Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ενότητα 2: Αναπαράσταση Γνώσης και Επίλυση Προβλημάτων Δημοσθένης Σταμάτης mos@it.tith.gr www.it.tith.gr/~mos Μαθησιακοί Στόχοι της ενότητας 2 Πως ορίζεται ένα πρόβλημα στα πλαίσια της Τεχνητής Νοημοσύνης (ΤΝ). Πως αναπαρίσταται ένα πρόβλημα με τη μορφή του χώρου καταστάσεων Το ρόλο που παίζουν οι αλγόριθμοι αναζήτησης ως μία γενική τεχνική επίλυσης προβλημάτων Ποιοι είναι οι τρόποι αναπαράστασης γνώσης που σχετίζονται με ένα πρόβλημα και ποιος ο ρόλος της συλλογιστικής για την παραγωγή νέας γνώσης 2 1
Η ύλη της ενότητας 2 Περιγραφή Προβλημάτων Ανοιχτός και κλειστός κόσμος προβλήματος Χώρος καταστάσεων - Χώρος αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης Μέθοδοι αναπαράστασης γνώσης Συλλογιστική Παράρτημα: Γράφοι και Προβλήματα γράφων 3 Περιγραφή Προβλήματος Γιαναγίνειδυνατήηεπίλυσηενόςπροβλήματος στην Τεχνητή Νοημοσύνη (ΤΝ) απαιτείται ένας τυποποιημένος και σαφής ορισμός Θεωρούμε ότι ένα πρόβλημα μπορεί να οριστεί αν: Υπάρχει μια δεδομένη αρχική κατάσταση Υπάρχει μια επιθυμητή τελική κατάσταση Είναι γνωστές κάποιες ενέργειες που πρέπει να γίνουν για να προκύψει η επιθυμητή κατάσταση 4 2
Ενδεικτικά Προβλήματα Τριάρα (ti-t-to) 8 puzzl (N-puzzl) 5 Ενδεικτικά Προβλήματα (1) Ο κόσμος των κύβων 6 3
Ενδεικτικά Προβλήματα Η σκούπα Root που καθαρίζει τα δύο δωμάτια Α και Β 7 Ενδεικτικά Προβλήματα Ιεραπόστολοι και Κανίβαλοι Στην όχθη ενός ποταμού βρίσκονται 3 ιεραπόστολοι και 3 κανίβαλοι, οι οποίοι επιθυμούν να το διασχίσουν για να βρεθούν στην άλλη όχθη Στη διάθεσή του έχουν 1 βάρκα που χωράει το πολύ 2 άτομα Αν σε κάποια όχθη βρεθούν περισσότεροι κανίβαλοι τρώνε τους ιεραπόστολους! 8 4
Το Πρόβλημα του ταξιδεύοντος εμπόρου Οδικός Χάρτης Β. Ελλάδας 9 Φλώρινα 77 71 Καστοριά Γρεβενά Κοζάνη 100 73 Ιωάννινα 155 Έδεσσα 44 Βέροια 61 47 121 Γράφημα Πόλεων 56 91 72 Καρδίτσα Κιλκίς Κατερίνη 87 50 70 Λάρισα Σέρρες 69 84 154 Θεσσαλονίκη 62 Δράμα Πολύγυρος 89 Καβάλα Ξάνθη 52 Αποστάσεις από το www.postsis.gr Το Πρόβλημα του ταξιδεύοντος εμπόρου 50 Κομοτηνή 55 Αλεξανδρούπολη Ένας έμπορος πρέπει να επισκεφτεί όλες τις πόλεις της Β. Ελλάδας κάνοντας τα λιγότερα δυνατά χιλιόμετρα 10 5
Κόσμος ενός προβλήματος Ο Κόσμος ενός προβλήματος (prolm worl) ορίζεται από τα αντικείμενα (ή τις οντότητες) που τον αποτελούν, τις ιδιότητες των αντικειμένων και τις σχέσεις που τα συνδέουν. Ο Κόσμος ενός προβλήματος χαρακτηρίζεται ως κλειστός (los worl) όταν κανένα νέο αντικείμενο, ιδιότητα ή σχέση δεν μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί. [είναι στατικός] Σε αντίθετη περίπτωση χαρακτηρίζεται ως ανοιχτός (opn worl). [Η περιγραφή του προβλήματος μπορεί να αλλάζει δυναμικά] 11 Ορισμός Προβλήματος με Χώρο Καταστάσεων (1) Κατάσταση