Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Transcript

1 Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης

2 Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να ερμηνεύσουμε ή να βρούμε κάποια συσχέτιση μεταξύ παραγόντων. Είναι φανερό ότι επηρεάζουν θετικά τις πωλήσεις τόσο η διαφήμιση όσο και το πλήθος των πωλητών. Ποιος παράγοντας προκαλεί πιο έντονη συσχέτιση; ΕΤ ΟΣ ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ ΔΙΑ ΦΗΜΙΣ Η ΠΩΛ ΗΤ ΕΣ ( χ ιλ. ) ( χ ιλ. ) ( άτομα) Ένας τρόπος είναι η ανάλυση απλής ευθύγραμμης (γραμμικής) παλινδρόμησης. 2

3 Διάγραμμα διασποράς Ας φτιάξω το διάγραμμα διασποράς μεταξύ πωλήσεων και διαφήμισης Θετική συσχέτιση Εξαρτημένη μεταβλητή: ΠΩΛΗΣΕΙΣ Ανεξάρτητη μεταβλητή: ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ 3

4 Διάγραμμα διασποράς Ας φτιάξω το διάγραμμα διασποράς μεταξύ πωλήσεων και αριθμού πωλητών Θετική... αλλά χαλαρή συσχέτιση

5 Ερμηνεία διαγραμμάτων διασποράς ΤΕΛΕΙΑ ΕΝΤΟΝΗ ΑΣΘΕΝΗΣ 5

6 Ερμηνεία διαγραμμάτων διασποράς ΜΗΔΕΝΙΚΗ 6

7 Συντελεστής συσχέτισης r = Εκτίμηση του απλού συντελεστή συσχέτισης n = Μέγεθος δείγματος X = Τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής X = Μέσος αριθμητικός της Χ Y = Τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής = Μέσος αριθμητικός της Υ Y r= X X Y Y X X 2 Y Y 2 r= n XY X Y [n X 2 X 2 ][n Y 2 Y 2 ] 7

8 Υπολογισμός συντελεστή συσχέτισης ΕΤ ΟΣ ΔΙΑ ΦΗΜΙΣ Η ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 2 X Y YX X Y r= n XY X Y [n X 2 X 2 ] [n Y 2 Y 2 ] =0,95 CORREL(DATA1;DATA2) 8

9 Υπολογισμός συντελεστή συσχέτισης ΕΤ ΟΣ ΠΩΛ ΗΤ ΕΣ ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 2 YX X Y r= n XY X Y [n X 2 X 2 ] [n Y 2 Y 2 ] =0,72 CORREL(DATA1;DATA2) 9

10 Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας του συντελεστής συσχέτισης r n t : Συντελεστής συσχέτισης του δείγματος : Μέγεθος δείγματος : Τιμή του κριτηρίου n-2 : Βαθμοί ελευθερίας { H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0}, t n 2= r 1 r 2 n 2, t n 2,a /2 t 16 2 = 0,95 =11,38 t 16 2 = 0,72 1 0, , t 16 2 ; 0,05/2 =2,145 =3,88 10

11 Συντελεστής συσχέτισης γραμμική συσχέτιση Προσοχή ο συντελεστής συσχέτισης εκφράζει την ένταση της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ μόνο όταν υπάρχει γραμμική συσχέτιση. Χαμηλή τιμή του συντελεστή συσχέτισης δε σημαίνει ότι η σχέση είναι ασθενής. Χαρακτηριστικό παράδειγμα όταν υπάρχει μη γραμμική συσχέτιση. 11

12 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Y i = β 0 β 1 Χ i ε i Y i =Ε Υ i ε i Y i : η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής X i : η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής β 0 : το σημείο τομής του άξονα της Υ από τη γραμμή παλινδρόμησης β 1 : η κλίση της γραμμής παλινδρόμησης ε i : σφάλμα ή κατάλοιπο Οι ατομικές παρατηρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Για κάθε συγκεκριμένη τιμή της Χ αντιστοιχούν πολλές τιμές της Υ που κατανέμονται κανονικά. Για μέγεθος δείγματος n αντιστοιχούν n κανονικές κατανομές της Υ με την ίδια διακύμανση σ 2. ε Ο μέσος της κάθε κατανομής της Υ i ισούται με: Ε(Υ i )=β 0 +β 1 Χ i. Όλοι οι μέσοι βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή που αποτελεί τη γραμμή παλινδρόμησης του πληθυσμού. 12

