ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΓΧΑΡΑΞΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΕ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΙΣΟΫΨΩΝ ΣΤΕΝΗΣ ΖΩΝΗΣ

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Κατεύθυνση Τεχνολογίας Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΞΥΔΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ Α.Μ.: ΜΜ 075 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΓΧΑΡΑΞΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΕ ΤΡΑΧΥΤΗΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΙΣΟΫΨΩΝ ΣΤΕΝΗΣ ΖΩΝΗΣ Αθήνα 2006

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδες Εισαγωγή... 7 I. Γενικά... 7 II. Παρουσίαση διεργασιών μικροηλεκτρονικής... 8 i. Εγχάραξη... 8 ii. Φωτολιθογραφία... 9 iii. Εναπόθεση... 10 III. Η ανάγκη προσομοίωσης της εξέλιξης τοπογραφίας εγχαρασσόμενων δομών - Σκοπός της παρούσης εργασίας... 11 IV. Βιβλιογραφική ανασκόπηση των μαθηματικών μεθόδων πρόβλεψης εξέλιξης συνόρου... 12 i. Μέθοδοι χορδής... 12 ii. Μέθοδος των χαρακτηριστικών... 12 iii. Μέθοδοι κελιών... 13 iv. Η μέθοδος ισοϋψών... 13 V. Παρουσίαση επόμενων κεφαλαίων... 14 ΜΕΡΟΣ Ι: Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης Κεφάλαιο 1: Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης I. Εισαγωγή... 19 II. Η μέθοδος των ισοϋψών... 20 i. Περιγραφή της μεθόδου... 20 ii. Επίλυση της εξίσωσης ισοϋψών... 23 ii-α) Αριθμητικά σχήματα ολοκλήρωσης στο χρόνο... 24 ii-β) Αριθμητικό σχήμα προσέγγισης της χαμιλτονιανής... 24 ii-γ) Αριθμητικά σχήματα προσέγγισης χωρικών παραγώγων... 25 iii. Ευστάθεια αριθμητικών σχημάτων... 28 III. Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης... 28 i. Περιγραφή της μεθόδου των Peng et al... 29 ii. Υλοποίηση της μεθόδου των Peng et al... 32 IV. Εφαρμογή και αξιολόγηση των μεθόδων επίλυσης της εξίσωσης ισοϋψών... 34 i. Υπολογιστική πολυπλοκότητα... 34 ii. Ακρίβεια μεθόδων... 37 ii-a) Πρόβλημα 1 ο : ισοτροπική εξέλιξη του συνόρου δύο κύκλων... 38 ii-β) Πρόβλημα 2 ο : εξέλιξη συνόρου με ασυνέχεια στην κλίση... 42

4 V. Συμπεράσματα... 45 Κεφάλαιο 2: Η μέθοδος αποκατάστασης της συνάρτησης ισοϋψών σε προσημασμένη απόσταση (Reinitialization Method) I. Εισαγωγή... 47 II. Η μέθοδος αποκατάστασης των Sussman, Smereka, Osher... 48 III. Η μέθοδος αποκατάστασης των Sussman και Fatemi... 50 i. Περιγραφή της μεθόδου... 50 ii. Υλοποίηση της μεθόδου των Sussman και Fatemi... 52 IV. Εφαρμογή και αξιολόγηση των μεθόδων αποκατάστασης... 54 i. Επίδραση του πλήθους των επαναλήψεων της μεθόδου αποκατάστασης στην ακρίβεια των αριθμητικών λύσεων... 55 ii. Επίδραση του σχήματος ολοκλήρωσης στο χρόνο της εξίσωσης αποκατάστασης στην ακρίβεια των αριθμητικών λύσεων... 59 iii. Επίδραση του σχήματος ολοκλήρωσης στο χώρο της εξίσωσης αποκατάστασης στην ακρίβεια των αριθμητικών λύσεων... 64 iv. Επίδραση του χρονικού βήματος διακριτοποίησης Δt της εξίσωσης ισοϋψών στην ακρίβεια των λύσεων... 69 v. Επίδραση του χωρικού βήματος διακριτοποίησης Δx του υπολογιστικού χωρίου στην ακρίβεια των λύσεων... 74 V. Συμπεράσματα... 74 ΜΕΡΟΣ ΙΙ: Εφαρμογές της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης Κεφάλαιο 3: Μελέτη εξέλιξης τραχύτητας κατά την εγχάραξη γραμμών I. Εισαγωγή... 79 II. Βοηθητικές έννοιες - Μαθηματικά εργαλεία... 80 i. Είδη τραχείων γραμμών... 81 ii. Η συνάρτηση συσχέτισης ύψους-ύψους... 83 iii. Παράμετροι τραχύτητας... 84 iv. Δυναμική εξέλιξη τραχύτητας... 88 III. Προσομοίωση της ισοτροπικής εγχάραξης περιοδικών και αυτοσυσχετιζόμενων γραμμών... 89 IV. Αποτελέσματα ισοτροπικής εγχάραξης περιοδικών γραμμών... 91

5 i. Ισοτροπική εγχάραξη αρμονικών γραμμών... 91 ii. Ισοτροπική εγχάραξη περιοδικών γραμμών με διαφορετικά πλάτη γειτονικών λόφων... 101 V. Αποτελέσματα ισοτροπικής εγχάραξης αυτοσυσχετιζόμενων γραμμών... 105 i. Ίδια α, rms, διαφορετικό ξ... 107 ii. Ίδια ξ, α διαφορετικό rms... 117 iii. Ίδια ξ, rms διαφορετικό α... 125 iv. Συμπεράσματα... 132 VI. Η σημασία της ασυμμετρίας στην ισοτροπική εγχάραξη αυτοσυσχετιζόμενων γραμμών... 133 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση εγχάραξης τραχείων επιφανειών I. Εισαγωγή... 141 II. Προσομοίωση της ισοτροπικής και ανισοτροπικής εγχάραξης τραχείας επιφάνειας143 III. Αποτελέσματα εγχάραξης τραχείας επιφάνειας... 144 Σύνοψη-Συμπεράσματα... 149 Παραρτήματα... 155 Παράρτημα Α: Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγορίθμου... 157 Παράρτημα Β: Υπολογισμός παρατηρούμενης τάξης ακρίβειας... 162 Παράρτημα Γ: Νόρμες απόκλισης για διανυσματικές συναρτήσεις... 164 Παράρτημα Δ: Αλγόριθμος παραγωγής γραμμών με προκαθορισμένες παραμέτρους τραχύτητας... 166 Παράρτημα Ε: Προεκβολή της ταχύτητας του συνόρου σε όλο το υπολογιστικό χωρίο... 168 Βιβλιογραφία Αναφορές... 173

6

Εισαγωγή I. Γενικά Η Μικροηλεκτρονική είναι ο κλάδος της τεχνολογίας που έχει ως αντικείμενο το σχεδιασμό και την κατασκευή ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (ΟΚ). Τα κυκλώματα αυτά σήμερα χρησιμοποιούνται όχι μόνο σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές αλλά και σε πολυάριθμες βιομηχανικές, οικιακές και προσωπικές συσκευές και η χρήση τους επεκτείνεται συνεχώς. Οι διαστάσεις των επιμέρους στοιχείων των κυκλωμάτων αυτών συνήθως κυμαίνονται από λίγα δέκατα του 1 μm έως και μερικά nm. Η ελάχιστη διάσταση που απαντάται σε ένα κύκλωμα ορισμένου τύπου χαρακτηρίζει τις λειτουργικές δυνατότητες του κυκλώματος όπως για παράδειγμα το μέγεθος της πληροφορίας που μπορεί να αποθηκεύσει ή να επεξεργασθεί και την ταχύτητά του. Το συντριπτικά μεγαλύτερο ποσοστό (πάνω από 80%) των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων που κατασκευάζονται σήμερα έχει ως βάση το πυρίτιο. Η διαδικασία κατασκευής τους ξεκινά από την κοπή δισκίων πυριτίου από κατάλληλα παρασκευασμένο κρύσταλλο πυριτίου και καταλήγει στη συσκευασία του ολοκληρωμένου κυκλώματος σε πλαστικό περίβλημα με μεταλλικούς ακροδέκτες. Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα κατασκευάζονται με «επίπεδη» τεχνολογία, δηλαδή με απόθεση διαδοχικών επιπέδων λεπτών στρωμάτων και σχηματοποίηση τους, δηλαδή αλλαγή της τοπογραφίας της επιφάνειάς τους. (α) (β) Σχήμα 1: (α) Εκατοντάδες ΟΚ τεχνολογίας CMOS 2 μm πάνω σε δισκίο Si διαμέτρου 10 cm. (β) Πακεταρισμένο ΟΚ. (Ινστιτούτο Μικροηλεκτρονικής του ΕΚΕΦΕ Δημόκριτος)