ενός κόσμου προβλήματος είναι ένα στιγμιότυπο (instn) που παράγεται σε μία χρονική στιγμή κατά την εξέλιξη του κόσμου. Οι καταστάσεις ενός κόσμου συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια ότι από μία κατάσταση, κατά την επόμενη χρονική στιγμή, μπορούν να προκύψουν μία ή περισσότερες καταστάσεις Θεωρούμε ότι μία κατάσταση προκύπτει από μία άλλη με την εφαρμογή ενός τελεστή μετάβασης (trnsition oprtor) 12 6
Ορισμός Προβλήματος με Χώρο Καταστάσεων (2) Ένα πρόβλημα P ορίζεται ως μία τετράδα P={S,I,T,G},όπου: S είναι ο χώρος καταστάσεων (το σύνολο όλων των καταστάσεων) Ι είναι μία αρχική κατάσταση (ανήκει στο S) Τ είναι το σύνολο των τελεστών μετάβασης G είναι το σύνολο των τελικών καταστάσεων (υποσύνολο του S) Λύση ενός προβλήματος P={S,I,T,G}είναι μία ακολουθία από τελεστές μετάβασης <t1, t2,t3,...,tn> ώστε να ισχύει: g=tn(... t2(t1(i))...) όπου g μία τελική κατάσταση του συνόλου G 13 Χώρος Αναζήτησης ενός Προβλήματος Δοθέντος ενός προβλήματος P={S,I,T,G}, Χώρος Αναζήτησης (Srh Sp) SPείναιτοσύνολοόλων των καταστάσεων που είναι προσβάσιμες από την αρχική κατάσταση I. Ο χώρος αναζήτησης είναι υποσύνολο του χώρου καταστάσεων, καθώς το σύνολο SP εξαρτάται από την αρχική κατάσταση I ενώ το S όχι. 14 7
Χώρος Καταστάσεων (1) Ο Χώρος Καταστάσεων του προβλήματος «ιεραπόστολοι & κανίβαλοι 15 Χώρος Καταστάσεων (2) Ο Χώρος Καταστάσεων του προβλήματος «της σκούπας Root» 16 8
Περιγραφή προβλήματος με αναγωγή Μία ακολουθία από τελεστές ανάγουν συνεχώς τα προβλήματα σε άλλα «απλούστερα» έως ότου τα υπο-προβλήματα που προκύπτουν τελικά να είναι άμεσα επιλύσιμα. Παράδειγμα οι Πύργοι του Hnoi: Ένας αριθμός δίσκων σε φθίνουσα διάταξη βρίσκονται σε ένα στύλο και πρέπει να μεταφερθούν σε έναν άλλο με την ίδια διάταξη με τους εξής περιορισμούς: Επιτρέπεται να μετακινείται ένας δίσκος τη φορά Δεν επιτρέπεται η τοποθέτηση μεγαλύτερου δίσκου σε μικρότερο Ένα τρίτος στύλος μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βοηθητικός 17 Περιγραφή προβλήματος με αναγωγή Η λύση του προβλήματος «Πύργοι του Hnoi» 18 9
Αλγόριθμοι Αναζήτησης ΥπάρχουνπολλάπροβλήματατηςΤΝγιαταοποίαδενμπορείνα μας δοθεί ένας ειδικός αλγόριθμος για τη λύση τους, αλλά μόνο μία περιγραφή της λύσης. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να ψάξουμε να βρούμε τη λύση! Πολλά προβλήματα της ΤΝ μπορούν να αναπαρασταθούν αφαιρετικά με τη βοήθεια ενός γραφήματος. Στην περίπτωση αυτή η επίλυση του προβλήματος ταυτίζεται με την αναζήτηση ενός μονοπατιού του γραφήματος Στις περισσότερες περιπτώσεις ξεκινούμε από έναν αρχικό κόμβο και αναζητούμε το μονοπάτι που θα μας οδηγήσει σε έναν κόμβο στόχο 19 Αλγόριθμοι Αναζήτησης Η γενική ιδέα (1): Δοθέντος ενός γράφου, ενός αρχικού κόμβου και ενός κόμβου στόχου : Εξερευνούμε επαυξανόμενα μονοπάτια από τον αρχικό κόμβο Διατηρούμε ένα σύνολο-μέτωπο (frontir st) από κόμβους που πρόκειται να εξερευνήσουμε άμεσα. Καθώς η αναζήτηση προχωρά το σύνολο-μέτωπο επεκτείνεται μέχρις ότου βρεθούμε στον κόμβο στόχο. Ο τρόπος που επεκτείνουμε και επεξεργαζόμαστε το σύνολο-μέτωπο καθορίζει τη στρατηγική της αναζήτησης 20 10
