ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Περιγραφή θεματικής ενότητας Ηλεκτρικά πεδία στην ύλη. Πόλωση. Ηλεκτρική μετατόπιση. Συνοριακές συνθήκες παρουσία διηλεκτρικών. Γραμμικά διηλεκτρικά. Νόμος του Gauss και εξίσωση Poisson/Laplace παρουσία διηλεκτρικών. Εκπαιδευτικοί Στόχοι Έρευση Ηλεκτρικού Δυναμικού και ηλεκτρικού πεδίου σε διατάξεις με παρουσία διηλεκτρικών υλικών.
Ενότητα 4 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ 1 Εισαγωγή Οι αγωγοί επιτρέπουν την ελεύθερη κίνηση των φορτίων στο εσωτερικό τους. Όταν ένας αγωγός τοποθετηθεί εντός ηλεκτρικού πεδίου τα φορτία εντός του αγωγού κατανέμονται έτσι ώστε το ηλεκτρικό πεδίο να μηδενίζεται στο εσωτερικό του. Αντιθέτως τα μονωτικά υλικά περιέχουν δέσμια φορτία τα οποία δεν μπορούν να μετακινηθούν ελεύθερα και να εξουδετερώσουν πλήρως το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο το οποίο εισέρχεται στο εσωτερικό τους. Τα υλικά αυτά ονομάζονται διηλεκτρικά. Ανταποκρινόμενα στο ηλεκτρικό πεδίο, τα δέσμια φορτία μετατοπίζονται, με τα θετικά φορτία να απομακρύνονται από τα αρνητικά. Η απομάκρυνση αυτή, η οποία μπορούμε να p θεωρήσουμε ότι οδηγεί σε παραγωγή διπόλων στο εσωτερικό του υλικού, ονομάζεται πόλωση του υλικού. p Ποσοτικά η κατάσταση πόλωσης εκφράζεται με το διάνυσμα της πόλωσης P= διπολικη ροπη d p = μοναδα ογκου d 3 r p p p p E p p p p p p 2 1
Δυναμικό πόλωσης Το ηλεκτρικό δυναμικό το οποίο παράγεται από ένα δίπολο διπολικής ροπής p τοποθετημένο στο σημείο r δίνεται από : Το ηλεκτρικό δυναμικό το οποίο παράγεται από ένα υλικό πολωμένο με πόλωση P δίνεται από όπου η πυκνότητα και επιφανειακή πυκνότητα των φορτίων πόλωσης 3 Η Ηλεκτρική Μετατόπιση Η συνολική πυκνότητα φορτίου (ρ) παρουσία διηλεκτρικών μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα των «ελευθέρων»* φορτίων (ρ F ) και των φορτίων πόλωσης (ρ P ) Επομένως η πρώτη εξίσωση του Maxwell γράφεται Όπου εισάγαμε την ηλεκτρική μετατόπιση Ασκήσεις : Παράδειγμα 4 σελ 227 * εδώ με τον όρο «ελεύθερα» εννοούμε τα φορτία τα οποία δεν υπόκεινται σε πόλωση Ασκήσεις: Πρόβλημα 4.15 4 2
Πολωμένη Σφαίρα Παράδειγμα: Υπολογίστε το δυναμικό μιας ομοιόμορφα πολωμένης σφαίρας πόλωσης P. Παράδειγμα 2 σελ 217 Ασκήσεις: Πρόβλημα 4.10 5 Ο Νόμος του Gauss για διηλεκτρικά Ολοκληρώνοντας σε όλο το χώρο την παίρνουμε το νόμο του Gauss για διηλεκτρικά όπου q V F τα ελεύθερα περικλειόμενα φορτία στον όγκο V. Σε αντίθεση με το νόμο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο, η τελευταία σχέση δεν αρκεί στη γενική περίπτωση για τον πλήρη προσδιορισμό της ηλεκτρικής μετατόπισης D καθώς ο στροβιλισμός της ηλεκτρικής μετατόπισης δεν μηδενίζεται 6 3
