΒ = 3 cm. Να υπολογίσετε το μήκος του ΜΑ και του εφαπτόμενου τμήματος ΜΓ. 7)Δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ ενός κύκλου τέμνονται σε σημείο Μ εσωτερικό του κύκλου. Αν ΜΑ = α, ΜΒ = β και ΓΔ = γ, να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΜΓ και ΜΔ. 5 a 8)Αν, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με διαμέσους a,, είναι ορθογώνιο. 9)Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και τη γωνία του Α αμβλεία. Να αποδείξετε ότι:, όπου Δ το ίχνος του υ α. 0)Να υπολογίσετε το ύψος τραπεζίου ΑΒΓΔ στο οποίο είναι ΓΔ=5 και ΒΓ=0. Â ˆ 90, ΑΒ=7, )Να κατασκευάσετε ευθύγραμμο τμήμα με μήκος:α) β) 3 γ) 0 δ) 30. )Δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ ενός κύκλου τέμνονται σε σημείο Μ εσωτερικό του κύκλου. Αν ΜΑ = α, ΜΒ = β και ΓΔ = γ, να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΜΓ και ΜΔ. 3)Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΓ = β, ΑΒ = γ και ˆ 30. Με βάσεις τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ κατασκευάζουμε έξω από το τρίγωνο τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Να βρεθεί το εμβαδόν του (ΒΓΖΗΕΔΒ). 4)Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο μιας από τις μη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν. 5)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Κ τυχαίο μέσα σ αυτό. Φέρνουμε τις ΚΔΑΒ, ΚΕΒΓ και ΚΖΑΓ ώστε ΚΔ=ΑΒ, ΚΕ=ΒΓ και ΚΖ=ΑΓ. Να αποδειχτεί ότι (ΔΕΖ)=3(ΑΒΓ). 6)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές του κατά την ίδια φορά και κατά μέρη ΒΓ = ΑΒ, ΑΒ = ΑΓ και ΓΑ = ΒΓ. Να αποδειχτεί ότι (Α Β Γ ) = 7 (ΑΒΓ). 7)Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ 90 ) ο εγγεγραμμένος κύκλος (Ι, ρ) εφάπτεται της ΒΓ στο Δ. Να δειχτεί ότι (ΑΒΓ) = ΒΔ. ΔΓ. 8)Να αποδειχτεί ότι το άθροισμα των αποστάσεων, τυχαίου σημείου της βάσης ΒΓ σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, από τις ίσες πλευρές του, είναι ίσο με ένα από τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. 9)Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν ΒΓ/ΕΖ=ΑΓ/ΔΖ. ˆ ˆ, ˆ ˆ 80. Να αποδειχτεί ότι 30)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β > γ) το ύψος του ΑΔ και η διάμεσος του ΑΜ για το οποίο ( ) ισχύει (ΑΔΜ) =. Να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 4 ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα

3)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ΙΒ.ΙΓ= ΙΑ.ΒΓ. ˆ 90 ) και Ι το έγκεντρό του. Να δειχτεί ότι 3)Τρεις ευθείες ΑΑ, ΒΒ και ΓΓ σε τρίγωνο ΑΒΓ περνούν από το ίδιο σημείο Ο. Να δειχτεί ότι: ΟΑ / ΑΑ +ΟΒ / ΒΒ +ΟΓ / ΓΓ =. 33)Αν σε τρίγωνο ισχύει να δειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 34)Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχτεί ότι 4 R. 35)Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 3 7. 36)Να υπολογίσετε το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ, στο οποίο είναι: ι) ΑΒ = 3, ΑΓ = 4 και ˆ 60, ιι) ΑΒ = γ, ΑΓ =β και ˆ 35. 37)Τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ = cm. Αν είναι ΑΒ+ΓΔ = 8 cm, να υπολογίσετε το εμβαδό του. 38)Ένας ρόμβος ΑΒΓΔ έχει πλευρά α και ˆ 45. Να υπολογίσετε το εμβαδό του. 39)Να αποδείξετε ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου ΑΒΓ χωρίζουν το τρίγωνο σε 6 ισεμβαδικά τρίγωνα. 