8 Εισαγωγή II. Παρουσίαση διεργασιών Μικροηλεκτρονικής Η τεχνολογία μεταφοράς σχήματος που χρησιμοποιείται στην κατασκευή δομών μικροηλεκτρονικής και μικρο-ηλεκτρο-μηχανικών συστημάτων βασίζεται στην α- πόθεση και σχηματοποίηση διαδοχικών επίπεδων στρωμάτων. Η τεχνολογία μεταφοράς σχήματος (patterning technology, [1]) συνίσταται από δύο διεργασίες: την εγχάραξη με υγρά χημικά ή με ηλεκτρικές εκκενώσεις πλάσματος και τη φωτολιθογραφία. i. Εγχάραξη Είναι η διεργασία της αφαίρεσης τμημάτων ενός στρώματος υλικού και της μεταφοράς του σχήματος της λιθογραφίας στο υποκείμενο του φωτοευαίσθητου υλικού (photoresist) υπόστρωμα. Η εγχάραξη υποστρωμάτων SiO 2 και Si μπορεί να γίνει είτε με υγρά χημικά αντιδραστήρια (π.χ. HF για το SiO 2, μίγμα ΗΝΟ 3 και HF για το Si, [3]) οπότε και καλείται υγρή εγχάραξη (wet chemical etching), είτε με αέρια αντιδραστήρια που δημιουργούνται με ηλεκτρικές εκκενώσεις αερίων (π.χ. CF 4, CHF 3, SF 6, Cl 2 ), οπότε και καλείται εγχάραξη με πλάσμα ή ξηρή εγχάραξη (plasma etching, dry etching). Το κύριο πλεονέκτημα της υγρής εγχάραξης έναντι της ξηρής είναι η υψηλή επιλεκτικότητα (selectivity, [2]). Η επιλεκτικότητα ενός εγχαράκτη (υγρού ή αέριου) αφορά την επιλεκτικότητα εγχάραξης υποστρώματος Α προς υπόστρωμα Β και ποσοτικά ορίζεται ως ο λόγος του ρυθμού εγχάραξης του υποστρώματος Α προς αυτόν του υποστρώματος Β. Το κύριο πλεονέκτημα της ξηρής εγχάραξης είναι η αυξημένη δυνατότητα για έλεγχο του σχήματος των εγχαρασσόμενων δομών. Η υγρή εγχάραξη γενικά δεν εμφανίζει κατεύθυνση προτίμησης, είναι ισοτροπική. Η ξηρή εγχάραξη εμφανίζει κατεύθυνση προτίμησης (αυτή των ιόντων), είναι ανισοτροπική. Η ξηρή εγχάραξη μπορεί να είναι πλήρως ανισοτροπική. Τότε είναι δυνατή η πιστή μεταφορά του σχήματος του υπερκείμενου προστατευτικού στρώματος. Τα τοιχώματα είναι κάθετα, καθώς η εγχάραξη δεν προχωρά κάτω από αυτό το προστατευτικό στρώμα όπως συμβαίνει με την υγρή. Η ανισοτροπία είναι συνήθως το ζητούμενο στις διεργασίες κατασκευής δομών.

Εισαγωγή 9 Σχήμα 2: Μέτωπο ισοτροπικής εγχάραξης δομής Si. Η εγχάραξη γίνεται με πλάσμα SF 6. Η λεπτή μάσκα είναι SiO 2 και δεν εγχαράσσεται από το SF 6. ii. Φωτολιθογραφία [3] Είναι το σύνολο των διεργασιών για την αποτύπωση γεωμετρικών σχημάτων ή ενός σχεδίου πάνω σε φωτοευαίσθητο υλικό (photoresist). Συνοπτικά, στα βασικά της σημεία η διαδικασία της φωτολιθογραφίας έχει ως εξής: ένα λεπτό στρώμα φωτοευαίσθητου πολυμερούς, που παίζει τον ρόλο ενός φωτογραφικού υλικού, αποτίθεται πάνω στο δισκίο πυριτίου. Το φωτοευαίσθητο πολυμερές φωτίζεται μέσα από μάσκα με διαφανείς και αδιαφανείς περιοχές, η οποία περιέχει το σχήμα που επιθυμείται να αποτυπωθεί στο δισκίο. Το φως που περνά από τις διαφανείς περιοχές προκαλεί χημικές αλλαγές στο φωτοευαίσθητο πολυμερές. Ακολουθεί το βήμα της θέρμανσης η οποία καταλύει τις χημικές αλλαγές. Το επόμενο στάδιο είναι η εμφάνιση (development) του πολυμερούς σε κατάλληλο διαλύτη, δηλαδή η διαδικασία που απομακρύνει είτε τις φωτισμένες περιοχές αφήνοντας άθικτες τις σκοτεινές (διεργασία θετικού τόνου, positive tone process) είτε τις σκοτεινές αφήνοντας άθικτες τις φωτισμένες (αρνητικού τόνου διεργασία, negative tone process). Οι χημικές αλλαγές του φωτοευαίσθητου πολυμερούς καθορίζουν το ρυθμό εμφάνισης. Με το τέλος της εμφάνισης στο πολυμερές έχει αποτυπωθεί το σχήμα της μάσκας ή το αρνητικό.

10 Εισαγωγή Σχήμα 3: Αποτύπωση σχήματος σε λεπτό στρώμα οξειδίου με φωτολιθογραφία και εγχάραξη. iii. Εναπόθεση Είναι η διεργασία δημιουργίας ενός στρώματος (φιλμ) πάνω στην επιφάνεια ενός υλικού. Τυπικό παράδειγμα στη μικροηλεκτρονική αποτελεί η εναπόθεση SiO 2 σε υπόστρωμα Si. Μπορεί να γίνει με χημική εναπόθεση από ατμό (chemical vapor deposition) χρησιμοποιώντας είτε TEOS ( Si(OC 2 H 5 ) 4 ), είτε σιλάνιο (SiH 4 ) και οξυγόνο(o 2 ) [3]. Σχήμα 4: Εναπόθεση σε αυλάκια

Εισαγωγή 11 III. Η ανάγκη προσομοίωσης της εξέλιξης τοπογραφίας εγχαρασσόμενων δομών Σκοπός της παρούσης εργασίας Σήμερα η τεχνολογία κατασκευής των κυκλωμάτων έχει προχωρήσει πάρα πολύ σε ό,τι αφορά τη σμίκρυνση των διαστάσεων αλλά και σε ό,τι αφορά την πολυπλοκότητα της αρχιτεκτονικής του ολοκληρωμένου κυκλώματος. Δεδομένης της τάσης προς ολοένα μικρότερες διαστάσεις δομών και διατάξεων, η σημασία της τραχύτητας στις επιφάνειες των κατασκευαζόμενων δομών μεγαλώνει. Σε μία δομή με χαρακτηριστική διάσταση 250 nm (π.χ. ένα αυλάκι με πλάτος 250 nm) πλευρική τραχύτητα 10 nm δεν είναι το ίδιο σημαντική όσο σε δομή με χαρακτηριστική διάσταση 50 nm. Επιπλέον, η μείωση της κλίμακας στις διαστάσεις των δομών δε μειώνει απαραίτητα την τραχύτητα. Έτσι, η επιστράτευση πλαισίου προσομοίωσης στην εξήγηση των μηχανισμών που δημιουργούν και μεταβάλλουν την τραχύτητα κατά τις διεργασίες κατασκευής ολοκληρωμένων κυκλωμάτων αποτελεί ελκυστικό και προσδοκώμενα προσοδοφόρο πεδίο έρευνας. Απώτερος στόχος είναι ο πλήρης έλεγχος της τραχύτητας στη νανοκλίμακα και ο σχεδιασμός διεργασιών που θα μειώνουν ή θα αυξάνουν την τραχύτητα ανάλογα με τις ανάγκες μας. Η προσομοίωση εγχάραξης σε νανο- και ατομική κλίμακα αποτελεί αντικείμενο έρευνας πολλών ομάδων στις μέρες μας και μπορεί να γίνει με μοντέλα μοριακής δυναμικής [4, 5, 6, 7], με τη μέθοδο Monte Carlo [8] ή ακόμη και με συνεχή μοντέλα [9, 10]. Ειδικότερα, ο υπολογισμός της τοπικής ροής στο εσωτερικό της δομής γίνεται είτε με τη μέθοδο Monte Carlo, είτε με «συνεχή» μοντέλα. Τα μοντέλα εγχάραξης επιφάνειας στην πλειοψηφία τους βασίζονται σε ισοζύγια θέσεων ρόφησης στην επιφάνεια και στο κλάσμα κάλυψης της επιφάνειας. Αφορούν διαφορετικά συστήματα πλάσματος υποστρώματος και εμφανίζουν διαφορετικό επίπεδο λεπτομέρειας. Οι αλγόριθμοι εξέλιξης τοπογραφίας που έχουν χρησιμοποιηθεί ( ΙV) είναι η μέθοδος χορδής (string algorithm, ΙV-i) και παραλλαγές της, η μέθοδος των χαρακτηριστικών (method of characteristics, ΙV-ii), η μέθοδος των ισοϋψών (level set method, ΙV-iv) και μέθοδοι κελιών (cell based methods, ΙViii). Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός γρήγορου και αξιόπιστου «εργαλείου», το οποίο να βασίζεται σε συνεχή μοντέλα, για τη μελέτη της εξέλιξης της τοπογραφίας δομών κατά την εγχάραξη και η εφαρμογή του στη μελέτη των μηχανισμών που προκαλούν και επηρεάζουν την τραχύτητα στη νανοκλίμακα. Πιο συγκεκριμένα, στην παρούσα εργασία υλοποιείται μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32]. Ο αλγόριθμος εφαρμόζεται στη μελέτη της εξέλιξης της τραχύτητας γραμμών και επιφανειών με αρχική τραχύτητα και συγκεκριμένες παραμέτρους τραχύτητας. Η επιλογή αυτή είναι δικαιολογημένη καθώς στην πράξη οι περισσότερες επιφάνειες οι οποίες εγχαράσσονται δεν είναι επίπεδες αλλά παρουσιάζουν κάποια τραχύτητα η οποία προέρχεται από διεργασίες (π.χ. απόθεση ή λι-

