t w max s.t. w θc(t) 0, (1)

Òåî èß êîíò àêòîâ Ñáî íèê çàäà ñ å åíèßìè Ñîñòàâèòåëè: ï åïîäàâàòåëè ÐÝ Ñå ãåé Ãîëîâàíü, Ñå ãåé Ãó èåâ, Àëåêñåé Ìàê ó èí. 3 àï åëß ã. Ï åäâà èòåëüíûé âà èàíò; âñå çàìå àíèß è ï åäëîæåíèß íàï àâëßòü ïî àä åñó sguriev@nes.ru. Äàííûé ñáî íèê ñîäå æèò çàäà è äëß ñåìåñò îâîãî ìàãèñòå ñêîãî/àñïè àíòñêîãî êó ñà ïî òåî èè êîíò àêòîâ. Ï è ñîñòàâëåíèè èñïîëüçîâàëèñü çàäà è èç êó ñîâ òåî èè êîíò àêòîâ â ÐÝ (ï îôåññî Ãó èåâ), Harvard University (ï îôåññî Hart), Massachusetts Institute of Technology (ï îôåññî û Holmstrom, Wells), à òàêæå èç ó åáíèêîâ Salanie, Economics of contracts: A primer, Mascollel, Whinston, Green, Microeconomic Theory, Tirole, The Theory of Industrial Organization. Ñáî íèê äîïîëíßåò êîíñïåêòû ëåêöèé Ñå ãåß Ãó èåâà è Àíä åß Ñà û åâà. Â ñâßçè ñ òåì, òî óññêàß òå ìèíîëîãèß åùå íå óñòîßëàñü, â äàííîì ñáî íèêå, àòàêæå âêîíñïåêòàõ ëåêöèé è óññêîì èçäàíèè ó åáíèêà Milgrom and Roberts èìå ò ìåñòî àçëè íûå ïå åâîäû îäíèõ è òåõ æå òå ìèíîâ. Òàê, íàï èìå, adverse selection ïå åâîäèòñß è êàê "îò èöàòåëüíûé îòáî ", è êàê "íåáëàãîï èßòíûé îòáî ", moral hazard μ êàê "îïïî òóíèñòè åñêîå ïîâåäåíèå" è "ñóáúåêòèâíûé èñê", è "ìî àëüíûé â åä", incentive compatibility constraints μ "îã àíè åíèß ñîâìåñòèìîñòè ñòèìóëîâ" è "óñëîâèß ñàìîîòáî à", îòñóòñòâó ò ï èåìëåìûå âà èàíòû ïå åâîäà òå ìèíîâ revelation principle è commitment.

Çàäà à. Ðàññìîò èì ñëåäó ùó ìîäåëü íåáëàãîï èßòíîãî îòáî à. Ôè ìà íàíèìàåò íà àáîòó àáî èõ. Âñå àãåíòû íåéò àëüíû ïî îòíî åíè ê èñêó. Ðàáî èå àçëè à òñß ï îèçâîäèòåëüíîñòü. Èçäå æêè ï îèçâîäñòâà t åäèíèö ï îäóêöèè àáî èì òèïà θ àâíû θc(t) (c() = c () =, c (t), c (t) > ). Âñåãî åñòü äâà òèïà àáî èõ μ θ > è θ>θ. Äîëß àáî èõ òèïà θ àâíà π. Ôè ìà ï åäëàãàåò àáî åìó êîíò àêò â âèäå (t, w), ãäå t μ êîëè åñòâî ï îèçâåäåííîãî òîâà à, w μ çà ïëàòà àáî åãî. Ãà àíòè îâàííûé ó îâåíü çà àáîòêà àáî åãî àâåí. (a) Ï åäïîëîæèì, òî ôè ìà çíàåò òèï àáî åãî θ. Íàéäèòå îïòèìàëüíûé êîíò àêò. (b) Ï åäïîëîæèì òåïå ü, òî θ èçâåñòíî òîëüêî àáî åìó. Íàéäèòå îïòèìàëüíûé êîíò àêò â òîì ñëó àå. Ìîæåò ëè ñëó èòüñß òàê, òî ôè ìå âûãîäíî íàíèìàòü àáî èõ òîëüêî îäíîãî òèïà? Ðå åíèå. (a) Çàäà à ìàêñèìèçàöèè ï èáûëè: t w max s.t. w θc(t). Çàìåòèì, òî îã àíè åíèå â îïòèìóìå âûïîëíßåòñß êàê àâåíñòâî, è ïî òîìó äîñòàòî íî å èòü çàäà ó t θc(t) max è ïîëîæèòü w = θc(t). Èç óñëîâèé ïå âîãî ïî ßäêà ïîëó èì: t FB =(c ) (/θ), w FB = θc(t FB ). (b) Â ñëó àå, êîãäà òèï àáî åãî íåèçâåñòåí ôè ìå, åå çàäà à âûãëßäèò ñëåäó ùèì îá àçîì: π(t w)+( π)(t w) max s.t. w θc(t), () w θc(t), () w θc(t) w θc(t), (3) w θc(t) w θc(t). (4) Ñëîæèì (3) è (4), â åçóëüòàòå ïîëó èì, òî (θ θ)(c(t) c(t)), îòêóäà ñëåäóåò, òî t t, òî åñòü ìåíåå ï îèçâîäèòåëüíûå àáî èå â îïòèìóìå ï îèçâîäßò ìåíü å. Äàëåå, ï èìåíßß ñòàíäà òíó òåõíèêó, ïîëó àåì, òî () è (3) íå îã àíè èâà ò, à () è (4) â îïòèìóìå âûïîëíß òñß êàê àâåíñòâà. Èç () è (4) ( àññìàò èâàåìûì êàê àâåíñòâà) ïîëó àåì: w = θc(t), w = θc(t)+θc(t) θc(t). (5) Ïîäñòàâèâ (5) â ìàêñèìèçàöèîííó ôóíêöè, ïîëó èì çàäà ó: π(t θc(t)) + ( π)(t θc(t) θc(t)+θc(t)) max. t,t Óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà äëß òîé çàäà è: θc (t) = = t = t FB, π( θc (t)) + ( π)(θ θ)c (t) = = t<t FB.

Çàìåòèì, òî â îïòèìóìå íå ìîæåò áûòü ñèòóàöèè, êîãäà íàíèìà òñß àáî èå òîëüêî îäíîãî òèïà. Äåéñòâèòåëüíî, ìåí êîíò àêòîâ t =, w =, t = t FB, w = w FB óäîâëåòâî- ßåò óñëîâèßì èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè è ñîâìåñòèìîñòè ñî ñòèìóëàìè. Çíà èò òàêîå ìåí íåîïòèìàëüíî. Â òî æå â åìß íåâîçìîæíî íàíßòü òîëüêî íåï îèçâîäèòåëüíûõ àáî èõ, ïîñêîëüêó ë áîé ïîäõîäßùèé äëß íèõ â ñìûñëå óñëîâèß èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè êîíò àêò ïîäõîäèò è äëß àáî èõ òèïà θ. Çàäà à. [Hart] Ðàññìîò èì ã óïïó, ñîñòîßùó èç n àãåíòîâ. Àãåíò i âûáè àåò ó îâåíü óñèëèé a i (i =,..., n). Îáùèé ó îâåíü âûïóñêà ï è òîì ñîñòàâëßåò x = a i. Èçäå æêè àãåíòà i àâíû c i (a i ), ãäå c i > è c i >. Ó îâåíü óñèëèé ïóáëè íî íåíàáë äàåì è âûáè àåòñß íåêîîïå àòèâíî. (a) Íàéäèòå áåçóñëîâíî îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé êàæäîãî àãåíòà. (b) Ïîêàæèòå, òî èñïîëüçóß äèôôå åíöè óåìûå íåóáûâà ùèå ï àâèëà äåëåæà s i (x), òàêèå, òî s i (x) =x, íåëüçß äîñòè ü îïòèìàëüíîãî ó îâíß âûïóñêà. (c) Ñôî ìóëè óéòå óñëîâèß, êîòî ûì äîëæíî óäîâëåòâî ßòü å åíèå â òîì ñëó- àå. Ïîêàæèòå, òî óñëîâíîãî îïòèìóìà ìîæíî äîñòè ü, èñïîëüçóß ëèíåéíûå ï àâèëà äåëåæà. (d) Ïîëîæèì n =, c (a )=a, c (a )=a. Íàéäèòå îïòèìàëüíîå ï àâèëî äåëåæà è àâíîâåñíûå ó îâíè óñèëèé. Âû èñëèòå åìó àâåí âûèã û îáùåñòâà è ñ àâíèòå åãî ñ ïóíêòîì (a) Ðå åíèå. (a) Çàäà à ìàêñèìèçàöèè îáùåãî ó îâíß áëàãîñîñòîßíèß âûãëßäèò ñëåäó ùèì îá àçîì: (a + + a n ) (c (a )+ + c n (a n )) max a,...,a n. Çàäà à âîãíóòà, ïî òîìó àññìîò èì óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà. c i (a i)=, i =,...,n. Îòêóäà ñëåäóåò, òî a i =(c i ) (), i =,...,n. (b) Åñëè àãåíòó i äîñòàåòñß äîëß s i (x), òî åãî çàäà à òàêîâà: s i (a + + a n ) c i (a i ) max a i. Óñëîâèå ïå âîãî ïî ßäêà: s i(x) =c i(a i ). Ñëîæèì óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà äëß âñåõ àãåíòîâ, ïîëó èì: n s i (x) = i+ n c i (a i). i+ Íî òàê êàê s i (x) =x, òî c i (a i)= s i (x) =, â òî â åìß, êàê â áåçóñëîâíîì îïòèìóìå c i (a i )=n. (c) Ïóñòü s i (x), i =,...,n, ßâëß òñß îïòèìàëüíûìè ï àâèëàìè äåëåæà. Ðàññìîò- èì å åíèå a i è x, ïîëó åííîå ï è òàêèõ ï àâèëàõ. Îï åäåëèì íîâûå ï àâèëà s i (x) ñëåäó ùèì îá àçîì: s i (x) =s i (x )x.

Íîâûå ï àâèëà ëèíåéíû. Èõ ñóììà àâíà x ïî ïîñò îåíè. Ê îìå òîãî, íåò óäíî ï îâå- èòü, òî å åíèå ï è íîâûõ ï àâèëàõ íå èçìåíèòñß. (â) Ñíà àëà àññìîò èì çàäà ó áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè. a + a (a +a ) max a,a. Ðå åíèå: a =/, a =/4, ó îâåíü áëàãîñîñòîßíèß àâåí 3/8 =9/4. Çàäà à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè: Ðàññìîò èì ï àâèëà äåëåæà s (x) = αx, s (x) = ( α)x. Çàäà à -ãî àãåíòà: α(a + a ) a max a, îòêóäà a = α/. Çàäà à -ãî àãåíòà: ( α)(a + a ) a max a, îòêóäà a =( α)/4. Îáùèé ó îâåíü áîãàòñòâà àâåí α + ( α) 4 ( α ) ( ( α) 4 ) = 8 ( + 4α 3α ). Ìàêñèìèçè óß ïî α, ïîëó àåì, òî α =/3, è ó îâåíü áîãàòñòâà àâåí 7/4, òî ìåíü å, åì âïóíêòå(a). Çàäà à 3. [based on Hart] Ðàññìîò èì ã óïïó, ñîñòîßùó èç N àãåíòîâ. Àãåíò i ï îèçâîäèò âûïóñê x i, ï è òîì îí òå ïèò èçäå æêè a i x i /. a i (i =,..., n). Îáùèé ó îâåíü âûïóñêà ï è òîì ñîñòàâëßåò x = N i= x i. (a) Íàéäèòå áåçóñëîâíî îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé êàæäîãî àãåíòà. (b) Ï åäïîëîæèì, òî èíäèâèäóàëüíûé âûïóñê íåíàáë äàåì, è ïëàòåæè àãåíòàì çàâèñßò òîëüêî îò îáùåãî âûïóñêà x. Ï åäïîëîæèì òàêæå, òî àãåíòû ñîãëàñèëèñü äåëèòü îáùèé âûèã û ñîãëàñíî ëèíåéíîìó ìåõàíèçìó, êîòî ûé äàåò àãåíòó if i (x) =α i x + β i, ãäå âñå α i >, N i= α i =è N i= β i =. Íàéäèòå îïòèìàëüíûé ëèíåéíûé êîíò àêò α i è β i è ñ àâíèòå îáùåñòâåííîå áëàãîñîñòîßíèå ñ áåçóñëîâíûì îïòèìóìîì. Ðå åíèå. (a) Ñîöèàëüíî îïòèìàëüíûé ó îâåíü ï îèçâîäñòâà íàõîäèòñß èç ñëåäó ùåé çàäà è ìàêñèìèçàöèè N N a i x i x i max. x...x n i= i= Çàäà à âîãíóòà, ïî òîìó äëß ïîèñêà å åíèß äîñòàòî íî âîñïîëüçîâàòüñß óñëîâèßìè ïå âîãî ïî ßäêà. Îíè èìå ò âèä Ñëåäîâàòåëüíî å åíèåì çàäà è áóäåò a i x i =, i =,...,N. x i = a i, i =,...,N, x = N i= a i. Îáùåñòâåííîå áëàãîñîñòîßíèå àâíî W = x N i= a i x i = N i= a i. 3