40)Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και την εξωτερική διχοτόμο xy της γωνίας ˆ. Αν είναι ΒΒ xy και ΓΓ xy, να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ) = ΑΔ.Β Γ /. 4)Αν Κ είναι εσωτερικό σημείο τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει (ΚΑΒ) = (ΚΑΓ) =(ΚΒΓ), να αποδείξετε ότι το Κ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. 4)Φέρνουμε το ύψος ΑΔ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( ˆ 90 ). Να αποδειχτεί ότι ( ). ( ) 43)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Μ της ΑΒ και το σημείο Ν της ΑΓ για το οποίο ισχύει ΑΝ = ΑΓ / 4. Να αποδείξετε ότι (ΒΜΝ) = (ΑΒΓ) / 8. 44)Να φέρετε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ, η οποία να χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά μέρη. 45)Έξω από το τρίγωνο ΑΒΓ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ, ΒΓΖΗ και ΓΑΘΙ. Να αποδείξετε ότι το εξάγωνο ΔΕΘΙΖΗ έχει εμβαδόν 4( ). 46)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) (ΔΕΖ) = (ΖΓΕ), β) (ΔΕΖ) = 4 (ΑΒΓ). ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα

47)Να δείξετε ότι το εμβαδόν τυχαίου τετραπλεύρου ισούται με το γινόμενο της μίας διαγωνίου του επί το ημιάθροισμα των αποστάσεων των δύο άλλων κορυφών από τη διαγώνιο αυτή. 48)Από ένα σημείο Ε της διαγωνίου ΒΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρνουμε τις παράλληλες ΖΗ και ΚΛ πρός τις πλευρές του. Να δείξετε ότι τα παραλληλόγραμμα που βρίσκονται εκατέρωθεν της ΒΔ είναι ισοδύναμα. 49)Να δείξετε ότι σε ρόμβο, του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιάς διαγωνίου του επί την πλευρά του, η μία γωνία του είναι 60 0. 50)Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου το εμβαδόν ισούται με αμ α όπου μ α η διάμεσος από την κορυφή Α, είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο. 5)Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και από το μέσο Κ της διαγωνίου ΒΔ φέρνουμε τυχαία ευθεία ΕΖ που τέμνει τις ΑΒ και ΓΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι (ΑΕΖΔ) = (ΒΓΖΕ). 5)Σ ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ συνδέουμε την κορυφή Α με τα μέσα Κ, Λ των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι (ΑΚΓΛ) = (ΑΒΓΔ). 53)Οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ τραπεζίου τέμνονται στο Κ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΑΓ και ΚΒΔ είναι ισοδύναμα. 54)Από την κορυφή Β τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε μια οποιαδήποτε ευθεία που να συναντά την προέκταση της ΓΑ προς το μέρος του Α σε ένα σημείο Β, καθώς και την ΓΓ // ΒΒ, που να συναντά την προέκταση της ΒΑ στο Γ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ Γ είναι ισοδύναμα. 55)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ της πλευράς ΒΓ, τέτοιο ώστε ΒΜ = ΒΓ. Να 3 δείξετε ότι το εμβαδόν του ΑΒΜ είναι ίσο με τα του εμβαδού του ΑΒΓ. 3 56)Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Κ έτσι ώστε να είναι γωνία ΑΚΒ = γωνία ΓΚΑ = 0 0 και ΚΑ = cm, ΚΒ = 6 cm, ΚΓ = 0cm Nα υπολογίσετε τα εμβαδά των τριγώνων α) ΚΒΓ και β) ΑΒΓ. 57)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Κ είναι το μέσο της διαμέσου ΑΔ, Λ το μέσο της ΚΓ και Μ το μέσο της ΒΛ, να δείξετε ότι (ΚΛΜ) = 8 (ΑΒΓ). 58)Αν για ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: Ε = 4 τρίγωνο είναι ισοσκελές. α (β + γ) - α να δείξετε ότι το ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 3

59)ι)Να βρεθεί η γωνία και η κεντρική γωνία ενός κανονικού οκταγώνου και ενός κανονικού δωδεκαγώνου. ιι) Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία,5 ο ; ιιι) Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 8/5 ορθής; 60)Να μελετήσετε το είδος της γωνίας ενός καν/κού ν-γώνου για τις διάφορες τιμές του ν. 6)Να υπολογίσετε την πλευρά και το εμβαδό κανονικόυ ν- γώνου, το οποίο έχει ακτίνα 4 εκ. και απόστημα 3 εκ. Ποιο είναι αυτό το πολύγωνο; 6)(Τύπος του Αρχιμήδη). Αν δύο κανονικά πολύγωνα με πλευρές ν και ν είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο, R), να αποδείξετε ότι: λ ν = ( R a ) R R 4R R. 63)Σε κύκλο ακτίνας R=, ένα τόξο ΑΒ έχει μήκος π. ι) Πόσων μοιρών είναι το τόξο ΑΒ; ιι) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο.ΑΒ. ιιι)να βρείτε το λόγο των εμβαδών των δύο κυκλικών τμημάτων στα οποία χωρίζεται ο κυκλικός δίσκος από τη χορδή ΑΒ. 64)Σε κύκλο (Ο,R) εγγράφουμε κανονικό εξάγωνο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το εξάγωνο. 65)Πάνω σε μια ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ και γράφουμε ημικύκλια με διαμέτρους ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ και τα οποία βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ε. Από το Β φέρουμε κάθετη στην ε που τέμνει το μεγαλύτερο ημικύκλιο στο Δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τρία ημικύκλια είναι ίσο με το εμβαδόν κύκλου διαμέτρου ΒΔ. 66)Σε κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ ενώνουμε την κορυφή Α με το μέσο Η της πλευράς ΓΔ. Να βρεθεί το εμβαδόν καθ ενός από τα δύο τμήματα στα οποία διαιρείται το εξάγωνο. 67)Ν αποδειχτεί ότι η πλευρά κανονικού πενταγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R είναι υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου που έχει κάθετες πλευρές τις πλευρές κανονικού εξαγώνου και δεκαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. 68)Επάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και γράφουμε περιφέρειες με διαμέτρους ΑΒ, ΒΓ και ΓΔ. Γράφουμε επίσης την περιφέρεια που έχει διάμετρο ΑΔ. Ν αποδειχτεί ότι το μήκος αυτής είναι ίσο με το μήκος των τριών άλλων. 69)Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ΑΒ= μ. και ΑΓ = 9μ. Στο τρίγωνο αυτό εγγράφουμε κύκλο (Ο, ρ), του οποίου ζητείται το εμβαδόν. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 4

70)(Μηνίσκοι του Ιπποκράτη) Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ 90 είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο. Mε διαμέτρους ΑΒ και ΑΓ γράφουμε ημικύκλια έξω από το τρίγωνο. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο μηνίσκων που σχηματίζονται ισούται με το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. 7)Σε κύκλο (Ο,R) φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους ΑΒ και ΑΓ. Γράφουμε το τόξο του κύκλου (Α,ΑΓ) που έχει άκρα τα Γ,Δ και τέμνει την ΑΒ στο Μ. Να αποδείξετε ότι ο μηνίσκος ΓΜΔΒΓ έχει το ίδιο εμβαδόν με το τρίγωνο ΑΓΔ. 7)Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε AB =60 ο, ΒΓ=λ, ΓΔ=60 ο. α) να δείξετε ότι (ΟΒΓ)=(ΟΑΔ), β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τραπεζίου ΑΒΓΔ. 73)Δίνεται τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ με κέντρο Ο και ακτίνα R. Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου ΟΒ μέσα στο τεταρτοκύκλιο. α)να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου που εφάπτεται στο τεταρτοκύκλιο, στο ημικύκλιο και στην ΟΑ, β)να αποδείξετε ότι το μέρος του τεταρτοκυκλίου, που βρίσκεται έξω από τον κύκλο και το ημικύκλιο, είναι ισεμβαδικό με τον κύκλο. 74)Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Με κέντρα τα Α, Β, Γ και ακτίνα R γράφουμε τόξα μέσα στον κυκλικό δίσκο (Ο,R). Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδό του τρίφυλλου που σχηματίζεται. 75)Σε μία ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικλα τα σημεία Α, Β, Γ, Δ με ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=α. Γράφουμε τους κύκλους (Β,α) και (Γ,α) που τέμνονται στα σημεία Ε και Ζ. Με κέντρα τα Ε και Ζ γράφουμε αντίστοιχα τα τόξα ΗΘ και ΙΚ που εφάπτονται στους κύκλους. Να υπολογίσετε το εμβαδό και την περίμετρο του ωοειδούς σχήματος ΑΙΚΔΘΗΑ. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ *********. Θεωρούμε μη ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω ΑΜ η διάμεσός του και ΜΔ η διχοτόμος της γωνίας Α ˆ Γ και είναι ΑΔ > ΔΓ. Δείξτε ότι: i) Α < 90. ii) Το τετράπλευρο ΑΔΜΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν β +. Στο τρίγωνο ΑΒΓ κατασκευάζουμε με πλευρά τη ΒΓ εκατέρωθεν τα ισόπλευρα τρίγωνα Α'ΒΓ και Α"ΒΓ. Να δειχθεί η σχέση: ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ => Α ΛΑ = 90. 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90) είναι Β=3Γ. Ν.Δ.Ο β -γ =βγ. 4. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Έστω Η το ορθόκεντρο και 3 ΑΗ.ΑΔ=. Ν.δ.ο. μα =. 5. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ( Α>90) με R= δείξτε ότι : α +β +γ <8 6. Έστω κυρτό εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε ή διαγώνιος ΑΓ τέμνει στο μέσο την διαγώνιο ΒΔ. Δείξτε ότι : ΑΒ +ΑΔ +ΒΓ +ΓΔ =ΑΓ 4 7. Σε κάθε τρίγωνο μα αποδειχθούν i) μ α <μ γ α>γ ii) Α>0 αν βγ= iii)α +γ βμ β 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΓΘ =ΘΑ +ΘΒ όπου Θ το κέντρο βάρους. Δείξτε ότι: i) αμ α =βμ β ii). 9. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και το ύψος ΒΔ. Να δείξετε oτι: AM =BM + AΔ 0. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ διάμεσος και Ε σημείο της ΒΔ. Αν η παράλληλη από το Δ προς την ΑΕ τέμνει την ΑΒ στο Η, δείξτε ότι : (ΒΕΗ)=(ΑΔΓ).. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τμήματα ΑΔ = 3 ΑΒ και ΑΕ = 4 3 ΑΓ. Αν Μ μέσο της ΑΓ και η παράλληλη από το Μ προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Η δείξτε ότι: (ΑΒΗ) = (ΒΔΕΓ). 3. Το τρίγωνο που έχει πλευρές ίσες με τις διαμέσους τριγώνου ΑΒΓ έχει εμβαδόν ίσο με τα 4 3 του (ΑΒΓ). 4.. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα τυχαία τμήματα ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ που διέρχονται από το τυχαίο Ρ (εσωτερικό του τριγώνου). Να αποδειχτεί ότι: ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 6

(ΘΕΩΡΗΜΑ CEVA). 5. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R), Δ μέσο της ΒΓ και Ε μέσο του τόξου ΑΓ. Αν η ΕΔ τέμνει τόν κύκλο στο Η, να βρεθεί το τμήμα ΔΗ. 6. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και η χορδή του ΑΒ =λ 6. Στο Α φέρνουμε την εφαπτομένη χ'χ του κύκλου και από το Β την κάθετη στη χ'χ, που την τέμνει στο Γ. Να βρεθεί το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ. 7. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά α. Με διαμέτρους τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ γράφουμε ημικύκλια στο εσωτερικό του τετραγώνου. Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν των τεσσάρων σχηματιζόμενων 'φύλλων'. 8. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ = R και κέντρου Ο. Στο εσωτερικό του ημικυκλίου γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων ΟΑ, ΟΒ και τον κύκλο, έστω κέντρου Κ, που εφάπτεται στα τρία ημικύκλια. α) Να δειχθεί ότι η ακτίνα του κύκλου κέντρου Κ είναι 3 R β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τον κύκλο και τα τρία ημικύκλια. γ) Να βρεθεί η περίμετρος του παραπάνω χωρίου. 9. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ = R και τα σημεία Γ, Δ της ΑΒ τέτοια ώστε: ΑΓ = ΒΔ < R. Γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων ΑΓ, ΒΔ και ΓΔ ώστε τα δύο πρώτα να βρίσκονται στο εσωτερικό του αρχικού ημικυκλίου και το τρίτο στο εξωτερικό του. Αν η κάθετη στην ΑΒ στο μέσον της Ο τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ στο Κ και το ημικύκλιο διαμέτρου ΓΔ στο Λ, να δειχθεί ότι το εμβαδόν, που περικλείεται μεταξύ των τεσσάρων ημικυκλίων είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου με διάμετρο την ΚΛ. 0.Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο, R), (Ο, R) και Δ σημείο του κύκλου (Ο, R). Από το Δ φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΔΑ και ΔΒ στον κύκλο (Ο, R). Βρείτε το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΔΑΒ.. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και μία ακτίνα του ΟΑ. Φέρνουμε τη χορδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στο μέσο της, Μ. Να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΒΑΓ.. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α με κέντρο Α και ακτίνα το ύψος του γράφουμε τόξο στο εσωτερικό του τριγώνου με άκρα Ε, Δστις πλευρές του. Να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που ορίζει η χορδή ΕΔ. 3. Αν η διάκεντρος ΚΑ δύο τεμνομένων κύκλων (Κ,R) και (Α,R) είναι ΚΑ = R 3 να βρεθεί το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κύκλων. 4.. Σε κύκλο (Ο, R) εγγράφου με ισόπλευρο τρίγωνο, στο τρίγωνο εγγράφουμε κύκλο και στον κύκλο αυτό τετράγωνο. Βρείτε το εμβαδόν του μέρους που βρίσκεται μεταξύ τετραγώνου και του περιγεγραμμένου του κύκλου. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 7

5. Να εγγραφεί σε κυκλικό τομέα ακτίνας R και γωνίας 60 0 κύκλος, και να βρεθεί το εμβαδόν του μέρους του κυκλικού τομέα, που δεν ανήκει στον εγγεγραμμένο κύκλο. 6. Σε κύκλο (Ο, R) φέρνουμε δύο κάθετες διαμέτρους ΑΒ, ΓΔ. Με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα ΔΑ γράφουμε το τόξο ΑΕΒ. Δείξτε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου μηνίσκου ΑΓΒΕΑ ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΔΑΒ. 7. Σε ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) γράφονται τέσσερεις ίσοι κύκλοι που εφάπτονται μεταξύ τους εξωτερικώς και εφάπτονται των πλευρών του τετραγώνου. Να βρεθεί ο λόγος του αθροίσματος των εμβαδών των τεσσάρων κύκλων προς το εμβαδόν του περιγεγραμμένου περί το τετράγωνο κύκλου. 8. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΟΒ και μια ακτίνα ΟΓ. Φέρνουμε την ΟΔ διχοτόμο της γωνίας ΓΟΒ. Να δειχθεί ότι η διαφορά των εμβαδών των κυκλ. τμημάτων που αντιστοιχούν στις χορδές ΑΔ και ΒΔ ισούται με το εμβαδόν του τομέα Ο, ΑΓ. 9. Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο. ΑΒ ακτίνας R. Στην ΟΒ παίρνουμε τμήμα ΟΔ =R 3 και υψώνουμε κάθετη στο Δ που τέμνει το τόξο ΑΒ στο Γ. Να βρεθεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΔΓΒ. 30.Ένα στρατόπεδο σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α φωτίζεται από έναν πρoβoλέα πάνω σε μια κολώνα στο κέντρο του στρατοπέδου. Ο πρoβoλέας είναι τοποθετημένος κατακόρυφα ώστε η φωτεινή περιοχή να σχηματίζει κύκλο. α) Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου ώστε να φωτίζεται ο χώρος μέχρι την περίφραξη. β) Να βρεθεί το εμβαδόν που μένει σκοτεινό. γ) Μπήκαν στις τρεις γωνίες 3 ακόμη προβολείς όμοιοι με τον αρχικό και με την ίδια τοποθέτηση. Ποιο το εμβαδόν της περιοχής που μένει σκοτεινό τώρα; δ) Θα είχαμε καλύτερα απoτελέσματα αν καταργούσαμε τον μεσαίο πρoβoλέα και στις τρεις άκρες τοποθετούσαμε προβολείς φωτεινού κύκλου ακτίνας ; 3.Στο τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ γράφουμε ημικύκλια διαμέτρων ΟΑ και ΟΒ που τέμνονται στο Ρ. Δείξτε ότι για τα εμβαδά των γραμμοσκιασμένων χωρίων ισχύει: (ΟΜΡΝ) = (ΡΑΚΒ). 3.Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Με κέντρα τις κορυφές του τετραγώνου και ακτίνα α, γράφουμε τεταρτοκύκλια εντός του τετραγώνου. Να βρεθεί το εμβαδό του σχηματιζόμενου καμπυλόγραμμου τετραγώνου. 33.. Δίνεται ό κύκλος διαμέτρου ΑΒ = ρ. 'Ενα σημείο Γ χωρίζει την ΑΒ σε λόγο. Με διαμέτρους ΑΓ και ΓΒ γράφουμε ημικύκλια εκατέρωθεν της ΑΒ. Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδώντων δύο χωρίων που ορίζονται από τον κύκλο(ο, ρ) και τα δύο ημικύκλια. 34. Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Αν το εμβαδόν του μη κοινού μέρους του κυκλ. δίσκου (Ο, R) και του τριγώνου ΑΒΓ είναι Ε= 4π - 3 3 να υπολογιστούν τα α και R. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 8

35. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90, Β=60 και ΒΓ=4cm. Με κέντρο Β και ακτίνα ΑΒ γράφουμε τόξο που τέμνει τη ΒΓ στο Μ. Με κέντρο Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουμε τόξο που τέμνει την ΑΓ στο Ν. Να υπολογιστεί η περίμετρος και τo εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου πoύ σχηματίζεται από το τμήμα ΑΝ και τα τόξα ΑΜ και ΜΝ. 36. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε και ε με d(ε, ε ) = 6 και ο κύκλος (Ο, 3 ) με κέντρο Ο που βρίσκεται στη μεσοπαράλληλη των ε, ε. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κοινού μέρους του κύκλου και της ζώνης των ε, ε. 37. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ = α. Γράφουμε το τόξo BΓ του κύκλου (Α, ΑΒ) και το ημικύκλιο ΒΓΜ διαμέτρου ΒΓ. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μηνίσκου είναι ίσο με το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α. 38.Θεωρούμε τους κύκλους (Κ, ρ) και (Λ, ρ) με διάκεντρο ΚΛ = ρ. Αν η περίμετρος του κοινού χωρίου τους είναι 8π, να υπολογιστεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μηνίσκου. 39. Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και Γ, Δ σημεία της ΑΒ τέτοια ώστε: ΑΓ = ΓΟ = ΟΔ = ΔΒ. Στο ένα από τα δύο ημιεπίπεδα, που ορίζει η ΑΒ γράφουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους ΑΓ, ΑΟ και ΑΔ και στο άλλο ημιεπίπεδo τα ημικύκλια με διαμέτρους ΒΔ, ΒΟ και ΒΓ. Τα τόξα των ημικυκλίων ΑΓ, ΓΒ ορίζουν μια γραμμή όπως και των ημικυκλίων ΑΟ, ΟΒ και ΑΔ, ΔΒ. Να δειχθεί ότι οι τρεις αυτές γραμμές χωρίζουν τον κύκλο σε τέσσερα ισοδύναμα καμπυλόγραμμα χωρία. 40. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Με διάμετρο τη ΒΓ γράφουμε ημικύκλιο προς το μέρος του τριγώνου που τέμνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα Δ, Ε αντίστοιχα: α) Να βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών των κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται στο εξωτερικό του τριγώνου. β) Να βρεθεί το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΔΕ. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) με ΒΓ = R 3 και ΑΓ = R Από το Ο φέρνουμε παράλληλη στη ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Κ, Λ αντίστοιχα. Να βρεθεί: α) Το εμβαδόν του τραπεζίου ΒΚΛΓ. β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το τρίγωνο. 4. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και τα τυχαία σημεία Γ, Δ της ΑΒ με ΑΓ < ΑΔ. Γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων ΑΓ, ΒΔ και Γ Δ έτσι ώστε τα δύο πρώτα να βρίσκονται στο εσωτερικό του αρχικού ημικυκλίου και το τρίτο στο εξωτερικό του. Αν Ε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου χωρίου που περικλείεται μεταξύ των τεσσάρων ημικυκλίων να δειχθεί ότι: Ε = 4 43. Να βρεθεί το εμβαδόν κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε κυκλικό τομέα γωνίας 90 όταν γνωρίζουμε την ακτίνα R του τομέα. 44. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Με διάμετρο τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ γράφουμε ημικύκλια στο εσωτερικό του τετραγώνου, που τέμνονται στο Ο. Αν ΕΖ είναι το κοινό ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 9

εφαπτόμενο τμήμα των δύο ημικυκλίων να βρεθεί το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΟΕΖ. 45. Δύο ίσοι κύκλοι (Κ,ρ) και (Λ,ρ) τέμνονται εξωτερικά στο σημείο Γ. Με διάμετρο το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους ΑΒ, γράφουμε ημικύκλιο εκτός των κύκλων. Να δείξετε ότι το ΑΒΛΚ είναι ορθογώνιο με εμβαδόν, ίσο με το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από το ημικύκλιο ΒΑ και τα κυρτογώνια τόξα ΑΓ και ΒΓ. 46.Η διαφορά των εμβαδών των τετραγώνων τα οποία είναι το ένα εγγεγραμμένο και το άλλο περιγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,R) είναι.τ.μ. Να υπολογιστούν: i. το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ( Ο,R). ii. το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ του εγγεγραμμένου τετραγώνου και του (Ο, R). iii. το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ του περιγεγραμμένου τετραγώνου και του (Ο,R). 47. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ (Ο=90 ). Με διαμέτρους ΟΑ και ΟΒ γράφουμε ημικύκλια που τέμνονται στο σημείο Γ. i) Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ii) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε του κοινού τμήματος των δύο παραπάνω ημικυκλικών δίσκων συναρτήσει της πλευράς ΟΑ=α. iii) Αν ΑΒ το κυρτογώνιο τόξο του κύκλου (Ο,ΟΑ), δείξτε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου είναι ίσο με το εμβαδό Ε του ερωτήματος (ii). 48.Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο.ΑΒ. Aν τα σημεία Γ, Δ ισαπέχουν από το μέσο του τόξου ΑΒ, δείξτε ότι το εμβαδόν του σχήματος που ορίζεται από το τόξο ΓΔ την ακτίνα ΟΑ και τις κάθετες ΔΚ, ΓΛ στην ΟΑ, είναι ίσο με το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο.ΓΔ. ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ. Γ Σελίδα 0