Γραμμικά Διηλεκτρικά Υπάρχει μια ομάδα διηλεκτρικών υλικών για τα οποία η πόλωση P η οποία αναπτύσσουν όταν βρεθούν σε (ασθενές) ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι ανάλογη του πεδίου Η σταθερά χ ονομάζεται ηλεκτρική επιδεκτικότητα του υλικού. Τα υλικά αυτά ονομάζονται γραμμικά διηλεκτρικά. Η ηλεκτρική μετατόπιση δίνεται τότε από όπου (ϵ) η ηλεκτρική διαπερατότητα του υλικού η οποία συνδέεται με την ηλεκτρική επιδεκτικότητα ως Η διηλεκτρική σταθερά ορίζεται ως ο λόγος της ηλεκτρική διαπερατότητας του υλικού ως προς την ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού Ασκήσεις: Παράδειγμα 5 σελ 232 7 Διηλεκτρικές σταθερές Υλικό* Διηλεκτρική σταθερά Κενό 1 Αέρας 1.000550 Νάυλον 3.5 Νερό 80.4 Υδροκυάνιο 158. * σε θερμοκρασία 20 ο C και πίεση 1atm 8 4
Φορτία πόλωσης σε γραμμικά διηλεκτρικά Η χωρική πυκνότητα φορτίου πόλωσης σε γραμμικά διηλεκτρικά συνδέεται μ ε την πυκνότητα ελευθέρων φορτίων 9 Συνοριακές συνθήκες παρουσία διηλεκτρικών Παρουσία γραμμικών διηλεκτρικών οι εξισώσεις της ηλεκτροστατικής παίρνουν τη μορφή Συνεπώς η για επίλυση προβλημάτων παρουσία διηλεκτρικών μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις τεχνικές που αναπτύξαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Ολοκληρώνοντας κατάλληλα τις εξισώσεις, κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών υλικών βρίσκουμε ή όπου η επιφανειακή πυκνότητα σ F ΔΕΝ περιλαμβάνει τα φορτία πόλωσης. 10 5
Συνοριακές συνθήκες παρουσία διηλεκτρικών Το ηλεκτρικό δυναμικό, παρουσία γραμμικών διηλεκτρικών, ικανοποιεί την εξίσωση Poisson Οι συνοριακές συνθήκες που θα πρέπει να εφαρμόσουμε στην επίλυση της είναι, ανάλογα με όσα αναφέραμε στην προηγούμενη ενότητα, Άσκηση: Το ηλεκτρικό πεδίο εντός ενός διηλεκτρικού είναι ομογενές και ισούται με Ε 0 όπως στο Σχήμα. Αν δημιουργήσουμε στο εσωτερικό του διηλεκτρικού μια μικρή (κενή) κοιλότητα σχήματος (α) βελόνας ή (β) δίσκου, ποιο θα είναι το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό της; (α) (β) 11 Φορτίο στο εσωτερικό διηλεκτρικού Το ηλεκτρικό πεδίο ενός φορτίου q το οποίο βρίσκεται μέσα σε διηλεκτρικό υλικό δίνεται από τη λύση της Η οποία ανάγεται στην εξίσωση που επιλύσαμε στην προηγούμενη ενότητα με την αντικατάσταση ε 0 ε. Επομένως το ηλεκτρικό πεδίο το οποίο προκαλείται από ένα φορτίο q (στην θέση r 1 ) δίνεται από Καθώς ε > ε 0 το μέτρο του ηλεκτρικό πεδίου που προκαλεί το φορτίο q είναι σε δεδομένη απόσταση είναι μικρότερο παρουσία του διηλεκτρικού από ότι θα προκαλούσε στο κενό. Η παρουσία λοιπόν του διηλεκτρικού εξασθενεί το ηλεκτρικό πεδίο. 12 6