Δέντρο Αναζήτησης (OR Δέντρο) Για τις ανάγκες των αλγορίθμων ό χώρος αναζήτησης μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια ενός OR Δέντρου 21 Δέντρο Αναζήτησης (OR Δέντρο) Η μετατροπή ενός γράφου σε δέντρο αναζήτησης είναι πάντα εφικτή, εμπεριέχει όμως τον κίνδυνο το δέντρο να αποκτήσει κλαδιά με άπειρο μήκος (συνδυαστική έκρηξη!) 22 11
OR Δέντρο της Σκούπας Root 23 Αλγόριθμοι Αναζήτησης Η γενική ιδέα (2): σύνολο μέτωπο αρχικός κόμβος κόμβος στόχος κόμβοι που έχουμε επισκεφτεί κόμβοι που δεν έχουμε επισκεφτεί 24 ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ Δ. ΣΤΑΜΑΤΗΣ 12
Γενικός Αλγόριθμος Αναζήτησης 25 Γενικός Αλγόριθμος Αναζήτησης 26 13
Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης εφαρμόζονται όταν δεν έχουμε επαρκείς πληροφορίες που να μας επιτρέπουν την «έξυπνη» εκτίμηση των επόμενων καταστάσεων ενός προβλήματος. 27 ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ Δ. ΣΤΑΜΑΤΗΣ Αλγόριθμος Πρώτα σε βάθος (fs) Ο αλγόριθμος πρώτα-σε-βάθος επιλέγει να επεκτείνει το σύνολο-μέτωπο με την κατάσταση που βρίσκεται πιο βαθιά στο δέντρο αναζήτησης. 28 14
Αλγόριθμος Πρώτα σε βάθος (fs) 29 Αλγόριθμος Πρώτα σε πλάτος (fs) Ο αλγόριθμος πρώτα σε πλάτος επιλέγει να επεκτείνει το σύνολο-μέτωπο με όλες τις καταστάσεις που βρίσκονται στο ίδιο βάθος και μετά προχώρα σε καταστάσεις μεγαλύτερου επιπέδου 30 15
Αλγόριθμος Πρώτα σε πλάτος 31 Αλγόριθμοι Ευρετικής Αναζήτησης Μία ευρετική τεχνική βασίζεται σε κριτήρια με βάση τα οποία μπορούμε να επιλέξουμε ανάμεσα σε πολλές επιλογές την πιο αποτελεσματική, η οποία θα μας οδηγήσει στο στόχο μας. Συνήθως η ευρετική τεχνική υλοποιείται με μία ευρετική συνάρτηση. Μία ευρετική τεχνική: Βελτιώνει την αποτελεσματικότητα της διαδικασίας αναζήτησης, ενδεχομένως θυσιάζοντας την πληρότητα των λύσεων Δεν διασφαλίζει ότι θα βρούμε τη βέλτιστη λύση αλλά σχεδόν πάντα βρίσκει μία ικανοποιητική λύση 32 16
Αλγόριθμοι Ευρετικής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Αναζήτησης με αντίπαλο (π.χ. παιχνίδια 2 παικτών) 33 Ευρετικές συναρτήσεις (1) Παράδειγμα: Τριάρα (ti-t-to) Η καλύτερη θέση είναι στο κέντρο γιατί πιθανολογούνται 4 περιπτώσεις για τη νίκη 34 17
Ευρετικές συναρτήσεις (2) Παράδειγμα: Το πρόβλημα του λαβυρίνθου 35 Ευρετικές συναρτήσεις (3) Παράδειγμα: Το 15-puzzl 36 18