(b) Êàæäûé èç àãåíòîâ å àåò çàäà ó îïòèìèçàöèè f i a ix i max x i. Àíàëîãè íî ïóíêòó (a) èç óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà ñëåäóåò, òî f i (x) =a ix i. Ïî óñëîâè, ìû áóäåì èñêàòü å åíèå â âèäå f i (x) =α i x + β i. Òîãäà x i = α i/a i. Çàäà à ìàêñèìèçàöèè îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîßíèß ï èíèìàåò âèä s.t. N i= α i a i N i= N α i =, i= α i a i max α...α n α i,i=,...,n. Ðå èì òó çàäà ó â ï åäïîëîæåíèè, òî âñå àãåíòû àáîòà ò (α i > ). Âûïè åì óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà α i = λa i, i =,...,N, Ñëåäîâàòåëüíî, N α i = i= λ = N N j= a j α i,i=,...,n., αi = (N )a i N j= a. j Ï è òîì äîëæíî âûïîëíßòüñß óñëîâèå α i > Òåïå ü áóäåì ó èòûâàòü, òî âñå α i. Óïî ßäî èì èõ ïî âîç àñòàíè. Ï èâåäåííàß âû å ôî ìóëà âå íà äî òåõ ïî, ïîêà Ïóñòü òîãäà K a i (K )a K, òî åñòü, a +...+ a K (K )a K. i= { N =argmax K K : a K a } +...+ a K, K α k = { (N ) P N a i= a k, åñëè k N, i, åñëè k>n. Êàê âèäíî èç å åíèß, ò àíñôå òû β i íå èã à ò íèêàêîé îëè ï è îï åäåëåíèè îïòèìàëüíîãî âûïóñêà, ïî òîìó åäèíñòâåííûì óñëîâèåì, êîòî îìó äîëæíû óäîâëåòâî ßòü βi, ßâëßåòñß βi =. Âûáî β i ìîæåò ïîâëèßòü òîëüêî íà å åíèå ó àñòíèêà, ï èíèìàòü ó àñòèå â èã å èëè íåò. Òàê êàê α i >, òî ìîæíî ïîëîæèòü âñå β i àâíûìè íóë. 4

Îáùåñòâåííîå áëàãîñîñòîßíèå â òîì ñëó àå àâíî ï è N >. W SB = x N i= a i x i = N i= a i ( ) α i α i < Çàäà à 4. [MWG] Ï åäïîëîæèì, òî ñóùåñòâóåò âñåãî äâà òèïà ïîò åáèòåëåé ï îäóêòà íåêîåé ôè ìû, θ H è θ L. Äîëß ïîò åáèòåëåé òèïà θ L àâíà λ. Ó îâåíü ïîëåçíîñòè ïîò åáèòåëß òèïà θ, ïîëó èâ åãî x åäèíèö òîâà à è çàïëàòèâ åãî T, àâíà u(x, T )=θv(x) T, ãäå ( x) v(x) =. Ôè ìà ßâëßåòñß ìîíîïîëèñòîì íà ûíêå. Åå èçäå æêè ï è ï îèçâîäñòâå åäèíèöû ï îäóêöèè àâíû c>. N i= a i, (a) Ðàññìîò èòå çàäà ó íåäèñê èìèíè ó ùåãî ìîíîïîëèñòà. Âûâåäèòå åãî îïòèìàëüíó öåíîâó ïîëèòèêó. Ïîêàæèòå, òî îí îáñëóæèâàåò âñåõ ïîò åáèòåëåé, åñëè ëèáî θ L ëèáî λ äîñòàòî íî âåëèêè. (b) Ðàññìîò èòå ìîíîïîëèñòà, êîòî ûé ìîæåò àçëè èòü ïîò åáèòåëåé àçíûõ òèïîâ, íî ìîæåò òîëüêî ï åäëîæèòü ï îñòó öåíó p i êàæäîìó òèïó θ i. Íàéäèòå îïòèìàëüíûå öåíû. (c) Ïóñòü ìîíîïîëèñò íå ìîæåò àçëè èòü ïîò åáèòåëåé àçíûõ òèïîâ. Ï åäïîëàãàß, òî ìîíîïîëèñò îáñëóæèâàåò îáà òèïà ïîò åáèòåëåé, íàéäèòå îïòèìàëüíûé äâóõ àñòíûé òà èô (F, p), ãäå F μ ïàó àëüíàß àñòü òà èôà, êîòî àß âçèìàåòñß íåçàâèñèìî îò êîëè åñòâà ï èîá åòåííîãî òîâà à, p μ öåíà åäèíèöû òîâà à. Îáúßñíèòå ïîëó åííûé åçóëüòàò. Ï è êàêèõ óñëîâèßõ ìîíîïîëèñò îáñëóæèâàåò îáà òèïà ïîò åáèòåëåé? (d) Íàéäèòå ïîëíîñòü îïòèìàëüíûé íåëèíåéíûé òà èô. Ñ àâíèòå êîëè åñòâî ïîò åáëßåìîãî òîâà à ñ ó îâíåì, ïîëó åííûì â ïóíêòàõ (a)μ(c). Ðå åíèå. (a) Ñëó àé íåäèñê èìèíè ó ùåãî ìîíîïîëèñòà. Ñï îñ ïîò åáèòåëß òèïà θ îï åäåëßåòñß èç å åíèß çàäà è θv(x) px max x, îòêóäà ïîëó àåì óñëîâèå ïå âîãî ïî ßäêà θv (x) =p (â óñëîâèßõ çàäà è θ( x) =p èëè x = p/θ). Îáùèé ñï îñ íà òîâà (â ñëó àå äâóõ òèïîâ ïîò åáèòåëåé) âûãëßäèò ñëåäó ùèì îá- àçîì (ñì èñ. ): ( ) λ p θ L + λ θ H, ï è p θ L, ( ) D(p) = ( λ) p θ H, ï è θ L p θ H,, ï è p θ H. Çàäà à ìîíîïîëèñòà (p c)d(p) max p. Ïóñòü îáñëóæèâà òñß îáà ûíêà. Òîãäà çàäà à ï åâ àùàåòñß â ñëåäó ùó : ( ( λ (p c) p + λ )) max θ L θ H p s.t. p θ L. 5

p θ H θ L D(p) Ðèñ. : Èç óñëîâèé ïå âîãî ïî ßäêà íàõîäèì p = ( λ θ L + λ θ H ) + c. Åñëè îáñëóæèâàåòñß òîëüêî îäèí ûíîê, òî çàäà à âûãëßäèò ñëåäó ùèì îá àçîì: ( (p c) p ) max θ H p s.t. θ L p θ H. Îòêóäà ïîëó àåì, òî p = θ H+c. Åñëè ï è òîì θ H+c <θ L, òî îáñëóæèâà òñß îáà ûíêà. Òî åñòü, åñëè θ L äîñòàòî íî áîëü îå, òî îáñëóæèâà òñß îáà ûíêà. Òàêèì îá àçîì, îïòèìàëüíàß öåíîâàß ïîëèòèêà òàêîâà: Åñëè θ H+c θ L, òî p = c + λ. + λ θ L θ H Åñëè c + λ θ + λ L,òîp = θ H+c (îáñëóæèâàåòñß òîëüêî îäèí ûíîê). θ L θ H Åñëè c + λ <θ + λ L < θ H+c, òî íóæíî ñ àâíèòü çíà åíèß ï èáûëåé â òî êàõ θ L θ H p = θ H+c è p = c + λ ( òî äâà ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìà). Â êîòî îé ï èáûëü + λ θ L θ H áîëü å, òó öåíó è ñëåäóåò íàçíà èòü. ( p = p = π =(p c)( λ) p θ H ( ( λ p = p = π =(p c) p + λ θ L θ H ) = λ (θ H c), 4θ H )) = ( λ θ L + λ θ H ) ( 4 λ θ L + λ θ H ) c. Çàìåòèì, òî ñ îñòîì λ âåëè èíà c + λ ñòàíîâèòñß ìåíü å θ + λ L, è π, θ L θ H π 4θ L (θ L c) >. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè λ äîñòàòî íî âåëèêî, îáñëóæèâà òñß îáà ûíêà. 6

(b) Ñëó àé ìîíîïîëèñòà, àçëè à ùåãî ïîò åáèòåëåé. Ìîíîïîëèñò ñòàëêèâàåòñß ñ äâóìß àçëè íûìè ê èâûìè ñï îñà: { p θ D L = L, ï è p θ L,, ï è p>θ L. D H = { p θ H, ï è p θ H,, ï è p>θ H. Ðå èâ çàäà ó ìîíîïîëèñòà äëß êàæäîãî òèïà, ïîëó àåì, òî p L = θ L+c, p H = θ H+c, è îáùàß ï èáûëü àâíà π = λ 4θ L (θ L c) + λ 4θ H (θ H c). (c) Çàäà à ìîíîïîëèñòà â ñëó àå äâóõ àñòíîãî òà èôà ï è óñëîâèè îáñëóæèâàíèß îáîèõ ûíêîâ: F +(p c)(λd L (p)+( λ)d H (p)) max F,p s.t. θ L v(d L (p)) (F + pd L (p)), θ H v(d H (p)) (F + pd H (p)). Ïîäñòàâèâ â óñëîâèß ó àñòèß ôóíêöè ñï îñà, ïîëó èì F θ i (p θ i ) (, ãäå i {L, H}. ( ) Çàìåòèì, òî (p θ)) = p >, òî åñòü óñëîâèå ó àñòèß íà ñàìîì äåëå θ θ θ ìîæíî îñòàâèòü îäíî: F θ L (p θ L ), ï è åì ßñíî, òî â îïòèìóìå îíî âûïîëíßåòñß êàê àâåíñòâî. Òàêèì îá àçîì, çàäà à ìîíîïîëèñòà ï èâåäåíà ê òàêîìó âèäó: θ L (p θ L ) +(p c) ( p ( λ θ L + λ θ H )) max p Óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà: ( λ (p θ L )+ (p c) + λ ) =, θ L θ L θ ( H λ p + λ ) ( λ = c + λ ). θ L θ H θ L θ H Îòêóäà íàõîäèì öåíó: p = λθ H +( λ)θ L (λ )θ H +( λ)θ L c. Åñëè p <θ L, òî îáà ûíêà îáñëóæèâà òñß. F = θ L ( p θ L ) μ îïòèìàëüíàß ïëàòà çà âõîä. Îíà âûáè àåòñß òàêèì îá àçîì, òîáû îòîá àòü âåñü ïîò åáèòåëüñêèé èçáûòîê ó ïîêóïàòåëåé òèïà θ L. Åñëè îáñëóæèâàåòñß òîëüêî îäèí ûíîê, òî îïòèìàëüíûé òà èô òàêîâ: p = c, F = θ H (θ H c). Ï èáûëü ìîíîïîëèñòà ï è òîì àâíà F. Åñëè öåíà p θ L, òî âûãîäíåå îáñëóæèâàòü îäèí ûíîê. 7