Παράδειγμα: 1 Παράδειγμα 5 σελ 232 13 Παράδειγμα 2: Αγώγιμη σφαίρα σε διηλεκτρικό V 0 b a Για a < r < b παίρνουμε Αγώγιμη σφαίρα ακτίνας α η οποία βρίσκεται σε δυναμικό V 0 περιβάλλεται από σφαιρικό φλοιό διηλεκτρικού υλικού ακτίνων r 1 = a, r 2 = b και ηλεκτρικής διαπερατότητας ε. Να υπολογιστεί το δυναμικό και το ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο. Θα επιλύσουμε την εξίσωση του Laplace στις περιοχές (Ι) a < r < b και (ΙΙ) r > b και ομοίως για r > b παίρνουμε Οι συνοριακές συνθήκες είναι 14 7
Παράδειγμα 2: Αγώγιμη σφαίρα (συνέχεια) επομένως και 15 Παράδειγμα 2: Αγώγιμη σφαίρα (συνέχεια) Η πόλωση δίνεται από και η πυκνότητα φορτίων πόλωσης, η οποία μηδενίζεται παντού ενώ τα επιφανειακά φορτία πόλωσης στις δυο επιφάνειες του διηλεκτρικού είναι 16 8
Παράδειγμα 3: Διηλεκτρική σφαίρα σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο z R E 0 y Σφαίρα από διηλεκτρικό, ηλεκτρικής διαπερατότητας ε, τοποθετείται εντός αρχικά ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου Ε 0. Να υπολογιστεί το δυναμικό σε όλο το χώρο. Καθώς δεν υπάρχουν «ελεύθερα» φορτία το δυναμικό ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace. Επιλέγοντας το Ε 0 κατά μήκος του άξονα των z η διάταξη παρουσιάζει αξονική συμμετρία και η γενική λύση για το δυναμικό για r > R δίνεται από με συνοριακή συνθήκη στο r η οποία συνεπάγεται 17 Παράδειγμα 3 :Διηλεκτρική σφαίρα (συνέχεια) Για r < R η γενική λύση θα είναι όπου η απαίτηση να είναι πεπερασμένο το δυναμικό στο r = 0 συνεπάγεται Στη διαχωριστική επιφάνεια r = R οι συνοριακές συνθήκες απαιτούν ενώ η συνθήκη συνέχειας της παράλληλης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου δίνει οι δύο πρώτες συνθήκες δίνουν αντίστοιχα: 18 9
Παράδειγμα 3: Διηλεκτρική σφαίρα (συνέχεια) και οι οποίες απαιτούν 19 Παράδειγμα 3: Διηλεκτρική σφαίρα (συνέχεια) Οι δύο τελευταίες σχέσεις οδηγούν σε μια σειρά από ομογενή συστήματα με ορίζουσες συντελεστών οι υπόλοιπες συνθήκες προσδιορίζουν πλήρως τις εναπομείνασες σταθερές 20 10
Παράδειγμα 3: Διηλεκτρική σφαίρα (συνέχεια) Διαπιστώνουμε ότι η τελευταία συνθήκη συνέχειας (*), την οποία δεν χρησιμοποιήσαμε, ικανοποιείται αυτόματα. Άσκηση: Να υπολογιστεί το ηλεκτρικό πεδίο, το πεδίο πόλωσης και η πυκνότητα φορτίων πόλωσης. 21 Ηλεκτροστατική ενέργεια Για τον υπολογισμό της ηλεκτροστατικής ενέργειας μιας κατανομής φορτίων παρουσία διηλεκτρικών ακολουθούμε τα βήματα της προηγούμενης ενότητας (σελ 30 ). Εδώ όμως η συνολική ενέργεια περιλαμβάνει εκτός από την μεταφορά των (ελεύθερων) φορτίων στις τρέχουσες θέσεις τους και τη δημιουργία της πόλωσης στο υλικό. Ξεκινώντας από και για γραμμικά διηλεκτρικά καταλήγουμε στην έκφραση Ασκήσεις: Πρόβλημα 4.27 (σελ 246) 22 11
Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1049.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος. «Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι. ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1049. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.