ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και Εκτίμηση Αρ3.12 Εκτιμούν και υπολογίζουν το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αριθμών μέχρι το 100 000 και επαληθεύουν την απάντησή τους. Αρ3.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους των τεσσάρων πράξεων με ακέραιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας ποικιλία στρατηγικών, μέσων και αναπαραστάσεων. Αρ3.16 Χρησιμοποιούν και διατυπώνουν στρατηγικές εκτέλεσης νοερών υπολογισμών με ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς. Αρ3.18 Διατυπώνουν και επιλύουν προβλήματα με ακέραιους, κλασματικούς και δεκαδικούς αριθμούς και ελέγχουν τη λογικότητα της απάντησής τους. ΑΛΓΕΒΡΑ Διερεύνηση Εξισώσεων Αλ2.7 Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική), για να απλοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς και να ελέγχουν τα αποτελέσματά τους. Αλ3.11 Επιλύουν και κατασκευάζουν προβλήματα ρουτίνας πολλαπλών βημάτων και προβλήματα διαδικασίας. 1
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 8-10): Προβλήματα πολλαπλασιαστικής δομής Μάθημα 3 (σελίδες 11-13): Διψήφιος πολλαπλασιασμός (επιμεριστική ιδιότητα) Μαθήματα 4 και 5 (σελίδες 14-17): Αλγόριθμος διψήφιου πολλαπλασιασμού Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 18-20): Διαίρεση (Με επαναλαμβανόμενη αφαίρεση) Μαθήματα 8 και 9 (σελίδες 21-24): Αλγόριθμος διαίρεσης Μαθήματα 10 και 11 (σελίδες 25-27): Πολλαπλασιασμός και διαίρεση ως αντίστροφες πράξεις Λύση προβλήματος ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 8-10) Διερεύνηση (σελ.8 ) Στο (β) τα παιδιά αναμένεται να γράψουν τις μαθηματικές προτάσεις. Για παράδειγμα: (i) 15 70 (ii) 30 70 (iii) 60 70 (iv) 60 70 24 (v) 60 70 24 30 (vi) 60 70 24 30 12 ή 60 70 24 365 Δραστηριότητα 2 (σελ. 10) Τα παιδιά αναμένεται να αναλύσουν όποιο παράγοντα θέλουν και στη συνέχεια να εφαρμόσουν την προσεταιριστική ιδιότητα. Ένας τρόπος να υπολογιστεί το γινόμενο 20 50 είναι ο εξής: 20 50 = (10 2) 50 = 10 (2 50) = 10 100 = 1000 Δραστηριότητα 3 (σελ. 10) Στο (α) τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι 23 46 = (22 + 1) 46. 2
Μάθημα 3 (σελίδες 11-13) Διερεύνηση (σελ. 11) Τα παιδιά αναμένεται να εφαρμόσουν την επιμεριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα, 14 32 = 14 (30 + 2) ή 14 32 = (10 + 4) 32 = 420 + 28 = 320 + 128 = 448 = 448 ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο. Μαθήματα 4 και 5 (σελίδες 14-17) Διερεύνηση (σελ. 14) Ο Νικόλας πολλαπλασιάζει τις μονάδες του δεύτερου παράγοντα (12) με τις μονάδες του πρώτου (23) και με τις δεκάδες του πρώτου (23) και γράφει κάθε φορά το αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζει τις δεκάδες του δεύτερου παράγοντα (12) με τις μονάδες του πρώτου (23) και με τις δεκάδες του πρώτου (23) και γράφει κάθε φορά το αποτέλεσμα. Τέλος, προσθέτει τα επιμέρους αποτελέσματα. Η Ιωάννα πολλαπλασιάζει τις μονάδες του δεύτερου παράγοντα (12) με τον πρώτο παράγοντα και γράφει το αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζει τις δεκάδες του δεύτερου παράγοντα (12) με τον πρώτο παράγοντα και γράφει το αποτέλεσμα. Τέλος, προσθέτει τα δύο αποτελέσματα. Ο τρόπος της Ιωάννας είναι ο ίδιος με τον τρόπο του Πέτρου. Ο Πέτρος πολλαπλασιάζει τις μονάδες του δεύτερου παράγοντα με το 23 (2Μ 23) και γράφει 46 μονάδες. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζει τις δεκάδες του δεύτερου παράγοντα με το 23 (1Δ 23) και γράφει 23 δεκάδες στην κατάλληλη θέση. Δραστηριότητα 5 (σελ. 17) Το (δ) είναι ψευδοαναλογία. Συγκεκριμένα, 1 αλουμινένιο κουτί χρειάζεται σύμφωνα με το κείμενο 500 χρόνια για να αποσυντεθεί. Πέντε αλουμινένια κουτιά δεν χρειάζονται 5 500 χρόνια για να αποσυντεθούν, αλλά 500. 3