Åñëè p θ L, òî íóæíî ñ àâíèòü ï èáûëü ï è îáñëóæèâàíèè äâóõ ûíêîâ è îäíîãî, è âûá àòü íàèáîëü ó. Â òîì ñëó àå òîæå ï è îñòå θ L è λ íà èíàß ñ íåêîòî îãî ìîìåíòà ñòàíîâèòñß âûãîäíî îáñëóæèâàòü îáà ûíêà. (d) Ñëó àé ïîëíîñòü íåëèíåéíîãî òà èôà. Êîíò àêò, ï åäëàãàåìûé ìîíîïîëèñòîì: (x L,T L ), (x H,T H ). Çàäà à: λ(t L cx L )+( λ)(t H cx H ) s.t. θ L v(x L ) T L, θ H v(x H ) T H, θ L v(x L ) T L θ L v(x H ) T H, θ H v(x H ) T H θ H v(x L ) T L. max, x L,x H,T L,T H (Ïå âàß ïà à óñëîâèé μ óñëîâèß ó àñòèß, âòî àß ïà à óñëîâèé μ óñëîâèß ñîâìåñòèìîñòè ñî ñòèìóëàìè.) Ï èìåíßß ñòàíäà òíó òåõíèêó, ïîëó àåì, òî óñëîâèå θ H v(x H ) T H âûïîëíßåòñß àâòîìàòè åñêè. Ï è òîì óñëîâèå θ H v(x H ) T H θ H v(x L ) T L â îïòèìóìå ï åâ àùàåòñß â àâåíñòâî, îòêóäà ñëåäóåò, òî óñëîâèå θ L v(x L ) T L θ L v(x H ) T H âûïîëíåíî àâòîìàòè åñêè. Ïî òîìó äîñòàòî íî àññìàò èâàòü ñëåäó ùó çàäà ó: λ(t L cx L )+( λ)(t H cx H ) s. t. θ L v(x L ) T L, θ H v(x H ) T H θ H v(x L ) T L, x H x L. max, x L,x H,T L,T H Ðå àß òó çàäà ó ìåòîäîì Ëàã àíæà, ïîëó àåì: x H = c θ H, x L = λc λc = θ L ( λ)θ H λθ L ( λ)(θ H θ L ) <x L = c, θ L ãäå x L μ îáùåñòâåííî îïòèìàëüíûé ó îâåíü ïîò åáëåíèß. Òàêèì îá àçîì, ïîò åáèòåëè òèïà θ H ïîëó à ò â ïîñëåäíåì ñëó àå áîëü å, åì â îñòàëüíûõ ñëó àßõ, òàê êàê â ïóíêòàõ (a), (b), (c) ëèíåéíàß öåíà p>c. òî êàñàåòñß ïîò åáëåíèß àãåíòîâ òèïà θ L, òî íåëüçß ñ óâå åííîñòü ñêàçàòü, êîãäà îíè ïîëó à ò áîëü å òîâà à μ â ïóíêòå (d) èëè â ä óãèõ ñëó àßõ. Çàäà à 5. [MWG] Air Shangri-la ßâëßåòñß åäèíñòâåííîé àâèàêîìïàíèåé, êîòî îé àç å åíû ïå åâîçêè ìåæäó îñò îâàìè àíã è-ëà è Íè âàíà. Ñóùåñòâóåò òîëüêî äâà òèïà ïàññàæè îâ: òó èñòû è áèçíåñìåíû. Áèçíåñìåíû ãîòîâû ïëàòèòü çà áèëåò áîëü å, åì òó èñòû. Àâèàêîìïàíèß íå ìîæåò â òî íîñòè ñêàçàòü, êòî ïîêóïàåò 8

P U B = const π = const U T = const W Ðèñ. : áèëåò μ òó èñò èëè áèçíåñìåí. Âñå ïàññàæè û íå ë áßò ïîêóïàòü áèëåòû íà ñàìîëåò çà àíåå. Ó îâåíü ïîëåçíîñòè ïàññàæè à, êóïèâ åãî áèëåò ïî öåíå P çà W äíåé äî ïîëåòà àâíà Äëß áèçíåñìåíîâ: v θ B P W, Äëß òó èñòîâ: v θ T P W, ãäå < θ B < θ T. (Çàìåòèì, òî ï è ë áîì ôèêñè îâàííîì W áèçíåñìåíû ãîòîâû çàïëàòèòü çà áèëåò áîëü å, åì òó èñòû.) Äîëß òó èñòîâñ åäè ïàññàæè îâ àâíà λ. Èçäå æêè ïî ïå åâîçêå îäíîãî ïàññàæè à àâíû c. (a) Íà èñóéòå ê èâûå áåç àçëè èß îáîèõ òèïîâ ïàññàæè îâ â ï îñò àíñòâå (P, W). Íà èñóéòå ê èâûå ïîñòîßííîé ï èáûëè àâèàêîìïàíèè. Ñôî ìóëè óéòå ìàòåìàòè åñêè çàäà ó îïòèìàëüíîé öåíîâîé äèñê èìèíàöèè. [Óêàçàíèå: Èñïîëüçóéòå íåîò èöàòåëüíîñòü öåí êàê îã àíè åíèå, òàê êàê åñëè êîìïàíèß íàçíà èò îò èöàòåëüíó öåíó áèëåòà, òî ñï îñ íà áèëåòû áóäåò áåñêîíå íûì.] (b) Ïîêàæèòå, òî â îïòèìóìå áèçíåñìåíû íèêîãäà íå ïîêóïà ò áèëåòû çà àíåå, è èì áåç àçëè íî, êàêèì òà èôîì (ñâîèì èëè òó èñòè åñêèì) ïîëüçîâàòüñß. (c) Ïîêàæèòå, òî â îïòèìóìå òó èñòàì áåç àçëè íî, ïîêóïàòü áèëåò èëè íå ëåòåòü ñîâñåì. (d) Îïè èòå äèñê èìèíàöèîííó ñõåìó, ï åäïîëîæèâ, òî îáñëóæèâà òñß ïàññàæè û îáîèõ òèïîâ. Êàê îíà çàâèñèò îò ïà àìåò îâ çàäà è (λ, θ B, θ T, c)? (e) Ï è êàêèõ óñëîâèßõ àâèàêîìïàíèß áóäåò îáñëóæèâàòü òîëüêî áèçíåñìåíîâ? Ðå åíèå. (a) Â ï îñò àíñòâå (P, W) ê èâûå áåç àçëè èß áèçíåñìåíîâ è òó èñòîâ μ ï ßìûå v θ i P W = const, ñîîòâåòñòâåííî, íàêëîí ê èâûõ áåç àçëè èß ìåíü å ó òó èñòîâ. Ê èâûå ïîñòîßííîé ï èáûëè àâèàêîìïàíèè μ ï ßìûå, ïà àëëåëüíûå îñè W, òàê êàê ï èáûëü îò W íå çàâèñèò, à çàâèñèò òîëüêî îò P (ñì. èñ. ). 9

Ïóñòü êîìïàíèß ï åäëàãàåò êîíò àêòû (P T,W T ) è (P B,W B ). Ñôî ìóëè óåì çàäà ó àâèàêîìïàíèè: λ(p T c)+( λ)(p B c) max P T,P B,W T,W B s.t. v θ T P T W T, (6) v θ B P B W B, (7) v θ T P T W T v θ T P B W B, (8) v θ B P B W B v θ B P T W T. (9) Çàìåòèì, òî ìû ïîò åáîâàëè íåîò èöàòåëüíîñòü öåí P T è P B. Íåïîñ åäñòâåííî â çàäà å íå òàêèå îã àíè åíèß íå íàêëàäûâà òñß, íî àçóìíî ï åäïîëîæèòü, òî àâèàêîìïàíèß íå áóäåò ï èïëà èâàòü çà ïîëåò (ôî ìàëüíî òî íèîòêóäà íå ñëåäóåò, íî ï åäïîëîæèì, òî ï è îò èöàòåëüíîé öåíå ñï îñ íà ïîëåòû áóäåò áåñêîíå íûì). (b) Ðàçîáüåì äîêàçàòåëüñòâî íà íåñêîëüêî àãîâ:. Óñëîâèå v θ B P B W B âûïîëíßåòñß àâòîìàòè åñêè. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó íåîò èöàòåëüíîñòè P T è óñëîâèé (6) è (9), v θ B P B W B v θ B P T W T v θ T P T W T.. Âûïîëíßåòñß óñëîâèå P B P T. Äåéñòâèòåëüíî, ñëîæèâ (8) è (9), ïîëó àåì: θ T (P B P T ) θ B (P B P T ) = (θ T θ B )(P B P T ). 3. Óñëîâèå (9) â òî êå îïòèìóìà âûïîëíßåòñß êàê àâåíñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè òî íå òàê, òî ìîæíî ñëåãêà óâåëè èòü P B. Ï è òîì (8) òîëüêî óñèëèòñß, à (9) âûïîëíßåòñß â ñèëó ïóíêòà. Ï èáûëü ï è òîì âîç àñòàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, â îïòèìóìå áèçíåñìåíàì áåç àçëè íî, êàêèå áèëåòû ïîêóïàòü, ñâîè èëè òó èñòè åñêèå. 4. W B â òî êå îïòèìóìà àâíî íóë. Äåéñòâèòåëüíî, ï åäïîëîæèì ï îòèâíîå, òî åñòü (PB,W B ) μ òî êà îïòèìóìà, è WB >. Ïîëîæèì W B =, P B = θ B (θ B PB + W B )=P B + W B. Ëåãêî ï îâå èòü, òî θ B ï è ïå åõîäå ê òî êå (P B,W B ) âñå ã àíè íûå óñëîâèß âûïîëíß òñß, è ï èáûëü àâèàêîìïàíèè âîç àñòàåò. Çíà èò WB =. Ñëåäîâàòåëüíî, áèçíåñìåíû íå ïîêóïà ò áèëåòîâ çà àíåå. 5. Â îïòèìàëüíîé òî êå óñëîâèå (6) âûïîëíßåòñß êàê àâåíñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ï åäïîëîæèì, òî (PT,P B,W T,W B ) îïòèìàëüíû, íî v θ T PT W T >. Ïå åéäåì ê íîâîé òî êå (P T,PB,W T,WB ), òàê òîáû âûïîëíßëèñü ñëåäó ùèå óñëîâèß: v θ B PT W T = v θ T P T W T, v θ T PT W T >v θ T P T W T >. Ýòîãî ìîæíî äîñòè ü, ïîëîæèâ, íàï èìå, P T = P T + ε, W T = W T + θ Bε>. Âûáî îì ε, ìîæíî äîáèòüñß òîãî, òî áóäóò âûïîëíßòüñß âñå ã àíè íûå óñëîâèß. Ï èáûëü ï è òîì âîç àñòàåò. (Çàìåòèì, òî åñëè W T =,òîp T = P B èìîæíî ï îñòî óâåëè èòü P T è P B, óâåëè èâ ï èáûëü. Ïîëó åííîå ï îòèâî å èå äîêàçûâàåò ïóíêò (c).

P T P T = P B v/(θ T θ B ) v/θ B P B Ðèñ. 3: (d) Âîñïîëüçîâàâ èñü åçóëüòàòàìè ï åäûäóùèõ ïóíêòîâ (W B =, W T = v θ T P T ), ïå åïè åì çàäà ó àâèàêîìïàíèè â âèäå: λp T +( λ)p B c s.t. v θ B P B (θ T θ B )P T. max P T v θ T,P T P B v t B (Ìíîæåñòâî, íà êîòî îì ìàêñèìèçè óåòñß ëèíåéíàß ôóíêöèß, èçîá àæåíî íà èñóíêå 3.) Ðå åíèå äàííîé çàäà è òàêîâî: Ï è λ T θ B λ θ B PB = P T = v, θ T WB = W T =. Ï è λ T θ B λ θ B PB = v, θ B PT =, W B =, W T = v. Ï è λ T θ B âñå òàêèå λ θ B P T, P B, òî θ B P B +(θ T θ B )P T = v (è ñîîòâåòñòâó ùèå èì W T, W B ) ßâëß òñß å åíèßìè. Çàìåòèì, òî âñå òî ñï àâåäëèâî òîëüêî âòîìñëó àå, êîãäà êîìïàíèß îáñëóæèâàåò îáà ûíêà. Åñëè λ T θ B,òîíà ïå åâîçêå òó èñòîâ êîìïàíèß ïîëó àåò óáûòêè. λ θ B Â òîì ñëó àå êîìïàíèß ìîæåò íà àòü îáñëóæèâàòü òîëüêî áèçíåñìåíîâ, ( ) ï åäëàãàß êîíò àêò P = v, θ B W v =. Ï èáûëü ï è òîì ñîñòàâèò π =( λ) θ ( ) B c. Â ñëó àå äâóõ ûíêîâ ï èáûëü ñîñòàâèò π = c. v θ T Åñëè π >π, òî âûãîäíåå îáñëóæèâàòü òîëüêî áèçíåñìåíîâ, èíà å μ îáå êàòåãî èè ïàññàæè îâ. Çàäà à 6. [based on HolmstrΞom] Ðàññìîò èì çàäà ó íà àëüíèêμïîä èíåííûé ñ äâóìß âîçìîæíûìè ó îâíßìè óñèëèé. Âûèã û íà àëüíèêà x àñï åäåëåí àâíîìå íî íà [, ], åñëè àãåíò ï èêëàäûâàåò âûñîêèé ó îâåíü óñèëèé, è àñï åäåëåí àâíîìå íî íà [, ], åñëè àãåíò ï èêëàäûâàåò íèçêèé ó îâåíü óñèëèé. Èçäå æêè âûñîêîãî ó îâíß óñèëèé àâíû c, â òî â åìß, êàê íèçêèé ó îâåíü óñèëèé íå ñòîèò íè åãî. Ôóíêöèß ïîëåçíîñòè àãåíòà àääèòèâíà ïî çà ïëàòå è èçäå æêàì (U(w, c) =u(w) c). Ïîëåçíîñòü çà ïëàòû òàêîâà: u(w) = e w, ãà àíòè îâàííûé ó îâåíü ïîëåçíîñòè àâåí.

