Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Transcript

1 Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη σύμφωνα με το νέο σχολικό βιβλίο και χωρίζεται σε 6 ενότητες. Η κάθε ενότητα περιέχει: Πλήρη θεωρία γραμμένη με απλό σύντομο και συστηματικό τρόπο. Σχόλια και επισημάνσεις με τίτλο «Να προσέξουμε» όπου συμπληρώνονται τονίζονται και διευκρινίζονται σημεία της θεωρίας τα οποία κρίνονται απαραίτητα για την καλύτερη αφομοίωσή της. Ασκήσεις λυμένες με υποδειγματικό τρόπο. Ερωτήσεις κατανόησης. Ασκήσεις για λύση ταξινομημένες κατάλληλα. Στις περισσότερες ενότητες περιλαμβάνεται και ένα ενδεικτικό κριτήριο αξιολόγησης με θέματα κλιμακούμενης δυσκολίας. Επιπλέον μετά την ολοκλήρωση της ύλης δίνονται επαναληπτικά κριτήρια προσομοίωσης των εξετάσεων. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις - υποδείξεις των ερωτήσεων των ασκήσεων και των κριτηρίων αξιολόγησης. Γιάννης Κ. Μαραγούσιας Μαθηματικός

2

3 Περιεχόμενα. Γραμμικά συστήματα...9. Μη γραμμικά συστήματα Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Κατακόρυφη - οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων...6. Πολυωνυμικές εξισώσεις - ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Εκθετική συνάρτηση Λογάριθμοι Λογαριθμική συνάρτηση Επαναληπτικά κριτήρια προσομοίωσης εξετάσεων Απαντήσεις των Ερωτήσεων των Ασκήσεων και των Προβλημάτων...383

4

5 Γραµµικά συστήµατα Η εξίσωση: - 4 ( είναι γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και. Zεύγη όπως τα: ( (0-4 ( (4 0 είναι λύσεις της (. Αν λύσουμε την ( ως προς προκύπτει η εξίσωση - 4 που παριστάνει ευθεία. Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους Κάθε εξίσωση με αγνώστους που έχει τη μορφή α + β γ με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α β διάφορο του μηδενός λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λύση μιας γραμμικής εξίσωσης α + β γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών ( που την επαληθεύει. Η εξίσωση α + β γ με α! 0 ή β! 0 παριστάνει μια ευθεία ε. Απόδειξη Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ( γ β O α+ β γ α! 0 και β! 0 γ (---- α 0 ε Αν α! 0 και β! 0 τότε η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: α + β γ β -α + γ a g - + b b Άρα παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης l a - τέμνει τον ά- b g ξονα στο σημείο c0 m και τον άξο- b g να στο σημείο ` 0j. a 9

6 O ( γ β α+ β γ α 0 και β! 0 ε Αν α 0 και β! 0 τότε η εξίσωση γίνεται: g b g b Άρα παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο 0 b g c m. O α+ β γ α! 0 και β 0 ε Αν β 0 οπότε α! 0 τότε η εξίσωση γίνεται: g a g a Άρα παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο ` 0j. g a Η εξίσωση - 4 έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( - 4! R (είναι οι συντεταγμένες των σημείων της ευθείας - 4 που παριστάνει. Η εξίσωση α + β γ με α! 0 ή β! 0 έχει άπειρες λύσεις τις συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στην ευθεία που παριστάνει. Τα συστήματα: - - ( S : - - ( S : - 0 είναι γραμμικά συστήματα. Καθεμία από τις εξισώσεις των (Σ και (Σ παριστάνει ευθεία. Γραμμικό σύστημα # Δύο ή περισσότερες εξισώσεις τις οποίες εξετάζουμε ως προς το σύνολο των κοινών τους λύσεων λέμε ότι αποτελούν ένα σύστημα. Ειδικότερα αν έχουμε ένα σύστημα της μορφής: a+ b g ( e a' + b' g' ( e' λέμε ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή γραμμικό σύστημα #. 0 Γραμμικά συστήματα

7 Λύση του (Σ είναι το ζεύγος ( (- γιατί επαληθεύει συγχρόνως και τις δύο εξισώσεις. Το (Σ δεν έχει λύση. Λύση του συστήματος ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών ( που επαληθεύει τις δύο εξισώσεις του. Επίλυση του συστήματος ονομάζουμε τη διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τα ζεύγη αριθμών που επαληθεύουν συγχρόνως και τις δύο εξισώσεις του. Τα συστήματα: - - ( e ( S: και ( S' : * ( e' είναι ισοδύναμα γιατί έχουν την ίδια ακριβώς λύση ( (-. Το (Σ επίσης είναι ισοδύναμο με καθένα από τα συστήματα: - ( S : ( ( S : ( + 5 -( (Το (Σ προέκυψε από το (Σ με τη λύση της (ε ως προς και την αντικατάστασή του στην (ε. Το (Σ προέκυψε από το (Σ με αντικατάσταση της εξίσωσης (ε από την εξίσωση -(ε + (ε. Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος # Ο ακριβής προσδιορισμός των λύσεων ενός συστήματος γίνεται με αλγεβρικές μεθόδους. Στις αλγεβρικές μεθόδους επίλυσης μετατρέπουμε διαρκώς το σύστημα σε άλλο ισοδύναμο σύστημα δηλαδή σε σύστημα που έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με το αρχικό. Αυτό συνήθως γίνεται με τις παρακάτω μεθόδους: Μέθοδος αντικατάστασης στην οποία λύνουμε τη μια εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. Μέθοδος απαλοιφής (ή των αντίθετων συντελεστών στην οποία αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε ή (ε του συστήματος για παράδειγμα την (ε με την εξίσωση λ $ (ε + λ $ (ε όπου λ λ κατάλληλοι αριθμοί με λ! 0 που προκύπτει αν στα μέλη της (ε πολλαπλασιασμένα με λ προσθέσουμε τα μέλη της (ε πολλαπλασιασμένα με λ. Η εξίσωση λ $ (ε + λ $ (ε λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε και (ε.