13 Διαγραμματική Απεικόνιση Υ Υ 3 Ε Υ 2 Ε Υ 3 Ε Υ 1 Υ 1 Υ 2 β 0 Χ 1 Χ 2 Χ 3 Χ 13

14 Εκτίμηση της εξίσωσης παλινδρόμησης Είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε με σιγουριά τις παραμέτρους της εξίσωσης παλινδρόμησης παρά μόνο να τις εκτιμήσουμε. Υ =b 0 b 1 X Επομένως οι αποκλίσεις από τις πραγματικές τιμές: e i =Y i Υ i e i =Y i b 0 b 1 X i, για i=1,, n Επειδή δε γνωρίζουμε τα πρόσημα των παραπάνω ποσοτήτων θα προσπαθήσουμε να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων. Έτσι έχουμε τη ΜΕΘΟΔΟ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. 14

15 Υπολογισμός παραμέτρων εκτίμησης Q b 0, b 1 = i=1 n Y i Y i 2 = n i=1 [Y i b 0 b 1 X i ] 2 Πιθανό ελάχιστο της συνάρτησης είναι το σημείο που μηδενίζονται οι πρώτες μερικές παράγωγοι: Q n = 2 b i=1 0 [Y i b 0 b 1 X i ]=0 Y i nb 0 b 1 X i =0 n b 0 [ X i ] b 1 = Y i Q n = 2 b i=1 1 X i [Y i b 0 b 1 X i ]=0 X i Y i b 0 X i b 1 X i 2 =0 [ X i ]b 0 [ X i 2 ]b 1 = X i Y i A x=b, A=[ n X i X i 2] X i, x= [ b 0 1] b, b= [ Y i i] X i Y 15

16 Υπολογισμός παραμέτρων εκτίμησης A x=b, A=[ n X i X i 2] X i, x= [ b 0 1] b, b= [ Y i i] X i Y A = n X i X i =n[ X 2 i ] [ X i ] 2 0 γιατί ; X i 2 A b1 = n X i Y i X i Y i =n X i Y i X i Y i b 1 = A b 1 A = n X iy i X i Y i n[ X i 2 ] [ X i ] 2, b 0 = Y b 1 X 16

17 Διάγραμμα διασποράς πωλήσεων- διαφήμισης b 1 = A b 1 A = n X i Y i X i Y i n[ X i 2 ] [ X i ] 2, b 0 = Y b 1 X ΕΤ ΟΣ ΔΙΑ ΦΗΜΙΣ Η ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 X Y X Y X b 1 = =3,11, b 0 = , =677,4 17

18 Διάγραμμα διασποράς πωλήσεων-πωλητών b 1 = A b 1 A = n X i Y i X i Y i n[ X i 2 ] [ X i ] 2, b 0 = Y b 1 X ΕΤ ΟΣ ΠΩΛ ΗΤ ΕΣ ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 X Y X Y X b 1 = =46,92, b 0 = , =615,3 18

19 Άθροισμα των τετραγώνων σφαλμάτων Ποια είναι η προβλεπτική ικανότητα της εξίσωσης; Τι ποσοστό των μεταβολών της Y οφείλεται στις επιδράσεις της Χ; Το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων (sum of squared errors) SSE= e 2 = Y Y 2 = = Y b 0 b 1 X 2 = = Y 2 b 0 Y b 1 X Y 19

20 Άθροισμα των τετραγώνων σφαλμάτων ΕΤ ΟΣ ΔΙΑ ΦΗΜΙΣ Η ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 2 X Y YX X Y SSE= Y 2 b 0 Y b 1 X Y = = , , = = ,135 20

21 ΕΤ ΟΣ Άθροισμα των τετραγώνων σφαλμάτων ΠΩΛ ΗΤ ΕΣ ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 2 YX X Y SSE= Y 2 b 0 Y b 1 X Y = = , , = = ,92 21

22 Διακύμανση σφάλματος Ένα μέτρο της έντασης της εξάρτησης δίνεται από τη διακύμανση του σφάλματος. Διακύμανση του σφάλματος s e 2 = Y Y 2 n 2 = SSE n 2 Χρησιμοποιούμε το n-2 (χάνουμε δύο βαθμούς ελευθερίας) επειδή βασίζουμε την εκτίμηση σε δύο παραμέτρους. 22

23 Συνολικό άθροισμα τετραγώνων (SST) SST = Y Y 2 To ανεξήγητο σφάλμα (SSE) X,Y Y =b 0 b1 X e=y Y Y Y Y To σφάλμα της παλινδρόμησης (SSR) SST =SSR SSE X 23