(a) Íàéäèòå îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé â ñëó àå, êîãäà ó îâåíü óñèëèé ïîä èíåííîãî âå èôèöè óåì. (b) Ðå èòå çàäà ó íà àëüíèêà, íàéäèòå îïòèìàëüíûé êîíò àêò è ñ àâíèòå ó îâåíü óñèëèé ñ ïóíêòîì (a) Ðå åíèå. (a) Åñëè ó îâåíü óñèëèé âå èôèöè óåì, òî ïîä èíåííûé áóäåò âñåãäà àáîòàòü íà îïòèìàëüíîì ó îâíå è íà àëüíèê ìàêñèìèçè óåò ôóíêöè îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîßíèß. Ï è íèçêîì ó îâíå óñèëèé âûèã û íà àëüíèêà àâåí E L x = xdf L (x) = x =. Ï è âûñîêîì ó îâíå óñèëèé âûèã û íà àëüíèêà àâåí E H x w = xdf H (x) w = x w = w, 4 ãäå u(w) c. Îòñ äà ëåãêî âèäåòü, òî âûñîêèé ó îâåíü óñèëèé îïòèìàëåí, åñëè w< èëè c< e /. (b) Åñëè ó îâåíü óñèëèé ïîä èíåííîãî íå âå èôèöè óåì, òî íà àëüíèê äîëæåí ï åäëîæèòü åìó çà ïëàòó w(x), çàâèñßùó îò âûèã û à. Â ñëó àå, åñëè îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé μ íèçêèé, çà àáîòíàß ïëàòà, î åâèäíî, äîëæíà àâíßòüñß íóë. Åñëè ó îâåíü óñèëèé, êîòî îãî õî åò äîáèòüñß íà àëüíèê μ âûñîêèé, òî îí å àåò ñëåäó ùó çàäà ó s.t. Âûïè åì Ëàã àíæèàí çàäà è L = (x w(x)) df H (x) max ( e w(x) ) df H (x) c w( ) ( e w(x) ) df H (x) c. ( e w(x) ) df L (x), (x w(x))f H (x)+λ(e w(x) (f L (x) f H (x)) c)+µ( e w(x) )f H (x) dx. Óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà èìååò âèä f H (x) λe w(x) (f L (x) f H (x)) + µe w(x) f H (x) =, ( e w(x) )f H (x) dx ( e w(x) )f H (x) dx = c. ( e w(x) )f L (x) dx = c, Îã àíè åíèß âûïîëíß òñß êàê àâåíñòâà, èíà å çà ïëàòà ìîãëà áû áûòü ïîíèæåíà (òî åñòü, λ>,µ>). Òàê êàê f L =,f H =/,x [, ] è f L =,f H =/,x (, ] e w(x) =, µ λ x [, ], () e w(x) =, µ + λ x (, ]. () ()

Ïîäñòàâèì òó ôóíêöèè â îã àíè åíèß, òîáû íàéòè çíà åíèß λ, µ. Äëß òîãî ïîñ èòàåì çíà åíèß èíòåã àëîâ e w(x) df H = µ λ dx + µ + λ dx = ( µ λ + ), µ + λ Îã àíè åíèß ï èíèìà ò âèä Â åçóëüòàòå, e w(x) df L = Íà àëüíèê äîëæåí ïîëîæèòü çà ïëàòó Âûèã û íà àëüíèêà àâåí µ λ =, µ λ + µ + λ µ + λ dx = µ + λ. = c. e w(x) = =, µ λ x [, ], e w(x) = = c, µ + λ x (, ]. w(x) =, x [, ], w(x) = ln( c) >, x (, ]. (x w(x)) df H (x) =+ ln( c). Íà àëüíèê äîëæåí âûá àòü êîíò àêò äëß âûñîêîãî ó îâíß óñèëèé, åñëè c e. Çàäà à 7. Ðàññìîò èì çàäà ó íà àëüíèêμïîä èíåííûé â êîòî îé îáå ñòî îíû íåéò àëüíû ïî îòíî åíè ê èñêó. Àãåíò åàëèçóåò ï îåêò, êîòî ûé ï èíîñèò íà àëüíèêó âûèã û x, ï èíèìà ùèé îäíî èç äâóõ çíà åíèé x >x =. Íåíàáë äàåìûå óñèëèß àãåíòà âëèß ò íà âå îßòíîñòü âûïàäåíèß x. Ýòà âå îßòíîñòü ï èíèìàåò îäíî èç äâóõ çíà åíèé p H èëè p L, ãäå <p L <p H <. Åñëè àãåíò âûáè àåò âûñîêèé ó îâåíü óñèëèé, òî îí òå ïèò èçäå æêè c, àñï åäåëåííûå íà îò åçêå [,x ] ñ ôóíêöèåé àñï åäåëåíèß F (c). Àãåíò îã àíè åí â ñ åäñòâàõ, òî åñòü åãî çà ïëàòà äîëæíà áûòü íåîò èöàòåëüíîé (w ). (a) Ï åäïîëîæèì, òî àãåíò íå çíàåò âåëè èíó c äî ìîìåíòà ï èíßòèß ï åäëîæåíèß íà àëüíèêà è äî ìîìåíòà âûáî à ó îâíß óñèëèé p. Íàéäèòå îïòèìàëüíûé êîíò àêò. 3

(b) Ïóñòü òåïå ü àãåíò íàáë äàåò c ïå åä âûáî îì äåéñòâèß p, íî ïîñëå ïîäïèñàíèß êîíò àêòà. Ïå åôî ìóëè óéòå è å èòå çàäà ó íà àëüíèêà â òîì ñëó àå, ï åäïîëîæèâ, òî ïîä èíåííûé îáßçàí îñòàòüñß â ôè ìå íåçàâèñèìî îò ó îâíß c. (c) Ï åäïîëîæèì, òî â ïóíêòå (b) íà àëüíèê ìîæåò âêë èòü â êîíò àêò óñëîâèå, ñîãëàñíî êîòî îìó àãåíò ìîæåò óéòè ïîñëå òîãî, êàê îí óçíàåò c. Ïå åôî ìóëè óéòå è å èòå çàäà ó íà àëüíèêà. Ðå åíèå. (a) Åñëè íà àëüíèê õî åò, òîáû ïîä èíåííûé ï èêëàäûâàë ìàëî óñèëèé, òî îïòèìàëüíûì áóäåò ïîëîæèòü çà ïëàòó àâíîé. Âûèã û íà àëüíèêà â òîì ñëó àå àâåí p L x. Åñëè íà àëüíèê õî åò, òîáû ïîä èíåííûé ï èêëàäûâàë ìíîãî óñèëèé, òî çàäà à îïòèìèçàöèè èìååò ñëåäó ùèé âèä p H (x w )+( p H )(x w ) max w,w s.t. p H w +( p H )w c p L w +( p L )w, w,w, ãäå Ï åîá àçóåì çàäà ó c = Ec = x xdf(x). p H w +( p H )w min w,w s.t. (w w )(p H p L ) c, w,w. Îòñ äà âèäíî, òî w >w è w =, òàê êàê èíà å ìû ìîãëè áû óìåíü èòü w è w íà îäíó è òó æå ìàëó âåëè èíó, ñíèçèâ òåì ñàìûì àñõîäû íå íà ó èâ îã àíè åíèé. Ïî òîìó, c w =, w =. p H p L Áëàãîñîñòîßíèå íà àëüíèêà àâíî p H (x w )=p H x p Hc p H p L. Íà àëüíèê äîëæåí âûá àòü êîíò àêò äëß âûñîêîãî ó îâíß óñèëèé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà p H c x (p H p L ). (b) Íà àëüíèê ï åäëàãàåò ïîä èíåííîìó êîíò àêò w,w. Êàê è àíåå, íà àëüíèêó íåò íèêàêîãî ñìûñëà äåëàòü w >. Ïîä èíåííûé âûáå åò âûñîêèé ó îâåíü óñèëèé, åñëè íàáë äàåìîå c óäîâëåòâî ßåò íå àâåíñòâó c w (p H p L ). Â ï îòèâíîì ñëó àå áóäåò âûá àí íèçêèé ó îâåíü óñèëèé. Âå îßòíîñòü òîãî, òî ïîä èíåííûé âûáå åò âûñîêèé ó îâåíü óñèëèé àâíà F (w (p H p L )). Çàäà à íà àëüíèêà ï èíèìàåò âèä F (w (p H p L ))p H (x w )+ ( F (w (p H p L )) ) p L (x w ) max w. 4

Óñëîâèå ïå âîãî ïî ßäêà äàåò ó àâíåíèå f(w (p H p L ))(p H p L ) (x w )=p L + F (w (p H p L ))(p H p L ). Ê ï èìå ó, äëß àâíîìå íîãî àñï åäåëåíèß (p H p L ) (x w )=p L + w (p H p L ) = w = x p L (p H p L ). (c) Ïîä èíåííûé âñåãäà ìîæåò âûá àòü íèçêèé ó îâåíü óñèëèé è íè åì íå èñêóß çà àáîòàòü äåíüãè, ïî òîìó îí âñåãäà ï èíèìàåò ó àñòèå â èã å è çàäà à íè åì íå îòëè àåòñß îò ïóíêòà (b). Çàäà à 8. Íà àëüíèê, íåéò àëüíûé ïî îòíî åíè ê èñêó íàíèìàåò íåéò àëüíîãî ïî îòíî åíè ê èñêó ïîä èíåííîãî. Íà àëüíèê ï åäëàãàåò êîíò àêò, îñíîâàííûé íà âûïóñêå x, êîòî ûé ßâëßåòñß ôóíêöèåé, çàâèñßùåé îò òèïà àãåíòà è åãî óñèëèé: x = θa. Íè òèï θ [, ], íè ó îâåíü óñèëèé a, íå íàáë äàåìû íà àëüíèêîì. Àï èî è íà àëüíèêó èçâåñòíî, òî òèï àãåíòà àâíîìå íî àñï åäåëåí íà [, ]. Èçäå æêè àãåíòà ïî ï èêëàäûâàíè óñèëèé àâíû c(a) =a /. (a) Íàéäèòå îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé (è ó àñòèß) äëß êàæäîãî òèïà. (b) Íà àëüíèê ï åäëàãàåò ïîä èíåííîìó êîíòàêò w(x) μ çà ïëàòà êàê ôóíêöèß âûïóñêà. Çàïè èòå óñëîâèß ñàìîîòáî à è óñëîâèß èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè àãåíòîâ. Êàêîé êîíò àêò ïîçâîëßåò åàëèçîâàòü îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé (è ó àñòèß) äëß êàæäîãî òèïà. (c) Ñôî ìóëè óéòå ìàêñèìèçàöèîííó çàäà ó íà àëüíèêà. SSâëßåòñß ëè êîíò àêò èç ïóíêòà (b) îïòèìàëüíûì äëß íà àëüíèêà? Äîêàæèòå îïòèìàëüíîñòü èëè ï èâåäèòå êîíò ï èìå, åñëè òî íå òàê. Ðå åíèå. (a) Åñëè èçâåñòíî, òî àãåíò èìååò òèï θ, òî ñîöèàëüíî îïòèìàëüíûì ó îâíåì óñèëèé áóäåò å åíèå ñëåäó ùåé çàäà è îïòèìèçàöèè Èç óñëîâèé ïåâîãî ïî ßäêà ñëåäóåò, òî θa c(a) =θa a max. a a (θ) =θ. (b) Óñëîâèå ñàìîîòáî à äëß àãåíòà òèïà θ è èìååò âèä Óñëîâèå èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè w(θa) a w(θa ) a, a a. w(θa) a. Ñîöèàëüíî îïòèìàëüíîå çíà åíèå óñèëèé ìîæåò áóòü äîñòèãíóòî, åñëè ïîëîæèòü ïîä- èíåííîìó çà ïëàòó, àíó x = θa. Â òîì ñëó àå, àãåíò å àåò çàäà ó èç ïóíêòà (a). 5