12 Εισαγωγή θογραφία) οι οποίες έχουν προηγηθεί της εγχάραξης. Φαίνεται ότι ο αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση των μηχανισμών που επηρεάζουν και μειώνουν την τραχύτητα εγχαρασσόμενων γραμμών, ενώ πρέπει να σημειωθεί και η ευελιξία του για εφαρμογή και σε άλλες διεργασίες, όπως η εναπόθεση και η εμφάνιση κατά τη λιθογραφία IV. Βιβλιογραφική ανασκόπηση των μαθηματικών τεχνικών πρόβλεψης εξέλιξης τοπογραφίας Το πρόβλημα εξέλιξης συνόρου είναι σύνηθες σε πολλές περιοχές. Σε προβλήματα ρευστομηχανικής, το κινούμενο σύνορο είναι η διεπιφάνεια μεταξύ δύο ρευστών, σε προβλήματα καύσης είναι το μέτωπο στη φλόγας. Σε προβλήματα εγχάραξης, το σύνορο είναι η εγχαρασσόμενη επιφάνεια. Παρακάτω ακολουθούν οι περισσότερο διαδεδομένοι μαθηματικοί αλγόριθμοι εξέλιξης συνόρου σε προβλήματα εγχάραξης. i. Μέθοδοι χορδής (string ή marker methods) Είναι μέθοδοι στις οποίες το κινούμενο σύνορο διακριτοποιείται και κάθε σημείο του μετακινείται κάθετα σε αυτό σύμφωνα την τοπική ταχύτητα του συνόρου και την εξίσωση κίνησης. Πρόκειται για μία απλή στην εφαρμογή της μέθοδο. Μια γεωμετρική παραλλαγή της μεθόδου ήταν αυτή που εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στα προβλήματα εξέλιξης τοπογραφίας κατά την εμφάνιση στη λιθογραφία, την απόθεση και την εγχάραξη στο τέλος της δεκαετίας του 1970 [11, 12, 13]. Η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε ευρέως και χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα [14, 15, 16]. Το μειονέκτημα των γεωμετρικών παραλλαγών της μεθόδου είναι ότι είναι καθαρά εμπειρικές. Γενικά, οι μέθοδοι χορδής μπορεί να εμφανίσουν προβλήματα αστάθειας [17]. Σε περιπτώσεις όπου στο σύνορο υπάρχουν (ή δημιουργούνται) γωνίες (ασυνέχειες κλίσης), είναι πιθανό να δημιουργηθούν βρόχοι στο σύνορο, για την απομάκρυνση των οποίων χρειάζονται πρόσθετες εμπειρικές τεχνικές. Ένα ακόμη ζήτημα που δύσκολα αντιμετωπίζονται από τις μεθόδους χορδής είναι η αποκοπή συνόρου ή η συγχώνευση συνόρων. Τα ζητήματα απομάκρυνσης βρόχων, συνένωσης και αποκοπής είναι περισσότερο πολύπλοκα σε τρεις διαστάσεις [17]. ii. Μέθοδος των χαρακτηριστικών (method of characteristics, shock tracking algorithms [18, 19]) Όταν η κάθετη στο σύνορο u(x,t) ταχύτητα, c, είναι τέτοια ώστε η διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων που περιγράφει την εξέλιξη του συνόρου,

Εισαγωγή 13 2 u t + c 1 + u x = 0, είναι πρώτης τάξης (π.χ. όταν η ταχύτητα σημείου του συνόρου εξαρτάται μόνο από το χρόνο, τη θέση του σημείου και την κλίση του συνόρου στο σημείο), τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση η μέθοδος των χαρακτηριστικών. iii. Μέθοδοι κελιών (cell-based methods, [20, 21, 22, 23]) Στα προβλήματα εγχάραξης απόθεσης στις δύο διαστάσεις το σύνορο απεικονίζεται από μία σειρά ευθύγραμμων τμημάτων που ορίζονται από κόμβους. Η μέθοδος σε κάθε χρονικό βήμα μετακινεί αυτούς τους κόμβους κατά τη διεύθυνση της διχοτόμου της γωνίας που σχηματίζεται από το προηγούμενο και το επόμενο του κόμβου ευθύγραμμα τμήματα. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται στην απεικόνιση των δομών με κελιά (ψηφίδες), κάθε ένα από τα οποία μπορεί να περιέχει περισσότερα από ένα υλικά. Τα όρια των κελιών χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της τοπογραφίας της δομής. Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να χειριστούν εύκολα συγχωνεύσεις συνόρων. Ωστόσο, ο υπολογισμός της κλίσης του συνόρου είναι περισσότερο πολύπλοκος από τις υπόλοιπες μεθόδους. Επίσης, οι μέθοδοι αυτές έχουν υψηλότερο υπολογιστικό κόστος σε χρόνο και μνήμη [24]. iv. Η μέθοδος ισοϋψών (level set method [25, 26]) Η μέθοδος βασίζεται στην έννοια της πεπλεγμένης συνάρτησης. Το σύνορο ορίζεται έμμεσα ως η ισοϋψής μηδέν πεπλεγμένης συνάρτησης, της λεγόμενης συνάρτησης ισοϋψών. Η εξέλιξη του συνόρου παρακολουθείται έμμεσα από την εξέλιξη αυτής της συνάρτησης. Η μέθοδος των ισοϋψών έχει χρησιμοποιηθεί για την εξέλιξη τοπογραφίας σε διεργασίες εγχάραξης από αρκετές ομάδες [27, 28, 29, 30]. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου ισοϋψών που οδήγησαν στην επιλογή υλοποίησής της ως αλγόριθμο εξέλιξης τοπογραφίας στο πλαίσιο προσομοίωσης συνοψίζονται στα παρακάτω [31]: α) Είναι ειδικά σχεδιασμένη να αντιμετωπίζει σύνορα τα οποία εξελίσσονται αναπτύσσοντας γωνίες χωρίς πρόσθετες εμπειρικές τεχνικές (π.χ. εξάλειψη βρόχων). β) Αντιμετωπίζει τοπολογικές συγχωνεύσεις και αποκοπές με φυσικό τρόπο και χωρίς εμπειρικούς κανόνες. γ) μπορεί να χειριστεί προβλήματα σε δύο ή τρεις διαστάσεις χωρίς διαφορές στα αριθμητικά σχήματα επίλυσης. Η μέθοδος των ισοϋψών συνιστά, όπως αναφέρθηκε, αλγόριθμο εξέλιξης συνόρου που βασίζεται στην πεπλεγμένη (implicit) απεικόνιση του συνόρου. Για την επίλυση των υπολογιστικών προβλημάτων που περικλείει χρησιμοποιούνται τεχνικές δανεισμένες από υπερβολικούς νόμους διατήρησης. Ωστόσο, παρά τα φανερά πλεονεκτήματά της έναντι των άλλων μεθόδων η μέ-

14 Εισαγωγή θοδος ισοϋψών παρουσιάζει μειονεκτήματα τα οποία έχουν να κάνουν με τις αυξημένες απαιτήσεις σε μνήμη και υπολογιστικό χρόνο κατά την υλοποίησή της. Τα ζητήματα αυτά γίνονται πιο σοβαρά καθώς οι διαστάσεις των υπό μελέτη τοπογραφιών αυξάνονται. Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης (Narrow Band Level Set Method, [32,33,34]), όμως, μπορεί να προσφέρει αντιμετώπιση ως προς τα τελευταία καθώς αποτελεί ειδική τεχνική με την οποία η επίλυση της εξίσωσης ισοϋψών περιορίζεται σε μια στενή ζώνη γύρω από το εξελισσόμενο σύνορο. V. Παρουσίαση επόμενων κεφαλαίων Στο Μέρος Ι («Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης», κεφάλαια 1 κ 2) της παρούσας εργασίας παρουσιάζεται ο κώδικας προσομοίωσης της εξέλιξης τοπογραφίας δομών. Στο Μέρος ΙΙ («Εφαρμογές της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης», κεφάλαια 3 κ 4) της εργασίας παρουσιάζονται οι εφαρμογές του κώδικα προσομοίωσης. Ακολουθούν τα συμπεράσματα της εργασίας και τα συμπληρωματικά παραρτήματα (Α-Ε). Ειδικότερα: Στο 1 ο κεφάλαιο εξηγείται η μέθοδος ισοϋψών και παρουσιάζεται η τεχνική επίλυσης αυτής σε μια στενή ζώνη γύρω από το εξελισσόμενο σύνορο (Narrow Band Level Set Method) όπως αυτή έχει προταθεί από τους Peng et al [32]. Εξετάζονται τα θέματα της πολυπλοκότητας ως προς τον απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο (time complexity, παράρτημα Α) και της ακρίβειας των αριθμητικών λύσεων στις περιπτώσεις που επιλύεται η εξίσωση ισοϋψών σε όλο το υπολογιστικό χωρίο και μόνο σε μία στενή ζώνη γύρω από το υπό μελέτη σύνορο. Στο 2 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά η μέθοδος αποκατάστασης της συνάρτησης ισοϋψών σε προσημασμένη απόσταση (Reinitialization method, [41,42,43]). Η μέθοδος αυτή είναι αναπόσπαστο τμήμα της προσέγγισης που προτείνουν οι Peng et al [32] για τη μέθοδο ισοϋψών στενής ζώνης και αποτελεί ξεχωριστό πρόβλημα που χρήζει ιδιαίτερης προσοχής. Παρουσιάζονται και μελετώνται συγκριτικά οι μέθοδοι αποκατάστασης των Sussman, Smereka, Osher [41] και των Sussman και Fatemi [42,43]. Μελετάται η εξάρτηση της ακρίβειας των αριθμητικών λύσεων της μεθόδου αποκατάστασης από: α) από το πλήθος των επαναλήψεων της μεθόδου αποκατάστασης, β) από το σχήμα ολοκλήρωσης στο χρόνο της εξίσωσης αποκατάστασης, γ) από το σχήμα ολοκλήρωσης στο χώρο της εξίσωσης αποκατάστασης, δ) από το χρονικό βήμα Δt της εξίσωσης ισοϋψών και ε) από το βήμα Δx διακριτοποίησης του υπολογιστικού χωρίου. Στο 3 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η εφαρμογή της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης στη μελέτη της εξέλιξης της τραχύτητας γραμμών. Η μελέτη πραγματοποιείται σε περιοδικές-λοφώδεις (mounded) γραμμές και αυτοσυσχετιζόμενες (self-affine)