8 Καθεμία από τις εξισώσεις των συστημάτων: - 4 ( S : ( S : ( S 3 : παριστάνει ευθεία. Χαράσσουμε καθένα από τα ζεύγη των ευθειών αυτών στο ίδιο σύστημα αξόνων οπότε έχουμε: Το ζεύγος ( ( 0 είναι λύση του (Σ. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος # Καθεμία από τις εξισώσεις του γραμμικού συστήματος: a+ b g a' + b' g' παριστάνει ευθεία. Η γραφική επίλυση ενός συστήματος γίνεται με τη χάραξη στο ίδιο σύστημα αξόνων των ευθειών που παριστάνουν οι εξισώσεις του. Οι ευθείες αυτές μπορεί: να τέμνονται να είναι παράλληλες να ταυτίζονται. Έτσι: Αν οι ευθείες τέμνονται οι συντεταγμένες του σημείου τομής αποτελούν τη λύση του συστήματος. Οι ευθείες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση Το (Σ είναι αδύνατο. Αν οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος είναι παράλληλες δηλαδή δεν έχουν κοινό σημείο το σύστημα δεν έχει λύση. Λέμε τότε ότι το σύστημα είναι αδύνατο O Το (Σ 3 έχει άπειρες λύσεις. Αν οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος ταυτίζονται δηλαδή έχουν όλα τα σημεία τους κοινά τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. +3 Γραμμικά συστήματα

9 Έστω το σύστημα: 3 ( S: Είναι: 3 D - ( 3( 5 $ D $ (-5-(- 6 $ Ορίζουσα γραμμικού συστήματος # Θεωρούμε το σύστημα: a+ b g ( S: a' + b' g' Ορίζουσα D του συστήματος (Σ λέγεται η παράσταση αβ - α β. Την παράσταση αυτή a b συμβολίζουμε με. Είναι δηλαδή: a' b' a b D ab' - a'b a' b' Την ορίζουσα που προκύπτει αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους τη συμβολίζουμε με D. Δηλαδή: g b D gb' - g'b g' b' D 3 - (-3( $ Την ορίζουσα που προκύπτει αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους τη συμβολίζουμε με D. Δηλαδή: a g D ag' - a'g a' g' Στο σύστημα (Σ: 3 ( S: βρήκαμε: D 3 D -39 και D 6 Επειδή είναι D 3! 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση τη ( με: Λύση - Διερεύνηση γραμμικού συστήματος # Η λύση του συστήματος: a b g ( S: + a' + b' g' μπορεί να γίνει και με τη μέθοδο των οριζουσών (την απόδειξη της οποίας παραθέτουμε στη στήλη «Να προσέξουμε» σχόλιο. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή: Αν D! 0 τότε το σύστημα (Σ έχει μοναδική λύση τη: 3

10 D 39 3 D και D 6 D Το σύστημα ( S' : έχει: D και αναμένουμε να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Το (Σ γράφεται: (-(- + (- 3 $ 7 3 * και είναι φανερά αδύνατο. ( c m Αν D 0 τότε το (Σ είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Συγκεκριμένα στην περίπτωση που είναι: D 0 το σύστημα (Σ έχει ή παίρνει τη μορφή: a+ b g ka+ kb g' οπότε: αν γ! κγ το (Σ είναι αδύνατο αν γ κγ το (Σ έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Η εξίσωση: z ( είναι μια γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους. Οι τριάδες: (- 0 (- είναι λύσεις της ( αφού την επαληθεύουν. Το σύστημα: - 3+ z - ( ( S: * + 0+ z 7 ( 3+ - z (3 είναι ένα γραμμικό σύστημα 3 # 3. Γραμμικό σύστημα 3 # 3 Γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση που έχει τη μορφή: α + β + γz δ με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α β γ διάφορο του μηδενός. Λύση μιας εξίσωσης: α + β + γz δ ονομάζεται κάθε τριάδα αριθμών ( z που την επαληθεύει. Κάθε σύστημα της μορφής: Za+ b+ gz d ] ( S: [ a+ b+ gz d ] a3+ b3+ g3z d3 \ λέγεται γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή γραμμικό σύστημα 3 # 3. 4 Γραμμικά συστήματα

11 Για την επίλυσή του λύνουμε αρχικά την ( ως προς z και προκύπτει: z (4 Αντικαθιστούμε στη συνέχεια το z στις ( και (3 και προκύπτει το σύστημα: + ( ( που βρίσκουμε ότι έχει λύση ( (. Τέλος αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των και στην (4 και βρίσκουμε z 3. Άρα το (Σ έχει μοναδική λύση ( z ( 3. Λύση του συστήματος (Σ λέγεται κάθε τριάδα ( z που επαληθεύει και τις τρεις ε- ξισώσεις του. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 3 # 3 χρησιμοποιούμε μεθόδους ανάλογες με τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # (αντικατάστασης διαδοχικών απαλοιφών κ.λπ. ή συνδυασμούς αυτών των μεθόδων. Να προσέξουµε. Από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # ή 3# 3 αναμένουμε μία μόνο από τις περιπτώσεις: το σύστημα να έχει μοναδική λύση το σύστημα να είναι αδύνατο το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Τέτοια συστήματα λοιπόν δεν μπορεί να έχουν μόνο λύσεις ή μόνο 3 λύσεις κ.λπ.. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζουμε συνοπτικά με ισοδυναμίες την αλγεβρική και γεωμετρική ερμηνεία των ισχυρισμών που διατυπώνονται για ένα γραμμικό σύστημα # του οποίου οι εξισώσεις παριστάνονται με τις ευθείες ε και ε. Αλγεβρική ερμηνεία Το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε έχει μοναδική λύση. Το σύστημα των εξισώσεων των ε και ε είναι αδύνατο. Το σύστημα των ε και ε έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Το ζεύγος ( 0 0 είναι λύση του συστήματος των ε και ε. Γεωμετρική ερμηνεία Οι ευθείες ε και ε τέμνονται. Οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες. Οι ευθείες ε και ε ταυτίζονται. Το σημείο Μ( 0 0 είναι κοινό σημείο των ευθειών ε και ε. 5

12 3. Γραφικά η ισοδυναμία δύο γραμμικών συστημάτων # που έχουν μοναδική λύση μπορεί να παρουσιαστεί με το ίδιο σημείο τομής των ευθειών που παριστάνουν. Για παράδειγμα τα συστήματα: 5 ( S : + * και ( S : * - που η γραφική επίλυσή τους φαίνεται στα παρακάτω σχήματα είναι ισοδύναμα αφού και τα δύο έχουν μοναδική λύση τη ( (. ξ : 5 ε : + 5 ξ : O ε : - O 4. Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # έχει το μειονέκτημα ότι δεν προσδιορίζονται πάντοτε με ακρίβεια οι λύσεις του. Παρά την αδυναμία αυτή διευκολύνει σε περιπτώσεις που μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή το πλήθος των λύσεων του συστήματος. 5. Ένα γραμμικό σύστημα # που οι εξισώσεις του παριστάνουν την ίδια ευθεία ε είναι ισοδύναμο με μία από τις δύο εξισώσεις του. Άρα έχει άπειρες λύσεις τις συντεταγμένες των άπειρων σημείων της ευθείας ε ή διαφορετικά τα ζεύγη των αριθμών που είναι λύσεις της εξίσωσής του. Τη μορφή των άπειρων λύσεων παίρνουμε αν λύσουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος ως προς έναν άγνωστο Για παράδειγμα το σύστημα ( S: είναι ισοδύναμο με την εξίσωση: ( Τη μορφή των άπειρων λύσεων τη βρίσκουμε αν λύσουμε την ( ως προς. Τότε έχουμε 4-4 οπότε: ( (4-4! R Δίνοντας στο μια οποιαδήποτε πραγματική τιμή προκύπτει μία από τις άπειρες λύσεις του (Σ. Έτσι: 6 Γραμμικά συστήματα

13 για έχουμε τη λύση ( (0 για έχουμε τη λύση ( (4 κ.λπ. 6. Για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα # με τη μέθοδο των οριζουσών το γράφουμε απαραίτητα στη μορφή: a+ b g a' + b' g' ώστε να βρίσκουμε σωστά τις ορίζουσες D D και D. 7. Μετά την επίλυση ενός συστήματος για να βεβαιωθούμε ότι η λύση που βρήκαμε είναι σωστή κάνουμε επαλήθευση σε όλες τις εξισώσεις του αρχικού συστήματος. 8. Ενδέχεται οι συντελεστές ή οι σταθεροί όροι ενός γραμμικού συστήματος # να μην είναι όλοι συγκεκριμένοι αριθμοί αλλά να εξαρτώνται από κάποια παράμετρο για παράδειγμα λ. Τότε αν θέλουμε να λύσουμε το σύστημα πρέπει για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου να εξετάσουμε πότε προκύπτει σύστημα που έχει μοναδική λύση ή πότε προκύπτει σύστημα αδύνατο ή με άπειρο πλήθος λύσεων. Συστήματα τα οποία έχουν παράμετρο λέγονται παραμετρικά ενώ η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τις λύσεις ενός παραμετρικού συστήματος για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λέγεται διερεύνηση. 9. Για τη λύση ενός παραμετρικού γραμμικού συστήματος # ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D D και D. ο βήμα: Λύνουμε την εξίσωση D 0 οπότε γνωρίζουμε για ποιες τιμές της παραμέτρου είναι D! 0 ή D 0. 3ο βήμα: Κάνουμε διερεύνηση: Για τις τιμές της παραμέτρου που είναι D! 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση ( c m. Κάθε τιμή της παραμέτρου για την οποία είναι D 0 την αντικαθιστούμε στο αρχικό σύστημα οπότε προκύπτει σύστημα με συντελεστές και σταθερούς όρους συγκεκριμένους αριθμούς. Επειδή D 0 το σύστημα αυτό είναι γνωστό από πριν ότι θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις. Αν έχει άπειρες λύσεις δίνουμε τη μορφή τους. 7

14 0. Η μέθοδος των οριζουσών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τη λύση και διερεύνηση παραμετρικών συστημάτων. Είναι επίσης χρήσιμη για την επίλυση πολύπλοκων αριθμητικών συστημάτων. Στην περίπτωση που κατά την επίλυση προκύψει D 0 δεν διευκολύνει απαραίτητα να υπολογίζουμε τις D και D. Είναι δεδομένο ό- πως είδαμε στη θεωρία ότι το σύστημα παίρνει τη μορφή: a+ b g ka+ kb g' οπότε πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τα μέλη της μιας εξίσωσης με κ ώστε να προκύψουν οι ίδιοι συντελεστές αγνώστων και στις δύο εξισώσεις. Εύκολα τότε συμπεραίνουμε είτε ότι είναι αδύνατο είτε ότι έχει άπειρες λύσεις (εφαρμογή.8. Αναφέρουμε πάντως ότι για ένα γραμμικό σύστημα # με D 0 ισχύουν τα εξής: Αν D! 0 ή D! 0 το σύστημα είναι αδύνατο. Αν D D 0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.. Κάθε γραμμική εξίσωση με αγνώστους με τον συντελεστή του διαφορετικό από το μηδέν μπορεί να λυθεί ως προς και να πάρει τη μορφή α + β. Για παράδειγμα η εξίσωση γίνεται: ή Έτσι σ ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορούμε αν είναι δυνατόν να επιλύσουμε κάθε εξίσωση ως προς και να βρούμε τη σχετική θέση των δύο ευθειών με τη βοήθεια των συντελεστών διεύθυνσης. 4 Για παράδειγμα στο σύστημα ( S : * - αν λύσουμε τις εξισώσεις του ως προς προκύπτει το σύστημα στο οποίο φανερά πλέον οι + εξισώσεις του παριστάνουν δύο ευθείες παράλληλες άρα το (Σ είναι αδύνατο. 3 Επίσης στο σύστημα ( S : * - αν λύσουμε τις εξισώσεις του ως προς προκύπτει το σύστημα στο οποίο οι εξισώσεις του παριστάνουν δύο τεμνόμενες ευθείες άρα το (Σ έχει μοναδική λύση. Η μοναδική λύση του (Σ προκύπτει εύκολα αν εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη των εξισώσεών του. Έτσι έχουμε 3 - οπότε φανερά και. 8 Γραμμικά συστήματα

15 Τέλος στο σύστημα ( S 3 : * - + αν λύσουμε τις εξισώσεις του ως προς προκύπτει το σύστημα στο οποίο οι εξισώσεις παριστάνουν + την ίδια ευθεία άρα το (Σ 3 έχει άπειρες λύσεις.. Επίλυση γραμμικού συστήματος # στη γενική του μορφή Η προηγούμενη μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος # στη γενική του μορφή. Ας λύσουμε λοιπόν το σύστημα: a b g ( S: + a' + b' g' με τη μέθοδο αυτή αποδεικνύοντας ταυτόχρονα τα συμπεράσματα που προκύπτουν για τη λύση διερεύνηση ενός γραμμικού συστήματος # με ορίζουσες. Λύση Λύνουμε το σύστημα για την περίπτωση που οι συντελεστές του είναι διαφορετικοί από το μηδέν δηλαδή β $ β! 0 οπότε το (Σ γράφεται: Z a g b - a + g ] - + ( e b b [ b' - a' + g' a' g' ] - + ( e b' b' \ Με τη βοήθεια των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών ε και ε που παριστάνουν τις εξισώσεις του συστήματος διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν οι ευθείες ε και ε έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης δηλαδή αν: a a' -!- αβ - α β! 0 D! 0 b b' τότε οι ευθείες ε και ε τέμνονται σε ένα σημείο του οποίου η τετμημένη προσδιορίζεται αν εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων του συστήματος. Έτσι έχουμε: a' g' a g a a' g g' c - m - b' b' b b b b' b b' gb' g'b ( ab' a'b gb' g'b ab' - a'b Αντικαθιστώντας την τιμή του που βρήκαμε στην εξίσωση (ε προκύπτει η τεταγμένη του σημείου τομής: a gb' g'b g agb' abg' gab' ga'b $ b ab' - a'b b bab' ( - a'b 9

16 bag' ( - a'g ag' - a'g bab' ( - a'b ab' - a'b Άρα στην περίπτωση αυτή το σύστημα έχει μοναδική λύση τη: gb' ( - g'b ag' - a'g c m c m ab' - a'b ab' - a'b Αν οι ευθείες ε και ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης δηλαδή αν: a a' - - αβ - α β 0 b b' D 0 τότε οι ευθείες ε και ε ή είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων αντίστοιχα. Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και όταν είναι β $ β 0. Συγκεκριμένα: Αν β 0 και β! 0 (D! 0 τότε η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα ενώ η ε τον τέμνει που σημαίνει ότι οι ευθείες ε και ε τέμνονται. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι: ( c m β (----- D D O γ --- α α D D ε γ β ε Αν β! 0 και β 0 (D! 0 τότε έχουμε ανάλογο με το προηγούμενο συμπέρασμα. Αν β β 0 (D 0 τότε οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες στον άξονα οπότε είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. 3. Ομογενές σύστημα Το σύστημα: a+ b 0 a' + b' 0 του οποίου οι σταθεροί όροι είναι μηδέν λέγεται ομογενές. Σε ένα ομογενές σύστημα είναι D D 0. Το ομογενές σύστημα δεν είναι ποτέ αδύνατο αφού έχει πάντα τη μηδενική λύση ( (0 0. Μπορεί όμως να έχει άπειρες λύσεις. Έτσι: αν D! 0 το ομογενές σύστημα έχει μοναδική λύση τη ( (0 0 αν D 0 έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες είναι η μηδενική. 0 Γραμμικά συστήματα

17 4. Κλιμακωτό σύστημα Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος (Σ με εξισώσεις (ε (ε (ε 3 και αγνώστους z μπορεί να γίνει με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών ως εξής: α Αντικαθιστούμε την εξίσωση (ε με την εξίσωση κ $ (ε + λ $ (ε όπου κ λ είναι κατάλληλοι αριθμοί ώστε να απαλείφεται ο από την (ε. β Αντικαθιστούμε την εξίσωση (ε 3 με την εξίσωση μ $ (ε + ν $ (ε 3 όπου μ ν είναι κατάλληλοι αριθμοί ώστε να απαλείφεται ο από την (ε 3. Προκύπτει ένα νέο σύστημα ισοδύναμο με το (Σ στο οποίο η η και 3η εξίσωση αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα # με αγνώστους τα και z. γ Στη νέα μορφή του συστήματος που προκύπτει αντικαθιστούμε την 3η εξίσωση με κατάλληλο γραμμικό συνδυασμό της ης και 3ης εξίσωσης ώστε να απαλείψουμε το από την 3η εξίσωση. Καταλήγουμε έτσι σε ένα ισοδύναμο με το (Σ σύστημα που έχει τη μορφή: Z a b gz d ] + + ( S' : [ j+ tz z ] z r \ Το τελευταίο σύστημα (Σ επειδή έχει τη μορφή κλίμακας (σκάλας το λέμε κλιμακωτό σύστημα. Ένα κλιμακωτό σύστημα λύνεται εύκολα με διαδοχικές αντικαταστάσεις. Για παράδειγμα ας λύσουμε το σύστημα: + + 3z 5 ( e ( S: * + 3+ z 3 ( e -5-6z -6 ( e3 Έχουμε: α Απαλείφουμε το από την εξίσωση (ε αντικαθιστώντας την με την εξίσωση: -(ε + (ε Έτσι προκύπτει η εξίσωση: -( + + 3z + ( z - $ z -7 (ε β Απαλείφουμε το από την εξίσωση (ε 3 αντικαθιστώντας την με την εξίσωση: (ε - (ε 3 Έτσι προκύπτει η εξίσωση: 7 + 9z (ε 3 Το (Σ παίρνει τη μορφή:

18 * + + 3z z z ( e ( e' ( e' γ Απαλείφουμε το από την εξίσωση (ε 3 αντικαθιστώντας την με την εξίσωση: 7(ε + (ε 3 Έτσι προκύπτει: 7(- - 4z + (7 + 9z 7( z -38 z Καταλήγουμε στο κλιμακωτό σύστημα: + + 3z 5 * -- 4z -7 z Αντικαθιστούμε το z στη η εξίσωση και βρίσκουμε -. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην η εξίσωση τα z και και βρίσκουμε. Άρα η λύση του συστήματος είναι: ( z ( Όταν λέμε ότι ένα γραμμικό σύστημα είναι μ # ν εννοούμε ότι έχει μ εξισώσεις και ν αγνώστους (3 # : 3 εξισώσεις με αγνώστους 4 # 4: 4 εξισώσεις με 4 αγνώστους κ.λπ. Η μέθοδος των διαδοχικών απαλοιφών (ή του Gauss με την οποία ένα σύστημα μετασχηματίζεται διαδοχικά σε ένα ισοδύναμό του κλιμακωτό σύστημα μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα. Οποιοδήποτε επίσης γραμμικό σύστημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο της αντικατάστασης σύμφωνα με την οποία λύνουμε μια εξίσωση ως προς τον έναν ά- γνωστο τον οποίο αντικαθιστούμε στις άλλες. Προκύπτει έτσι ένα σύστημα με λιγότερες εξισώσεις και λιγότερους αγνώστους. 6. Βασικός και μόνιμα επιδιωκόμενος στόχος κατά την επίλυση ενός συστήματος είναι η δημιουργία απλούστερων ισοδύναμων συστημάτων όπου τελικά οι λύσεις είναι προφανείς. Αυτό πολλές φορές (ανάλογα και με τη μορφή του συστήματος γίνεται με την εφαρμογή κάποιων τεχνασμάτων. Για παράδειγμα το 4 # 4 σύστημα: Z ] + v + z - ] + + v -3 ( S: [ + + z - ] + z+ v 0 \ Γραμμικά συστήματα

19 μπορεί να λυθεί ως εξής: Αρχικά προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη οπότε παίρνουμε: 3( + + ω + z ω + z - ( Στη συνέχεια αφαιρούμε από την ( διαδοχικά κάθε εξίσωση του συστήματος: Z Z ] ( + + v+ z -( + v+ z - -(- ] - ]( + + v+ z -( + + v - -(-3 ] z [ [ ( + + v + z -( + + z - -(- v 0 ] ] ( + + v+ z -( + z + v \ \ Άρα η λύση του συστήματος είναι η ( ω z ( Παραδείγµατα-Εφαρµογές. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί λ για τους οποίους ισχύει: λ - 3 ( και λ - ( α Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τα και. β Να γίνει γραφική παράσταση των ζευγών ( που ικανοποιούν τις σχέσεις ( και (. Απάντηση α Λύνουμε τις ( και ( ως προς λ και εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων που προκύπτουν. Είναι: l- l + l + και λ - λ + Επομένως: Η σχέση λοιπόν που συνδέει τα και είναι: - β Τα ζεύγη ( επαληθεύουν την (Ι που έχει τη μορφή α + β γ με α! 0 και β -! 0. Επομένως η γραφική παράσταση των ζευγών ( είναι η ευθεία ε: - που παριστάνουμε στο διπλανό σχήμα. (Ι O - - ε 3

20 Να λυθεί το σύστημα ( S: - -4 Λύση Επιλέγουμε τη μέθοδο αντικατάστασης αφού η η εξίσωση του (Σ εύκολα μπορεί να λυθεί ως προς. Λύνουμε λοιπόν τη η εξίσωση ως προς και αντικαθιστούμε στην η οπότε το (Σ γίνεται: ( * * -4 5 $ -4 6 Άρα ( (6 5. Z + 4 ] Να λυθεί το σύστημα [ ] \ 4 Λύση Απαλείφουμε τους παρονομαστές και φέρνουμε τις εξισώσεις στη μορφή α + β γ. Η πρώτη εξίσωση γίνεται: $ + 6$ + 6$ Η δεύτερη εξίσωση γίνεται: $ - 4$ $ Προκύπτει λοιπόν για λύση το σύστημα: 3-6 ( ( S: ( Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ( με 4 και της ( με 3 και έχουμε: 3-6 $ * $ Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις οπότε το σύστημα ισοδύναμα γίνεται: $ 0 6 * - * - * * * 0 0 Άρα ( ( 0. 4 Γραμμικά συστήματα

21 Παρατήρηση Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις εξισώσεις του (Σ προκύπτει η εξίσωση που λύνεται εύκολα ως προς και στη συνέχεια μπορούμε να εργαστούμε με τη μέθοδο της αντικατάστασης..4 α Να βρεθεί το σύστημα των εξισώσεων που έ- χουν γραφικές παραστάσεις τις ευθείες ε ε του διπλανού σχήματος. β Να βρεθεί το κοινό σημείο των ε ε. O Απάντηση α Η ευθεία ε έχει τη μορφή α + β με α εφ45. Άρα είναι + β. Επιπλέον διέρχεται από το σημείο (0 - οπότε ισχύει: β β - Επομένως η ε έχει εξίσωση: - - Η ευθεία ε έχει επίσης τη μορφή α + β και επειδή διέρχεται από τα σημεία (- 0 και (0 3 οι συντεταγμένες τους θα την επαληθεύουν. Επομένως έχουμε το σύστημα: 0 a$ ( b a b 0 a 3 0 a * - + * 3 a$ 0+ b b 3 b 3 b 3 Άρα η ε έχει εξίσωση: β Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που παριστάνουν τις ε και ε. Έχουμε: - $ ( ( $ ( Με πρόσθεση κατά μέλη των ( και ( προκύπτει -9. Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση του αρχικού συστήματος και έχουμε: - (-9-8 Άρα ( (-8-9 που σημαίνει ότι η ε και η ε τέμνονται στο σημείο Κ(-8-9. ε ε 45.5 α Δίνονται αριθμοί α β για τους οποίους ισχύει: α + β και α - β.00 Να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις: α + β α ( και β + α β ( παριστάνουν ευθείες και να βρεθεί το σημείο τομής τους. 5

22 β Να λυθεί το σύστημα ( S: * Απάντηση α Ένας τουλάχιστον από τους α β είναι διαφορετικός από το μηδέν γιατί αν ήταν α β 0 τότε από την ισότητα α + β θα είχαμε που είναι άτοπο. Άρα οι ( και ( έχουν τη μορφή α + β γ με α! 0 ή β! 0 οπότε παριστάνουν ευθείες. Το σημείο τομής τους προκύπτει από τη λύση του συστήματος των ε- ξισώσεών τους. Έτσι με πρόσθεση κατά μέλη των ( και ( έχουμε: (α + β + (β + α α + β Αντίστοιχα με αφαίρεση των μελών της ( από την ( προκύπτει: (α - β + (β - α α - β Το σύστημα λοιπόν γίνεται: 5 ( ( 5 * ( - -( * * - -4 Επομένως οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(3. β Παρατηρούμε ότι και Επιπλέον οι εξισώσεις του (Σ προκύπτουν από τις εξισώσεις ( και ( του προηγούμενου ερωτήματος για α και β.495. Άρα το (Σ έχει μοναδική λύση τη ( (3..6 Το διπλανό σχήμα παριστάνει το δάπεδο μιας ορθογώνιας βεράντας που είναι στρωμένη με τριών ειδών πλακάκια. Αν τα λευκά πλακάκια είναι τετράγωνα να βρεθούν οι διαστάσεις που έχουν τα πλακάκια κάθε είδους. Απάντηση Αν α#α είναι τα λευκά πλακάκια τότε α#β είναι τα γκρι ορθογώνια πλακάκια και β#β τα ροζ πλακάκια με τις διαστάσεις τους μετρημένες σε cm. Έτσι έχουμε το σύστημα: 4a+ 3b 00 4a+ 3b 00 8a+ 7b 40 ( 8a+ 7b - 4 ( a+ 3b 40 - $ 00 m 4a+ 3b 00 4a + 3$ 0 00 b 0 b 0 4a a 35 b 0 b 0 4 m 6 Γραμμικά συστήματα

23 Άρα οι διαστάσεις μετρημένες σε cm που έχουν τα πλακάκια είναι:.7 Να λυθεί το σύστημα Λύση 35 # 35 0 # 35 και 0 # 0 ^+ 5h+ - 5 $ + ^+ h 4 Όταν οι συντελεστές των αγνώστων είναι πολύπλοκοι αριθμοί δεν εξυπηρετεί να εργαζόμαστε με τις μεθόδους της αντικατάστασης ή των αντίθετων συντελεστών. Γι αυτό επιλέγουμε τη μέθοδο των οριζουσών. 5 D + + ^+ 5h^+ h ! 0 Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση τη ( c m. Υπολογίζουμε τις D και D. Είναι: 5 D $ ^+ h ^ h-d 5 5 D ^ h D 4 Άρα ( D D c m ( ` - - j..8 Να λυθούν τα συστήματα: α 6 $ + - β 3$ + $ $ - 3 $ - Λύση α Έχουμε: 6 D $ $ Επομένως αναμένουμε το σύστημα να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ης εξίσωσης με (ώστε να έχουμε τους ίδιους συντελεστές αγνώστων και στις δύο εξισώσεις οπότε το σύστημα γίνεται: 6 $ + - $ 3 $ + $ $ Άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 6 $ $ + 7

24 β Είναι: 3 D $ 0 Αναμένουμε λοιπόν το σύστημα να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Διαιρούμε τα μέλη της ης εξίσωσης με - (ώστε να έχουμε τους ίδιους συντελεστές αγνώστων και στις δύο εξισώσεις οπότε προκύπτει η η εξίσωση. Επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τη μορφή των οποίων βρίσκουμε αν λύσουμε για παράδειγμα την η εξίσωσή του ως προς. Έτσι είναι: Άρα ( - c m! R..9 Έστω σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους για το οποίο ι- σχύει: D ( S: + - * D+ 5D 4D Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση να βρεθεί η λύση αυτή. Λύση Επειδή το σύστημα έχει μοναδική λύση είναι D! 0. Αν διαιρέσουμε λοιπόν τα μέλη των εξισώσεων του συστήματος (Σ με D! 0 θα έχουμε: Z D + - ] + - * + - [ * D 5D 4D + ] $ + 5$ 4 \ Επομένως είναι: οπότε: D 5-3 D και D ( 9 6 c m ( 3 ` j a.0 Θεωρούμε την ορίζουσα D b g d και την εξίσωση: a - g b 0 d - ( 8 Γραμμικά συστήματα

25 α Να αποδειχθεί ότι η ( είναι δευτεροβάθμια εξίσωση. β Αν η εξίσωση ( δεν έχει πραγματικές ρίζες τότε: i (α + δ < 4D a+ b 0 ii το σύστημα έχει μοναδική λύση. g+ d 0 Απόδειξη α Η ορίζουσα ( ισοδύναμα γίνεται: (α - (δ - - βγ 0 αδ - α - δ + - βγ 0 - (α + δ + αδ - βγ 0 Άρα η ( είναι δευτεροβάθμια εξίσωση. β i Επειδή η ( δεν έχει πραγματικές ρίζες θα ισχύει: Δ < 0 (α + δ - 4(αδ - βγ < 0 (α + δ < 4(αδ - βγ (α + δ < 4D a b αφού D ad - bg. g d ii Ορίζουσα του συστήματος είναι η D. Λόγω του ερωτήματος (i είναι 4D > (α + δ $ 0. Επομένως D! 0 που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (τη ( (0 0.. Να βρεθεί πόσες λύσεις έχει καθένα από τα συστήματα: l α - l β - 3- l - 9 γ * + l - l+ l όπου λ! R. Απάντηση Έχουμε: l α D - l -(- l +! 0 για κάθε λ! R. l Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε πραγματικό αριθμό λ. l - β D l - l 0. - l Διαιρούμε τη η εξίσωση του συστήματος με - και το σύστημα γίνεται: l- * l - - Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο για κάθε λ! R. 3 - l γ D l 3 l - $ - l

26 Διαιρούμε την η εξίσωση του συστήματος με -3 και το σύστημα γίνεται: Z l ] [ ] l \ 3 Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις για κάθε λ! R Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα -- 4 l α είναι αδύνατο β έχει άπειρες λύσεις γ έχει μοναδική λύση. Απάντηση Είναι: D που σημαίνει ότι το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων για κάθε λ! R. Πολλαπλασιάζουμε την η εξίσωση με και την προσθέτουμε στη η οπότε το σύστημα γίνεται: 5 5 * ( l l Επομένως: α Αν λ! -0 το σύστημα είναι αδύνατο. β Αν λ -0 το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. γ Επειδή D 0 δεν υπάρχουν λ! R για τα οποία το σύστημα έχει μοναδική λύση..3 Να λυθεί το σύστημα ( : ( l l S + + για τις διάφορες τιμές του ( l πραγματικού αριθμού λ. Λύση Είναι: l l D + ( l+ - l( l+ 5 l+ 4-l - 5l l + 5 -λ -3λ + 4 -λ - 4λ + λ + 4 -λ(λ (λ + 4 (-λ + (λ + 4 (Διευκολύνει να έχουμε την ορίζουσα D παραγοντοποιημένη όχι μόνο για να βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες είναι D 0 αλλά και για απλοποιήσεις κλασμάτων που μπορεί να προκύψουν κατά τον υπολογισμό της μοναδικής λύσης (. l l D - l ( - l D + ( l+ -( l+ 5 l - l Γραμμικά συστήματα

27 Εξετάζουμε πότε είναι D 0. Έχουμε: D 0 (-λ + (λ λ ή λ -4 Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν λ! και λ! -4 τότε είναι D! 0 άρα το σύστημα (Σ έχει μοναδική λύση τη: ( l ( l c m - c - m ( - l + ( l + 4 ( - l+ ( l+ 4 c - l + 4 l + 4 m Αν λ τότε το σύστημα (Σ γίνεται: Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( ( - 3! R. Αν λ -4 τότε το σύστημα (Σ γίνεται: 4 ( 4 ( $ * * Άρα το σύστημα (Σ είναι αδύνατο..4 Δίνονται οι εξισώσεις: (κ κ + 3 (ε και κ + (κ - (ε α Να αποδειχθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες. β Να βρεθούν για τις διάφορες τιμές του κ!r τα κοινά σημεία των δύο ευθειών. Απάντηση α Καθεμία από τις δύο εξισώσεις έχει τη μορφή α + β γ. Στην (ε είναι β -4! 0 άρα η (ε παριστάνει ευθεία. Στην (ε οι συντελεστές κ και κ - των και αντίστοιχα δεν μπορούν να μηδενίζονται συγχρόνως αφού τότε θα είχαμε κ 0 και κ που είναι αδύνατο. Επομένως και η (ε παριστάνει ευθεία. β Τα κοινά σημεία των δύο ευθειών προσδιορίζονται από τη λύση του συστήματος: ( k 4 k 3 ( S: k+ ( k- Επειδή το (Σ είναι παραμετρικό εργαζόμαστε με τη μέθοδο των οριζουσών. Είναι: k - -4 D k k- (κ - + 4κ (κ + k D k - (κ + 3(κ κ + κ + (κ + D k - k + 3 D κ - - κ(κ + 3 -κ - κ - -(κ + -D k 3

28 Εξετάζουμε πότε είναι D 0. Έχουμε: D 0 (κ + 0 κ - Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν κ! - τότε είναι D! 0 οπότε το (Σ έχει μοναδική λύση τη: ( D D c m - ( - ` j Άρα για κ! - οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α( -. Αν κ - το (Σ γίνεται: Επομένως το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων της μορφής: ( (- -! R Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις (ε και (ε ταυτίζονται οπότε έχουν κοινά όλα τα σημεία με συντεταγμένες (- -! R. Z + 3- v - ].5 Να λυθεί το σύστημα ( S: [ v 3 ] Λύση 3- + v \ Λύνουμε την η εξίσωση ως προς ω: ω - ω ( Αντικαθιστούμε τη σχέση ( στη η και 3η εξίσωση και προκύπτει το σύστημα: 4 3( * ( * Το τελευταίο σύστημα είναι ομογενές # με: 5 3 D ! Άρα έχει μοναδική λύση τη ( (0 0. Για 0 και 0 από την ( προκύπτει ω. Άρα ( ω (0 0. Z + 5-7v 0 ].6 Να λυθεί το σύστημα [ v 0 ] Λύση v 0 \ Θεωρούμε τον έναν άγνωστο για παράδειγμα το ω ως σταθερό τυχαίο αριθμό και επιλέγουμε ένα # σύστημα (με αγνώστους πλέον μόνο τα. 3 Γραμμικά συστήματα