Î åâèäíî, äàííûé êîíò àêò íå ßâëßåòñß îïòèìàëüíûì äëß íà àëüíèêà, òàê êàê âåñü âûèã û ïîëó àåò ïîä èíåííûé. (c) Âûïè åì çàäà ó íà àëüíèêà E{x w(x)} max w(x) s.t. a = i arg max a {w(θa ) c(a )}, w(x) c(a), x = θa. Ðàññìîò èì ï èìå, êîãäà êîíò àêò èìååò ëèíåéíûé âèä w(x) =αx. Îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé ïîä èíåííîãî àâåí a = αθ. Ñëåäîâàòåëüíî, x = αθ, w(x )=α θ. Íà- àëüíèê å àåò ï îáëåìó αθ α θ dθ max. α Â åçóëüòàòå ïîëó àåì, òî α =.5,w (x) =.5x è íà àëüíèê ïîëó àåò âûèã û x (θ) w (x (θ)) = θ θ 4 = θ 4 >. Ñëåäîâàòåëüíî, êîíò àêò èç ïóíêòà (b) äåéñòâèòåëüíî íå ßâëßåòñß îïòèìàëüíûì. Çàäà à 9. [Hart] Íåéò àëüíûé ïî îòíî åíè ê èñêó íà àëüíèê íàíèìàåò íà àáîòó íå ñêëîííîãî ê èñêó ïîä èíåííîãî ñ ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè w a, ãäå w μ äîõîä, è a μ ó îâåíü óñèëèé. Àãåíò ìîæåò àáîòàòü åñòíî (a =) èëè ëåíèòüñß (a =). Åñòü òîëüêî äâà âîçìîæíûõ ó îâíß äîõîäà íà àëüíèêà: q =4èëè q =, ï è åì åñëè àãåíò àáîòàåò åñòíî, òî âå îßòíîñòü q àâíà 3/4, âòî â åìß, êàê åñëè àãåíò ëåíèâ, òî âå îßòíîñòü q àâíà /.Ãà àíòè îâàííûé ó îâåíü ïîëåçíîñòè àãåíòà àâåí 4. (a) Ñôî ìóëè óéòå çàäà ó â ñëó àå, êîãäà äåéñòâèß àãåíòà íàáë äàåìû, è íàéäèòå îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé. (b) Ñôî ìóëè óéòå çàäà ó â ñëó àå, êîãäà íà àëüíèê íå ìîæåò íàáë äàòü äåéñòâèå ïîä èíåííîãî, è íàéäèòå îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé è îïòèìàëüíûé êîíò àêò. Ðå åíèå. (a) Åñëè äåéñòâèß àãåíòà âå èôèöè óåìû, òî ï è îïòèìàëüíûõ óñèëèßõ ìàêñèìèçè óåòñß ôóíêöèß E a q w(a) max a, ãäå w(a) =a. Òàê êàê + 75 4=8> 69 = + 5, îïòèìàëüíûì ó îâíåì óñèëèé áóäåò a =. (b) Åñëè íà àëüíèê íå ìîæåò íàáë äàòü ó îâåíü óñèëèé ïîä èíåííîãî, òî îí äîëæåí óñòàíîâèòü çà àáîòíó ïëàòó êàê ôóíêöè îò q. Åñëè íà àëüíèê õî åò äîáèòüñß âûñîêîãî ó îâíß óñèëèé, òî îí äîëæåí ï åäëîæèòü êîíò àêò, ï èêîòî îì áóäóò âûïîëíßòüñß óñëîâèß èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè è ñîâìåñòèìîñòè ñî ñòèìóëàìè. Íà àëüíèê å àåò çàäà ó 4 (q w )+ 3 4 (q w ) max w,w s.t. w + 4 3 w 4 w + w, w + 4 3 w 4. 4 6

Ýòà çàäà à êâèâàëåíòíà ñëåäó ùåé w +3w min w,w s.t. w w 4, w +3 w 4. Çàìåòèì, òî ïîñëåäíåå íå àâåíñòâî íå ìîæåò áûòü ñò îãèì, òàê êàê èíà å ìû ìîãëè áû óìåíü èòü w è w íà îäèíàêîâó ìàëó âåëè èíó, òåì ñàìûì íå èçìåíèâ ïå âîå íå àâåíñòâî è óìåíü èâ çà àáîòíó ïëàòó. Ïî òîìó w =4 3 w è w =9w 44 w + 576. Çàäà à îïòèìèçàöèè ï èíèìàåò âèä Óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà èìå ò âèä w w min w,w s.t. w 7. 6 λ w =, w λ, w 7, λ( w 7) =. Åñëè λ =, òî w = 6 è ìû ïîëó àåì ï îòèâî å èå. Ñëåäîâàòåëüíî, w = 7 è λ =. Åñëè íà àëüíèê õî åò, òîáû ïîä èíåííûé ï èêëàäûâàë ìíîãî óñèëèé, åìó íàäî ïîëîæèòü çà ïëàòó, àâíó w =9,w =49. Ï è òàêîé çà ïëàòå îæèäàåìûé âûèã û íà àëüíèêà àâåí W = 4 (4 9) + 3 3 + 53 ( 49) = =46. 4 4 Åñëè âëàäåëåö àñ èòûâàåò, òî ïîä èíåííûé áóäåò ï èêëàäûâàòü ìàëî óñèëèé, çàäà à ï èíèìàåò âèä (q w )+ (q w ) max w,w s.t. w + 4 3 w 4 w + w, w + w 4. Ï åîá àçóåì çàäà ó. Çàìåòèì, òî, êàê è â àíü å, ïîñëåäíåå îã àíè åíèå æåñòêîå, òî åñòü âûïîëíßåòñß êàê àâåíñòâî. w + w min w,w s.t. w w 4, w + w =. Ïå åïè åì çàäà ó òàê, òîáû îñòàëàñü òîëüêî îäíà ïå åìåííàß w w min w s.t. w 7. 7

Áåçóñëîâíàß îïòèìèçàöèß äàåò çíà åíèå w =5, è òî çíà åíèå óäîâëåòâî ßåò îã àíè åíè. Ñëåäîâàòåëüíî, w = w =5è îæèäàåìîå áëàãîñîñòîßíèå íà àëüíèêà àâíî W =+5 5 = 45 < 46. Ïî òîìó íà àëüíèêó ñëåäóåò ï åäëîæèòü êîíò àêò, ï è êîòî îì ïîä èíåííûé ï èêëàäûâàåò ìíîãî óñèëèé. Çàäà à. Ðàññìîò èì çàäà ó íà àëüíèêμïîä èíåííûé, â êîòî îé ïîä èíåííûé ìîæåò ï èêëàäûâàòü äâóìå íûå óñèëèß a, a. Èçäå æêè âûïóêëû è êâàä àòè íû C = (c a + c a +c a a ). Íà àëüíèê ìîæåò ï åäëàãàòü ëèíåéíûå êîíò àêòû, çàâèñßùèå îò äâóõ ïå åìåííûõ: x = a +γa +ε è x = a +ε. Çäåñü ε è ε íåçàâèñèìûå íî ìàëüíûå âåëè èíû ñ íóëåâûì ñ åäíèì è äèñïå ñèßìè σ è σ ñîîòâåòñòâåííî. Ôóíêöèß ïîëåçíîñòè àãåíòà ßâëßåòñß CARA ôóíêöèåé, ò. å. ìàêñèìèçè óåò CE = µ r σ, ãäå µ è σ μ ñ åäíåå è äèñïå ñèß àçíîñòè åãî çà ïëàòû è èçäå æåê óñèëèé ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèå èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè àãåíòà âûãëßäèò ñëåäó ùèì îá àçîì: CE ū. Âûèã û íà àëüíèêà àâåí x + x. Íà àëüíèê íåéò àëåí ïî îòíî åíè ê èñêó. (a) Íàéäèòå áåçóñëîâíûé îïòèìóì. (b) Îõà àêòå èçóéòå óñëîâíî îïòèìàëüíûé ëèíåéíûé êîíò àêò. (c) Ï åäïîëîæèì, òî c = γ =. Íàéäèòå óñëîâíî îïòèìàëüíûé ëèíåéíûé êîíò àêò. (d) Ï åäïîëîæèì, òî ε íåíàáë äàåìî (σ = ). Íàéäèòå óñëîâíî îïòèìàëüíûé ëèíåéíûé êîíò àêò. Êàê îí èçìåíßåòñß â çàâèñèìîñòè îò c and γ? (e) Ï åäïîëîæèì òåïå ü, òî ε íåíàáë äàåìî (σ = ). Íàéäèòå óñëîâíî îïòèìàëüíûé ëèíåéíûé êîíò àêò. Êàê îí èçìåíßåòñß â çàâèñèìîñòè îò c and γ? Ðå åíèå. (a) Íà àëüíèê ï åäëàãàåò ïîä èíåííîìó êîíò àêò âèäà w = α x + α x + β = α (a + γa + ε )+α (a + ε )+β. Ïîëåçíîñòü àãåíòà ï è òîì ñîñòàâëßåò u = w C. Ïî òîìó, µ E[u] =E[w] C(a,a ), σ =Var[u] =α σ + α σ. Çàäà à ïîèñêà áåçóñëîâíîãî îïòèìóìà âûãëßäèò ñëåäó ùèì îá àçîì: max E [x + x w] = max (a +(+γ)a E[w]), a,a,α,α,β a,a,α,α,β s.t. µ r σ u. Óñëîâèå ìîæíî ï åîá àçîâàòü ê âèäó E[w] r (α σ + α σ )+C(a,a )+u. Çàìåòèì, òî âáåçóñëîâíî îïòèìàëüíîì êîíò àêòå α = α =, è çíà èò w opt = β opt = C(a opt,a opt )+u. Âåñü èñê áå åò íà ñåáß íåéò àëüíàß ïî îòíî åíè ê èñêó ñòî îíà. Çàäà à ñâîäèòñß ê ñëåäó ùåé: (a opt,a opt ) = arg max a,a [a +(+γ)a C(a,a )]. Â ñèëó âûïóêëîñòè ôóíêöèè èçäå æåê äëß íàõîæäåíèß ìàêñèìóìà äîñòàòî íî àññìîò- åòü óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà: ( ) ( ) ( ) a c c = C, ãäå C =. +γ a c c 8

Îòñ äà ïîëó àåì ( ) ( ) a opt = C. a opt +γ (b) Ðàññìîò èì çàäà ó àãåíòà: ï è çàäàííîé çà àáîòíîé ïëàòå îí âûáè àåò ó îâåíü óñèëèé. [ (a,a ) = arg max α a +(α γ + α )a + β r ] a,a (α σ + α σ ) C(a,a ). Óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà äëß òîé çàäà è âûãëßäßò ñëåäó ùèì îá àçîì: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α a = C α a γ α a = = C α γ a. (3) Èñïîëüçóß óñëîâèå èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè, íà àëüíèê óñòàíîâèò ñëåäó ùèé ó îâåíü β : β = r (α σ + α σ )+C(a,a ) α a (α γ + α )a + u, (4) òàê êàê âûèã û íà àëüíèêà óáûâàåò ñ îñòîì β. Òàêèì îá àçîì, íà àëüíèê ïîëó àåò Π=a +(+γ)a r (α σ + ασ ) C(a,a ) ( ) = a r +γ α Σα a Ca ( ) { ( ) ( ) } = a a γ rc Σ + I Ca max +γ γ, a ( ) ( ) σ ãäå Σ = σ, I =. Óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà: ( ) = {rcω + I}Ca, +γ ( ) ( ) γ ãäå Ω = Σ γ Îòêóäà ïîëó àåì = ( σ + γσ γσ γσ σ ). (5) ( ) ( ) a a a = C {rcω + I}. (6) +γ ) (c) Ïóñòü c = γ =. Â òîì ñëó àå C =. Ïîäñòàâèâ â å åíèå ï åäûäóùåãî ïóíêòà, ïîëó àåì: ( ) ( a = β íàõîäèì èç (4). a c (+rc σ ) c (+rc σ ) ) ( c c ( ) α, = α ( +rc σ +rc σ ). 9

