http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής
Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα
Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής φυσικού μεγέθους με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια
Παράμετροι φυσικού φαινομένου Απευθείας μετρήσεις Επαγωγικός προσδιορισμός Πειραματικά μεγέθη Σφάλματα Συστηματικά σφάλματα Τυχαία Σφάλματα R=1000 ± 50 Ohm
Τι κάνουμε στην πράξη; Τα συστηματικά σφάλματα είναι πιο επικίνδυνα από τα τυχαία. Αν υπάρχουν μεγάλα τυχαία σφάλματα σε ένα πείραμα, τότε αυτά θα εκδηλωθούν στο αποτέλεσμα σαν μεγάλη τιμή του σφάλματος. Έτσι ξέρουμε ότι το αποτέλεσμα δεν είναι ακριβές και παίρνουμε τα μέτρα μας. Από την άλλη πλευρά η κρυφή παρουσία ενός συστηματικού σφάλματος μπορεί να οδηγήσει σ ένα φαινομενικά αξιόπιστο αποτέλεσμα, με μικρό σφάλμα, το οποίο απέχει πολύ από την πραγματική τιμή. εν υπάρχει ασφαλής κανόνας για να βρούμε και να εξουδετερώσουμε συστηματικά σφάλματα. Είναι θέμα πείρας και εκλογής της πειραματικής μεθόδου. Γενικά, θα πρέπει να υποπτευόμαστε πάντοτε τις συσκευές μας και αν είναι απαραίτητο να τις ρυθμίζουμε συγκρίνοντας τες με άλλες που τις θεωρούμε πιο ακριβείς.
Συστηματικά Σφάλματα Τα συστηματικά σφάλματα παρουσιάζονται σε μια ομάδα μετρήσεων και μπορούμε συνήθως με μια προσέγγιση να τα απαλείψουμε Οφείλονται: 1). Στις ατέλειες των οργάνων μέτρησης 2). Στη μέθοδο μέτρησης: Από την τάξη μεγέθους του φυσικού μεγέθους Από τη φύση του φυσικού μεγέθους Από την ζητούμενη πιστότητα 3). Σε εξωτερικά αίτια που παραμένουν σταθερά. 4). Στον παρατηρητή Τυχαία Σφάλματα Τα τυχαία σφάλματα παρουσιάζονται σε μεμονωμένες μετρήσεις και με τη βοήθεια της επανάληψης της μέτρησης και της θεωρίας σφαλμάτων μπορούμε να τα υπολογίσουμε Οφείλονται: 1). Στην περιορισμένη ευαισθησία των οργάνων μετρήσεων 2). Στον παρατηρητή 3). Στην αστάθεια των εξωτερικών συνθηκών
Καταγραφή Μετρήσεων Ποια είναι η ένδειξη του οργάνου; Η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους με οποιοδήποτε όργανο μας δίνει μια αριθμητική τιμή (δηλ. μια σειρά ψηφίων) που διαβάζουμε πάνω στην κλίμακα του οργάνου που χρησιμοποιούμε. Οι χαραγές της κλίμακας χρησιμεύουν για να διαβάζουμε τα ψηφία της μέτρησης. Αν ο δείκτης του οργάνου έχει σταματήσει σε ενδιάμεση θέση δηλ. μεταξύ δύο χαραγών της κλίμακας, τότε το διάστημα της προηγούμενης χαραγής και του δείκτη το υπολογίζουμε κατ εκτίμηση και το προσθέτουμε στην τιμή που αντιπροσωπεύει ή αμέσως προηγούμενη χαραγή. Κατά κανόνα θεωρούμε πως μπορούμε να εκτιμήσουμε με ικανοποιητικό βαθμό το μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης μιας κλίμακας. Ανάλογα με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κλίμακας και της βελόνας είναι δυνατό να εκτιμήσουμε και μικρότερη υποδιαίρεση.