Μαθήματα 6 και 7 (σελίδες 18-20) Εξερεύνηση (σελ. 18) Τα παιδιά μπορούν να χρησιμοποιήσουν σχέδιο, λόγια ή μαθηματικά σύμβολα, για να εξηγήσουν πόσους ανθώνες θα χρειαστεί ο Αντρέας. Για παράδειγμα: 30 6 = 180 2 6 = 12 180 + 12 = 192 Εναλλακτικά, μπορούν να αξιοποιήσουν το εφαρμογίδιο στην ιστοσελίδα : http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2009/index.html Διερεύνηση (σελ. 19) Η Αντωνία και ο Γιάννης βρίσκουν το πηλίκο της διαίρεσης, χρησιμοποιώντας γνωστά γινόμενα. Ο Παύλος και η Μελίνα χρησιμοποιούν την αναπαράσταση του εμβαδού. Το εμβαδόν του ορθογωνίου διαχωρίζεται σε επιμέρους εμβαδά με σταθερή τη μία πλευρά. Ο τρόπος της Αντωνίας είναι ο ίδιος με τον τρόπο του Παύλου, ενώ ο τρόπος του Γιάννη είναι ο ίδιος με τον τρόπο της Μελίνας. Μαθήματα 8 και 9 (σελίδες 21-24) Διερεύνηση (σελ. 21) Τα παιδιά καλούνται να προτείνουν, χρησιμοποιώντας λέξεις ή σχέδιο ή μαθηματικά σύμβολα, με ποιο τρόπο μπορεί να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης 635 5. Μπορούν να χρησιμοποιήσουν και πραγματικά υλικά. Για παράδειγμα, πλαστικοποιημένα χαρτονομίσματα ή υλικό Dienes, όπου η εκατοντάδα θα αναπαριστά το χαρτονόμισμα των 100 ευρώ, η δεκάδα το χαρτονόμισμα των 10 ευρώ και η μονάδα το κέρμα του ενός ευρώ. Αναμένεται να προκύψει η ανάγκη ανταλλαγής του ενός χαρτονομίσματος των 100 ευρώ με 10 χαρτονομίσματα των 10 ευρώ και των χαρτονομισμάτων των 10 ευρώ με κέρματα του ενός ευρώ. Καθώς εργάζονται τα παιδιά, θα μπορούσε να γραφτεί η διαίρεση και κατακόρυφα, ώστε να γίνει διασύνδεση με τον κατακόρυφο αλγόριθμο. 4
Δραστηριότητα 1 (σελ. 22) Τα παιδιά καλούνται να χρησιμοποιήσουν τους κύβους Dienes, για να υπολογίσουν το πηλίκο 635 5. Αρχικά, μοιράζουν 6Ε σε πέντε κουτιά. Σε κάθε κουτί βάζουν 1Ε, ενώ περισσεύει 1Ε. Ανταλλάζουν τη 1Ε που περισσεύει με 10Δ, άρα οι δεκάδες γίνονται 13. Μοιράζουν τις 13Δ σε 5 κουτιά. Σε κάθε κουτί βάζουν 2Δ, ενώ περισσεύουν 3Δ. Ανταλλάζουν τις 3Δ που περισσεύουν με 30 μονάδες, άρα οι μονάδες γίνονται 35. Τέλος, μοιράζουν τις 35Μ σε 5 κουτιά. Σε κάθε κουτί βάζουν 7 μονάδες. Για κάθε βήμα της διαίρεσης που αναπαριστούν με τους κύβους καταγράφουν την εργασία κατακόρυφα (αλγόριθμος διαίρεσης). Μαθήματα 10 και 11 (σελίδες 25-27) Διερεύνηση (σελ. 25) Στόχος της διερεύνησης είναι να διερευνήσουν διαισθητικά τα παιδιά την Ευκλείδεια διαίρεση όπου: Διαιρετέος = (Πηλίκο Διαιρέτης) + Υπόλοιπο 147 = (24 6) + 3 Δραστηριότητα 2 (σελ. 26) Στο (β) τα παιδιά αναμένεται να σκεφτούν ως εξής: ( 45) + 2 = 182. 5
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 16 (σελ. 35) και Δραστηριότητα 17 (ε) (σελ. 35) Στη διαίρεση 384 διά 4 το ψηφίο των εκατοντάδων (3) είναι μικρότερο από τον διαιρέτη (4) συνεπώς, το πηλίκο δεν θα είναι τριψήφιος αριθμός, αλλά διψήφιος. Δραστηριότητα 20 (σελ. 36) Επειδή δεν αναφέρεται ότι τα δύο μικρότερα κομμάτια είναι ίσα, δεν μπορεί να υπολογιστεί πόσο ζυγίζει το μικρότερο κομμάτι. Δραστηριότητα 22 (σελ. 38) Αφού το γινόμενο των ηλικιών των τριών παιδιών είναι 135, το ένα παιδί είναι 5 χρόνων (το 135 είναι πολλαπλάσιο του 5). Διαιρώντας το 135 διά 5 βρίσκουμε πηλίκο 27. Άρα οι ηλικίες των άλλων δύο παιδιών είναι 3 και 9 (3 9 = 27). Δραστηριότητα 24 (σελ. 38) Οι απαντήσεις είναι οι εξής: (α) 469 (β) = (179 3) + 2 = 539 (γ) = 9, διότι (9 25) + 2 = 227 Δραστηριότητα 25 (σελ. 39) Στο (β) τα παιδιά αναμένεται να σκεφτούν ως εξής: : ( 15) + 4 = 109. 6