24 Συντελεστής προσδιορισμού Το ποσοστό της συνολικής μεταβλητικότητας της Υ που εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης, δηλαδή οφείλεται στις επιδράσεις της Χ, ονομάζεται συντελεστής προσδιορισμού και συμβολίζεται με R 2. Συντελεστής προσδιορισμού Παρατηρήστε ότι παίρνει τιμές στο [0,1]! R 2 =SSR/SST = = Y Y 2 / Y Y 2 R 2 =1 SSE/SST = =1 Y Y 2 / Y Y 2 =1 Y 2 b 0 Y b 1 XY /[ Y 2 Y 2 / n] 24

25 Συντελεστής προσδιορισμού ΕΤ ΟΣ ΔΙΑ ΦΗΜΙΣ Η ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 2 X Y YX X Y To ,8 % της μεταβλητικότητας των πωλήσεων οφείλονται στον παράγοντα ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ !!! R 2 =1 Y 2 b 0 Y b 1 XY /[ Y 2 Y 2 /n] =0,908 25

26 ΕΤ ΟΣ Συντελεστής προσδιορισμού ΠΩΛ ΗΤ ΕΣ ΠΩΛ ΗΣ ΕΙΣ 2 2 YX X Y To 51,6 % της μεταβλητικότητας των πωλήσεων οφείλονται στον παράγοντα ΠΩΛΗΤΕΣ!!! R 2 =1 Y 2 b 0 Y b 1 XY /[ Y 2 Y 2 /n] =0,516 26

27 Συντελεστής προσδιορισμού vs συσχέτισης Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο συντελεστής προσδιορισμού και ο συντελεστής συσχέτισης σχετίζονται με την παρακάτω σχέση R 2 =r 2... για αυτό λέγαμε ότι συσχέτιση κάτω από 0,70 είναι ΑΣΘΕΝΗΣ. Γιατί αντιστοιχεί σε κάτω από 50% συντελεστή προσδιορισμού οπότε... 27

28 Έλεγχος σ.σ. συντελεστή προσδιορισμού Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας Συντελεστή προσδιορισμού Η 0 : Η εξίσωση παλινδρόμησης δεν εξηγεί καθόλου τις μεταβολές της Υ. (το ποσοστό της εξηγημένης διασποράς της Υ είναι μηδέν). Η 1 : Η εξίσωση παλινδρόμησης εξηγεί ένα μέρος των μεταβολών της Υ. (το ποσοστό της εξηγημένης διασποράς της Υ είναι μεγαλύτερο το μηδενός). Επομένως, θα συγκρίνουμε τις δύο συνιστώσες της SST την εξηγημένη (SSR) και την ανεξήγητη (SSE). Αν η πρώτη είναι σημαντικά μεγαλύτερη από τη δεύτερη σημαίνει ότι η επίδραση της εξίσωσης παλινδρόμησης είναι σημαντική. Έχουν όμως διαφορετικούς βαθμούς ελευθερίας... επομένως αν τα διαιρέσω με αυτούς τότε οι λόγοι που προκύπτουν ονομάζονται μέσα τετράγωνα και είναι συγκρίσιμοι. Ο έλεγχος γίνεται με τη συνάρτηση F 28

29 Πως κάνω τον έλεγχο; Πηγή Μεταβλητικότητας Αθροίσματα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα Τετράγωνα Λόγος F1,n-2 Παλινδρόμηση SSR 1 SSR / 1 SSR/ 1 SSE / n 2 Κατάλοιπο SSE n-2 SSE / (n-2) ΣΥΝΟΛΟ SST n-1 Αν η τιμή της F 1,n-2 είναι μεγαλύτερη της κριτικής τιμής F (1,n-2),α (όπου α το επίπεδο σημαντικότητας) απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. 29

30 Στο παράδειγμά μας... Πηγή Μεταβλητικότητας Αθροίσματα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα Τετράγωνα Λόγος F1,n-2 Παλινδρόμηση ,97 Κατάλοιπο ,64 ΣΥΝΟΛΟ F (1,14),0.05 (1,14),0.05 = 4.60, δηλαδή F 1,n-2 > F (1,14),0.05 και επομένως απορρίπτεται η Η 0. Πηγή Μεταβλητικότητα ς Αθροίσματα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα Τετράγωνα Λόγος F1,n-2 Παλινδρόμηση ,94 Κατάλοιπο ,21 ΣΥΝΟΛΟ F (1,14),0.05 (1,14),0.05 = 4.60, δηλαδή F 1,n-2 > F (1,14),0.05 και επομένως απορρίπτεται η Η 0. 30