Αξιοπιστία Μετρήσεων Ο λόγος αυτής της μικρότερης ποσότητας που μπορεί να διαβάσει σε μια κλίμακα (το ½ μεταξύ δύο διαδοχικών χαραγών) προς τη μεγαλύτερη τιμή την οποία μπορεί να διαβάσει κανείς στην ίδια κλίμακα εκφρασμένος σε % λέγεται ακρίβεια ανάγνωσης της κλίμακας του οργάνου. Το ποσό της φυσικής ποσότητας στο οποίο αντιστοιχεί η μικρότερη υποδιαίρεση που υπάρχει στην κλίμακα λέγεται ακρίβεια του οργάνου και εκφράζεται στις ίδιες μονάδες της φυσικής ποσότητας. Ητάξημεγέθουςτηςφυσικήςποσότηταςπουαντιστοιχείστημικρότερηένδειξη της κλίμακας του οργάνου χαρακτηρίζει την ευαισθησία του οργάνου, η οποία αντιστοιχεί σε κάποια δύναμη του 10 θετική ή αρνητική. Ητάξητουμεγέθους(δηλ. ησειράτουψηφίουστοναριθμότηςμετρούμενηςποσότητας) καθορίζει και σε ποιο ψηφίο υπάρχει αβεβαιότητα στην ανάγνωση της μέτρησης που παίρνουμε. Αυτό ακριβώς το ψηφίο το καλούμε κατ εκτίμηση σε αντιδιαστολή με όσα βρίσκονται αριστερά του, τα οποία Υπολογίστε καλούμε σημαντικά, την ακρίβεια αφού ανάγνωσης, είμαστε βέβαιοι την για ακρίβεια την τάξη μεγέθους και την ευαισθησία τους. των οργάνων που φαίνονται Όταν παραθέτουμε ένα οποιοδήποτε αριθμό που αντιπροσωπεύει πειραματική μέτρησηενόςφυσικούμεγέθους, το τελευταίο ψηφίο θεωρείται πάντα κατ εκτίμηση και όταν δίνεται και η ακρίβεια του οργάνου, τότε ορίζονται σαφώς και τα όρια αξιοπιστίας του μέτρου. Ηένδειξη53±1 Volts για μια πειραματική μέτρηση τάσης δείχνει ότι μετρήθηκε η τιμή 53 Volt, το ψηφίο 5 είναι σημαντικό ενώ το 3 είναι κατ εκτίμηση και λόγω της ακρίβειας του οργάνου (1 Volt) παίρνει τιμές από 2 μέχρι 4 (και η τάση κατά συνέπεια από 52 μέχρι 54 Volt)
Πηγές Σφαλμάτων Μήκος l 3 Α). Μετρείστε τα διπλανά μήκη (cm) Μήκος l 1 Μήκος l 2 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 Β). Μετρείστε τις τάσεις στο βολτόμετρο Μήκοςl 4 Γ). Μετρείστε τους χρόνους (t 1, t 2, t 3 ) με το ρολόι ή το κινητό σας
Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Μέτρηση μήκους l 3 Μέτρηση Τάσης U (cm) 4 (V) Μέτρηση χρόνου t 3 (s) A/A Μήκος l 3 (cm) A/A Τάση U 4 (V) A/A Xρόνος t 3 (s) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 Μέση Τιμή: Μέση Τιμή: Μέση Τιμή:
Η ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ ΣΦΑΛΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ: ε i =x i -Χ Τυπική Απόκλιση s i N i 1 2 ε i N 1 Τυπικό Σφάλμα m s π σ m 100% X
Η ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ Μέση αριθμητική τιμή _ x 1 N in i 1 x i Απόκλιση από τη μέση τιμή di x i _ x Τυπικό Σφάλμα Τυπική Απόκλιση m s π σ m _ x 100% s 1 i N 2 d i N i 1
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 Διάγραμμα Αριθμητικής Τιμής Μέτρησης - Αριθμού Μέτρησης 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
1500 Διάγραμμα Απόκλισης - Αριθμού Μέτρησης 1000 500 0-500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920-1000 -1500