(d) Èç (3) è (6) ïîëó àåì ( ) ( ) α = {rcω + I} γ +γ ( c (σ CΩ = + γ ) c γσ (c ) γc ) c (σ + γ σ) c γσ σ(c γc ) (7) (8) det{rcω + I} =(rσ σ ) det C + rσ (γ c + c γc )+rc σ rσ (c + rσ det C) ï è σ. Òàêèì îá àçîì, ( γ Ïîäñòàâèì â (7) è ïîëó èì ) {rcω + I} ( ). c + rσ det C c c α =, α = ( + γ)c c c + rσ det C. (e) Ïóñòü òåïå ü σ. Òîãäà det{rcω + I} rσ (B + rσ det C), ãäå B γ c + c γc. Îòñ äà ( ) {rcω + I} γ Ïîäñòàâèì â(7)è ïîëó èì B + rσ det C α = B + γc c B + rσ det C, α =. ( ) c γc γc c. Çàäà à. Ðàññìîò èì ñèòóàöè, â êîòî îé îöåíêè òîâà à θ a è θ b äâóìß àãåíòàìè (A è B), íåéò àëüíûìè ïî îòíî åíè ê èñêó, ßâëß òñß ñëó àéíûìè âåëè èíàìè, àâíîìå íî àñï åäåëåííûìè íà [, ]. Èçíà àëüíî êàæäûé àãåíò îáëàäàåò îäíîé åäèíèöåé òîâà à. Âñò åòèâ èñü, àãåíòû å à ò çàêë èòü ñäåëêó: êàæäûé àãåíò ìîæåò îñòàòüñß ñ, èëè åäèíèöàìè òîâà à (ä óãîé àãåíò ñîîòâåòñòâåííî îñòàåòñß ñ, èëè åäèíèöàìè). (a) Îõà àêòå èçóéòå ï àâèëî òî ãîâëè, ôôåêòèâíîå ex post (ò. å. àñï åäåëåíèå òîâà à è ìíîæåñòâî öåí êàê ôóíêöè îò îöåíîê òîâà à). (b) Ðàññìîò èì ìåõàíèçì, âêîòî îì îáà àãåíòà ïîäà ò çàßâêè îäíîâ åìåííî, è ñäåëàâ èé áîëåå âûñîêó çàßâêó ïîêóïàåò òîâà ó ä óãîãî àãåíòà ïî öåíå íàèáîëåå âûñîêîé çàßâêè. Íàéäèòå ñèììåò è íîå àâíîâåñèå Áàéåñà-Í à â êîòî îì çàßâêè ëèíåéíû ïî îöåíêàì òîâà à b i = α i + β i θ i, i = a, b. Âûâåäèòå óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà âçàäà å êàæäîãî àãåíòà. (Ñèììåò èß îçíà àåò, òî àâíîâåñíûå çàßâêè îäèíàêîâû äëß îáîèõ àãåíòîâ êàê ôóíêöèè.) (c) Êàêîå àñï åäåëåíèå òîâà îâ åàëèçóåòñß ñ ïîìîùü òîãî ìåõàíèçìà? SSâëßåòñß ëè îíî ñîâìåñòèìûì ñî ñòèìóëàìè ïî Áàéåñó? SSâëßåòñß ëè îíî ôôåêòèâíûì ex post? SSâëßåòñß ëè îíî èíäèâèäóàëüíî àöèîíàëüíûì? Êàê ñîîòíîñßòñß ïîëó- åííûå åçóëüòàòû ñ òåî åìîé Ìàéå ñîíàμñàòòå òó éòà?

Ðå åíèå. Ïëîòíîñòü f(θ i ) àñï åäåëíèß îöåíêè òîâà à àãåíòîì i àâíà ï è θ i [, ] è â ï îòèâíîì ñëó àå (i = a, b). (a) Ï àâèëî òî ãîâëè, ôôåêòèâíîå ex post, âûãëßäèò ñëåäó ùèì îá àçîì: Åñëè θ a >θ b, òî y a =, y b =(y i μ êîëè åñòâî òîâà à, êîòî îå îñòàåòñß ó àãåíòà i ïîñëå îêîí àíèß òî ãîâëè). Åñëè θ b >θ a, òî y b =, y a =. Åñëè θ b = θ a, òî ë áîå àñï åäåëåíèå òîâà à ßâëßåòñß ôôåêòèâíûì ex post. Çàìåòèì, òî öåíà òîâà à íèêàê íå âëèßåò íà ôôåêòèâíîñòü. Ñòîèò îòìåòèòü òîëüêî, òî àãåíòó íåâûãîäíî ï îäàâàòü òîâà ïî öåíå íèæå, åì åãî îöåíêà è ïîêóïàòü ïî öåíå âû å, åì åãî îöåíêà. (b) Ïóñòü ñò àòåãèè àãåíòîâ ëèíåéíû b i (θ i )=α i + β i θ i, i = a, b. Çàäà à àãåíòà i μ ìàêñèìèçè îâàòü îæèäàåìó ïîëåçíîñòü. Â ñëó àå, êîãäà b j (θ j ) < b i (θ i ), àãåíò i â åçóëüòàòå ïîëó àåò y i =è ïëàòèò b i, à â ñëó àå, êîãäà b j (θ j ) >b i (θ i ), àãåíò i ïîëó àåò y i =èåìó ïëàòßò b j. Ñëó àé àâåíñòâà çàßâîê ìîæíî íå àññìàò- èâàòü, òàê êàê åãî âå îßòíîñòü àâíà íóë. Òàêèì îá àçîì, ïîëó èëàñü ñëåäó ùàß çàäà à: { } (θ i b i (θ i ))f(θ j )dθ j + (b j (θ j ))f(θ j )dθ j max. b j (θ j )<b i (θ i ) b j (θ j )>b i (θ i ) α i,β i Îïè åì ìíîæåñòâî b j (θ j ) <b i (θ i ). b j (θ j ) <b i (θ i ) θ j < b i(θ i ) α j β j = α i α j + β i θ i β j. Ï åäïîëîæèâ, òî b i(θ i ) α j β j (b j (θ j ))f(θ j )dθ j = b j (θ j )>b i (θ i ) b j (θ j )<b i (θ i ) [, ] ï è âñåõ θ i [, ], ïîëó èì ñëåäó ùåå: b i (θ i ) α j β j (α j + β j θ j )dθ j = β j [(α j + β j ) b i (θ i)], (θ i b i (θ i ))f(θ j )dθ j =(θ i b i (θ i )) b i(θ i ) α j β j. Òàêèì îá àçîì, çàäà ó àãåíòà ìîæíî ïå åïèñàòü ñëåäó ùèì îá àçîì: { θ i b i (θ i ) 3 } b i (θ i ) max. α i,β i β j Ìàêñèìèçè óß ïî b i (θ i ), ïîëó èì b i (θ i)= θ 3 i, i = a, b. Òàêèì îá àçîì, αi =, β i = 3. (c) Ï àâèëî, åàëèçóåìîå ñ ïîìîùü òîãî ìåõàíèçìà òàêîâî: y a =, y b = ï è θ a <θ b, y a =, y b =ï è θ a >θ b. Òàêèì îá àçîì, îíî ßâëßåòñß ôôåêòèâíûì ex post. Ïî ïîñò îåíè, ìåõàíèçì ßâëßåòñß ñîâìåñòèìûì ñî ñòèìóëàìè ïî Áàéåñó. Îæèäàåìàß ïîëåçíîñòü àãåíòà òèïà θ i àâíà U i (θ i )= θi ( θ i 3 θ i ) dθ j + θ i 3 θ jdθ j = 3 + θ i >θ i ï è ë áîì θ i [, ]. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåõàíèçì ßâëßåòñß èíäèâèäóàëüíî àöèîíàëüíûì. Ðåçóëüòàò íå ï îòèâî å èò òåî åìå Ìàéå ñîíàμñàòòå òó éòà, ïîòîìó òî â íà åì ñëó àå òî ãîâëß âñåãäà ï èíîñèò âûèã û, â òî â åìß, êàê â òåî åìå åñòü îáëàñòü èçìåíåíèß çíà åíèé ïà àìåò îâ, ï è êîòî ûõ òî ãîâëß íå ï èíîñèò âûèã û à.

Çàäà à. Àóêöèîí íàèìåíü åé öåíû óñò îåí ñëåäó ùèì îá àçîì. Ï îäàâåö ï îäàåò åäèíèöó òîâà à îäíîìó èç J ïîêóïàòåëåé. Ïîêóïàòåëè ïîäà ò çàßâêè, è ï îäàâåö îòäàåò òîâà àãåíòó ñ íàèáîëü åé çàßâêîé, êîòî ûé ïëàòèò íàèìåíü ó èç óêàçàííûõ â çàßâêàõ ñóìì. Îöåíêè ïîêóïàòåëßìè òîâà à θ i íåçàâèñèìû è àñï åäåëåíû àâíîìå íî íà [, ]. (a) Îõà àêòå èçóéòå ñèììåò è íîå àâíîâåñèå Áàéåñà-Í à. (b) Íàéäèòå îæèäàåìûé äîõîä ï îäàâöà. (c) Ñ àâíèòå (a) è (b) ñî ñëó àåì àóêöèîíà âòî îé öåíû. Êàê ïîëó åííûå åçóëüòàòû ñîîòíîñßòñß ñ òåî åìîé î àâåíñòâå äîõîäà. (d) Åñëè (a)μ(c) êàæóòñß ñëè êîì ñëîæíûìè â îáùåì ñëó àå, å èòå äëß J =3. Ðå åíèå. (a) Áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî âñå èã îêè èñïîëüçó ò ñò àòåãèè âèäà b i = α i θ i, i =,...,n. Ðàññìîò èì ñò àòåãè îäíîãî èç èã îêîâ. Ïóñòü òîò èã îê èìååò íîìå n. Òàê êàê âñå ñîïå íèêè íè åì íå îòëè à òñß ä óã îò ä óãà, ñ èòàåì, òî âñå îíè èñïîëüçó ò îäíó è òó æå ñò àòåãè αθ. Ââåäåì îáîçíà åíèß Ëåãêî âèäåòü, òî b (n ) = max b j, b () = min b j. j n j n ( x ) n F (n ) (x) =P {b (n ) x} =, f(n ) (x) = n α α ( x α ) n, ãäå f (n ) μ ïëîòíîñòü àñï åäåëåíèß ñëó àéíîé âåëè èíû b (n ). Àíàëîãè íî, F () (y) =P {b () y} = ( y ) n, f() (y) = n ( y n. α α α) Èã îê àññóæäàåò ñëåäó ùèì îá àçîì: åñëè ìàêñèìàëüíàß ñòàâêà ä óãèõ ó àñòíèêîâ èã û àâíà x, òî öåíà ëîòà àñï åäåëåíà ñëåäó ùèì îá àçîì P {b () y} = ( y ) n, f() (y) = n ( y n 3, x x x) òàê êàê îäíà èç çàßâîê ìàêñèìàëüíàß è àâíà x, à ä óãèå, ïî ñâîéñòâàì óñëîâíîé âå îßòíîñòè, àâíîìå íî àñï åäåëåíû íà [,x]. Ñëåäîâàòåëüíî, îæèäàåìîå çíà åíèå öåíû, â äàííîì ñëó àå, àâíî x/(n ). Çàìåòèì, òî â àâíîâåñèè α n áóäåò òàêèì, òî ñîáûòèå α n θ n >xèìååò íåíóëåâó âå îßòíîñòü. Ïî òîìó ñ åäíèé âûèã û n - òîãî ó àñòíèêà íåíóëåâîé è àâåí x/α n ( θ x ) dθ = θ n θx n = x/α n x n x + αn x (n )α n. Ìàêñèìèçè óß îæèäàåìûé âûèã û ïî α n, ëåãêî âèäåòü, òî αn = n. Èçñèììåò èè ñëåäóåò, òî âñå èã îêè áóäóò ï èìåíßòü ñò àòåãè b (θ) =(n )θ. (b) Òàê êàê ï îäàâåö ïîëó àåò n çàßâîê, àâíîìå íî àñï åäåëåííûõ íà [,n ], òî åãî îæèäàåìûé âûèã û áóäåò àâåí (n )/(n +).