31 Έλεγχος σ.σ. του συντελεστή παλινδρόμησης b 1 Το τυπικό σφάλμα της κατανομής δειγματοληψίας του συντελεστή b 1 δίνεται από τη σχέση: σ b1 = σ ε X X 2 Επειδή το τυπικό σφάλμα εκτίμησης της εξίσωσης παλινδρόμησης σ ε δεν το ξέρουμε, χρησιμοποιούμε την εκτίμησή του από τα δεδομένα του δείγματος, δηλαδή το s e : s b1 = s e X X 2 31

32 Η 0 : Η 1 : Έλεγχος σ.σ. του συντελεστή παλινδρόμησης b 1 β 1 = β 1 Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας Συντελεστή παλινδρόμησης b 1 (ο συντελεστής παλινδρόμησης του πληθυσμού ισούται με β 1 * ). β 1 β 1 (ο συντελεστής παλινδρόμησης του πληθυσμού είναι διάφορος του β 1* ). t n 2 = b 1 β 1 s b1 Ο έλεγχος γίνεται με τη συνάρτηση t n-2 Ο έλεγχος γίνεται με το γνωστό κριτήριο t και n-2 βαθμούς ελευθερίας. Το κριτήριο είναι δικατάληκτο με επίπεδο σημαντικότητας α. Το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης είναι: b 1 s b1 t n 2,a/2 β 1 b 1 s b1 t n 2,a/ 2 32

33 Εφαρμογή στο πωλήσεις-διαφήμιση s b1 = s e X X 2 = SSE / n 2 = ,13/ 16 2 =0,265 X 2 X 2 /n /16 t 14 = b 1 β 1 s b1 = 3,11 0 =11,736 t 0,265 14,0,05/2 =2,145 b 1 s b1 t n 2,a/ 2 β 1 b 1 s b1 t n 2, a/ 2 3,11 0,265 2,145 β 1 3,11 0,265 2,145 2,542 β 1 3, X Y Ym in Ym ax 33

34 Εφαρμογή στο πωλήσεις-πωλητές s b1 = s e X X 2 = SSE / n 2 = ,90/ 16 2 =12,136 X 2 X 2 /n /16 t 14 = b 1 β 1 s b1 = 46,92 0 =3,87 t 12,136 14,0,05/2 =2,145 b 1 s b1 t n 2, a/ 2 β 1 b 1 s b1 t n 2, a/2 46,92 12,136 2,145 β 1 46,92 12,136 2,145 20,884 β 1 72,948 X Y Ym in Ym ax 34

35 Ποιον έλεγχο σ.σ. να εφαρμόζω; Παρατηρήστε ότι και στους τρεις ελέγχους που κάναμε μέχρι τώρα: Έλεγχος σημαντικότητας του συντελεστή συσχέτισης Έλεγχος σημαντικότητας του συντελεστή προσδιορισμού Έλεγχος σημαντικότητας του συντελεστή παλινδρόμησης τα αποτελέσματα ήταν τα ίδια!!! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι έλεγχοι σημαντικότητας έχουν ατονήσει και έχει επικρατήσει μόνο ο έλεγχος του συντελεστή παλινδρόμησης.. Για αυτό και τον προχωρήσαμε ένα βήμα παραπέρα υπολογίζοντας και το διάστημα εμπιστοσύνης. 35

36 Προβλέψεις Ας θυμηθούμε τώρα ότι ο μέσος της εξαρτημένης μεταβλητής Υ που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητώς Χ, Χ 0 ισούται με: Και η εκτίμηση της μέσης τιμής Ε(Υ 0 ) που προκύπτει από την εξίσωση παλινδρόμησης του δείγματος είναι: Επομένως η εκτίμηση σημείου της μέσης τιμής Υ που αντιστοιχεί στην τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ 0 και αποτελεί την πρόβλεψη που προκύπτει από την εξίσωση παλινδρόμησης. Επειδή όμως έχουμε κάνει εκτιμήσεις... υπάρχουν σφάλματα δειγματοληψίας. Άρα και η εκτίμηση E Y 0 = β 0 β 1 X 0 Y 0 =b 0 b 1 X 0 Y 0 υπόκειται στο παρακάτω σφάλμα: sy 0 =s 1 X 0 X 2 e n X X 2 36