Εισαγωγή 15 γραμμές. Ουσιαστικά πρόκειται για τη μελέτη της επίδρασης της ισοτροπικής εγχάραξης σε γραμμές με αρχική τραχύτητα και συγκεκριμένες παραμέτρους τραχύτητας. Σκοπός μας είναι να διαπιστώσουμε κατά πόσο ο αυτοσυσχετιζόμενος χαρακτήρας των γραμμών διατηρείται κατά την ισοτροπική εγχάραξη καθώς και να μελετήσουμε την εξέλιξη στο χρόνο της τριάδας παραμέτρων τραχύτητας (rms, ξ, α). Θέλουμε να διαπιστώσουμε εάν υπάρχουν νόμοι δύναμης (power laws) οι οποίοι καθορίζουν την εξέλιξή τους στο χρόνο και πώς αυτοί εξαρτώνται από τις αρχικές επιλογές για τα rms, ξ και α. Στο 4 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η εφαρμογή της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης στη μελέτη της εγχάραξης (τμήματος) τραχείας επιφάνειας η οποία έχει προκύψει κατά την εγχάραξη πυριτίου σε πλάσμα SF 6 για 5 min. Για τη μελέτη αυτή ο αλγόριθμος επίλυσης της εξίσωσης ισοϋψών στενής ζώνης μεταφέρθηκε στις τρεις διαστάσεις. Μελετάται η επίδραση του μηχανισμού εγχάραξης (ισοτροπικού, ανισοτροπικού) στην εξέλιξη του μέσου ύψους και της rms τραχύτητας της τραχείας ε- πιφάνειας. Στην εργασία αυτή όλοι οι αλγόριθμοι πραγματοποιήθηκαν στη γλώσσα προγραμματισμού C++.

16

17 ΜΕΡΟΣ Ι Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης

18

19 1. Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης (Narrow Band Level Set Method) I. Εισαγωγή Η μέθοδος των ισοϋψών είναι μια από τις πιο διαδεδομένες αριθμητικές μεθόδους μελέτης εξέλιξης τοπογραφίας και τα πλεονεκτήματα αυτής που έχουν οδηγήσει στην επιλογή της συνοψίζονται στα εξής: α) είναι ειδικά σχεδιασμένη να α- ντιμετωπίζει σύνορα τα οποία εξελίσσονται αναπτύσσοντας γωνίες χωρίς πρόσθετες εμπειρικές τεχνικές (π.χ. εξάλειψης βρόχων), β) αντιμετωπίζει τοπολογικές συγχωνεύσεις και αποκοπές με φυσικό τρόπο και χωρίς εμπειρικούς κανόνες και γ) μπορεί να χειρισθεί προβλήματα σε δύο ή τρεις διαστάσεις χωρίς διαφορές στα α- ριθμητικά σχήματα επίλυσης. Ένα, όμως, από τα σημαντικότερα μειονεκτήματά της είναι ότι κάθε φορά μελετούμε το εξελισσόμενο σύνορο μέσω μιας πεπλεγμένης συνάρτησης μεγαλύτερης κατά ένα διάστασης (από αυτής του συνόρου) με φανερές τις συνέπειες σε μνήμη και υπολογιστικό χρόνο. Ο αλγόριθμος επίλυσης της κεντρικής εξίσωσης της μεθόδου, της λεγόμενης εξίσωσης ισοϋψών, είναι πολυπλοκότητας Ο(Κ), όπου Κ το πλήθος των κόμβων του υπολογιστικού χωρίου [32]. Για τη μείωση της πολυπλοκότητας και άρα του υπολογιστικού χρόνου πρώτοι οι Adalsteinsson και Sethian [33], βασιζόμενοι σε μια εργασία του Chopp [34], και στη συνέχεια οι Peng, Merriman, Osher, Zhao και Kang [32] πρότειναν η επίλυση της εξίσωσης των ισοϋψών να γίνεται μόνο σε μια μικρή περιοχή γύρω από το σύνορο, αφού άλλωστε μόνο η θέση αυτού μας ενδιαφέρει, μειώνοντας σημαντικά το υπολογιστικό κόστος. Στην εργασία μας ακολουθούμε την προσέγγιση των Peng et al [32] και τα βασικά βήματα αυτής θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε παρακάτω στο κεφάλαιο αυτό, αφού προηγουμένως κάνουμε μια μικρή αναφορά στη μέθοδο των ισοϋψών. Η πολυπλοκότητα της μεθόδου αυτής είναι Ο(Κ log(κ)), με Κ το πλήθος των κόμβων του υπολογιστικού χωρίου προσφέροντας σημαντική μείωση του απαιτούμενου υπολογιστικού χρόνου, όπως θα δείξουμε παρακάτω.

20 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης II. Η μέθοδος των ισοϋψών i. Περιγραφή της μεθόδου Η μέθοδος των ισοϋψών αποτελεί μέθοδο πρόβλεψης εξέλιξης συνόρων και βασίζεται στην έννοια της πεπλεγμένης (implicit) απεικόνισης αυτών. Για την επίλυση των υπολογιστικών προβλημάτων που περικλείει χρησιμοποιούνται τεχνικές δανεισμένες από τους υπερβολικούς νόμους διατήρησης. Για τη μελέτη της εξέλιξης της θέσης του κινούμενου συνόρου Γ με τη μέθοδο των ισοϋψών ορίζουμε μια συνάρτηση φ( x,t) για κάθε x R n για την οποία σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει: Γ(t)={ x R n φ=0 }. Η συνάρτηση φ καλείται συνάρτηση ισοϋψών και είναι η πεπλεγμένη απεικόνιση του συνόρου Γ. Η επιλογή της πεπλεγμένης συνάρτησης δεν είναι μοναδική, αλλά επιλέγεται να είναι λεία, συνεχής κατά Lipschitz και να αλλάζει πρόσημο στο σύνορο έτσι ώστε: < 0, φ(x, t) = 0, > 0, - στο Ω στο σύνορο + στο Ω Γ(t) (1.1) όπου Ω - και Ω + οι δύο περιοχές που ορίζει το σύνορο στο υπολογιστικό χωρίο Ω: Ω - είναι η περιοχή που περικλείεται από το σύνορο και Ω + η περιοχή στο εξωτερικό αυτού. Ω + φ>0 εκτός Ω - φ<0 εντός σύνορο Γ Ω - φ<0 εντός Ω + φ>0 εκτός (α) Σχήμα 1.1: α) Άμεση απεικόνιση του συνόρου δύο κύκλων μέσω των καμπυλών: (x-0.7) 2 +(y- 0.5) 2 =0.2 2 και (x-1.4) 2 +(y-1.5) 2 =0.3 2 (σύνορο Γ). β) Πεπλεγμένη απεικόνιση του συνόρου Γ με τη συνάρτηση φ(x,y) = min((x-0.7) 2 +(y-0.5) 2-0.2 2, (x-1.4) 2 +(y-1.5) 2-0.3 2 ). Το σύνορο Γ είναι η ισοϋψής 0 της πεπλεγμένης συνάρτησης φ.

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 21 Με τη θεώρηση αυτή το κινούμενο σύνορο ορίζεται ως η ισοϋψής μηδέν μιας πεπλεγμένης συνάρτησης και η εξέλιξή του παρακολουθείται έμμεσα μέσω της εξέλιξης της συνάρτησης φ. Για να προσδιορίσουμε την εξίσωση η οποία θα μας δίνει έμμεσα την εξέλιξη του συνόρου σκεφτόμαστε ως εξής: έστω ένα σημείο x που ανήκει στο σύνορο Γ. Καθώς το σύνορο εξελίσσεται θα αλλάζει και η θέση του σημείου και έστω ότι η τροχιά του είναι x (t). Αφού το σημείο ανήκει στο σύνορο εξ ορισμού θα ισχύει: φ( x (t),t)=0. Παραγωγίζοντας την τελευταία ισότητα ως προς το χρόνο παίρνουμε: φ(x(t), t) = 0 t φ x x t + φ t = 0 φ t + u φ = 0 (1.2) x όπου u = η ταχύτητα του σημείου x. t Αν, επιπλέον, αναλύσουμε την ταχύτητα u σε δύο συνιστώσες: μια κάθετη στις ισοϋψείς και μια εφαπτομενική σε αυτές, δηλαδή: u = F nˆ + Tŝ όπου nˆ και ŝ το κάθετο και το εφαπτομενικό μοναδιαίο διάνυσμα στις ισοϋψείς, τότε η εξίσωση ι- σοϋψών γίνεται: φ t + F φ = 0 (1.3) Από τη σχέση (1.3) διαπιστώνουμε ότι η εφαπτομενική συνιστώσα T ŝ της ταχύτητας δεν συμμετέχει στους υπολογισμούς. Η ταχύτητα F είναι δυνατό να εξαρτάται από τοπικές και ολικές ιδιότητες του συνόρου αλλά και από παραμέτρους ανεξάρτητες αυτού. Τοπικές παράμετροι είναι ουσιαστικά οι τοπικές γεωμετρικές ιδιότητες του συνόρου όπως το κάθετο διάνυσμα και η καμπυλότητα. Ολικές παράμετροι του συνόρου είναι αυτές που εξαρτώνται από το σχήμα και τη θέση του συνόρου. Ανεξάρτητες παράμετροι είναι αυτές που δεν είναι ούτε τοπικές, ούτε ολικές. Η ταχύτητα F εκφράζει το φυσικό πρόβλημα εξέλιξης συνόρου που εξετάζεται. Για παράδειγμα, στα προβλήματα εξέλιξης τοπογραφίας κατά την εγχάραξη συνδέεται με την ταχύτητα εγχάραξης. Ωστόσο, η F στην σχέση (1.3) δεν ταυτίζεται με την ταχύτητα μετατόπισης του συνόρου F mb αφού αυτή ορίζεται μόνο πάνω στο σύνορο Γ(t) (ισοϋψής μηδέν της συνάρτησης ισοϋψών), ενώ η ταχύτητα F χρειάζεται να ορισθεί σε όλο το υπολογιστικό χωρίο. Γενικά, για τον προσδιορισμό της ταχύτητας F της σχέσης (1.3) γνωρίζοντας μόνο την ταχύτητα F mb του συνόρου είναι απαραίτητη η εφαρμογή μεθόδων προεκβολής ταχυτήτων σε όλο το υπολογιστικό χωρίο [28,35]. Στα αριθμητικά προβλήματα που αντιμετωπίζονται στην παρούσα εργασία, όμως, η ταχύτητα F