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως τα πιο κάτω: 1. Εφαρμογίδια για πολλαπλασιασμό 1.1 Ιστοσελίδα http://www.mathsisfun.com/numbers/estimation-game.php Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε «Multiply Tens» για εκτίμηση γινομένου με πολλαπλάσια του 10. Τα παιδιά καλούνται, με βάση την εκτίμησή τους, να τοποθετήσουν το βέλος στο κατάλληλο σημείο της αριθμητικής γραμμής. 1.2 Ιστοσελίδα http://mathsframe.co.uk/en/resources/resource/29/missing_digits Από την αρχική σελίδα ο χρήστης επιλέγει τη μορφή πολλαπλασιασμού με την οποία θα εργαστεί (π.χ. TU 10, για διψήφιο αριθμό επί 10). Τα παιδιά καλούνται να συμπληρώσουν τα ψηφία που λείπουν από την πράξη πολλαπλασιασμού που παρουσιάζεται. 7
1.3 Ιστοσελίδα http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l61/index.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης του πολλαπλασιασμού ως εμβαδόν, αξιοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Το συγκεκριμένο εφαρμογίδιο μπορεί να αξιοποιηθεί για πολλαπλασιασμούς διψήφιου επί μονοψήφιο αριθμό. 1.4 Ιστοσελίδα http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l82/index.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης του πολλαπλασιασμού ως εμβαδόν, αξιοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού (τόσο ως προς την πρόσθεση όσο και ως προς την αφαίρεση). Το συγκεκριμένο εφαρμογίδιο μπορεί να αξιοποιηθεί για πολλαπλασιασμούς διψήφιου επί διψήφιο αριθμό. 8
1.5 Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_192_g_2_t_1.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης του πολλαπλασιασμού ως εμβαδόν, αξιοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. 1.6 Ιστοσελίδα http://www.bbc.co.uk/skillswise/game/ma12pape-game-written-multiplication Εργαζόμαστε στο δεύτερο επίπεδο (Level B Medium) για πολλαπλασιασμό διψήφιου επί διψήφιο αριθμό. 9
2. Εφαρμογίδια για διαίρεση 2.1 Ιστοσελίδα http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2007/index.html Το εφαρμογίδιο δίνει στα παιδιά τη δυνατότητα να βρουν το πηλίκο διαιρέσεων, αξιοποιώντας μια αναπαράσταση με εμβαδόν ορθογωνίου. Τα παιδιά χωρίζουν την επιφάνεια σε μικρότερα ορθογώνια με βάση διαιρέσεις που γνωρίζουν. Για παράδειγμα, στη διαίρεση 126 9 αξιοποιούν τη διαίρεση 90 9 = 10 και προχωρούν στη διαίρεση 36 9 = 4. Άρα, 126 9 = 10 + 4 = 14. Στο πιο πάνω εφαρμογίδιο τα παιδιά εργάζονται με διαιρέσεις χωρίς υπόλοιπο. Για διαιρέσεις με υπόλοιπο μπορεί να χρησιμοποιηθεί το αντίστοιχο εφαρμογίδιο (http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2008/index.html). Για καθορισμό διαιρέσεων από τον χρήση μπορεί να αξιοποιηθεί το ακόλουθο εφαρμογίδιο: http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/l2009/index.html. 10
2.2 Ιστοσελίδα http://wwwk6.thinkcentral.com/content/hsp/math/hspmath/na/common/itools_int_97805475849 97_/basetenblocks.html Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε τη Δραστηριότητα 6 ( Divide ). Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης τέλειας ή ατελούς διαίρεσης με κύβους. Χρησιμοποιώντας την εντολή Divide, ο χρήστης καθορίζει τον διαιρέτη (τον αριθμό των ομάδων ή τον αριθμό των αντικειμένων σε κάθε ομάδα). Χρησιμοποιώντας την εντολή Regroup, ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να ανταλλάξει εκατοντάδες με δεκάδες ή δεκάδες με μονάδες κ.ο.κ. Η συμβολική αναπαράσταση της διαίρεσης μπορεί να αποφευχθεί, χρησιμοποιώντας την επιλογή Hide / Show. 11
2.3 Ιστοσελίδα http://www.mathplayground.com/visual_division/dare_to_share_fairly.html Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για αναπαράσταση τέλειας ή ατελούς διαίρεσης. Ο χρήστης μπορεί να καθορίσει τον διαιρετέο και τον διαιρέτη (χρησιμοποιώντας την επιλογή Make your own ). Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα ανταλλαγής εκατοντάδων με δεκάδες ή δεκάδων με μονάδες, χρησιμοποιώντας την εντολή Place value exchange. 12