37 Προβλέψεις με δ.ε. Με βάση το τυπικό σφάλμα της πρόβλεψης μπορούμε να εκτιμήσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης της αναμενόμενης τιμής της που αντιστοιχεί σε πιθανότητα 1-α Y 0 Y 0 ±t α/2 SSE n 2 1 n X 0 X 2 X 2 X 2 /n Y 0 t n 2,a /2 n X 0 X : η εκτίμηση σημείου της εξαρτημένης μεταβλητής. : η τιμή της t με n-2 βαθμούς ελευθερίας. : μέγεθος δείγματος : η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής που χρησιμοποιείται για την πρόβλεψη : ο μέσος των τιμών της Χ του δείγματος 37

38 Προβλέψεις Το διάστημα της πρόβλεψης που υπολογίσαμε αναφέρεται στη μέση τιμή της Υ. Να θυμίσουμε όμως ότι η πραγματική τιμή της Υ εξαρτάται από δύο συνιστώσες: Της συνιστώσας που προσδιορίζεται από την επίδραση της Χ (που προβλέπεται από την εξίσωση παλινδρόμησης), Την τυχαία συνιστώσα κατάλοιπο που οφείλεται σε όλους τους άλλους παράγοντες. Έτσι με βαση την εξίσωση παλινδρόμησης έχουμε: Υ 0 =b 0 b 1 X 0 e 0 = Y 0 e 0 Επομένως το δειγματοληπτικό σφάλμα της Υ0 είναι μεγαλύτερο διότι επηρεάζεται και από τη διασπορά της τυχαίας συνιστώσας!!!. 38

39 Προβλέψεις με δ.ε. Με βάση το τυπικό σφάλμα της πρόβλεψης μπορούμε να εκτιμήσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης της πραγματικής τιμής της που αντιστοιχεί σε πιθανότητα 1-α Y 0 Y 0 ±t α/2 SSE n n X 0 X 2 X 2 X 2 / n Y 0 t n 2,a/2 n X 0 X : η εκτίμηση σημείου της εξαρτημένης μεταβλητής. : η τιμή της t με n-2 βαθμούς ελευθερίας. : μέγεθος δείγματος : η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής που χρησιμοποιείται για την πρόβλεψη : ο μέσος των τιμών της Χ του δείγματος 39

40 Ερμηνεία δ.ε. Y 0 t α/2 s Y 0 X Y 0 t α/2 s Y 0 Y 0 =b 0 b 1 X 0 Y 0 t α/2 s Y 0 Y 0 t α/2 s Y 0 Όσο απομακρυνόμαστε από το μέσο Χ το σφάλμα μεγαλώνει εκθετικά. 40

41 Πωλήσεις - διαφήμιση

42 Πωλήσεις - πωλητές

43 Εφαρμογή: Πυροσβεστική Μία ασφαλιστική εταιρεία, που ασχολείται με ασφάλειες πυρός σε μία πόλη, σκοπεύει να μελετήσει τα δεδομένα από την πυροσβεστική υπηρεσία αναφορικά με το ύψος των ζημιών (σε χιλιάδες ευρώ) σε σχέση με την απόσταση (σε χιλιόμετρα) από τον πυροσβεστικό σταθμό. Τα δεδομένα δίνονται στο διπλανό πίνακα. Να γίνει πρόβλεψη για τις ζημιές σε απόσταση 3,5 χιλιόμετρα. Α ΠΟΣ Τ Α Σ Η ΖΗΜΙΕΣ X Y 3,4 26,2 1,8 17,8 4,6 31,3 2,3 23,1 3,1 27,5 5,5 36,0 0,7 14,1 3,0 22,3 2,6 19,6 4,3 31,3 2,1 24,0 1,1 17,3 6,1 43,2 4,8 36,4 3,8 26,1 43

44 BHMA 1: Διάγραμμα διασποράς Y =b 0 b 1 X e b 1 = A b 1 A = n X i Y i X i Y i n[ X i 2 ] [ X i ] 2, b 0 = Y b 1 X Τ ΙΜΕΣ Α ΠΟΣ Τ Α Σ Η ΖΗΜΙΕΣ 2 2 X Y X Y X Y 1 3,4 26, ,8 17, ,6 31, ,3 23, ,1 27, ,5 36, ,7 14, ,0 22, ,6 19, ,3 31, ,1 24, ,1 17, ,1 43, ,8 36, ,8 26, ,20 396, ,65 196, , , , , , , , ,5 10 7,5 5 2, b 1 = ,65 49,20 396, ,16 49,20 2 =4,919, b 0 = 396, ,919 49,20 15 =10,278 44