Αλγόριθμος Πρώτα στο καλύτερο (stfs) Ο αλγόριθμος πρώτα στο καλύτερο επεκτείνει το σύνολο-μέτωπο με βάση τον «καλύτερο» κόμβο, τον κόμβο δηλαδή που ήδη υπάρχει στο συνολο-μέτωπο και η ευρετική συνάρτηση του δίνει την καλύτερη τιμή. 37 Αλγόριθμος Α* Ο αλγόριθμος Α* είναι ειδική περίπτωση του Bstfs, κατά την οποία η ευρετική συνάρτηση F(S) για κάθε κόμβο S ορίζεται σε συνδυασμό με την πραγματική απόσταση που έχει διανυθεί και την εκτίμηση της απόστασης μέχρι τον κόμβο στόχο: F(S) = g(s) + h(s) g(s) δίνει την πραγματική απόσταση του κόμβου S από τον αρχικό h(s) είναι η ευρετική συνάρτηση που δίνει την εκτίμηση της απόστασης του κόμβου S από τον κόμβο στόχο. 38 19
Αναπαράσταση Γνώσης ΤΝ = Αναπαράσταση Γνώσης + Συλλογιστική (AI = Knowlg Rprsnttion + Rsoning) Συλλογιστική: Το να παράγουμε πληροφορία που υπονοείται από άλλες πληροφορίες που ήδη υπάρχουν (και έχουν αναπαρασταθεί με κάποια μορφή). Αναπαράσταση γνώσης: Οι μορφές αναπαράστασης γνώσης είναι χρήσιμες όταν μπορούμε να δράσουμε επί αυτών συλλογιστικά 39 Λογική Μαθηματική Λογική Λογική με χρόνο Κατηγορηματικός Λογισμός 1 ης τάξης Λογικός Προγραμματισμός prnt(kosts, nikos). prnt(imitr, nikos). prnt(kosts, ntonis). prnt(nikos, ynn). prnt(nikos, vsilis). grnprnt(x,y) <= prnt(x,z), prnt(z,y). 40 ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ Δ. ΣΤΑΜΑΤΗΣ 20
Συστήματα κανόνων 41 Συστήματα κανόνων Ορθή συλλογιστική A (is tru) B (is tru) if A thn C if B n C thn D 42 21
Συστήματα κανόνων Ανάστροφη συλλογιστική A (is tru) B (is tru) if A thn C if B n C thn D 43 Σημασιολογικά Δίκτυα Το σημασιολογικό δίκτυο είναι μία απλή σχηματική μέθοδος αναπαράστασης γνώσης που βασίζεται σε ένα κατευθυνόμενο γράφο στον οποίο: Οι κόμβοι αναπαριστούν αντικείμενα, έννοιες και συμβάντα Οι ακμές αναπαριστούν διμελείς σχέσεις ανάμεσα στους κόμβους 44 22
Σημασιολογικά Δίκτυα Smnti Ntwork y Collins n Quillin 45 Πλαίσια (Frms) Ένα πλαίσιο αποτελεί μία δυναμική αναπαράσταση μίας έννοιας. Αποτελείται από πεδία (slots) τα οποία δηλώνουν ιδιότητες ανάμεσα σε αντικείμενα. Μερικά πεδία μπορεί να δημιουργούνται αυτόματα και άλλα μπορεί αρχικά να είναι κενά για να πάρουν τιμή όταν αυτή γίνει γνωστή. Μερικά πεδία μπορεί να είναι σύνδεσμοι σε άλλα πλαίσια. 46 23
Πλαίσια (Frms) 47 W Links Stt prolms http://www.plstlin.nt/gm2.html http://www.plstlin.nt/gm1.html Brth-First Srh (BFS) Erik Dmin, MIT Opn Courss http://www.youtu.om/wth?v=s-cynvz-uh4 http://www.youtu.om/wth?v=w2xfcpkh0y Dpth-First Srh (DFS), Topologil Sort Erik Dmin, MIT Opn Courss http://www.youtu.om/wth?v=afsk24utfs8 How Googl mks improvmnts to its srh lgorithm http://www.youtu.om/wth?v=j5rzou6vk4q Shortst Pth using Dijkstr's Algorithm http://www.youtu.om/wth?v=wn3r9wvydy Computtionl Complxity http://www.youtu.om/wth?v=moptwq_vh8 48 24