22 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης θεωρείται γνωστή σε όλο το υπολογιστικό χωρίο (βλ. παράρτημα Ε). Το πρόβλημα, λοιπόν, της εξέλιξης συνόρου ανάγεται σε πρόβλημα αρχικών τιμών. Προκειμένου να βρούμε τη θέση του συνόρου στον χρόνο αρκεί να επιλύσουμε την εξίσωση (1.2) ή (1.3), δηλαδή να βρούμε τη συνάρτηση φ(x,t), και να υπολογίσουμε τις ισοϋψείς με τιμή μηδέν αυτής σε κάθε χρονική στιγμή. Στα σχήματα (1.2.α) - (1.2.γ) φαίνεται η συνάρτηση ισοϋψών για το πρόβλημα της εξέλιξης του συνόρου δύο κύκλων σε τρεις χρονικές στιγμές. Στο σχήμα (1.2.δ) φαίνονται οι ισοϋψείς μηδέν της συνάρτησης ισοϋψών τις τρεις αυτές χρονικές στιγμές. Σχήμα 1.2: Η εξέλιξη του συνόρου Γ προκύπτει από την εξέλιξη της ισοϋψούς μηδέν της συνάρτησης ισοϋψών φ α) φ(x,y,t=0), β) φ(x,y,t=0.2), γ) φ(x,y,t=0.4) και δ) Οι ισοϋψείς μηδέν των φ(x,y,t=0), φ(x,y,t=0.2) και φ(x,y,t=0.4). Ακόμη, αριθμητικοί υπολογισμοί αποδεικνύουν ότι χρειάζεται προσοχή στην επιλογή της πεπλεγμένης συνάρτησης φ. Για λόγους αριθμητικής ακρίβειας είναι επι-

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 23 θυμητό για την πεπλεγμένη συνάρτηση να ισχύει: 0<c φ C όπου c, C κάποιες σταθερές, πλην μερικών μεμονωμένων σημείων του υπολογιστικού χωρίου Ω. Η καλύτερη επιλογή από αυτή την οικογένεια συναρτήσεων είναι η προσημασμένη απόσταση [26,32]: φ =1. ii. Επίλυση της εξίσωσης ισοϋψών Η εξίσωση ισοϋψών: φ t + F φ = 0 (1.4) φ(x, t = 0) = q(x), x Ω όπου F η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας στις ισοϋψείς και q(x) η αρχική συνθήκη ανήκει στη γενική κατηγορία εξισώσεων Hamilton Jαcobi: ut + H(x, t,u,u x,uy,uz) = 0 u (x, t = 0) = q(x), x Ω (1.5) Η συνάρτηση Η ονομάζεται χαμιλτονιανή του προβλήματος, εξαρτάται το πολύ από τις πρώτες παραγώγους της φ και για την εξίσωση ισοϋψών είναι η: H = F φ. Όταν η χαμιλτονιανή εξαρτάται και από τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης ισοϋψών τότε η εξίσωση είναι παραβολική και δεν ανήκει στη γενική κατηγορία των εξισώσεων Hamilton-Jacobi. Οι Osher και Sethian στην εργασία τους [36] χρησιμοποίησαν την αντιστοιχία μεταξύ των νόμων διατήρησης και των εξισώσεων Hamilton Jαcobi για την κατασκευή κατάλληλων αριθμητικών σχημάτων. Έδειξαν ότι η λύση που προκύπτει από αυτά τα αριθμητικά σχήματα ταυτίζεται με την «ιξώδη» λύση, η οποία προκύπτει από την επιβολή της συνθήκης εντροπίας στους νόμους διατήρησης. Για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (1.4) αρχικά γίνεται διακριτοποίηση στο χώρο και προκύπτει ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων ως προς το χρόνο το οποίο επιλύεται με κατάλληλο αριθμητικό σχήμα. Πιο συγκεκρι- Γενικά οι εξισώσεις Hamilton Jαcobi δεν δέχονται κλασσική λύση, δηλαδή λύση που τις ικανοποιεί σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους. Επιδέχονται, όμως, «ασθενείς» λύσεις, δηλαδή λύσεις που τις ικανοποιούν σχεδόν σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους. Η «ιξώδης» λύση είναι η ορθή ασθενής λύση των εξισώσεων Hamilton Jαcobi η οποία προκύπτει με τη μέθοδο εξάλειψης ιξώδους όρου.

24 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης μένα, για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (1.4) τα αριθμητικά σχήματα που απαιτούνται είναι: α) το σχήμα ολοκλήρωσης στο χρόνο για την επίλυση του συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων, β) το σχήμα προσέγγισης της χαμιλτονιανής H = F φ το οποίο θα ενσωματώνει τη συνθήκη εντροπίας για την επιλογή της ορθής ασθενούς λύσης και γ) το σχήμα προσέγγισης των χωρικών παραγώγων. Παρακάτω παραθέτουμε μόνο τα αριθμητικά σχήματα επίλυσης της εξίσωσης ι- σοϋψών που χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία. Τα σχήματα που ακολουθούν έχουν γραφεί έτσι ώστε να είναι δυνατή η επίλυση της εξίσωσης ισοϋψών και στις τρεις διαστάσεις. ii-α) Αριθμητικά σχήματα ολοκλήρωσης στο χρόνο Στην παρούσα εργασία δοκιμάζουμε το σχήμα Euler 1 ης τάξης ακρίβειας και το σχήμα TVD Runge-Kutta 2 ης τάξης για την ολοκλήρωση στο χρόνο. α) Το σχήμα Euler 1 ης τάξης είναι: n+ 1 u i, j,k n = u i, j,k Δt ( F u ) n i, j, k (1.6) β) Το σχήμα TVD Runge-Kutta 2 ης τάξης [26] υλοποιείται ως εξής: (1) u i, j,k ( F u ) n i, j, k n = u Δt (1.7) i, j,k (2) u i,j,k (1) ( F u ) (1) = u Δt (1.8) i,j,k i,j,k n+ 1 1 n 1 (2) u = u + u i,j,k 2 i,j,k 2 i,j,k (1.9) ii-β) Αριθμητικό σχήμα προσέγγισης της χαμιλτονιανής Το σχήμα προσέγγισης της χαμιλτονιανής ενσωματώνει τη συνθήκη εντροπίας για την επιλογή της ορθής ασθενούς λύσης του προβλήματος (1.4). Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται το σχήμα των Osher και Sethian [36] το οποίο αποτελεί σχήμα προσέγγισης κατά τη διεύθυνση διάδοσης της πληροφορίας (upwind scheme): όπου + ( F u ) = max ( F,0) + min ( F,0) H = i, j,k i, j,k i, j,k i, j,k i, j, k (1.10)

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 25 και + i, j,k i, j,k = = max max max max max max - 2 + [ ( u x ),0 ] + min [ ( ux ),0 ] i, j,k 2 ( uȳ ),0 min + + ( uy ),0 i, j,k i, j,k - 2 + [( u z ),0 ] + min [( uz ),0 ] i, j,k i, j,k i, j,k + 2 [ ( ux ),0 ] + min [ ( ux ),0 ] i, j,k 2 + ( uy ),0 min + ( uy ),0 i, j,k i, j,k + 2 [( uz ),0 ] + min [( uz ),0 ] i, j,k i, j,k i, j,k 2 + 2 + 1 / 2 2 2 + 2 + 1 / 2 2 (1.11) (1.12) Οι μερικές παράγωγοι u x ±, u y ± και u z ± ορίζονται στην ΙΙ ii-γ. ii-γ) Αριθμητικά σχήματα προσέγγισης χωρικών παραγώγων Τα αριθμητικά σχήματα προσέγγισης των χωρικών παραγώγων που χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία είναι σχήματα Essentially Non Oscillatory (ENO) και Weighed (WENO) υψηλότερης τάξης. Τόσο τα σχήματα ΕΝΟ, όσο και τα WENO βασίζονται σε προσεγγίσεις της άγνωστης συνάρτησης με πολυώνυμα παρεμβολής Newton με διηρημένες διαφορές [37]. Το πλήθος των σημείων του πλέγματος που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση καθορίζει το βαθμό του πολυωνύμου Newton. Επιλέγοντας διαφορετικό σύνολο σημείων για την κατασκευή του πολυωνύμου παρεμβολής προκύπτουν διαφορετικές πιθανές προσεγγίσεις της χωρικής παραγώγου. Τα ΕΝΟ σχήματα επιλέγουν την προσέγγιση με τη μικρότερη μεταβολή, ενώ τα WENO σχήματα κατασκευάζουν ένα γραμμικό συνδυασμό των πιθανών προσεγγίσεων με βάρη. Σε κάθε προσέγγιση αποδίδεται συντελεστής βάρους: προσέγγιση με μικρή μεταβολή έχει υψηλό συντελεστή βάρους. Ο λόγος για τον οποίο προτείνονται σχήματα ENO και WENO είναι α) η υψηλότερη ακρίβεια, και κυρίως β) η αποφυγή πλαστών διακυμάνσεων της λύσης κοντά σε ασυνέχειες της κλίσης. Αυτές οι διακυμάνσεις κοντά στις ασυνέχειες κλίσης αντιστοιχούν [38], στο φαινόμενο Gibbs των φασματικών μεθόδων (spectral methods). Τα σχήματα WENO α) ανάγονται σε σχήματα ENO κοντά στις ασυνέχειες κλίσης και β) είναι υψηλότερης τάξης ακρίβειας από τα ENO σε περιοχές μακριά από τις ασυνέχειες χρησιμοποιώντας το ίδιο πλήθος σημείων του πλέγματος. Επίσης, με τα σχήματα WENO αποφεύγονται λογικές πράξεις για την επιλογή της κατάλληλης ομαλής προσέγγισης, με αποτέλεσμα σχήματα WENO να είναι τουλάχιστο δύο φορές ταχύτερα από τα σχήματα ENO [39].

