ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Ι ΚΑΙ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΙΙ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α) β, Α) δ, Α3) γ, Α) γ, Α5) α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. α) Σωστή απάντηση η (ii). β) Η χρονική διαφορά με την οποία φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Σ της επιφάνειας τους υγρού δίνεται από τη σχέση: = r r, υ δ όπου υδ η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων και r, r οι αποστάσεις του σημείου Σ από τις δύο πηγές. Επομένως: r r = υ δ = λf 3T r r = 3λ (), όπου λ, f το μήκος κύματος και η συχνότητα αντίστοιχα των κυμάτων. Για το ζητούμενο πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ: Α Σ = Α συνπ r r () Α λ Σ = Α συνπ = Α Α Σ = Α. 3λ λ = Α συν 3π = Α συν π = Β. α) Σωστή απάντηση η (iii). β) Σύμφωνα με την αρχή του Pascal, η επιπλέον πίεση που εμφανίζεται στα σημεία του ρευστού κάτω από το μικρό έμβολο διατομής Α λόγω της ασκούμενης δύναμης F, μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του ρευστού σε ισορροπία, άρα και σε αυτά κάτω από το μεγάλο έμβολο διατομής Α. Άρα: Δp = Δp. Όμως Δp = F A και Δp = F A. Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση:
Δp = Δp F A = F A F = F A A. Β3. α) Σωστή απάντηση η (iii). β) Λόγω φαινομένου Doppler η συχνότητα του ήχου fa που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής θα ισούται με: f A = υ υ Α υ f S (), όπου fs η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η ακίνητη πηγή. Γνωρίζοντας ότι f = N η εξίσωση () γράφεται ως: Ν Α = υ υ Α Ν S υ N A = υ υ Α N υ S. ΘΕΜΑ Γ Γ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα του συστήματος τη χρονική στιγμή t0=0 που τα σώματα αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. Επειδή το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό ( και λόγω του 3 ου νόμου του Newton) θα ισχύει για τα μέτρα των τάσεων: Τ=Τ και Τ=Τ. F αξ Τ Τ Τ Τ w τρ w w Επειδή το νήμα είναι διαρκώς τεντωμένο, όλα τα σημεία του κάθε χρονική στιγμή θα πρέπει να έχουν την ίδια κατά μέτρο μεταφορική επιτάχυνση. Το ίδιο θα συμβαίνει και για τις επιταχύνσεις των σωμάτων Σ και Σ, τα οποία είναι δεμένα με το νήμα. Επίσης καθώς το νήμα είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας και δε γλιστράει ως προς αυτή, το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας θα πρέπει να είναι ίσο με το αντίστοιχο μέτρο της μεταφορικής επιτάχυνσης των σημείων του σχοινιού. Άρα: α νήματος = α = α = α επιτρ = α γων R = α, όπου α γων η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Επειδή το σώμα Σ έχει μεγαλύτερη μάζα από το Σ (προκαλείται μεγαλύτερη ροπή στο σύστημα από το βάρος του Σ σε σχέση με αυτή του βάρους του Σ), το
σώμα Σ θα αρχίζει να κατεβαίνει ενώ το Σ να ανεβαίνει και η τροχαλία θα περιστρέφεται αριστερόστροφα σύμφωνα με το σχήμα. Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής, για τα διάφορα σώματα του συστήματος θα έχουμε: Σώμα : ΣF = m a w T = m a () Σώμα : ΣF = m a T w = m a () Τροχαλία: Στ Κ = Ι Κ a γων Τ R T R = MR α γων Τ T = Mα (3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και (): w T + T w = m a + m a w w (T T ) = (m + m )α (3) (3) m g m g Mα = (m + m )α (m m )g = (m + m + M) α m m a = m + m + g = M + + 0 = m/s. Άρα η ζητούμενη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας είναι: α γων = α R = 0, α γων = 0 rad/s. Γ. Το σώμα Σ κατά την κάθοδο του εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα κι επιτάχυνση μέτρου α= m/s. Επομένως για τη ζητούμενη ταχύτητα θα έχουμε: υ = α t = 3 υ = 6 m/s. Γ3. Το πλήθος περιστροφών της τροχαλίας θα δίνεται από τη σχέση Ν = Δθ,όπου Δθ π η γωνία στροφής της τροχαλίας. Για τη γωνία αυτή το σώμα Σ έχει κατέλθει κατά x (το σώμα Σ κατά την κάθοδο του εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα) : x = at = 3 x = 9 m. Επειδή ισχύει x = Δθ R Δθ = x = 90 rad, ο ζητούμενος αριθμός των R περιστροφών της τροχαλίας είναι: Ν = Δθ π = 90 π Ν = 5 π περιστροφές. Γ. Ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των σωμάτων Σ και Σ και τροχαλία, ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας, ισούται με τη συνισταμένη ροπή των εξωτερικών δυνάμεων, ως προς το συγκεκριμένο άξονα. Είναι δηλαδή: ΔL ΣΥΣΤ(Κ) = Στ εξ(κ). Θεωρώντας θετική φορά περιστροφής της αντιωρολογιακή (αριστερόστροφη), έχουμε: ΔL ΣΥΣΤ(Κ) = τ w,(κ) + τ w,(κ) ΔL ΣΥΣΤ(Κ) = w R w R = m gr m gr 3
ΔL ΣΥΣΤ(Κ) = (m m )gr = ( ) 0 0, ΔL ΣΥΣΤ(Κ) = kg m /s. ΘΕΜΑ Δ Δ. Με βάση την εξίσωση απομάκρυνσης που μας δίνεται, συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος Σ θα δίνεται από τη σχέση υ(t) = 0,ωσυνωt (S. I. ). Η γωνιακή ταχύτητα (κυκλική συχνότητα) ω, θα ισούται με: Επομένως, D = = m ω ω = m ω = 00 = 0 rad/s. υ(t) = 0, 0συν0t υ(t) = συν0t (S. I. ). Οπότε, για τη ζητούμενη απομάκρυνση του σώματος Σ θα έχουμε: x(t) = 0,ημ0t x(t ) = 0,ημ (0 π 0 ) x(t ) = 0,ημπ x(t ) = 0m. Δηλαδή, το σώμα Σ τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη Θέση Ισορροπίας της ταλάντωσης που εκτελεί. Για τη ζητούμενη ταχύτητα θα έχουμε ότι: υ(t ) = συν0t = συν (0 π 0 ) υ(t ) = συνπ υ(t ) = m/s Δηλαδή, το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ τότε είναι υ(t ) = m/s και η ταχύτητά του έχει φορά προς τα αριστερά (τα αρνητικά με βάση το σχήμα). Δ. Επειδή το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο και το ελατήριο τη χρονική στιγμή t έχει το φυσικό του μήκος, το σύστημα των σωμάτων Σ και Σ είναι μονωμένο. Άρα, η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται κατά την κρούση τους. Επομένως: p ολ,πριν = p ολ,μετά m υ(t ) + m υ = (m + m )V ( ) + 3 ( 0 ) = ( + 3)V 3 V = 0 = V = 6 m/s. Δηλαδή, το συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση έχει ταχύτητα μέτρου V = 6 m/s και κινείται προς τα αριστερά. Δ3. Επειδή το συσσωμάτωμα θα ταλαντώνεται με τη βοήθεια του οριζόντιου ελατηρίου, η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης και η θέση που το ελατήριο έχει το
φυσικό του μήκος, θα ταυτίζονται. Δηλαδή, η Θ.Ι. δεν αλλάζει λόγω της πλαστικής κρούσης. Την t = 0, το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα V = 6 m/s και απομάκρυνση x = 0. Η ζητούμενη εξίσωση της απομάκρυνσης, θα είναι της μορφής: x(t) = A ημ(ω t + φ 0 ), όπου A το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος, φ 0 η αρχική φάση της ταλάντωσης (με βάση τις συμβάσεις μας) και ω η νέα γωνιακή ταχύτητα. Είναι D = = (m + m )ω ω = = 00 m + m + 3 ω = 5 rad/s. Για την αρχική φάση της ταλάντωσης, θα έχουμε: x(0) = 0 0 = A ημ(5 0 + φ 0 ) ημφ 0 = 0 φ 0 = 0 rad ή φ 0 = π rad (καθώς θεωρούμε ότι φ 0 [0, π)). Επειδή όμως υ(0) = V = 6 m/s < 0, συμπεραίνουμε ότι: φ 0 = π rad. Για το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα, από Α.Δ.Ε. ταλάντωσης θα έχουμε: Ε ταλ = max A = (m + m )V A = m + m V A = m + m V A = 00 6 A = 6 5 =,m Επομένως, η ζητούμενη εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι: x(t) =,ημ(5t + π) (S. I. ) Δ. Ζητείται το ΔΚ Κ,αρχ 00% λόγω της κρούσης. Είναι: ΔΚ 00% = Κ,τελ Κ,αρχ 00% = Κ,αρχ Κ,αρχ = m V m υ (t ) 00% = V υ (t ) m υ (t ) υ 00% = (t ) = 6 36 6 00% = 00% = 0 6 6 00% = 5 00% ΔΚ Κ,αρχ 00% = 5% Δηλαδή, το σώμα Σ λόγω της πλαστικής κρούσης του με το σώμα Σ, αύξησε την κινητική του ενέργεια κατά 5%. 5