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γραφήματα (Grphs) Προβλήματα που βασίζονται σε γράφους 49 Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το μη κενό και πεπερασμένο σύνολο V με n διακεκριμένα στοιχεία V = {v 1, v 2,..., v n }, και E ένα σύνολο με m 0 με μη-διατεταγμένα ζεύγη ij = {v i, v j }, i =/= j, στοιχείων του V. Τότε το διατεταγμένο ζεύγος G = (V,E) ονομάζεται μη κατευθυνόμενο γράφημα (unirt grph) ή απλώς γράφημα. f 50 25
Μη κατευθυνόμενο γράφημα Στο παράδειγμα: G = (V, E) με: V = {,,, f,, }, και E = { {, }, {, }, {, f}, {, }, {, }, {, }, {f, } } f 51 Τάξη γραφήματος Oρισμός 2: Τάξη (orr) ενός γραφήματος ονομάζεται το πλήθος των κορυφών του, ενώ μέγεθος (siz) ονομάζεται το πλήθος των ακμών του. Στο παράδειγμα η orr = 6 και siz = 7 f 52 26
Διπλανές κορυφές γραφήματος Oρισμός 3: Δύο κορυφές v i, v j ονομάζονται διπλανές (jnt) όταν υπάρχει ακμή ij = {v i,v j }, i =/= j που να τις έχει άκρα. Δύο κορυφές που δεν είναι διπλανές ονομάζονται ανεξάρτητες ( inpnnt). Στο παράδειγμα οι και είναι διπλανές ενώ οι και ανεξάρτητες f 53 Βαθμός κορυφής ενός γραφήματος Oρισμός 4: Βαθμός (gr) μιας κορυφής ονομάζεται το πλήθος των διπλανών κορυφών της, ή αλλιώς το πλήθος των ακμών που πρόσκεινται στην κορυφή. Μια κορυφή ονομάζεται άρτια ή περιττή ανάλογα με το αν ο βαθμός της είναι άρτιος ή περιττός Στο παράδειγμα η είναι άρτια και ο βαθμός της είναι 4 f 54 27
Τερματική κορυφή γραφήματος Oρισμός 5: Μία κορυφή v i ονομάζεται τερματική κορυφή (n vrtx) αν gr(v i ) = 1. Στο παράδειγμα η κορυφή είναι τερματική f 55 Απομονωμένη κορυφή γραφήματος Oρισμός 6: Μία κορυφή v i ονομάζεται απομονωμένη (isolt), αν ο βαθμός της gr(v i ) = 0 Στο παράδειγμα η κορυφή είναι απομονωμένη f 56 28
Πλήρες Γράφημα (Grphs) Oρισμός 7: Ένα γράφημα ονομάζεται πλήρες (omplt grph) όταν περιλαμβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς ακμών ανάμεσα στις κορυφές του. Παρατήρηση: Δεν αποτελεί συνηθισμένη περίπτωση! f 57 Κατευθυνόμενο Γράφημα (Dirt Grph) Oρισμός 8: Έστω το μη κενό και πεπερασμένο σύνολο V με n διακεκριμένα στοιχεία V = {v 1, v 2,..., v n }, και E ένα σύνολο με m 0 με διατεταγμένα ζεύγη ij = {v i, v j }, i =/= j, στοιχείων του V. Τότε το διατεταγμένο ζεύγος DG = (V,E) ονομάζεται κατευθυνόμενο γράφημα (irt grph). f 58 29
Περίπατος γραφήματος Oρισμός 9: Ονομάζουμε περίπατο (wlk) σε ένα γράφημα G μία ακολουθία κορυφών του γραφήματος, της μορφής W = <v 0, v 1, v 2,..., v n > και λέμε ότι έχει μήκος n. Στο παράδειγμα: W = <,,,,, > με μήκος 5 f 59 Μονοπάτι γραφήματος Oρισμός 10: Ονομάζουμε μονοπάτι (pth) σε ένα γράφημα G μία ακολουθία κορυφών του γραφήματος, της μορφής P= <v 0, v 1, v 2,..., v n >που είναι περίπατος στον οποίο καμία κορυφή δεν επαναλαμβάνεται Στο παράδειγμα: P = <,,, > με μήκος 3 f 60 30