26 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης α) Το σχήμα ΕΝΟ 2 ης τάξης όπως έχει προταθεί από τους Osher και Sethian [36] είναι το εξής: - x Δx x x x + x ( u x ) D u + m ( D D u, D D u ) i, j,k = i, j,k i, j,k i, j, k (1.13) 2 + + x Δx + x + x + x x ( u ) D u m ( D D u, D D u ) x i, j,k = i, j,k i, j,k i, j, k (1.14) 2 y Δy y -y y + y ( uy ) D ui, j,k + m ( D D ui, j,k, D D ui, j, k ) = (1.15) i, j,k 2 + + y Δy + y + y + y y ( u ) D u m ( D D u, D D u ) y = i, j,k i, j,k i, j,k i, j, k (1.16) 2 z Δz z -z z + z ( uz ) D ui, j,k + m ( D D ui, j,k, D D ui, j, k ) i, j,k = (1.17) 2 όπου + + z Δz + z + z + z z ( u ) D u m ( D D u, D D u ) z i, j,k = i, j,k i, j,k i, j, k (1.18) 2 a αν α b, a b 0 m ( a, b) = b αν α > b (1.19) 0, a b < 0 Τα σχήματα ENO ουσιαστικά εισάγουν αριθμητική διάχυση κοντά στις ασυνέχειες κλίσης και η σημασία της συνάρτησης m(a,b) είναι [39] να εξαλείψει αυτή την α- ριθμητική διάχυση και να κάνει πιο απότομες τις μεταβολές της άγνωστης συνάρτησης. Οι διαφορές 1 ης τάξης D -x, D +x, D -y, D +y, D -z και D +z ορίζονται στην ΙΙ ii-γ β. β) Το σχήμα WENO 3 ης τάξης των Jiang & Peng [40] υλοποιείται ως εξής: - 1 + x + x wx- + x + x + x ( u x ) = ( D u + D u ) ( D u - 2 D u + D u ) i, j,k 2 i 1, j,k i, j,k 2 i-2, j,k i-1, j,k i, j, k (1.20) 1 w + y + y y- + y + y + y ( uȳ ) = ( D ui, j 1,k + D ui, j,k ) ( D ui, j-2,k - 2 D ui, j-1,k + D ui, j, k ) i, j,k 2 2 (1.21) - 1 + z + z wz- + z + z + z ( u z ) = ( D ui, j,k 1 + D ui, j,k ) ( D ui, j,k-2-2 D ui, j,k-1 + D ui, j, k ) i, j,k 2 2

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 27 (1.22) + 1 + x + x wx + + x + x + x ( u ) = ( D u + D u ) ( D u - 2 D u + D u ) x i, j,k 2 i 1, j,k i, j,k 2 i+ 1, j,k i, j,k i 1, j, k (1.23) w + 1 + y + y y + + y + y + y ( u ) = ( D u + D u ) ( D u - 2 D u + D u ) y i, j,k 2 i, j 1,k i, j,k 2 i, j+ 1,k i, j,k i, j 1, k (1.24) + 1 + z + z wz + + z + z + z ( ) = ( D u + D u ) ( D u - 2 D u + D u ) uz i, j,k i, j,k 1 i, j,k i, j,k + 1 i, j,k i, j,k 1 2 2 (1.25) όπου 1 1 1 1 w x =, w 2 y =, w 2 + x =, w 2 + y = 2 1 + 2r x 1 + 2r y 1 + 2r+ x 1 + 2r+ y 1 1 w z =, w 2 z = (1.26) 2 1 + 2 r z 1 + 2 r z με x + x 2 x + x 2 e + (D D ui 1, j,k ) e + (D D ui+ 1, j,k ) r x =, r x x 2 + x = (1.27) + x + x 2 e + (D D ui, j,k ) e + (D D ui, j,k ) r y y + y 2 y + y 2 e + (D D ui, j 1,k ) e + (D D ui, j+ 1,k ) =, r y y 2 + y = (1.28) + y + y 2 e + (D D ui, j,k ) e + (D D ui, j,k ) r z z + z 2 z + z 2 e + (D D ui, j,k 1) e + (D D ui, j,k + 1) =, r z z 2 + y = (1.29) + z + z 2 e + (D D ui, j,k ) e + (D D ui, j,k ) Ο όρος e=10-6 εισάγεται στις εξισώσεις για την αποφυγή διαίρεσης με το μηδέν. Στις σχέσεις (1.13) - (1.29) όπου χρησιμοποιήσαμε τους συμβολισμούς D -x, D +x, D -y, D +y, D -z και D +z εννοούμε τις διαφορές 1 ης τάξης: x D uijk ui, j,k = ui 1, j,k Δx + x, D uijk = ui+ 1, j,k ui, j,k Δx y D uijk = ui, j,k ui, j 1,k Δy + y, D uijk ui, j+ 1,k ui, j,k = Δy (1.30) z D uijk ui,j,k = ui, j,k 1 Δz, D + z uijk ui, j,k + 1 ui, j,k = Δz

28 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης iii. Ευστάθεια αριθμητικών σχημάτων Τέλος, η συνθήκη που θα πρέπει να ικανοποιείται ώστε τα σχήματά μας να είναι ευσταθή είναι η (συνθήκη Courant Friedrichs Lewy CFL) [26]: Δx Δ t < (1.31) max{ u } Η φυσική σημασία της συνθήκης (1.31) είναι ότι η ταχύτητα διάδοσης της αριθμητικής λύσης Δx/Δt θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ίση ή μεγαλύτερη από τη φυσική ταχύτητα u. Στην πράξη για τη σωστή επιλογή των διαμερίσεων Δx, Δt στο χώρο και το χρόνο αντίστοιχα χρησιμοποιούμε τη σχέση [26]: max{ u } Δ t = α Δx (1.32) όπου 0<α<1 με συνηθέστερη επιλογή την α=0.5. Σε περισσότερες από 1 διαστάσεις η συνθήκη CFL διαμορφώνεται ως εξής [26]: u v w Δ t max + + = α (1.33) Δx Δy Δz όπου u, v, w οι συνιστώσες της ταχύτητας στη x, y και z διεύθυνση αντίστοιχα, με α=0.25 (συνήθως). III. Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης (Narrow Band Level Set Method) Στο σημείο αυτό της εργασίας μας θα περιγράψουμε στη μέθοδο ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32]. Με τη μέθοδο αυτή η επίλυση της εξίσωσης των ισοϋψών γίνεται μόνο σε μια μικρή περιοχή γύρω από το εξελισσόμενο σύνορο μειώνοντας σημαντικά τον απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο. Η πολυπλοκότητα της μεθόδου αυτής είναι Ο(Κlog(Κ)), με Κ το πλήθος των κόμβων του υπολογιστικού χωρίου. Σημαντικό πλεονέκτημα αυτής είναι ότι για την υλοποίησή της δεν είναι απαραίτητη η εύρεση της ισοϋψούς μηδέν καθώς όλη η απαιτούμενη πληροφορία εξάγεται από τη συνάρτηση ισοϋψών. Στην παράγραφο ΙΙΙ-i που ακολουθεί θα εξηγήσουμε τα βασικά βήματα της μεθόδου, όπως αυτή περιγράφεται στην εργασία των Peng et al [32], ενώ στην ΙΙΙii θα παραθέσουμε αναλυτικά τον τρόπο με τον οποίο εμείς υλοποιήσαμε τη μέθοδο αυτή.

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 29 i. Περιγραφή της μεθόδου των Peng et al [32] Αν θέλαμε να περιγράψουμε συνοπτικά τα βήματα της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32] θα γράφαμε ότι: ξεκινώντας από το σύνορο Γ 0 τη χρονική στιγμή t=0 ορίζουμε μια στενή ζώνη Τ 0 γύρω από αυτό και επιλύουμε την εξίσωση ισοϋψών μόνο σε αυτή. Προσδιορίζουμε το νέο σύνορο Γ 1 και αποκαθιστούμε τη λύση της εξίσωσης ισοϋψών σε προσημασμένη απόσταση από το σύνορο Γ 1. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη νέα στενή ζώνη Τ 1 γύρω από το σύνορο Γ 1, λύνουμε τη εξίσωση ισοϋψών μόνο σε αυτή κ.ο.κ.. Η αναλυτική περιγραφή των βημάτων της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32] ακολουθεί παρακάτω. Για απλότητα θα περιγράψουμε τη μέθοδο στη μία διάσταση καθώς πολύ εύκολα επεκτείνεται και σε περισσότερες διαστάσεις. Για την υλοποίηση της μεθόδου ξεκινάμε από το σύνορο Γ 0 τη χρονική στιγμή t=0 και προσδιορίζουμε την προσημασμένη απόσταση φ 0 από αυτό σε όλο το υπολογιστικό χωρίο Ω. Στη συνέχεια θεωρούμε δύο σταθερές β και γ τέτοιες ώστε 0<β<γ, συγκρίσιμες με τη διαμέριση Δx του υπολογιστικού χωρίου και των οποίων οι ακριβείς τιμές εξαρτώνται από το σχήμα διακριτοποίησης στο χώρο, και ορίζουμε μια περιοχή Τ 0 του υπολογιστικού χωρίου εύρους γ τέτοια ώστε: T 0 0 = {x : φ (x) < γ} (1.34) Στη συνέχεια λύνουμε τη διαφοροποιημένη εξίσωση ισοϋψών: φ t + c(φ) F φ = 0 (1.35) με αρχική συνθήκη τη φ 0 μόνο στα σημεία που ανήκουν στην περιοχή Τ 0 και ~1 προσδιορίζουμε την φ (x). Στο σημείο αυτό σημειώνουμε ότι παρόλο που η αρχική συνθήκη φ 0 είχε επιλεχθεί έτσι ώστε να είναι προσημασμένη απόσταση ως προς το σύνορο Γ 0 ~1 αυτό δεν σημαίνει ότι και η λύση φ (x) της (1.35) θα διατηρεί και αυτή την ιδιότητα αυτή [32,36]. (Το τελευταίο μπορεί να οφείλεται και στη μέθοδο προεκβολής ταχυτήτων που εφαρμόζεται.) Η συνάρτηση c(φ) ονομάζεται συνάρτηση «αποκοπής» (cut-off function) και ορίζεται από τη σχέση: 1, αν φ β 2 ( φ γ) (2 φ + γ 3β) c (φ) =, αν β < φ γ (1.36) 3 (γ β) 0, αν φ > γ Επιλέγουμε β=2 Δx και γ=4 Δx όταν χρησιμοποιούμε σχήμα ΕΝΟ 2 ης τάξης για τη διακριτοποίηση στο χώρο και β=3 Δx και γ=6 Δx όταν χρησιμοποιούμε σχήμα WΕΝΟ 3 ης τάξης.

30 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης Από τη μορφή της συνάρτησης αποκοπής c(φ) διαπιστώνουμε ότι η εξίσωση ισοϋψών (1.4) επιλύεται μόνο στην περιοχή για την οποία φ 0 (x) β, ενώ στην περιοχή για την οποία {x: β< φ 0 (x) γ} η c(φ) εξομαλύνει τις αστάθειες στην α- ριθμητική λύση οι οποίες εμφανίζονται στα όρια της περιοχής Τ 0. Αντίστοιχα, στην περιοχή για την οποία φ 0 (x) > γ η συνάρτηση ισοϋψών παραμένει σταθερή. Πλέον, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη νέα θέση του συνόρου Γ 1 από την ισοϋψή μηδέν της συνάρτησης φ (x) ~1 : Γ 1 ~1 ={x: φ (x) = 0} (1.37) Για να συνεχίσουμε με την εξέλιξη του συνόρου χρειαζόμαστε την περιοχή Τ 1. Η νέα στενή ζώνη γύρω από το σύνορο Γ 1 κατασκευάζεται σύμφωνα με τη σχέση: Τ 1 ={x: d 1 (x) <γ} (1.38) όπου d 1 η προσημασμένη απόσταση ως προς το σύνορο Γ 1. Η περιοχή Τ 1 (η στενή ζώνη γύρω από την ισοϋψή μηδέν τη χρονική στιγμή t=1) θα είναι μετατοπισμένη ως προς την περιοχή Τ 0 (η στενή ζώνη γύρω από την ισοϋψή μηδέν τη χρονική στιγμή t=0) όσο ακριβώς έχει μετατοπισθεί το σύνορο Γ 1 από το αρχικό σύνορο Γ 0. ~1 Ουσιαστικά το ζητούμενό μας είναι από τη συνάρτηση ισοϋψών φ (x) να προσδιορίσουμε την προσημασμένη απόσταση από το σύνορο Γ 1 σε μια περιοχή εύρους ~1 γ από αυτό. Προκειμένου από τη φ (x) να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση φ 1 (x) έτσι ώστε φ 1 (x)=d 1 (x), για d 1 (x) <γ είναι απαραίτητη η μέθοδος αποκατάστασης της συνάρτησης ισοϋψών σε προσημασμένη απόσταση («reinitialization method»). H μέθοδος αποκατάστασης αποτελεί σημαντικό και αναπόσπαστο τμήμα της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32] και θα περιγραφεί αναλυτικά στο κεφάλαιο 2. Συνοπτικά αναφέρουμε ότι η μέθοδος αποκατάστασης συνίσταται στην επαναληπτική επίλυση της μη γραμμικής Hamilton-Jacobi διαφορικής εξίσωσης [41]: 0 ( d 1) = 0, d (x, τ = 0) = φ(x, t) dτ + s (d) (1.39) μέχρι τη στάσιμη κατάσταση όπου πλέον ισχύει d τ =0 εξασφαλίζοντας ότι: d =1. Η μέθοδος αποκατάστασης θα πρέπει να εφαρμοσθεί σε μια περιοχή που περιέχει την περιοχή Τ 1 και αφού το σύνορο σε κάθε χρονικό βήμα προχωράει λιγότερο από Δx μπορούμε να επιλέξουμε την περιοχή αυτή να είναι η: Ν 0 ={x: φ 0 (x) <γ+δx} (1.40)

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 31 Αφού εφαρμόσουμε τη μέθοδο αποκατάστασης στην περιοχή Ν 0 με αρχική συνθήκη την φ (x) παίρνουμε τελικά την d 1 (x), την προσημασμένη απόσταση από το ~1 σύνορο Γ 1. Μετά και το βήμα της αποκατάστασης η νέα συνάρτηση ισοϋψών ορίζεται από τη σχέση: 1 γ, αν d (x) < γ 1 1 1 φ (x) = d (x), αν d (x) γ (1.41) 1 γ, αν d (x) > γ Στο επόμενο χρονικό βήμα η επίλυση της εξίσωσης ισοϋψών θα πραγματοποιηθεί στην περιοχή Τ 1 ={x: d 1 (x) <γ} και η μέθοδος αποκατάστασης στην περιοχή Ν 1 ={x: φ 1 (x) <γ + Δx} κ.ο.κ.. Σχηματικά τα βήματα της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης [32], για σύνοροσημείο στη 1-διάσταση, φαίνονται στο σχήμα (1.3) που ακολουθεί: Σχήμα 1.3: α) Η προσημασμένη απόσταση φ 0 από το σύνορο το οποίο στην περίπτωσή μας είναι το σημείο x για το οποίο φ 0 (x)=0. β) H συνεχής γραμμή παριστάνει τη συνάρτηση ισοϋψών ~ φ που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης (1.34) στο χωρίο Τ 0. Στα σημεία για τα οποία β< φ <γ είναι φανερή η επίδραση της συνάρτησης αποκοπής c(φ). Η φ ~ δεν αποτελεί προσημασμένη απόσταση από το υπό μελέτη σημείο. γ) Η συνεχής γραμμή παριστάνει την προσημασμένη απόσταση d 1 από το σύνορο Γ 1 όπως προέκυψε από την εφαρμογή της μεθόδου αποκατάστασης στην περιοχή Ν 0. δ) Η συνεχής γραμμή παριστάνει τη συνάρτηση φ την επόμενη χρονική στιγμή όπως αυτή έχει προκύψει από την εφαρμογή της σχέσης (1.41).

32 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης ii. Υλοποίηση της μεθόδου στενής ζώνης των Peng et al [32] Στην ΙΙΙ-i περιγράφηκε η γενική μεθοδολογία της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32]. Όταν προσπαθήσαμε να εφαρμόσουμε τα παραπάνω και στην πράξη συναντήσαμε πολλές δυσκολίες κυρίως όσον αφορά των τρόπο υπολογισμού διαφόρων ποσοτήτων στα σύνορα των περιοχών Τ και Ν (που ορίζουν τις στενές ζώνες γύρω από το εξελισσόμενο σύνορο). Για το λόγο αυτό παρακάτω παραθέτουμε αναλυτικά τον τρόπο με τον οποίο εμείς υλοποιήσαμε τη μέθοδο των Peng et al έτσι ώστε να αντιμετωπίζονται τα παραπάνω προβλήματα αλλά και να επιτυγχάνουμε σημαντική μείωση του απαιτούμενου υπολογιστικού χρόνου. Για απλότητα θα περιγράψουμε την υλοποίηση της μεθόδου στις δύο διαστάσεις καθώς πολύ εύκολα επεκτείνεται και στις τρεις διαστάσεις. Έστω το σύνορο Γ 0 τη χρονική στιγμή t=0 το οποίο μετατοπίζεται με ταχύτητα F κάθετη σε αυτό. Για την εφαρμογή της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32] πραγματοποιούμε τα παρακάτω υπολογιστικά βήματα: α) Αρχικά υπολογίζουμε την προσημασμένη απόσταση φ 0 από το σύνορο Γ 0 σε όλο το υπολογιστικό χωρίο Ω. Ο τρόπος υπολογισμού της φ 0 εξαρτάται από το υπό μελέτη πρόβλημα και θα εξηγείται κατά περίπτωση. β) Στη συνέχεια ελέγχουμε όλα τα πλεγματικά σημεία του υπολογιστικού χωρίου Ω και προσδιορίζουμε με τη σχέση (1.34) τα σημεία που ανήκουν στην περιοχή Τ 0 (έστω k στο πλήθος). Ακόμη, ορίζουμε τους εξής πίνακες: τους μονοδιάστατους πίνακες «xind» και «yind» και το δυδιάστατο πίνακα «mask». Στους πίνακες «xind» και «yind» αποθηκεύουμε τις συντεταγμένες των k σημείων που ανήκουν στην περιοχή Τ 0, ενώ ο πίνακας «mask» παίρνει ακέραιες τιμές και χρησιμεύει στο να διακρίνονται τα σημεία που ανήκουν στις περιοχές Τ και Ν από όλα τα υπόλοιπα. Για τα k σημεία που ανήκουν στην περιοχή Τ 0 θέτουμε: mask(i,j) = 1. Στο βήμα αυτό, ακόμη, ορίζουμε και τις τιμές των φ 0 (η συνάρτηση ισοϋψών τη χρονική στιγμή t=0) και φ 1 (η συνάρτηση ισοϋψών την επόμενη χρονική στιγμή) εκτός της περιοχής Τ: 0 γ, φ (x) = - γ, αν αν 0 φ 0 φ γ γ (1.42) και 1 0 0 0 φ (x) = φ (x), x : φ (x) γ φ (x) γ (1.43) Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζουμε ότι οι τιμές της συνάρτησης ισοϋψών φ θα παραμείνουν σταθερές στο χρόνο εκτός των περιοχών Τ και Ν.

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 33 γ) Από τις σχέσεις (1.34) και (1.40) διαπιστώνουμε ότι η περιοχή Ν 0 διαφέρει ως προς την περιοχή Τ 0 κατά μια επιπλέον σειρά σημείων που βρίσκονται στο εξωτερικό της τελευταίας. Έτσι, προσδιορίζουμε τα k 1 επιπλέον σημεία της περιοχής Ν 0 ως εξής: για καθένα από τα k σημεία της περιοχής Τ 0 ελέγχουμε αν υπάρχουν γείτονες και στις 4 διευθύνσεις και όπου λείπουν συμπληρώνουμε. Το ολικό πλήθος των σημείων που ανήκουν στην περιοχή Ν 0 θα είναι: k total =k+k 1. Όπως και στην περίπτωση της περιοχής Τ 0 αποθηκεύουμε στους πίνακες «xind» και «yind» τις συντεταγμένες των επιπλέον σημείων που ανήκουν στην περιοχή Ν 0 και για τα σημεία αυτά θέτουμε: mask(i,j) = 2. δ) Για την υλοποίηση της μεθόδου κρίναμε απαραίτητη και τη θεώρηση μιας επιπλέον περιοχής έξω από την Ν 0 η οποία ορίζεται από τη σχέση: Ν 0 ={x: φ 0 (x) <γ + 2 Δx}. Τα επιπλέον k 2 σημεία που ανήκουν σε αυτή προσδιορίζονται κατ αντιστοιχία με όσα περιγράφηκαν στο βήμα γ) και το ολικό πλήθος των σημείων που ανήκουν σε αυτή θα είναι: k total1 =k+k 1 +k 2. Αντίστοιχα για τα σημεία αυτά θέσαμε mask(i,j) = 3. Ο λόγος για τον οποίο θεωρούμε και την περιοχή Ν 0 είναι ότι δίνοντας τιμές στη συνάρτηση ισοϋψών και στο σύνορο του Ν 0 διευκολυνόμαστε παρακάτω στον υπολογισμό των μερικών παραγώγων της φ στο σύνορο της περιοχής Ν 0. ε) Λύνουμε τη διαφορική εξίσωση (1.35) μόνο για τα k σημεία της περιοχής Τ 0 : δεν υπάρχει πρόβλημα υπολογισμού των πρώτων και δεύτερων παραγώγων της συνάρτησης ισοϋψών στο σύνορο της περιοχής Τ 0 καθώς στο βήμα β) δώσαμε τιμές στη φ 0 έξω από αυτή. Μετά την εξέλιξη της συνάρτησης ισοϋψών σύμφωνα με τη διαφορική εξίσωση (1.35) θα έχουμε καταφέρει τα εξής: εκτός της περιοχής Τ 0 θα ισχύει: φ 1 (x) = φ 0 (x) (αυτό είχε εξασφαλισθεί ήδη από το βήμα β)) και εντός της περιοχής Τ 0 η φ 0 να έχει εξελιχθεί στη ~ 1 φ. στ) Εφαρμόζουμε τη μέθοδο αποκατάστασης στην περιοχή Ν 0 με αρχική συνθήκη ~ 1 τη συνάρτηση φ και προσδιορίζουμε την φ 1 (x). Αυτό αναλυτικά πραγματοποιείται ως εξής: Δίνουμε αρχικά τιμές στη d 0 σε όλα τα σημεία που ανήκουν στην περιοχή Ν 0 - στα σημεία που ανήκουν στην περιοχή Τ 0 : d 0 = ~ 1 φ. - στα επιπλέον σημεία που ανήκουν στην περιοχή Ν 0 : d 0 =±γ.

34 Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης Ο προσδιορισμός των πρώτων και δεύτερων παραγώγων της συνάρτησης ισοϋψών γίνεται όπως στο βήμα ε) χωρίς να παρουσιάζεται πρόβλημα. Όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης της μεθόδου αποκατάστασης η φ 1 ορίζεται από τη σχέση (1.41). ζ) Επαναλαμβάνουμε τα βήματα β) στ) για τον προσδιορισμό των περιοχών Τ και Ν τις επόμενες χρονικές στιγμές δίνοντας προσοχή, όμως, στο εξής: ο προσδιορισμός της περιοχής Τ κάθε χρονική στιγμή t 0 γίνεται λίγο διαφορετικά απ ότι στην περίπτωση για την οποία t=0. Αντί να ελέγχουμε όλα τα πλεγματικά σημεία του υπολογιστικού χωρίου Ω (όπως περιγράψαμε στο βήμα β) για να προσδιορίσουμε τα k σημεία που ανήκουν στην περιοχή Τ επιλέγουμε να ελέγξουμε μόνο ποια από τα k total1 σημεία που ανήκουν στην περιοχή Ν της προηγούμενης χρονικής στιγμής ικανοποιούν τη σχέση (1.34), επιτυγχάνοντας με αυτό τον τρόπο σημαντική μείωση του απαιτούμενου υπολογιστικού χρόνου. IV. Εφαρμογή και αξιολόγηση των μεθόδων επίλυσης της εξίσωσης ισοϋψών. Παρακάτω θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα επίλυσης της εξίσωσης ισοϋψών σε όλο το υπολογιστικό χωρίο και της επίλυσης της εξίσωσης ισοϋψών μόνο σε μια στενή ζώνη γύρω από το εξελισσόμενο σύνορο ως προς την πολυπλοκότητα που αφορά τον απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο και την ακρίβεια προκειμένου να διαπιστώσουμε ποια είναι τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα καθεμίας από τις δύο αυτές μεθόδους. i. Υπολογιστική πολυπλοκότητα (time complexity) Ξεκινάμε να επιβεβαιώσουμε και στην πράξη την υπολογιστική πολυπλοκότητα (βλ. παράρτημα Α) της μεθόδου ισοϋψών στενής ζώνης των Peng et al [32]. Θεωρούμε το απλό πρόβλημα διαστολής των συνόρων δύο κύκλων με ταχύτητα κάθετη σε αυτά και ίση με 1, με κέντρα (0.7, 0.5) και (1.4, 1.5) και ακτίνες r 1 =0.2 και r 2 =0.3 αντίστοιχα. Το υπολογιστικό χωρίο μας επιλέγουμε να είναι το Ω=[-1,3]x[- 1,3] και λύνουμε την εξίσωση ισοϋψών μέχρι τη χρονική στιγμή t=1: a. σε όλο το υπολογιστικό χωρίο («Full Level Set Method», FLSM), b. μόνο σε μια στενή ζώνη γύρω από το εξελισσόμενο σύνορο («Narrow Band Level Set Method», NBLSM). Η μέθοδος αποκατάστασης και το κριτήριο σύγκλισης αυτής περιγράφονται αναλυτικά στο κεφάλαιο 2 που ακολουθεί.

Κεφ. 1 Η μέθοδος ισοϋψών στενής ζώνης 35 Σημειώνουμε ότι για την επίλυση της εξίσωσης ισοϋψών χρησιμοποιούμε σχήμα Euler 1 ης τάξης ( II, ii-α) για την ολοκλήρωση στο χρόνο, σχήμα ΕΝΟ 2 ης τάξης ( II, ii-γ) όπως έχει προταθεί από τους Osher και Sethian (OS) για την προσέγγιση των χωρικών παραγώγων και το σχήμα των Osher και Sethian ( II, ii-β) για τη διακριτοποίηση της χαμιλτονιανής, ενώ όπου χρησιμοποιείται η μέθοδος της αποκατάστασης χρησιμοποιούμε σχήμα Euler 1 ης τάξης για την ολοκλήρωση στο χρόνο και ΕΝΟ 2 ης τάξης για την προσέγγιση των χωρικών παραγώγων. Σχήμα 1.4: Στη μέθοδο ΝΒLSM η εξίσωση ισοϋψών επιλύεται μόνο σε μια μικρή περιοχή (γκρι πλέγμα) γύρω από το εξελισσόμενο σύνορο και όχι σε όλο το υπολογιστικό χωρίο μειώνοντας έτσι σημαντικά τον απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο. Στιγμιότυπα της λύσης του προβλήματος διαστολής του συνόρου δύο κύκλων τις χρονικές στιγμές: α) t=0.1, β) t=0.4. Η συνεχής έντονη μπλε γραμμή που σημειώνεται με τις τιμές μηδέν παριστάνει τη θέση του συνόρου. Το γράφημα του απαιτούμενου υπολογιστικού χρόνου συναρτήσει του πλήθους των κόμβων Ν κατά τον άξονα x για τετραγωνικό πλέγμα ακολουθεί παρακάτω: Υπολογιστικός χρόνος (sec) 5000 4000 3000 2000 1000 FLSM NBLSM Σχήμα 1.5: Γράφημα απαιτούμενου υπολογιστικού χρόνου συναρτήσει της διαμέρισης Ν του υπολογιστικού χωρίου. Συγκρίνεται η μέθοδος ισοϋψών ( ΙΙ, μαύρη γραμμή) με τη μέθοδο ισοϋψών στενής ζώνης ( ΙΙΙ, κόκκινη γραμμή). 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Διαμέριση υπολογιστικού χωρίου Ν