Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Αυτή η ενότητα πραγματεύεται το ζήτημα των στοχαστικών ανελίξεων (σ.α.). 4
Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή. Ορισμός. Ταξινόμηση των στοχαστικών ανελίξεων. Ταξινόμηση σύμφωνα με το χώρο καταστάσεων. Ταξινόμηση σύμφωνα με τον παραμετρικό χώρο. Ταξινόμηση σύμφωνα με τις σχέσεις εξάρτησης. Κατανομή μίας στοχαστικής ανέλιξης. Χρονικά ομογενής στοχαστική ανέλιξη. 5
Εισαγωγή Περιγραφή φαινομένων πουεξελίσσονται σε σχέση με το χρόνο ή το χώρο. Π.χ. η μεταβολή του πληθυσμού σε μία γεωγραφική περιοχή. Η μελέτη τέτοιων φαινομένων μπορεί να γίνει με: Εφαρμογή της θεωρίας των πιθανοτήτων. Κατασκευή μαθηματικών μοντέλων. 6
Ορισμός (1/2) Στοχαστική ανέλιξη ονομάζουμε ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών Χ t t T, που συνήθως ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεωριτικό χώρο. Ο όρος στοχαστική. Οφείλεται στο ότι το φαινόμενο που περιγράφουμε επηρεάζεται από τον παράγοντα της τύχης. Δεν μπορούμε να προβλέψουμε την μελλοντική του συμπεριφορά. 7
Ορισμός (2/2) Στα περισσότερα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε λαμβάνουμε ως παράμετρο τον χρόνο. Όμως, κάτι τέτοιο δεν είναι απαραίτητο πάντα. Σύνολο Τ. Ονομάζεται παραμετρικός χώρος της ανέλιξης Χώρος καταστάσεων. Αν κάθε μία από τις τ.μ. X, λαμβάνει τιμές που βρίσκονται εντός ενός συνόλου S, τότε το S θεωρείται ο χώρος καταστάσεων της ανέλιξης. 8
Ταξινόμηση των στοχαστικών ανελίξεων Χαρακτηριστικά διαφοροποίησης των στοχαστικών ανελίξεων. Παραμετρικός χώρος. Χώρος καταστάσεων. Σχέσεις εξάρτησης μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών X. Σύμφωνα με τα παραπάνω χαρακτηριστικά έχουμε τις παρακάτω ταξινομήσεις στοχαστικών ανελίξεων. Ταξινόμηση σύμφωνα με το χώρο καταστάσεων. Ταξινόμηση σύμφωνα με τον παραμετρικό χώρο. Ταξινόμηση σύμφωνα με τις σχέσεις εξάρτησης. 9
Ταξινόμηση σύμφωνα με το Αν το σύνολο S: χώρο καταστάσεων Είναι αριθμήσιμο σύνολο. Η ανέλιξη ονομάζεται στοχαστική ανέλιξη διακριτού χώρου καταστάσεων. Παίρνουμε το σύνολο: Δεν είναι αριθμήσιμο. Η ανέλιξη ονομάζεται στοχαστική ανέλιξη συνεχούς χώρου καταστάσεων. 10
Ταξινόμηση σύμφωνα με τον παραμετρικό χώρο Αν το σύνολο Τ: Είναι αριθμήσιμο σύνολο. Η στοχαστική ανέλιξη ονομάζεται ανέλιξη σε διακριτό χρόνο ή αλυσίδα. Δεν είναι αριθμήσιμο. Η στοχαστική ανέλιξη ονομάζεται ανέλιξη σε συνεχή χρόνο. Σε περίπτωση αλυσίδας: Λαμβάνουμε το σύνολο Ν0 = {0,1,2, } ως Τ. Η τυχαία μεταβλητή Χ. Συνήθως αναπαριστά ένα μετρήσιμο χαρακτηριστικό. 11
Ταξινόμηση σύμφωνα με τις σχέσεις εξάρτησης (1/4) Μία στοχαστική ανέλιξη Χ t t T ονομάζεται ανέλιξη με ανεξάρτητες προσαυξήσεις αν: Αν οι τυχαίες μεταβλητές: είναι ανεξάρτητες για κάθε: τέτοιο ώστε: 12
Ταξινόμηση σύμφωνα με τις σχέσεις εξάρτησης (2/4) Επιπλέον, αν το σύνολο T περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο t 0 : Τότε θα πρέπει οι τυχαίες μεταβλητές: να είναι ανεξάρτητες. 13
Ταξινόμηση σύμφωνα με τις σχέσεις εξάρτησης (3/4) Μία στοχαστική ανέλιξη Χ t t T ονομάζεται αυστηρά στάσιμη αν: Οι συναρτήσεις κατανομών των συνόλων τυχαίων μεταβλητών: Είναι ίδιες για κάθε: Καθώς επίσης: 14
Ταξινόμηση σύμφωνα με τις σχέσεις εξάρτησης (4/4) Μία στοχαστική ανέλιξη Χ t t T ονομάζεται στάσιμη: 1. Αν έχει πεπερασμένες ροπές 2 ης τάξης. 2. Αν ισχύει: 15
Κατανομή μίας στοχαστικής ανέλιξης (1/2) Σε μία στοχαστική ανέλιξη. Για κάθε τιμή της παραμέτρου t: Η X είναι μία τυχαία μεταβλητή. Για την οποία λαμβάνεται η κατανομή με τον τρόπο που θα συνέβαινε με μία οποιασδήποτε τυχαία μεταβλητή. Είναι απαραίτητη η από κοινού κατανομή των βασικών τυχαίων μεταβλητών του συνόλου: Διότι το t μεταβάλλεται στον χώρο Τ. 16
Κατανομή μίας στοχαστικής ανέλιξης (2/2) Η συμπεριφορά της ανέλιξης μελετάται σε πεπερασμένα διακριτά σύνολα σημείων. Η παρακάτω σχέση ορίζει την από κοινού συνάρτηση κατανομής στα εν λόγω σημεία: Συνήθως, οι περισσότερες πληροφορίες σε μια ανέλιξη λαμβάνονται από τις συναρτήσεις κατανομής μετάβασης. 17
Χρονικά ομογενής στοχαστική ανέλιξη Μια στοχαστική ανέλιξη X t t T ονομάζεται χρονικά ομογενής αν ισχύει: Επιπρόσθετα, αν η κατανομή της ανέλιξης είναι πολύπλοκη: Οι πληροφορίες λαμβάνονται από ποσότητες όπως: Η συνάρτηση μέσης τιμής. Η συνάρτηση διασποράς. Η συνάρτηση συνδιασποράς. 18
Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές ανελίξεις, Δάρας Τρύφων Ι., Σύψας Παναγιώτης Θ., Εκδόσεις Ζήτη Πελαγία & Σια Ο.Ε. 2. Ουρές Αναμονής, Φακίνος Δημήτρης, Εκδόσεις Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε. 3. Πιθανότητες, τυχαίες μεταβλητές και στοχαστικές διαδικασίες, Παπούλης Αθανάσιος, Pillai S. Unnikrishna, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & ΥΙΟΙ Α.Ε. 19
Τέλος Ενότητας
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Αγγελική Σγώρα. «Συστήματα Αναμονής». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 21
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 22
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 23