Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 2: Ψηφιακή Λογική Ι Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
4. ΧΑΡΤΕΣ KARNAUGH e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1
ΧΑΡΤΕΣ KARNAUGH Οι χάρτες Karnaugh είναι ένας τρόπος αναπαράστασης των λογικών συναρτήσεων. Ο χάρτης Karrnaugh είναι ένας πίνακας όπου το κάθε τετράγωνο αναπαριστά ένα συνδυασµό των µεταβλητών, δηλαδή κάθε τετράγωνο ενός χάρτη Karnaugh αντιστοιχεί σε έναν ελάχιστο όρο της λογικής συνάρτησης που αναπαριστά. ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 2
ΧΑΡΤΗΣ KARNAUGH 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ B 0 1 0 0 1 A 1 2 3 ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 3
ΧΑΡΤΗΣ KARNAUGH 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ B 00 01 11 10 0 0 1 3 2 A 1 4 5 7 6 C ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 4
ΧΑΡΤΗΣ KARNAUGH 4 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 00 01 11 10 00 0 1 3 2 01 4 5 7 6 B A 11 12 13 15 14 10 8 9 11 10 C D ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 5
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΧΑΡΤΗ KARNAUGH Η αναπαράσταση µίας λογικής συνάρτησης µε χάρτη Karnaugh γίνεται θέτοντας 1 σε κάθε τετράγωνο του χάρτη Karnaugh που αντιστοιχεί σε ελάχιστο όρο όπου η συνάρτηση έχει τιµή 1 και θέτοντας 0 (ή τίποτα) σε κάθε τετράγωνο του χάρτη Karnaugh που αντιστοιχεί σε ελάχιστο όρο όπου η συνάρτηση έχει τιµή 0. Σε πολλές περιπτώσεις, µερικοί συνδυασµοί των µεταβλητών εισόδου δεν έχουν νόηµα και δεν πρόκειται να συµβούν. Αυτοί οι συνδυασµοί καλούνται συνθήκες αδιαφορίας γιατί δεν ενδιαφέρει η τιµή της συνάρτησης για τους συνδυασµούς αυτούς. Στον πίνακα αληθείας και στο χάρτη Karnaugh µίας τέτοιας συνάρτησης οι τιµές της συνάρτησης στις συνθήκες αδιαφορίας συµβολίζονται µε X. ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 6
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΧΑΡΤΗ KARNAUGH Η λογική συνάρτηση Y=A BC+AB C +ABC µπορεί να αναπαρασταθεί µε τον ακόλουθο χάρτη Karnaugh: 00 01 11 10 0 1 A 1 1 1 B C ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 7
ΑΠΛΟΠΟΙΗΣH ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΧΑΡΤΗ KARNAUGH Για να απλοποιήσουµε µία λογική συνάρτηση χρησιµοποιώντας χάρτη Karnaugh, ακολουθούµε τα εξής βήµατα: Γράφουµε τη συνάρτηση µε µορφή αθροίσµατος ελαχίστων όρων. Τοποθετούµε τους όρους της συνάρτησης στον χάρτη Karnaugh σηµειώνοντας µε 1 το αντίστοιχο τετράγωνο. ηµιουργούµε οµάδες µε 1 των 2, 4, 8, 16 µελών από γειτονικά τετράγωνα (οριζόντια ή κάθετα, συνεχόµενα ή αναδιπλούµενα, αλλά όχι διαγώνια). Προσπαθούµε να δηµιουργούµε όσο το δυνατόν µεγαλύτερες οµάδες. Κάθε 1 µπορεί να συµµετέχει σε περισσότερες από µία οµάδες. Ξαναγράφουµε τη συνάρτηση µε όρους τους ελεύθερους όρους που πιθανόν να υπάρχουν και τις οµάδες (παραλείποντας τις µεταβλητές που µέσα στην οµάδα αλλάζουν τιµή). ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 8
ΑΠΛΟΠΟΙΗΣH ΜΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Α ΙΑΦΟΡΙΑΣ Για την απλοποίηση µίας λογικής συνάρτησης µε χάρτη Karnaughητιµή X µπορείναθεωρηθείείτεως 0 είτεως 1,ανάλογαµετισυµφέρει,δηλαδήµετοποιααπότιςδύο τιµές δίνει την απλούστερη έκφραση. Τα X επιτρέπεται να τα οµαδοποιηθούν µε τους 1 ή να µη ληφθούν καθόλου υπόψη. ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 9
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ίνεται η συνάρτηση Y=A(B C+BCD )+ABCD Κάνοντας πράξεις, η συνάρτηση γράφεται: Y=AB C+ABCD +ABCD=AB CD+AB CD +ABCD +ABCD=Σ(10,11,14,15) Ο δεύτερος και ο τρίτος όρος αντιστοιχούν στα τετράγωνα 14 και 15 αντίστοιχα του χάρτη Karnaugh. Ο πρώτος όρος είναι ελλιπής (αφού λείπειηµεταβλητή D)καιαντιστοιχείστατετράγωνα 10και 11τουχάρτη Karnaugh. C 00 01 11 10 00 01 B A 11 1 1 10 1 1 Υ=ΑC D ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 10
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Α ΙΑΦΟΡΙΑΣ ίνεται η συνάρτηση Y=A B C D +ABD+ABCD µε αδιάφορους όρους A B CD και BC D C 00 01 11 10 00 1 X 01 X B A 11 X 1 1 1 10 Y=AB+A C D D ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 11
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/από-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.