(c) Ëåãêî âèäåòü, òî â êàæäîì èç àóêöèîíîâ ïîáåäèòåëåì áóäåò èã îê ñ íàèáîëü èì θ è îæèäàåìàß ï èáûëü ï îäàâöà îäèíàêîâàß, â íåçàâèñèìîñòè îò òèïà àóêöèîíà. Ýòîò åçóëüòàò ñîâïàäàåò ñ âûâîäàìè òåî åìû î àâåíñòâå äîõîäîâ. Çàäà à 3. Ðàöèîíè îâàíèå ê åäèòîâ. Áàíê îáëàäàåò åäèíèöåé êàïèòàëà è àññìàò èâàåò âîçìîæíîñòü îäîëæèòü åå ôè ìå ïîä áàíêîâñêèé ï îöåíò r. Ôè ìà èñïîëüçóåò òó åäèíèöó äëß ôèíàíñè îâàíèß íåäåëèìîãî èíâåñòèöèîííîãî ï îåêòà. Äîõîä îò ï îåêòà R íàáë äàåì ex post, íî íåèçâåñòåí ex ante è àâíîìå íî àñï åäåëåí íà èíòå âàëå [ R θ, R + θ] ( R >). Ó îâåíü èñêîâàííîñòè θ ßâëßåòñß àñòíîé èíôî ìàöèåé ôè ìû. Ï åäâà èòåëüíî ôè ìà îñòàâëßåò â áàíêå çàëîã C, êîòî ûé áàíê îñòàâëßåò ñåáå, åñëè äîõîäà íåäîñòàòî íî, òîáû âûïëàòèòü çàåì âìåñòå ñ ï îöåíòàìè. (Óêàçàíèå: ôè ìà ïîëó àåò max{r r, C}, áàíê ïîëó àåò min{r, R + C}). Òèï ôè ìû θ ï èíèìàåò çíà åíèå θ ñ âå îßòíîñòü π è θ ñ âå îßòíîñòü π. È áàíê è ôè ìà íåéò àëüíû ïî îòíî åíè ê èñêó. Âåëè èíû R, C, è π çàäàíû êçîãåííî. (a) Íàéäèòå áåçóñëîâíûé îïòèìóì, òî åñòü âû èñëèòå ï îöåíò, êîòî ûé áàíê ï åäëîæèë áû ôè ìå, åñëè áû θ áûëà èçâåñòíà. Íàéäèòå âûèã û áàíêà. (b) Äëß äàííîãî r íàéäèòå, êàêèå ôè ìû áóäóò çàíèìàòü ó áàíêà. (c) Íàéäèòå êàëó áàíêîâñêèõ ï îöåíòîâ, êîòî àß ßâëßåòñß îïòèìàëüíîé äëß áàíêà â ñëó àå àñèììåò è íîé èíôî ìàöèè. (Óêàçàíèå: àññìîò èòå ñèòóàöè, â êîòî îé äîïóñêàåòñß ê åäèòíîå àöèîíè îâàíèå, òî åñòü ï åäëàãàß íåñêîëüêî âà- èàíòîâáàíêîâñêîãî ï îöåíòà, áàíê îã àíè èâàåò êîëè åñòâî ôè ì, çàíèìà ùèõ ïîä íåêîòî ûå èç íèõ, òàê òî íåêîòî ûå ôè ìû, êîòî ûå õîòåëè áû çàíßòü ïîä íèçêèé ï îöåíò, îêàçûâà òñß àöèîíè îâàííûìè. Ðå åíèå. Îáîçíà èì å åç u F (r, R) =max{r r, C} ôóíêöè ï èáûëè ôè ìû è å åç u B (r, R) =min{r, R + C} ôóíêöè ï èáûëè áàíêà. Ï è òîì u F âûïóêëà ïî R, u B âîãíóòà ïî R. Çàìåòèì, òî u F + u b R. Çàäà à áàíêà òàêîâà: u B (r, R)dF θ (R) max R r s.t. u F (r, R)dF θ (R). R Òàê êàê ñóììà ï èáûëåé áàíêà è ôè ìû òîæäåñòâåííî àâíà R, òî äîñòàòî íî å èòü ó àâíåíèå R u F (r, R)dF θ (R) =. Ðàññìîò èì ò è ñëó àß: ) R θ r C (ôè ìà íå áóäåò áàíê îòîì íè ï è êàêèõ R) R u F (r, R)dF θ (R) = θ R+θ R θ (R r)dr = R r. ) R + θ r C (ôè ìà áóäåò áàíê îòîì ï è ë áîì R) u F (r, R)dF θ (R) = C. R 3

3) R θ<r C< R + θ [ u F (r, R)dF θ (R) = r C ( C)dR + θ R R θ R+θ r C Ðå èâ ó àâíåíèå E uf =, ïîëó èì: { R, ï è θ C, r = R +( θ C), ï è θ>c. ] (R r)dr = 4θ (C + R + θ r) C. Âûèã û ôè ìû ï è òàêîì áàíêîâñêîì ï îöåíòå àâåí íóë, ïî òîìó áàíê â ñ åäíåì ïîëó èò R. (b) Âîñïîëüçîâàâ èñü åçóëüòàòîì ïóíêòà (a), ïîëó èì, òî âûèã û ôè ìû òèïà θ ï è áàíêîâñêîì ï îöåíòå r àâåí C, ï è θ r C R, u F = R r, ï è R θ r C, (C R + θ r) C, ï è R θ<r C< R + θ. 4θ Îòñ äà ïîëó àåì, òî ï è r R ôè ìà ë áîãî òèïà θ âîçüìåò ññóäó â áàíêå. Ïóñòü r > R. Â òîì ñëó àå òîëüêî äîñòàòî íî èñêîâàííûå ôè ìû âîçüìóò ññóäó (Åñëè θ ìàëî, òî ëèáî u F = C, ëèáî u F = R r, òî ìåíü å íóëß). Ðå èâ íå àâåíñòâî u F ïîëó àåì θ ( C + r R). (c) Ïóñòü òåïå ü åñòü äâà òèïà ôè ì θ >θ. Ðàññìîò èì ìåí êîíò àêòîâ âèäà (r,p ), (r,p ), ãäå r è r μ ñòàâêà ï îöåíòà, à p è p μ âå îßòíîñòü ï åäîñòàâëåíèß ê åäèòà. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ï èíöèïîì âûßâëåíèß çàäà à áàíêà ìîæåò áûòü ï åäñòàâëåíà êàê çàäà à ìàêñèìèçàöèè ï èáûëè ï è óñëîâèßõ ó àñòèß è ñîâìåñòèìîñòè ñî ñòèìóëàìè. πp E u B (r )+( π)p E u B (r ) max r,r,p,p (9) s.t. p E u F (r ), () p E u F (r ), () p E u F (r ) p E u F (r ), () p E u F (r ) p E u F (r ), (3) ãäå E è E μ óñ åäíåíèß ïî äîõîäàì ïå âîãî è âòî îãî òèïà ôè ì ñîîòâåòñòâåííî. Íåñëîæíûå àññóæäåíèß ïîêàçûâà ò, òî èç òèõ åòû åõ îã àíè åíèé â îïòèìóìå äâà âûïîëíß òñß êàê ñò îãèå íå àâåíñòâà, è äâà âûïîëíß òñß êàê àâåíñòâà. Ê îìå òîãî, p ìîæíî ïîëîæèòü àâíûì åäèíèöå. Ïî òîìó Çàäà ó áàíêà ìîæíî ïå åïèñàòü â âèäå: πp E u B (r )+( π)p E u B (r ) max r,r,p,p (4) s.t. p E u F (r )=, (5) E u F (r )=p E u F (r ). (6) Îáîçíà èì å åç r i, i =,, å åíèß ó àâíåíèé E i u F (r i )=.Ðàññìîò èì äâà ñëó àß: p =è p >. Â ïå âîì ñëó àå îáñëóæèâà òñß òîëüêî ôè ìû òèïà θ.. Çàäà à áàíêà äëß òîãî ñëó àß å åíà â ïóíêòå (a). 4

. Çàïè åì çàäà ó áàíêà â ñëó àå, êîãäà p >. Ï è ï åîá àçîâàíèßõ âîñïîëüçóåìñß àâåíñòâîì u F + u B R. Â åçóëüòàòå ïîëó èì: π R + p (( π) R π E u F ( r )) max p (,]. Åñëè ï è òîì ( π) R >πe u F ( r ), òî å åíèå p =è r = r = r. Åñëè ï è òîì ( π) R <πe u F ( r ), òî å åíèå p =è r = r (òî åñòü ôàêòè åñêè òî ñëó àé ). Åñëè ( π) R = π E u F ( r ),òîp ìîæåò áûòü ë áûì è r îï åäåëßåòñß èç ó àâíåíèß E u F (r )=p E u F ( r ). Çàäà à 4. Åñòü äâà àãåíòà μ ï îäàâåö () è ïîêóïàòåëü (). Èçíà àëüíî ï îäàâåö âëàäååò åäèíèöåé òîâà à, êîòî àß öåíèòñß àãåíòàìè êàê θ è θ ñîîòâåòñòâåííî. Ex ante θ àâíîìå íî àñï åäåëåíî íà [, ], â òî â åìß, êàê θ àâíîìå íî àñï åäåëåíî íà [a, +a], ãäå a (, /3). (a) Ï åäïîëàãàß, òî îöåíêè àãåíòîâ èçâåñòíû ïóáëè íî, íàéäèòå îæèäàåìûé ó îâåíü áîãàòñòâà. (b) Òåïå ü ï åäïîëîæèì, òî îöåíêè àãåíòîâ ßâëß òñß èõ àñòíîé èíôî ìàöèåé. Íàéäèòå óñëîâíî îïòèìàëüíûé ìåõàíèçì, òî åñòü ìåõàíèçì, êîòî ûé ìàêñèìèçè óåò îæèäàåìûé ó îâåíü áîãàòñòâà ï è âûïîëíåíèè óñëîâèé ñàìîîòáî à è èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè. Ñ àâíèòå ñ (a). Ðå åíèå. (a) Çàäà à äëß âûû èñëåíèß áåçóñëîâíî îïòèìàëüíîãî ó îâíß áîãàòñòâà: E[u (θ,θ )+u (θ,θ )] max s.t. y (θ,θ )+y (θ,θ ), t (θ,θ )+t (θ,θ ), ãäå u (θ,θ )=θ y (θ,θ )+t (θ,θ ) è u (θ,θ )=θ y (θ,θ )+t (θ,θ ). Ìàêñèìèçè îâàâ ïîòî å íî ïîäèíòåã àëüíîå âû àæåíèå, ïîëó èì å åíèå t + t =, y = {, ï è θ θ,, ï è θ >θ,, y = {, ï è θ θ,, ï è θ >θ. Ï è òîì u (θ,θ )+u (θ,θ )=max{θ,θ }. Ôóíêöèß àñï åäåëåíèß F max{θ,θ }(x) = F θ (x)f θ (x). Â íà åì ñëó àå, ï è x<a, x(x a), ï è a x<, F max{θ,θ }(x) = x a, ï è x<a+,, ï è x a +, ïëîòíîñòü àâíà x a, ï è a x<, F max{θ,θ }(x) =, ï è x a +,, èíà å, 5

è îæèäàåìûé ó îâåíü áîãàòñòâà àâåí +a E[max{θ,θ }]= x(x a) dx + xdx a [ ] x 3 = 3 ax = 3 + a + a + a3 6. (b) Çàïè åì íåîáõîäèìîå (ïî òè äîñòàòî íîå) óñëîâèå âûïîëíåíèß óñëîâèé èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè è ñàìîîòáî à: θ θ θ è å èì çàäà ó θ y (θ,θ ) a [( θ Φ ) ( (θ ) θ + Φ )] (θ ) ϕ (θ )ϕ (θ ) dθ dθ, (7) ϕ (θ ) ϕ (θ ) θ θ θ θ s.t. (7), y [, ]. [θ +(θ θ )y (θ,θ )]ϕ (θ )ϕ (θ ) dθ dθ max Ïîäñòàâèì âû àæåíèß ôóíêöèé ϕ (θ )=I [,], ϕ (θ )=I [a,+a], Φ (θ )=θ, Φ (θ )=θ a. Ï è òîì óñëîâèå (7) ï èîá åòàåò âèä à ñàìà ìàêñèìèçè óåìàß ôóíêöèß μ òàêîâà: +a dθ dθ [y (θ,θ )(θ a θ )], a +a dθ dθ [θ +(θ θ )y (θ,θ )] max a Òàê êàê +a òî äîñòàòî íî å èòü ñëåäó ùó çàäà ó: a θ dθ dθ =const, s.t. +a dθ dθ [(θ θ )y (θ,θ )] max a +a dθ dθ [y (θ,θ )(θ a θ )]. a Çàïè åì ôóíêöè Ëàã àíæà: L =(θ θ )y + λy ((θ θ ) ( + a)) max y [,] îòêóäà íåìåäëåííî ïîëó àåì: {, åñëè ( + λ)(θ θ ) λ(( + a)) <, y =, åñëè ( + λ)(θ θ ) λ(( + a)). 6