Παραδείγματα Γραφημάτων: Δίκτυα Υπολογιστών 61 Παραδείγματα Γραφημάτων: Κοινωνικά δίκτυα 62 31
Κοινωνικά δίκτυα 63 Πίνακας διπλανών κορυφών Αναπαράσταση γραφήματος Έστω ένα κατευθυνόμενο γράφημα με n κορυφές, οι οποίες μπορούν να αριθμηθούν με διακριτές συνεχόμενες τιμές. Η αναπαράστασή του μπορεί να γίνει με τη βοήθεια ενός δισδιάστατου πίνακα D με διαστάσεις n x n, στον οποίο: η θέση του πίνακα (i,j) δηλώνει την ύπαρξη ή όχι ακμής D(i,j)=1, αν υπάρχει η ακμή, D(i,j)=0, αν δεν υπάρχει 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 D = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 Αρίθμηση κορυφών: >0, >1, >2, >3, >4 64 32
Λίστες διπλανών κορυφών Αναπαράσταση γραφήματος Έστω ένα κατευθυνόμενο γράφημα με n κορυφές, οι οποίες μπορούν να αριθμηθούν με διακριτές συνεχόμενες τιμές. Η αναπαράστασή του μπορεί να γίνει με τη βοήθεια ενός μονοδιάστατου πίνακα συνδεδεμένων λιστών: η θέση i του πίνακα αντιστοιχεί στον κόμβο i το περιεχόμενο του πίνακα στη θέση i είναι η λίστα των κόμβων που συνδέονται με τον i Αρίθμηση κορυφών: >0, >1, >2, >3, >4 0 1 2 3 4 1 2 3 0 4 1 4 1 65 Επίλυση προβλήματος γραφήματος Αναζητούμε ένα μονοπάτι το οποίο να ξεκινάει από έναν κόμβο Χ (κόμβος αρχή) και να καταλήγει σε έναν κόμβο Υ (κόμβος στόχος). Αντίστοιχα μπορεί να αναζητούμε έναν περίπατο ο οποίος να ξεκινάει από έναν κόμβο Χ (κόμβος αρχή) και να καταλήγει σε έναν κόμβο Υ (κόμβος στόχος). Το γενικότερο πρόβλημα μπορεί να περιλαμβάνει: 1. θετικούς περιορισμούς (πρέπει οπωσδήποτε να περάσουμε από κάποιους κόμβους). 2. Αρνητικούς περιορισμούς (πρέπει οπωσδήποτε να αποφύγουμε κάποιους κόμβους). 3. Πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τα βάρη σύνδεσης των κόμβων (προβλήματα ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης 66 33
Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Στόχος μας είναι να επισκεφτούμε όλους τους κόμβους του γραφήματος Παράδειγμα: Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Ξεκινώντας από έναν κόμβο i: επισκεπτόμαστε τον κόμβο i επισκεπτόμαστε αναδρομικά κάθε κόμβο που συνδέεται με τον κόμβο i με την προϋπόθεση ότι δεν τον έχουμε ήδη επισκεφθεί. 67 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 f g h 68 34
Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 f 2 g h 69 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f 2 g h 70 35
Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f 2 g 4 h 71 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f 2 5 g 4 h 72 36
Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f 6 2 5 g 4 h 73 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 7 f 6 2 5 g 4 h 74 37
Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 7 f 6 8 2 5 g 4 h 75 38