ΚΦΑΛΑΙΟ 11. Παραθέτουμε για εύκολη αναφορά το πινακάκι με την αντιστοιχία χορδών-αποστημάτων-τόξων που χρειάζεται σε όλες σχεδόν τις παρακάτω ασκήσεις Κανονικό εξάγωνο Πλευρά λν Χορδή λ = Απόστημα α = Τετράγωνο Ισόπλευρο τρίγωνο λ = λ = α = α = Τόξο 0º 90º 10º ρωτήσεις Κατανόησης ΑΣΚΗΣΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1. Χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω ισότητες, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. i) λ + λ = λ Σ Λ ii) λ λ λ ( 1 ) + + = + + Σ Λ iii) α α α ( 1 ) Aπάντηση: + + = + + Σ Λ i) ( ) λ + λ = + = + = = = λ. Αρα η δοθείσα σχέση είναι λανθασμένη (Λ).. ii) λ λ λ ( 1) + + = + + = + + άρα η δοθείσα είναι λανθασμένη (Λ). iii) α α α ( 1 ) + + = + + = + +. πομένως η δοθείσα σχέση είναι σωστή (Σ).. Αν A, B, Γ Δ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, ), ώστε ΑΒ = ΑΔ είναι διάμετρος του κύκλου. Aπάντηση:, ΒΓ = λ1 και ΓΔ =, να εξηγήσετε γιατί η Αφού ΑΒ = θα είναι ΑΒ = 90 και αφού ΒΓ = λ1 θα είναι ΒΓ = 0 και τέλος αφού ΓΔ = θα είναι Γ = 0. Αρα Α = ΑΒ + ΒΓ + Γ = 90 + 0 + 0 = 180 δηλαδή το τόξο Α είναι ημικύκλιο οπότε συνακόλουθα η ΑΔ είναι διάμετρος.
. Αν A, B, Γ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, ), ώστε ΑΒ = 10 και ΒΓ = 0, η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι: α. ( + ), β., γ. ( + ), δ. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Aπάντηση: Αφού ΑΒ = 10 θα είναι ΑΒ =. Αφού ΒΓ = 0 θα είναι ΒΓ =. +, Θα είναι ΑΓ = 0 10 0 = 180 άρα ΑΓ διάμετρος ΑΓ = Οπότε περίμετρος ΑΒΓ= ΑΒ+ΒΓ ΑΓ ( ) + = + + = + = + δηλαδή η ορθή απάντηση είναι το α.. Στο διπλανό σχήμα η γωνία Μ είναι: α. 0 β. 5 γ. 50 δ. 0 ε. 75 Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Aπάντηση: Βλέπουμε ότι το απόστημα είναι που είναι το απόστημα που αντιστοιχεί σε χορδή δηλαδή χορδή τόξου 10º. Αρα η γωνία Μ ως εγγεγραμμένη θα έχει μέτρο το μισό του αντίστοιχου τόξου της δηλαδή θα είναι 0º δηλαδή η ορθή απάντηση είναι το δ.
Ασκήσεις μπέδωσης E1.Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου, ενός τετραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο,). 1 1 1 = Pα = λα = = 1 1 = Pα = λα = = 1 1 = Pα = λα = λα = =. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα = 10 cm και απόστημα αν = 5 cm. Να βρεθεί η πλευρά του λν και το εμβαδόν του ν. (Απ: 150 ) 10 Παρατηρούμε ότι α ν = 5 = = και από το πινακάκι διαπιστώνω ότι πρόκειται για κανονικό εξάγωνο οπότε : λν==10cm και 1 1 ν = Pν αν = λν αν = λν αν = 10 5 = 150 cm.. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα = 8 cm και πλευρά λν=8. Να βρεθούν: i) το απόστημά του αν και ii) το εμβαδόν του. Παρατηρούμε ότι λν= οπότε από το πινακάκι διαπιστώνουμε ότι πρόκειται για τετράγωνο. πομένως το απόστημά του θα είναι (πάλι από το πινακάκι) α= και 1 1 ii) = P α = λ α = = = 8 = = 18 cm. Σημείωση: Φυσικά το πινακάκι θα μπορούσε να συμπληρωθεί και με τύπο για το εμβαδό κάθε κανονικού πολυγώνου να μην το υπολογίζουμε κάθε φορά.
. Σε κύκλο (Ο,) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα ΑΒ = 0, ΒΓ = 90 και Γ = 10. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Αφού ΑΒ = 0 θα είναι ΑΒ=, ΟΚ = α = οπότε 1 1 ΟΑΒ = λα = = Αφού ΒΓ = 90 θα είναι ΒΓ =, ΟΛ = α = και 1 1 ΟΒΓ = λα = = = Αφού Γ = 10 θα είναι Γ =, ΟΜ = α = και 1 1 ΟΓ = λα = = Τέλος 0 Α = ΑΒ ΒΓ Γ = 0 0 90 10 = 90.Αρα Α =, ΟΝ = α = και 1 1 ( ΟΑ ) = λα = = = Οπότε: ΑΒΓ = ΟΑΒ + ΟΒΓ + ΟΓ + ΟΑ = + + + = + = ( + ) Παρατήρηση: Μπορεί κάποιος να παρατηρήσει ότι επεδή ΒΓ = Α = 90 οπότε ΑΒ//ΓΔ δηλαδή το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο οπότε το εμβαδόν του είναι 1 1 1 1 1 + 1 ( ) ΑΒΓ = ΑΒ + Γ ΟΚ + ΟΜ = + + = ( 1+ ) + = 1+ ( 1 ) 1 + 1 1+ + 1 + 1 ( ) = = = = +
Αποδεικτικές Ασκήσεις Α1. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του cm. Να βρεθεί η ακτίνα του. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός οποιοουδήποτε ν-γώνου είναι ( ν ) 180 ή ( ν ) = ν ορθές. Αρα εδώ ν = 8 ν = + 8 ν = 1 ν = 1 1 = P α = λ α = = Μας δίνεται όμως ότι > 0 = = = = = = Α. Σε κύκλο (O,) και εκατέρωθεν του κέντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ και ΓΔ, ώστε AB = και Γ =. Να υπολογισθούν οι μη παράλληλες πλευρές ΑΓ και ΒΔ του τραπεζίου ΑΒΔΓ, το ύψος του και το εμβαδόν του, ως συνάρτηση του. Αφού ΑΒ= θα είνια ΑΒ = 0 και αφού Γ = θα είναι Γ = 10. πειδή ΑΒ //ΓΔ θα είναι ΑΓ = Β οπότε δεδομένου ότι ΑΒ + Γ + ΑΓ + Β = 0 0 + 10 + ΑΓ = 0 180 + ΑΓ = 0 ΑΓ = 0 180 ΑΓ = 180 ΑΓ = 90 Αρα ΑΓ =.Αλλά και Β = δεδομένου ότι σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές. Για το ύψoς ΖΗ του τραπεζίου ΑΒΓΔ έχουμε: ( 1 ) ΖΗ = ΟΖ + ΟΗ = + = + 1 1 ( ΑΒΓ ) = ( ΑΒ + Γ) ΗΖ = ( + ) ( 1+ ) = ( 1+ ) ( 1+ ) = ( 1+ ) ( 1 ) 1 + 1 1+ + 1 + 1 ( ) = = = = +
Α. Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του η πλευρά λ1 και το απόστημα α1 ενός κανονικού 1-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (O,). Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΓ έχουμε: ΑΓ = ΓΗ Γ λ1 = ( ΟΓ Ο ) λ1 = ( α ) λ1 = λ1 = λ = 1 Από την γνωσή ισότητα: λ 1 1 + α = λ + α = α = λ α = λ 1 1 1 1 1 1 1 Α. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου, χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Στο σχήμα έχουμε σχεδιάσει ένα κανονικό 1-γωνο και ένα κανονικό γωνο που προκύπτει αν ενώσω μία παρά μία τις κορυφές του κανονικού 1-γώνου. Τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΓΒ είναι ίσα (ΠΠΠ) οπότε και ισεμβαδικά δηλαδή (ΑΟΓ)=(ΓΟΒ) οπότε (ΟΑΓΒ)= (ΑΟΓ)+(ΓΟΒ)= (ΑΟΓ) Τώρα προφανώς 1 = 1 ΟΑΓ = ΟΑΓ = ΟΑΓΒ (1) Το τετράπλευρο ΟΑΓΒ επειδή έχει κάθετες διαγωνίους, το εμβαδόν του ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του ( 10. φαρμογή η κια ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ) 1 1 1 1 ( ΟΑΓΒ ) = ΑΒ ΟΓ = λ = = Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε = 1 1 ΟΑΓΒ = =
Σύνθετα Θέματα Σ1. Δίνεται κύκλος (O,) και χορδή του ΓΔ = λ. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρωθεν του Ο παίρνουμε σημεία Α, Β, ώστε ΟΑ = ΟΒ = α. Αν Μ το μέσο της ΓΔ, να αποδείξετε ότι: MA + MB = λ. Φέρνουμε το ΜΟ το οποίο στο τρίγωνο ΜΑΒ είναι διάμεσος. πιπλέον επειδή Μ μέσο της χορδής ΓΔ, θα είναι ΟΜ Γ. (Στο ισοσκελές τρίγωνο ΟΓΔ η διάμεσος ΟΜ θα είναι και ύψος Πόρισμα Ι.) ΟΜ = α =. Από το 1 ο θεώρημα διαμέσων ( 9.5) έχουμε: ( ΟΑ ) ΑΒ ΟΑ MA + MB = ΜΟ + = ΜΟ + = ΜΟ + = ( ΜΟ + ΟΑ ) = ( α + α ) = + = + = = = = λ
Σ. Από το σημείο Α εκτός κύκλου (Ο, ) φέρουμε τέμνουσα ΑΒΓ, ώστε ΑΒ = ΒΓ. Αν ΟΑ = 7 να αποδείξετε ότι: i) ΒΓ = λ και στη συνέχεια ii) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ. i) πειδή ΑΒΓ τέμνουσα και Α εξωτερικό σημείο του κύκλου είναι: ΑΒ ΑΓ = ΟΑ ΑΒ ΑΒ = 7 ΑΒ = 7 ΑΒ = ΑΒ = ΑΒ = ΑΒ = λ. Σχόλιο: H ΑΓ υπολογίζεται και από το 1 ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΑΟΓ: ΑΓ ΟΑ + ΟΓ = ΟΒ + ΟΑ + ΟΓ = ΟΒ + ΑΓ ΑΓ = ΟΑ + ΟΓ ΟΒ ΑΓ = 7 + ΑΓ = ΑΓ = ΑΓ = ΑΓ = 7 1 1 ΑΓ πομένως ΒΓ = = = = λ. ii) πειδή στο τρίγωνο ΑΟΓ η ΟΒ είναι διάμεσος έχουμε: 1 ΑΟΓ = ΒΟΓ = λ α = λ α = = ή άμεσα: 1 1 ΑΟΓ = ΑΓ Ο = λ α = λ α = =
Σ. Σε κύκλο (Ο, ) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, ώστε ΑΒ = λ και ΒΓ = λ. Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της ΑΜ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του, το τμήμα ΜΔ. (Απ: 7 Μ = ) 1 πειδή ΑΒ = 0 και ΒΓ = 10 θα είναι ΑΓ = 180 οπότε η γωνία Β= ˆ 90 ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΑΜ είναι: ΑΜ = ΑΒ + ΒΜ ΑΜ = + ΑΜ = + 7 7 ΑΜ = + ΑΜ = ΑΜ =. Aπό το θεώρημα τεμνόμενων χορδών ( 9.7): 7 ΜΑ Μ = ΜΒ ΜΓ Μ = 7 7 Μ = Μ =. 7 1 7 7Μ = Μ = Μ = Μ = 7 7 7 7