45 BHMA 2: Σφάλματα - διακύμανση ΣΦΑΛΜΑΤΑ SSE= Y 2 b 0 Y b 1 X Y s e 2 = Y Y 2 n 2 = SSE n 2 SST = Y Y 2 SST =SSR SSE Τ ΙΜΕΣ Α ΠΟΣ Τ Α Σ Η ΖΗΜΙΕΣ 2 2 X Y X Y X Y 1 3,4 26, ,8 17, ,6 31, ,3 23, ,1 27, ,5 36, ,7 14, ,0 22, ,6 19, ,3 31, ,1 24, ,1 17, ,1 43, ,8 36, ,8 26, ,20 396, ,65 196, ,48 SST = Y Y 2 = = Y 2 Y 2 /n= =11.376,48 396,20 2 /15=911,517 SSR=SST SSE= =911,517 69,751=841,766 SSE= Y 2 b 0 Y b 1 X Y = =11.376,48 10, ,20 4, ,65= =69,751 s e 2 = SSE n 2 =5,365, s e =2,316 45

46 BHMA 3: Στατιστική σημαντικότητα s b1 = se X X t 2 n 2 = b 1 β 1 s b1 δ.ε. για το b 1 b 1 s b1 t n 2,a/2 β 1 b 1 s b1 t n 2,a/ 2 Έλεγχος υπόθεσης και Τ ΙΜΕΣ Α ΠΟΣ Τ Α Σ Η ΖΗΜΙΕΣ X Y X Y X Y 42,5 1 3,4 26, ,8 17, , ,6 31, ,5 4 2,3 23, ,1 27, ,5 6 5,5 36, ,7 14, ,5 8 3,0 22, ,6 19, ,5 10 4,3 31, ,1 24, ,5 12 1,1 17, ,5 13 6,1 43, ,8 36, ,5 15 3,8 26, ,20 396, ,65 196, ,48 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 s b1 = s e X 2 X 2 / n = 2, ,16 49,20 2 /15 =0,393 t 13 = 4, ,393 =12,525 t 13,0,05/2 =2,16 4,919 0,393 2,16 β 1 4,919 0,393 2,16 4,071 β 1 5,768 46

47 BHMA 3: Στατιστική σημαντικότητα Συντελεστής συσχέτισης Συντελεστής προσδιορισμού r= (2) n XY X Y [n X 2 X 2 ] [n Y 2 Y 2 ] R 2 =r 2 Τ ΙΜΕΣ Α ΠΟΣ Τ Α Σ Η ΖΗΜΙΕΣ 2 2 X Y X Y X Y 1 3,4 26, ,8 17, ,6 31, ,3 23, ,1 27, ,5 36, ,7 14, ,0 22, ,6 19, ,3 31, ,1 24, ,1 17, ,1 43, ,8 36, ,8 26, ,20 396, ,65 196, ,48 r= n XY X Y [n X 2 X 2 ] [n Y 2 Y 2 ] =0,961 R 2 =0,961 2 =0,923 Πηγή Μεταβλητικότητας Αθροίσματα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα Τετράγωνα Λόγος F1,n-2 Παλινδρόμηση 841, ,77 156,89 Κατάλοιπο 69, ,37 ΣΥΝΟΛΟ 911,52 14 F (1,13),0.05 (1,13),0.05 = 4.67, δηλαδή F 1,n-2 > F (1,14),0.05 και επομένως απορρίπτεται η Η 0. 47

48 BHMA 4: Πρόβλεψη Πρόβλεψη x = 3,5 Y 0 ±t α/2 SSE n n X 0 X 2 X 2 X 2 / n Τ ΙΜΕΣ Α ΠΟΣ Τ Α Σ Η ΖΗΜΙΕΣ 2 2 X Y X Y X Y 1 3,4 26, ,8 17, ,6 31, ,3 23, ,1 27, ,5 36, ,7 14, ,0 22, ,6 19, ,3 31, ,1 24, ,1 17, ,1 43, ,8 36, ,8 26, ,20 396, ,65 196, , ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 Y 0 ±t α/2 SSE n 2 1 n X 0 X 2 X 2 X 2 /n 26,208 Y 0 28,784 Y 0 ±t α/2 SSE n n X 0 X 2 X 2 X 2 / n 22,393 Y 0 32,598 48