Κατανομή Μετρήσεων Αν η κατανομή των μετρήσεων γύρω από τη μέση τιμή (ή την τιμή d i =0) είναι συμμετρική τότε μπορεί να αναπαραστεί και από την αντίστοιχη καμπύλη κατανομής: οι πιο συνηθισμένες είναι: Gauss. Lorenz, Poisson. Συχνότητα ιάστημα τιμών Συχνότητα 1000 800 600 400 200 0 40-50 27 50-60 98 60-70 214 70-80 436 80-90 775 90-100 952 100-110 962 110-120 784 120-130 421 40 60 80 100 120 140 160 130-140 219 Περιοχές Τιμών 140-150 78 150-160 34 Κατανομή Poisson Lorenz Gauss Οξύτερη καμπύλη Gauss καλύτερη ποιότητα μετρήσεων 1 r N i N d i i1 5 r σ m 4 N 1
s m 1 i N 2 d i N i 1 s π Σφάλματα di _ x i x 1 ος τρόπος 2 ος τρόπος σ m _ x 100% r σ m 1 N i N i1 d i 5 r 4 N 1
Πόσα δεκαδικά ψηφία κρατάμε σε κάθε υπολογισμό με υπολογιστή τσέπης; Αυτό εξαρτάται από την τάξη μεγέθους του υπολογισμένου μεγέθους και από τη ζητούμενη αξιοπιστία. Ο αριθμός 0.226 στρογγυλοποιείται στον 0.23 και αυτός με τη σειρά του στον 0.2. Αν αυτός χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια στο τετράγωνο τότε αντί του 0.051076 έχουμε χρησιμοποιήσει των 0.04 (σφάλμα 2.8%). Ο αριθμός 220.226 μπορεί να στρογγυλοποιηθεί στο 220.2 χωρίς κανένα πρόβλημα (ακόμη και στο 220). Αν όμως οι μεταβολές που παρουσιάζονται γίνονται από το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο και μετά, χάνεται η αξιοπιστία του υπολογισμού. Εκτιμώντας λοιπόν τα παραπάνω καταλήγουμε ότι συνήθως τα δύο τρία δεκαδικά ψηφία είναι επαρκή εκτός αν τα μεγέθη που μετράμε είναι πολύ μικρά ή υπόκεινται σε πολύ μικρές μεταβολές ή ζητάμε τη μέγιστη αξιοπιστία.
Μετάδοση Σφαλμάτων Πως μεταδίδονται τα σφάλματα όταν από πειραματικές μετρήσεις προκύπτουν επαγωγικά δευτερεύοντα μεγέθη από υπολογισμούς; Μεγενθύνοντας τη φωτογραφία x4 (4 φορές) φαίνονται οι ατέλειες και τα σφάλματα που δεν είναι ορατά στο τρέχον μέγεθος της φωτογραφίας. Όταν ένα πειραματικό μέγεθος πολλαπλασιάζεται το σφάλμα του υπόκειται στον ίδιο πολλαπλασιασμό. Άρα αν έχουμε μετρήσει ένα μήκος με ένα χάρακα και το βρήκαμε 15 cm με σφάλμα 1 cm (15 ± 1 cm) Και θέλουμε στη συνέχεια το 10000πλάσιο του θα έχουμε (150000 ± 10000 cm)
Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε αντίσταση με τη βοήθεια ενός βολτομέτρου και ενός αμπερομέτρου και πήραμε τις παρακάτω μετρήσεις: Μετάδοση Σφαλμάτων Μέγεθος Μέτρηση Σφάλμα V (Volt) 12 1 I (A) 0.05 0.01 R (Ω) 240 52 % 8,3 20 21,7 Η αντίσταση προκύπτει από το νόμο του Ohm R=V/I ενώ το αντίστοιχο σφάλμα προκύπτει από τη σχέση 2 2 2 V R V R P (W) 12 3,54 29,5 Η ισχύς προκύπτει από το τύπο P= V I ενώ το αντίστοιχο σφάλμα προκύπτει από τη σχέση 2 2 2 V P V P
Μετάδοση Σφαλμάτων Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε την ολική αντίσταση ενός κυκώματος που αποτελείται από τρεις αντιστάσεις σε σειρά που μετρήθηκαν με βολτόμετρο και αμπερόμετρο: Σφάλμα Μέγεθος Μέτρηση τιμή % V 1 (V) 12 2? 16.7 I 1 (ma) 0.5 0.05? 10.0 R 1 (Ω)??? 24000 4664.8 19.4 V 2 (V) 8 1? 12.5 I 2 (ma) 0. 1 0.01? 10.0 R 2 (Ω)??? 80000 12806 16.0 V 3 (V) 20 4? 20.0 I 3 (ma) 1 0.1? 10.0 R 3 (Ω)??? 20000 4472 22.4 Η αντίσταση προκύπτει από το νόμο του Ohm R=V/I ενώ το αντίστοιχο σφάλμα προκύπτει από τη σχέση R R 2 V V 2 2 Η ολική αντίσταση προκύπτει από τον τύπο R ολ =R 1 +R 2 +R 3 ενώ το αντίστοιχο σφάλμα προκύπτει από τη σχέση (σ Rολ ) 2 =(σ R1 ) 2 +(σ R2 ) 2 +(σ R3 ) 2 R oλ (Ω) 124000? 14344? 11.6?