θ + a θ = θ + x y = x a y = θ Ðèñ. 4: Åñëè ï è òîì λ =, òî ïîëó èòñß áåçóñëîâíûé îïòèìóì, êîòî ûé, êàê èçâåñòíî, íå óäîâëåòâî ßåò óñëîâèßì èíäèâèäóàëüíîé àöèîíàëüíîñòè è ñîâìåñòèìîñòè ñî ñòèìóëàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, λ>. Òàêèì îá àçîì, å åíèå òîé çàäà è âûãëßäèò òàê: {, åñëè θ θ <x= x(a), y =, åñëè θ θ x, ãäå x> μ ìèíèìàëüíîå òàêîå, òî +a dθ dθ [y (θ,θ )((θ θ ) (a + ))] =. a Âû èñëèì òîò èíòåã àë âäâóõñëó àßõ: êîãäà x a èêîãäà x<a.. x a. +a x +a = = = x +a x θ x dθ dθ [(θ θ ) (a +)] [ ] dθ (θ θ θ ) θ x ( + a)( + a x) dθ [θ (θ x) (θ x) ] ( + a)( + a x) ( θ3 3 xθ = 3 ( + a)3 x( + a) ) (θ x)3 +a ( + a)( + a x) 3 x ( + a x)3 3 = 3 x3 x 3 ( + a)+(+a) x ( + a)3 6 = 6 (x ( + a)) (4x ( + a)). 3 x3 + x 3 ( + a)( + a x) 7

Ó ó àâíåíèß (x ( + a)) (4x ( + a)) = äâà êî íß μ x =+a è x =(+a)/4. Ï è åì ïîñêîëüêó a /3, òî ( + a)/4 a. Ïîêàæåì òåïå ü, òî ï è a /3 êî íåé x<aíå ñóùåñòâóåò.. x<a. Äëß íà àëà ñîñ èòàåì èíòåã àë ïî âñåìó êâàä àòó: +a dθ dθ [(θ θ ) (a +)] a +a ] = dθ [(θ θ θ ) ( + a) = a +a Òåïå ü ïî íåíóæíîìó ò åóãîëüíèêó: a x = = a dθ [θ ] ( + a) =(θ θ ) +a a = a. x+θ dθ dθ [(θ θ ) (a +)] a x a x a [ dθ (θ θ θ ) ] x+θ a ( + a) ( + a x) [ dθ (x + θ ) θ (x + θ ) a +θ a ] ( + a) ( + a x) ( (x + θ ) 3 = xθ 3 ) 3 θ3 a θ + aθ = ( 3 x3 + 3 ) a x +(a )x + a x àçíà èò, íóæíûé íàì èíòåã àë, àâåí ( a) ( 3 x3 + 3 ) a x +(a )x + = ( 3a 3 x3 + ) ( a x +( a 3 )x + ( + a) ( + a x) ( a3 6 a + 3 a 5 6 ( a3 6 a 6 + a a 6 ), + 3 a 5 6 ). Îáîçíà èì òîò ìíîãî ëåí å åç P (x, a), è èññëåäóåì åãî. Çàìåòèì (ñì. èñ. 5), òî ï è x = òîò ìíîãî ëåí ï èíèìàåò îò èöàòåëüíûå çíà åíèß ï è âñåõ a [, /3]. Ðàññìîò èì òåïå ü ï îèçâîäíó P x (x, a) = x +(3a )x +( a ) = (x (a + ))(x (a )). Ï è ôèêñè îâàííîì ap(x, a) ßâëßåòñß ìíîãî ëåíîì ò åòüåé ñòåïåíè, ï è åì ëîêàëüíûå êñò åìóìû ó íåãî òàêîâû: a μ ìèíèìóì, (a +)/ μ ìàêñèìóì (ñì. èñ. 6). Òàêèì îá àçîì, òîáû äîêàçàòü, òî òîò ìíîãî ëåí íå èìååò êî íåé íà èíòå âàëå [,a), äîñòàòî íî ï îâå èòü åãî çíà åíèå â òî êå a. Ïîäñòàâèì x = a â P (x, a) è ïîëó èì ñëåäó ùåå: P (a, a) = ( 3 3 a3 + a ) ( a a +( a 3 )a + 6 + a a ) 6 = a 6. ) 8

P(, a) a -/6 Ðèñ. 5: P(x, a) a a + x Ðèñ. 6: 9

Îòñ äà ïîëó àåì, òî ï è a [, /3] ó òîãî ìíîãî ëåíà íå ñóùåñòâóåò êî íß, ìåíü åãî a. Çíà èò âûïîëíßåòñß ñëó àé è x(a) a (x(a) =(+a)/4). Ñëåäîâàòåëüíî, å åíèå èñõîäíîé çàäà è ìàêñèìèçàöèè îæèäàåìîãî áîãàòñòâà òàêîâî: {, åñëè θ θ < ( + a)/4, y =, åñëè θ θ ( + a)/4, è ìîæíî ñîñ èòàòü îæèäàåìûé ó îâåíü áëàãîñîñòîßíèß: EW =Eθ +E(θ θ )y = +a θ x + dθ dθ [θ θ ] x = 3 ( + a)3 x( + a) 6 ( + a x)3 3 x3 + x3 + = 3 ( + a)3 x( + a) ( +a +a ) 3 ( ) 3 +a + 6 4 3 4 = 9( + a)3 +. 64 ( +a 4 ) 3 + Çàäà à 5. Ðàññìîò èì ñëåäó ùó ìîäåëü íà àëüíèêμïîä èíåííûé, â êîòî îé îáà àãåíòà íåéò àëüíû ïî îòíî åíè ê èñêó. Íà àëüíèê ìàêñèìèçè óåò E{x w(x)}, ïîä èíåííûé ìàêñèìèçè óåò E{w(x) C(a)}, ãäå C(a) μ èçäå æêè óñèëèé àãåíòà, a [, ], C (a) >, C (a) >, C () =, C () =. Äîõîä íà àëüíèêà x ï èíèìàåò îäíî èç äâóõ çíà åíèé: X ñ âå îßòíîñòü a è ñ âå îßòíîñòü a. Ãà àíòè îâàííûé ó îâåíü ïîëåçíîñòè àãåíòà àâåí íóë. (a) Íàéäèòå áåçóñëîâíî îïòèìàëüíûé ó îâåíü óñèëèé a, òî åñòü ó îâåíü óñèëèé, ìàêñèìèçè ó ùèé îáùåñòâåííîå áîãàòñòâî. (b) Ï åäïîëîæèì, òî íà àëüíèê íå íàáë äàåò óñèëèß àãåíòà a è ìîæåò ï åäëàãàòü êîíò àêò òîëüêî âèäà w(x). Íàéäèòå îïòèìàëüíûé êîíò àêò. Ñ àâíèòå ó îâåíü óñèëèé ñ áåçóñëîâíî îïòèìàëüíûì a. (c) Ï åäïîëîæèì, òî àãåíò íå èìååò èçíà àëüíî íèêàêèõ äåíåã, òî åñòü êîíò àêò äîëæåí óäîâëåòâî ßòü óñëîâè w(x). Íàéäèòå îïòèìàëüíûé êîíò àêò è ñ àâíèòå ó îâåíü óñèëèé ñ áåçóñëîâíî îïòèìàëüíûì a. Ðå åíèå. (a) Ñóììà íûé îæèäàåìûé âûèã û àãåíòîâ àâåí Ìàêñèìèçè óß îæèäàåìûé âûèã û ïî a ïîëó èì óñëîâèå ïå âîãî ïî ßäêà E{x C(a)} ax +( a) C(a) max a s.t. a [, ], X = C (a). Îïòèìàëüíûì çíà åíèåì a áóäåò a μ å åíèå òîãî ó àâíåíèß. 3

(b) Â ñëó àå íåíàáë äàåìîñòè óñèëèé ïîä èíåííûé ìàêñèìèçè óåò ñëåäó ùó ôóíêöè aw(x)+( a)w() C(a) max a s.t. a [, ]. Â åçóëüòàòå, ïîëó èì óñëîâèå ïå âîãî ïî ßäêà w(x) w() = C (a). Òàêèì îá àçîì, çàäà à íà àëüíèêà èìååò âèä ax aw(x) ( a)w() s.t. w(x) w() = C (a), aw(x)+( a)w() C(a). max w(x),w() Î åâèäíî, â îïòèìóìå, ïîñëåäíåå íå àâåíñòâî âûïîëíßåòñß êàê àâåíñòâî (èíà å w(x) è w() ìîãëè áû áûòü óìåíü åíû íà îäíó è òó æå ìàëó âåëè èíó). Ñëåäîâàòåëüíî, îæèäàåìàß çà àáîòíàß ïëàòà ïîä èíåííîãî àâíà èçäå æêàì è íà àëüíèê ìàêñèìèçè óåò òó æå ôóíêöè, òî è â ï åäûäóùåì ïóíêòå. Êîíò àêò äëß îïòèìàëüíîãî ó îâíß óñèëèé íàõîäèòñß èç óñëîâèé { w(x) w() = C (a )=X, a w(x)+( a )w() = C(a ). Â èòîãå, ñîöèàëüíî îïòèìàëüíûå óñèëèß ìîãóò áûòü ïîëó åíû ï è ñëåäó ùåì êîíò àêòå w(x) =C(a )+( a )X>, w() = C(a ) a X<. (c) Âûïè åì çàäà ó íà àëüíèêà ax aw(x) ( a)w() max w(x),w() s.t. w(x) w() = C (a), (8) aw(x)+( a)w() C(a), (9) w(x, ),w(). (3) Èç (8) ñëåäóåò, òî w(x) > w(). Íå àâåíñòâî (9) íå ìîæåò áûòü ñò îãèì, èíà å, êàê è â ï åäûäóùåì ïóíêòå, w() <. Äàëåå, â îïòèìóìå, w() äîëæíî áûòü àâíûì íóë, èíà å è w(x), èw() ìîãëè áû áûòü óìåíü åíû íà îäíó è òó æå ìàëó âåëè èíó. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà à ï èíèìàåò âèä ax ac (a) max a Îïòèìàëüíîå a îï åäåëßåòñß èç ó àâíåíèß X ac (a ) C (a )=. 3

Ëåãêî âèäåòü, òî òàê êàê C (a) - ñò îãî âîç àñòà ùàß ôóíêöèß, òî C (a )=X a C (a ) <X= C (a ). Ñëåäîâàòåëüíî, a >a. Åñëè àãåíò èìååò îã àíè åííó îòâåòñòâåííîñòü, òî ó îâåíü óñèëèé íèæå ñîöèàëüíî îïòèìàëüíîãî. Çàäà à 6. Ðàññìîò èì äâóõïå èîäíó çàäà ó îò èöàòåëüíîãî îòáî à. Ïîëåçíîñòü àãåíòà îò q åäèíèö òîâà à àâíà θq t, ãäå t μ ñóììà, óïëà åííàß çà òîâà, è θ = {θ, θ}. Âå îßòíîñòü òîãî, òî θ = θ àâíà π. θ áîëü å, åì θ : θ/θ < /( π). Èçäå æêè ï îèçâîäñòâà àâíû q /. Äèñêîíò àâåí íóë. (a) Íàéäèòå áåçóñëîâíûé îïòèìóì. (b) Íàéäèòå óñëîâíûé îïòèìóì â îäíîïå èîäíîé ìîäåëè. (c) Ï åäïîëîæèì, òî îáúßâèâ â ïå âîì ïå èîäå ñò àòåãè, íà àëüíèê íå ìîæåò îò íåå îòêëîíèòüñß âî âòî îì ïå èîäå (Salanie, Ch.6). Îõà àêòå èçóéòå óñëîâíî îïòèìàëüíûé êîíò àêò â äâóõïå èîäíîé ìîäåëè. (d) Îõà àêòå èçóéòå îïòèìàëüíûé êîíò àêò, óñòîé èâûé ïî îòíî åíè ê âçàèìíîìó ïå åñìîò ó (äîñòàòî íî íàéòè óñëîâèß ïå âîãî ïî ßäêà). Ðå åíèå. (a) Âûïè åì çàäà ó áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè θq q max q Îïòèìàëüíûì çíà åíèåì q áóäåò q (θ) =θ. (b) Íà àëüíèê ï åäëàãàåò äâà êîíò àêòà (p,q) è (p, q)äëß àçíûõ òèïîâ àãåíòîâ. Âûïè åì çàäà ó íà àëüíèêà ) π (p q +( π) ) (p q max p,q s.t. θq p, (3) θq p, (3) θq p qθ p, (33) θq p qθ p. (34) Âîñïîëüçóåûñß èçâåñòíûì åçóëüòàòîì, ãëàñßùèì òî îã àíè åíèß (3) è (34) - ñò îãèå, à(3) è(33) -íåò(èç íå àâåíñòâà (34) è θ>θñëåäóåò (3), ïî òîìó ñòîãî âûïîëíß òñß (3) è (34), èç åãî ñëåäóåò, òî (33) μ íåñò îãîå). Îïòèìàëüíûå öåíû îï åäåëß òñß ïî ôî ìóëàì p = θq, p = θq θq + θq. Òåïå ü çàäà à ìàêñèìèçàöèè ï èíèìàåò âèä ) π (θq q +( π) ) (θq θq + θq q max. q,q 3