ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά σε κάποιες περιπτώσεις από αυτή του σχολικού βιβλίου. Απευθύνεται σε σας που είσαστε μαθητές τη Α τάξης με στόχο να σας βοηθήσει ως συμπλήρωμα του σχολικού βιβλίου στην προετοιμασία σας για τις εξετάσεις του Ιουνίου. Καλό διάβασμα. Μάιος 2014. ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1. Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν ίσες μία προς μία: i. 3 πλευρές ή ii. 2 πλευρές και τις περιεχόμενες γωνίες ή iii. 1 πλευρά και τις 2 προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες. 2. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: i. 2 πλευρές ίσες μια προς μία ή ii. 1 πλευρά και 1 οξεία γωνία ίσες μία προς μία. ΠΡΟΣΟΧΗ!: Στα ίσα τρίγωνα οι ίσες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 3. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι: i. Οι γωνίες της βάσης είναι ίσες. ii. Διάμεσος,διχοτόμος και ύψος που αντιστοιχούν στη βάση ταυτίζονται. 4. Από το αντίστροφο των πιο πάνω προτάσεων αποδυκνείεται ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές. Συγκεκριμένα: i. Αν ένα τρίγωνο έχει 2 γωνίες ίσες είναι ισοσκελές. ii. Αν σε τρίγωνο μία διάμεσος(ή ένα ύψος ή μια διχοτόμος) είναι ταυτόχρονα και ύψος (ή διχοτόμος,ή διαμεσος) τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η ΒΖ είναι διχοτόμος της γωνίας Β και το ΒΕ είναι ύψος στο τρίγωνο ΑΒΔ. Αρα το ΑΒΔ είναι ισοσκελές με ΒΑ=ΒΔ 5. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει ότι: i. Οι 3 πλευρές είναι ίσες αλλά και οι 3 γωνίες είναι ίσες με 60 o. ii. Κάθε ύψος,διχοτόμος και διάμεσος που αντιστοιχεί στην ίδια πλευρά ταυτίζονται. π.χ a a a. 6. Το απόστημα μίας χορδής,είναι κάθετο στη χορδή στο μέσο της.αν προεκταθεί περνάει και από το μέσο του αντίστοιχου τόξου. i. Σε ίσες χορδές ενός κύκλου(ή ίσων κύκλων),αντιστοιχούν ίσα τόξα και αντίστροφα. ii. Σε ίσες χορδές ενός κύκλου(ή ίσων κύκλων),αντιστοιχούν ίσα αποστήματα και αντίστροφα. 7. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι η ευθεία που είναι κάθετη στο μέσο Μ του ΑΒ. i. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα Α και Β. ii. Αντίστροφα,αν ένα σημείο Σ του επιπέδου ισαπέχει από δύο σημεία Α και Β (ΣΑ=ΣΒ) τότε βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 8. Κάθε σημείο της διχοτόμου μίας γωνίας ισαπέχει από της πλευρές της γωνίας και αντίστροφα αν ένα σημείο ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας,τότε μπορούμε να είμαστε βέβαιοι πως βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας. 9. ΠΡΟΣΟΧΗ!: Η απόσταση ένός σημείου από μία ευθεία είναι πάντοτε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από την ευθεία προς το σημείο αυτό. 10. Σε κάθε τρίγωνο με πλευρές,, ισχύει:,. Η ανισότητα αυτή ονομάζεται τριγωνική ανισότητα και είναι απαραίτητη προυπόθεση για την δημιουργία τριγώνου. Για παράδειγμα τρίγωνο με πλευρές που έχουν μήκος 3,4,8 δεν υπάρχει αφού δεν ισχύει 8<3+4.

11. Κάθετες και πλάγιες. i. Αν 2 πλάγια τμήματα προς μία ευθεία είναι ίσα τότε τα ιχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου και αντίστροφα. ii. Ενα κάθετο ευθύγραμμο τμήμα προς μία ευθεία είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο ευθ. τμήμα προς την ευθεία αυτή.σα<σδ<σβ iii. Αν δύο πλάγια ευθ. τμήματα είναι άνισα τότε οι αποστάσεις τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοίως άνισες και αντίστροφα.δηλαδή ΣΔ<ΣΒ ΔΑ<ΔΒ 12. Για να αποφανθούμε για τις σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου συγκρίνουμε την απόσταση δ του κέντρου του κύκλου από την ευθεία ε με την ακτίνα ρ του κύκλου. i. Αν δ=ρ ευθεία και κύκλος εφάπτονται. ii. Αν δ<ρ η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. iii. Αν δ>ρ η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. 13. Για να προσδιορίσουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων συγκρίνουμε τη διάκεντρο δ=κλ με το άθροισμα R+ρ ή τη διαφορά R-ρ των ακτίνων των δύο κύκλων. Αν δ=r+ρ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και αντίστροφα R Κ Α δ ρ Λ Αν δ=r-ρ τότε οι κύκλοι είναι εφαπτόμενοι εσωτερικά και αντίστροφα Κ ρ δ Λ R Α Αν δ>r+ρ τότε ο κάθε κύκλος είναι εκτός του άλλου και αντίστροφα. Κ R δ ρ Λ

Αν δ<r-ρ τότε ο κύκλος με τη μικρότερη ακτίνα βρίσκεται εντός του άλλου και αντίστροφα Κ ρ δ R Λ Αν R-ρ<δ<R+ρ τότε οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία και αντίστροφα. Στην περίπτωση αυτή η διάκεντρος ΚΛ είναι μεσοκάθετη της κοινής χορδής ΒΓ. Κ R δ Β Γ ρ Λ i. Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου,που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους δηλ. ΡΑ=ΡΒ και κάθετα στις ακτίνες ΑΟ και ΟΒ στα σημεία επαφής. ii. Η διακεντρική ευθεία ΡΟ διχοτομεί την γωνία APB των εφαπτόμενων τμημάτων iii. και την γωνία AOB ακτίνων. των Η ΡΟ είναι μεσοκάθετος της χορδής ΑΒ που έχει σαν άκρα τα σημεία επαφής. 14. Γεωμετρικό τόπος ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου τα οποία πληρούν μια κοινή ιδιότητα.

Οι βασικοί γεωμετρικοί τόποι είναι ο κύκλος,η μεσοκάθετος και η διχοτόμος. 15. ΠΛΕΥΡΕΣ ΚΑΙ ΓΩΝΙΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ i. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από τις 2 απέναντι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου. ii. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται ομοίως άνισες γωνίες και αντίστροφως. iii. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες 1 προς 1 και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες,τότε και οι τρίτες πλευρές είναι ομοίως άνισες και αντιστρόφως. 16. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ i. Αν δύο παράλληλες ευθείες ε 1 και ε 2 τέμνονται από μια τρίτη ευθεία ζ,οι εντός εναλλάξ και οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες ενώ οι εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές. ii. Αν οι ευθείες ε 1 και ε 2 τέμνονται από μια τρίτη ευθεία ζ και 2 εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες τότε ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες. Το ίδιο συμβαίνει αν 2 εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες ή αν δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές. 17. Οι διχοτόμοι δύο εντός εναλλάξ γωνιών είναι παράλληλες, ενώ οι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά γωνιών είναι κάθετες. 18. ΕΥΚΛΕΙΔΙΟ ΑΙΤΗΜΑ Από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε μοναδική παράλληλη προς την ευθεία αυτή. 19. Αν δύο ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες προς τρίτη ευθεία ε τότε είναι παράλληλες και μεταξύ τους,δηλαδή ε 1 // ε 2. 20. Αν δύο ευθείες ε 1 και ε 2 είναι κάθετες προς τρίτη ευθεία ε τότε είναι μεταξύ τους παράλληλες,δηλαδή ε 1 // ε 2. 21. Αν δύο ευθείες ε 1 και ε 2 τέμνονται από τρίτη ευθεία ε σχηματίζουν τις εντός και επι τα αυτά γωνίες και με άθροισμα μικρότερο από 180 ο,τότε τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες αυτές. 0 180.

22. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες (ή κάθετες) είναι ίσες αν είναι και οι δύο είναι οξείες ή και οι δύο αμβλείες,ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. Οι γωνίες, είναι και οι δύο οξείες και έχουν πλευρές παράλληλες οπότε είναι ίσες. Οι γωνίες, έχουν πλευρές παράλληλες με την γωνία ω,αλλά οι μεν είναι οξείες και η δε αμβλεία,άρα είναι παραπληρωματικές δηλαδή θ+ω=180 0. Αντίστοιχα ισχύουν για τις γωνίες που έχουν πλευρές κάθετες. Οι γωνίες = 1 = θ είναι οξείες με πλευρές κάθετες, ενώ οι =θ και 2 =ω έχουν πλευρές κάθετες αλλά είναι παραπληρωματικές αφού η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

23. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ i. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 0. ii. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. Πχ εξωτ = + iii. Οι γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ισες με 60 0 iv. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με =90 0, τότε =90 0 - και =90 0 -. v. Αν ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με =, τότε =180 0-2 =180 0-2 και = =90 0-2 vi. Η πρόταση της εφαρμογής 2 σελ 86 σχολικό βιβλίο. 24. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΚΥΡΤΟΥ ν-γωνου i. Το άθροισμα των γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι ίσο με (2ν-4).90 0 όπου ν το πλήθος των πλευρών του. ii. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού ν-γώνου είναι ίσοπ με 360 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ -ΤΡΑΠΕΖΙΑ 25. Παραλληλόγραμμο A. Ορισμός: Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. B. Ιδιότητες: 1)Απέναντι πευρές και γωνίες ίσες 2) Διαγώνιοι διχοτομούνται.

C. ΚΡΙΤΗΡΙΑ:Ενα τετράπλευρο είναι παραλ/μο αν ισχύει ένα απ' τα παρακάτω: i. Απέναντι πλευρές να είναι ανά δύο ίσες. (ΑΒ=ΓΔ και ΑΔ=ΒΓ) ii. Δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.(π.χ. ΑΒ//=ΓΔ) iii. Οι απέναντι γωνίες να είναι ανά δύο ίσες.(α=γ και Β=Δ) iv. Οι διαγώνιοι να διχοτομούνται.(οα=ογ και ΟΒ=ΟΔ) 26. Ορθογώνιο A. Ορισμός: Ορθογώνιο λέγεται το παραλ/μο που έχει 1 ορθή γωνία. B. Ιδιότητες: Το ορθογώνιο έχει όλες τις ιδιότητες των παραλ/μων και επιπλέον ίσες διαγωνίους. C. ΚΡΙΤΗΡΙΑ: Ενα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει ένα από τα παρακάτω: i. Είναι παραλ/μο και έχει 1 ορθή γωνία. ii. Είναι παραλ/μο και έχει διαγώνιες ίσες. iii. Είναι ένα τετράπλευρο με 3 ορθές γωνίες. iv. Είναι ένα τετράπλευρο με 4 ίσες γωνίες. 27. Ο Ρόμβος. A. Ορισμός:Ρόμβος λέγεται το παραλ/μο που έχει 2 διαδοχικές πλευρές ίσες. B. Ιδιότητες: Ο Ρόμβος έχει όλες τις ιδιότητες των παραλ/μων και επιπλέον οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες του. C. ΚΡΙΤΗΡΙΑ: Ενα τετράπλευρο είναι Ρόμβος, αν ισχύει ένα από τα παρακάτω: i. έχει 4 πλευρές ίσες. ii. είναι παραλ/μο και έχει 2 διαδοχικές πλευρές ίσες. iii. είναι παραλ/μο και οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα. iv. είναι παραλ/μο και 1 διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του. 28. Τετράγωνο A. Ορισμός: Τετράγωνο λέγεται το παραλ/μο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος μαζί. B. Ιδιότητες: Το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες των παραλ/μων και επιπλέον 4 πλευρές ίσες, 4 γωνίες ορθές, διαγώνιές ίσες που τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες του. C. ΚΡΙΤΗΡΙΑ:Συνδυάζουμε μια ιδιότητα του ορθογωνίου και μία του ρόμβου. Ενα παραλ/μο είναι τετράγωνο αν ισχύει ένα από τα παρακάτω: i. 1 ορθή γωνία και 2 διαδοχικές πλευρές ίσες. ii. 1 ορθή γωνία και οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα.

iii. 1 ορθή γωνία και 1 διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του. iv. διαγώνιες ίσες και 2 διαδοχικές πλευρές ίσες. v. διαγώνιες ίσες και οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα. vi. διαγώνιες ίσες και 1 διαγώνιος να διχοτομεί 1 γωνία του. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛ/ΜΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΡΟΜΒΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Πλευρές ανά δύο παράλληλες και ίσες ναι ναι ναι Απέναντι γωνίες ίσες και διαγώνιοι διχοτομούνται οχι ναι ναι Διαγώνιες ίσες ναι οχι ναι Διαγώνιες τέμνονται κάθετα οχι ναι ναι Διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες οχι ναι ναι 4 πλευρές ίσες και 4 γωνίες ίσες οχι ναι ναι 4 γωνίες ορθές ναι οχι ναι 29. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΟΙ ΚΥΚΛΟΙ i. Εγγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο: Εφάπτεται στις πλευρές του τριγώνου και έχει κέντρο το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου που ονομάζεται έγκεντρο. ii. iii. iv. Περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο: Οι κορυφές του τριγώνου είναι τα μοναδικά κοινά σημεία του με τον κύκλο. Το κέντρο αυτού είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των τριών πλευρών του που ονομάζεται περίκεντρο. Ορθόκεντρο λέγεται το σημείο τομής των τριών υψών κάθε τριγώνου. Στα αμβλυγώνια τρίγωνα το ορθόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Βαρύκεντρο λέγεται το σημείο τομής των τριών διαμέσων.το βαρύκεντρο χωρίζει κάθε διάμεσο σε λόγο 2:1 Δηλαδή στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΒG= 2 3 BM,GM= 1 ΒΜ και ΒG=2 GM. 3 Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν και για τις υπόλοιπες διαμέσους.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ 30. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ίσο με το μισό της. Δηλαδή αν Δ,Ε μέσα των ΑΒ και ΑΓ,τότε ΔΕ//ΒΓ και ΔΕ=ΒΓ/2 31. Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρω ευθεία παράλληλη προς μία δεύτερη πλευρά,τότε αυτή περνά από το μέσο της τρίτης του πλευράς. Δηλαδή αν Δ μέσο της ΑΒ και Δ Χ //ΒΓ, τότε Ε μέσο της ΑΓ.

32. Αν 3 (ή παραπάνω) παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα πάνω σε μια ευθεία που τις τέμνει,τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα πάνω και σε κάθε άλλη αιτία που τις τέμνει. Δηλαδή αν ε 1 //ε 2 //ε 3 και ΑΒ=ΑΓ τότε και ΔΕ=ΕΖ και ΔΘ=ΘΙ 33. Μεσοπαράλληλη 2 ευθείων λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις 2 ευθείες.συγκεκριμένα πρόκειτε για ευθεία που είναι παράλληλη προς τις 2 ευθείες και ισαπέχει από αυτές. Στο παραπάνω σχήμα η ε2,είναι η μεσοπαράλληλη των ε1 και ε3. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ενώνοντας τα μέσα πλευρών τετραπλεύρου προκύπτει παραλληλόγραμμο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ 34. Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του είναι ίση με το μισό αυτής και αντίστροφα.

Δηλαδή αν 0 90 και ΑΜ διαμέσος B ισχύει: AM 2 Αντίστροφα: Αν ΑΜ διάμεσος και B AM τότε : 0 90 2 35. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο που έχει μία γωνία ίση με 30 0 η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από αυτή τη γωνία είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα αν μία κάθετη πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας τότε απέναντι από αυτή βρίσκεται γωνία 30 0. Δηλαδή αν 0 90 και 0 30 τότε Αντίστροφα: αν 0 90 και B A. 2 B A τότε 0 30. 2 ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΟ-ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ 36. Ορισμός: Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει 2 πλευρές παράλληλες. 37. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών λέγεται διάμεσος.

Ισχύουν : i. ά, ii. iii. 2 Η διάμεσος διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων και ισχύει: 2 38. Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο που έχει τις μή παράλληλες πλευρές ίσες. Ιδιότητες: 1) Οι προσκείμενες γωνίες στις βάσεις του είναι ανά δύο ίσες. 2)Οι διαγώνιοι του είναι ισοι. Κριτήρια:Για να δείξουμε ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές πρέπει να δείξουμε ένα από τα παρακάτω: ότι έχει δύο προσκείμενες σε μία βάση γωνίες ίσες ή ότι έχει ίσες διαγωνίους. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

39. Επίκεντρη και εγγεγραμμένη γωνια i. Επίκεντρη ονομάζουμε την γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου. Δηλαδή η που βαίνει στο τόξο. (σχ1.) ii. Εγγεγραμμένη την γωνία που έχει την κορυφή της πάνω στον κύκλο. Δηλαδή η που βαίνει στο τόξο. (σχ1.) iii. οι πλευρές αυτών των γωνιών και ο κύκλος ορίζουν τόξο. iv. Η επίκέντρη γωνία έιναι ίση με το τόξο στο οποίο βαίνει και αντίστροφα. v. Η εγγεγραμμένη έιναι ίση με το μισό του τόξου στο οποίο βαίνει και αντίστροφα vi. Η εγγεγραμμένη έιναι ίση με το μισό της επικέντρης γωνίας με την οποία βαίνουν στο ίδιο τόξο. (σχήμα 1) vii. Υπάρχουν άπειρες εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο,μα μόνο μία επίκεντρη. (σχήμα 2) viii. Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα. (σχ2.) ix. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. (σχ3.) σχ1. σχ2. σχ3. 40. Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή και από μία εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ονομάζεται γωνία χορδής και εφαπτομένης και είναι ίση με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής. Οι γωνίες και είναι γωνίες χορδής-εφαπτομένης και είναι ίσες με τις εγγ/νες γωνίες και αντίστοιχα.

41. Μια γωνία που η κορυφή της δεν βρίσκεται ούτε πάνω στον κύκλο,ούτε στο κέντρο του κύκλου,λέγεται γωνία δύο τεμνουσών και το μέτρο της εξαρτάται από την θέση της ως προς τον κύκλο και τα μετρα των τόξων που ορίζει πάνω στον κύκλο. (Σχ1.) και (Σχ2.) 2 2 2 2 σχ1 σχ2 42. Ορθογώνιοι κύκλοι λέγονται αυτοί που οι εφαπτομένες τους στα κοινά τους σημεία τέμνονται κάθετα. 43. Εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα. i. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο,αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου. ii. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο σε κύκλο όταν μπορεί να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από τις 4 κορυφές του.

44. Σε κάθε τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές πχ 0 180 (σχ1. ) και κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές του υπό ίσες γωνίες πχ η πλευρά ΓΔ φαίνεται από τις κορυφές Α,Β υπό ίσες γωνίες ΔΑΓ καιδβγ (σχ2.) 45. Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίση με την απέναντι εσωτερική. σχ1. 46. ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν ισχύει ένα από τα παρακάτω κριτήρια: i. Δύο απέναντι πλευρές του είναι παραπληρωματικές. ii. Μία πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. iii. Μια εξωτερική γωνία είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου. 47. Κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. 48. Οι διχοτόμοι των γωνιών κυρτού τετραπλεύρου σχηματίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο. 49. Περιγεγραμμένο τετράπλευρο στον κύκλο λέγεται το τετράπλευρο που οι πλευρές του εφάπτονται στον κύκλο. Ιδιότητες: i. Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο που είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. ii. Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα. ΗΛ+ΚΘ=ΛΚ+ΗΘ 50. Κριτήρια περιγράψιμων τετραπλεύρων: Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμμο αν ισχύει μία από τις παραπάνω δύο ιδιότητες. σχ2.