Σχέση μεταξύ μεγεθών Σφάλματα Μετάδοση Σφαλμάτων Σχέση μεταξύ Σφαλμάτων Ζ=n A σ mz = n σ ma Z=A n σ mz /Z= n σ ma /A Z=ABC (σ mz ) 2 = (σ ma ) 2 +(σ mb ) 2 +(σ mγ ) 2 Z=A. B, Z=A/B (σ mz /Z) 2 = (σ ma /A) 2 +(σ mb /B) 2 Z=e A σ mz = e A σ ma Z=logA σ mz = σ ma /A ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Z = Z(A,B,C,...) (σ mz ) 2 = (Z/A σ ma ) 2 + (Z/B σ mb ) 2 + (Z/C σ mc ) 2 +
Άσκηση 1η: Θεωρία Σφαλμάτων Από τη μέτρηση μιας αντίστασης ενός σύρματος κατασκευάστηκε ο παρακάτω πίνακας. Εφαρμόζοντας τη θεωρία σφαλμάτων υπολογίστε ότι υπολείπεται και σχολιάστε τα αποτελέσματα. N V (Volt) I (ma) R (Ohm) d d 2 IdI 1 5,00 1,11 2 5,45 0,85 3 5,88 0,99 4 6,29 1,22 5 6,69 1,35 6 7,07 1,21 7 7,45 1,45 8 7,82 1,42 9 8,17 1,43 10 8,52 1,71 11 8,87 1,58 12 9,20 1,60 13 9,53 1,72 14 9,86 1,73 15 10,17 1,88 16 10,49 1,83 17 10,80 1,93 18 11,10 2,01 19 11,40 2,15 20 11,70 2,26 Αθροίσματα Μέσοι Όροι
Άσκηση 1η: ΘεωρίαΣφαλμάτων 1. 23. Αν Θεωρείστε Να γνωρίζετε γίνουν τα ότι διαγράμματα: ωςη σχέση πραγματική μεγεθών τιμή 1500 της αντίστασης α). Αντίστασης-Αριθμού A Z οδηγεί την στη μέση σχέση τιμή Μέτρησης, σφαλμάτων πειραματικών μετρήσεων B β). Απόκλισης και - υπολογίστε Αριθμού Μέτρησης, το τυπικό σφάλμα 2 με δύο σ Ζτρόπους. σ Α σβ γ). Συχνότητας-Αντίστασης, 2 Να συγκρίνετε Ζ 2 Α τα δύο Β σφάλματα και να σχολιάσετε δ). Συχνότητας τα αποτελέσματα. - Απόκλισης d να προτείνετε πως η σχέση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο συγκεκριμένο πείραμα αν θεωρήσετε -1000 ότι τα σφάλματα στις μετρήσεις τάσης -1500 και έντασης είναι 10%. 7000 1000 Α τρόπος ιάστημα τιμών Συχνότητα 10006000 40-50 27 800 N N 5000 150-60 2 98 1 500 s 60-70 d i r 214 d N i 4000 600 i1 N 70-80 436 i1 03000 80-90 775 20001 4002 3 4 5 6 7 s8 9 1011121314151617181920 5 r -500 90-100 952 m m 1000 100-110 962 4 Συχνότητα 200 0 N 110-120 784 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 120-130 421 0 m -75 40-50 60 130-140 -25 80 100 0 219 120 25 140 50 160 75 140-150Τιμές Απόκλιση αντίστασης 78 150-160 34 Β τρόπος m N 1 % % R R R m R m
Ελάχιστα Τετράγωνα
http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής