ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρητική προσέγγιση της FDTD

Transcript

1 ΚΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρητική προσέγγιση της DTD 4.. ισαγωγή Από τις τρεις µεθόδους πρόβλεψης των επενεργειών της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας πειραµατική αναλυτική υπολογιστική- η υπολογιστική είναι η νεότερη και η ταχύτερα αναπτυσσόµενη προσέγγιση. Από το πλήθος των υπολογιστικών θεωρήσεων λαµβάνοντας υπόψη τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών τη γεωµετρική θεωρία της διάθλασης και τη φυσική οπτική η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (DTD είναι εφαρµόσιµη στο ευρύτερο φάσµα των προβληµάτων. µέθοδος πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (iite Differece Time-Domai αποτελεί λοιπόν χρήσιµο εργαλείο για την αριθµητική επίλυση των προβληµάτων του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Πρόκειται για µια διαδικασία η οποία προοδευτικά εξοµοιώνει τα πραγµατικά συνεχή κύµατα µε αριθµητικά ανάλογα δειγµατοληπτηµένων δεδοµένων. Για την επίτευξη της εξοµοίωσης αντιστοιχίζονται οι µερικές παράγωγοι-χωρικές και χρονικές- που προκύπτουν από τις εξισώσεις του Mawell για το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο σε δεύτερης τάξης κεντρικές προσεγγίσεις διαφορών στο εσωτερικό ενός διακριτοποιηµένου χωρο-χρόνου. Μια πρώτη εµφάνιση της µεθόδου πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου εντοπίζεται περί τα µέσα της δεκαετίας 960 σαν µια τεχνική απευθείας επίλυσης των εξισώσεων στροφής του Mawell ωστόσο η εισαγωγή των απορροφητικών οριακών συνθηκών κατέστησε τη µέθοδο κατάλληλη για την επίλυση ενός µεγάλου φάσµατος προβληµάτων. ξαιρετική ώθηση στην εκτεταµένη χρήση της DTD και άλλων επαναληπτικών µεθόδων έδωσε η ανάπτυξη των υπολογιστικών συστηµάτων καθώς και η αύξηση της 33

2 ταχύτητας λειτουργίας τους. επιλογή όµως συγκεκριµένα της DTD και η υπεροχή της ως προς τις άλλες καταξιωµένες τεχνικές έγκειται τόσο στο γεγονός ότι αποθηκεύει στη µνήµη µόνο τη στιγµιαία πεδιακή κατανοµή έτσι ώστε να αποφεύγεται ο χειρισµός µεγάλων πινάκων όσο και σε ένα πλήθος πλεονεκτηµάτων της. Μερικά από αυτά είναι η ευελιξία σε τροποποιήσεις της µεθόδου καθώς και η µαθηµατική της απλότητα η ευκολία υλοποίησης των σχηµατιζόµενων εξισώσεων στον υπολογιστή ο αποδοτικός χειρισµός αυθαίρετων διεγέρσεων αλλά και η αντιµετώπιση και µοντελοποίηση µεγάλου εύρους γεωµετριών που προκαλούν σκέδαση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Συγκρινόµενη δε η µέθοδος µε τεχνικές ολοκληρωτικών εξισώσεων φαίνεται πιο αποδοτική αριθµητικά όταν επιλύει προβλήµατα διαπερατών σκεδαστών. Ωστόσο η DTD χαρακτηρίζεται από τη σοβαρή αδυναµία ότι αγνοεί τη διασκόρπιση των διηλεκτρικών ιδιοτήτων των σκεδαστών και των απορροφητικών σωµάτων θέτοντας στη θέση τους ιδιότητες ανεξάρτητες από τη συχνότητα. θεώρηση αυτή µπορεί να οδηγήσει σε πλήρως λανθασµένα αποτελέσµατα όταν χρησιµοποιείται για σύντοµους παλµούς µεγάλου εύρους ζώνης συχνοτήτων ενώ δεν είναι ανησυχητική όταν πρόκειται για ακτινοβολία συνεχούς κύµατος ή για στενού εύρους παλµούς. 4.. Ορισµός και εφαρµογές της DTD DTD είναι µια προοδευτική στο χρόνο διαδικασία η οποία εξοµοιώνει τα πραγµατικά συνεχή κύµατα µε αριθµητικά ανάλογα δειγµατοληπτηµένων δεδοµένων που διαδίδονται σε ένα χώρο που βρίσκεται αποθηκευµένος στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Σε κάθε χρονικό βήµα ο νέος υπολογισµός των πεδιακών συνιστωσών από το σύστηµα των εξισώσεων είναι ευθύς χωρίς έτσι να υπάρχει ανάγκη σχηµατισµού και επίλυσης υπερµεγεθών µητρικών µορφών. απαιτούµενη χωρητικότητα και ο χρόνος υπολογισµού είναι ανάλογα του ηλεκτρικού µεγέθους του µοντελοποιηµένου όγκου. Στον αλγόριθµο της DTD αρχικά σχηµατίζεται µια λογική διακριτοποίηση του χωρο-χρόνου. Κατόπιν προσεγγίζονται οι χωρικές και χρονικές παράγωγοι που περιέχονται στις εξισώσεις του Mawell από εξισώσεις διαφορών ενώ οι προκύπτουσες σχέσεις επιλύονται για τα πεδιακά µεγέθη στην «επόµενη» χρονική στιγµή βασισµένες 34

3 στις τιµές των «προηγούµενων» βηµάτων. Με αυτόν τον τρόπο ένας αλγόριθµος µορφής leapfrog χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του πεδίου σε όλο το χωρο-χρόνο δοθέντων των αρχικών οριακών συνθηκών καθώς και κάποιων γνώσεων των πεδιακών µεγεθών σε ολόκληρο τον υπό µελέτη χώρο κατά την διάρκεια της εκκίνησης επίλυσης του προβλήµατος. Σύµφωνα µε τα παραπάνω γίνεται κατανοητό ότι η DTD παρέχει µια απευθείας επίλυση των χρονικά εξαρτηµένων εξισώσεων στροφής του Mawell αποφεύγοντας τη χρήση του όρου του δυναµικού. Οι διακριτοποιήσεις στο χώρο και τον χρόνο επιλέγονται έτσι ώστε να περιορίζονται τα λάθη κατά τη δειγµατοληπτική διαδικασία και να εξασφαλίζουν την αριθµητική ευστάθεια του αλγορίθµου. Ώστε γίνεται αντιληπτό ότι η DTD παριστά ικανοποιητικά την εξέλιξη των πεδίων στο χρόνο δοθείσας µιας αρχικής διέγερσης οδηγώντας σε µια πλήρη κατανόηση των κοντινών πεδίων και των εξελισσόµενων µεταβατικών φαινοµένων. Το πρόβληµα της σκέδασης της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας από ένα αντικείµενο µε δεδοµένα ηλεκτρικά και φυσικά χαρακτηριστικά είναι κατά βάση αυτό της επίλυσης των εξισώσεων του Mawell που υπόκεινται σε οριακές συνθήκες οι οποίες υπαγορεύονται από την παρουσία του σκεδαστή. Μια πρώτη λοιπόν εφαρµογή της µεθόδου είναι αυτή των προβληµάτων σκέδασης. Το πεδίο των εφαρµογών της DTD επεκτείνεται τόσο στη διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας όσο και στη µελέτη της επίδρασης της ακτινοβολίας σε ζωντανούς οργανισµούς και βιολογικά παρασκευάσµατα. νδεικτικά αναφέρεται η θεραπεία του καρκίνου µε τη µέθοδο της υπερθερµίας. Οι εφαρµογές που αφορούν τη διάδοση της ακτινοβολίας διδιάστατες ή τρισδιάστατες συµπεριλαµβάνουν και τον σχεδιασµό µικροκυµατικών κυκλωµάτων. Το πλήθος των εφαρµογών της µεθόδου DTD έχει επιδείξει την αποτελεσµατικότητα και την αποδοτικότητά της όσον αφορά τον υπολογισµό της αλληλεπίδρασης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων µε σώµατα διαφορετικού σχήµατος και υλικού. αποδοτικότητα αυτή είναι υψηλότερη για µεγάλες τρισδιάστατες δοµές καθώς για δεδοµένο µέγεθος κελιού οι απαιτήσεις σε χρόνο υπολογισµού και αποθήκευσης στον ηλεκτρονικό υπολογιστή αυξάνουν γραµµικά µε τον αριθµό των κελιών. 35

4 προσέγγιση λοιπόν µε τον αλγόριθµο της DTD έχει ταχέως εξελιχθεί σε µία από τις επικρατέστερες υπολογιστικές µεθόδους στον ηλεκτροµαγνητισµό. Στο παραπάνω έχουν συµβάλλει τόσο το χαµηλό κόστος και η δύναµη των σύγχρονων υπολογιστικών µονάδων όσο και το ενδιαφέρον για διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου σε περίπλοκες γεωµετρίες που εµπεριέχουν διεισδύσιµα διηλεκτρικά και µαγνητικά υλικά. ξίσου σηµαντική ίσως είναι η υποδειγµατική απλότητα της µεθόδου Αλγόριθµος leapfrog του Yee Βασικές σχέσεις βασική ιδέα της µεθόδου DTD είναι η διακριτοποίηση του χώρου και του χρόνου σε πεπερασµένες διαφορές και συνεπώς η µετατροπή των διαφορικών εξισώσεων του Mawell D J και t B t σε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών. άν θεωρήσουµε ότι το χωρικό κελί του σχήµατος το οποίο προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Yee εφαρµόζεται για τον καθορισµό των ηλεκτροµαγνητικών συνιστωσών στους προκαθορισµένους κόµβους τότε οι βασικές εξισώσεις της µεθόδου DTD προκύπτουν ως εξής: 36

5 Σχήµα 4. ιάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε κυβικό κελί εντός ισοτροπικού χώρου ελευθέρου πηγών Αρχικά αναλύουµε τις εξισώσεις του Mawell στις αντίστοιχες συντεταγµένες και έπειτα εκφράζουµε τη συνεχή συνάρτηση του χώρου και του χρόνου σε διακριτή µορφή ως k µε απλή αναγωγή οµοίων όρων καταλήγοντας στα παρακάτω αποτελέσµατα. Για τη µαγνητική συνιστώσα του πεδίου: µ k µ k k k k k k k k k k k k 37

6 38 k k k k µ k k Και για την ηλεκτρική συνιστώσα του πεδίου: k k k k ε ε σ χ k k k k k ε k k ε k σ k Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να σηµειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις προέκυψαν µε βάση τις ιδιότητες και τις παραδοχές που ακολουθούν:

7 39 t order( t k k Για κυβικό πλέγµα. Όταν τώρα το υλικό που µελετάται είναι οµογενές ισότροπο και γραµµικό µε σ0 τότε οι διακριτοποιηµένες εξισώσεις Mawell απλοποιούνται στις παρακάτω εκφράσεις: k ε k ε k k µ k µ k µ k k ε χ

8 Οι δείκτες i k καθορίζουν τη θέση του πεδίου ενώ οι αποστάσεις µεταξύ των κόµβων είναι. Χρησιµοποιώντας την οργάνωση των κόµβων που υποδεικνύεται στο σχήµα η χρονική παραγώγιση µπορεί επίσης να εκφραστεί από µια σχέση κεντρικής διαφοράς εάν τα ηλεκτρικά πεδία υπολογίζονται σε χρόνο και τα µαγνητικά πεδία σε χρόνο ( αντίστοιχα. Τα χρονικά βήµατα στις σχέσεις χαρακτηρίζονται από τον επάνω δείκτη των πεδιακών συνιστωσών. Ο παραστατικός αυτός τρόπος µε τον οποίο υπολογίζονται τα ηλεκτρικά από τα µαγνητικά και έπειτα τα µαγνητικά από τα ηλεκτρικά πεδία καλείται αλγόριθµος Leapfrog και για πρώτη φορά χρησιµοποιήθηκε από τον Yee. Π.χ. ο υπολογισµός της πεδιακής συνιστώσας τη χρονική στιγµή πραγµατοποιείται από την τιµή που είχε η ίδια τη χρονική στιγµή - και τις τιµές των και πεδιακών συνιστωσών τη χρονική στιγµή στους κόµβους που περιβάλλουν τον κεντρικό αυτό κόµβο στην πρόσθια έδρα του σχήµατος 4.. Με παρόµοιο συλλογισµό βρίσκουµε και τις υπόλοιπες πεδιακές συνιστώσες σε όλα τα σηµεία του χώρου µε µια διαδικασία επανάληψης. πειδή οι διαφορές που προσεγγίζουν τις παραγώγους είναι δεύτερης τάξης η µέθοδος αυτή είναι αρκετά ακριβής για τη διατύπωση µιας παραδεκτής χρονικά εξαρτηµένης λύσης. σύγκλιση της µεθόδου εξασφαλίζεται µε την ικανοποίηση της ακόλουθης συνθήκης ευστάθειας: ν (4.3. η οποία για κυβικό κελί ( γίνεται: ν ( όπου ν η ταχύτητα διαδόσεως στο υπό µελέτη µέσο. ικανοποίηση της παραπάνω συνθήκης έχει σαν αποτέλεσµα να µην αυξάνεται το αριθµητικό λάθος κατά τη διάρκεια των από βήµα σε βήµα υπολογισµών. 40

9 4.3.. διέγερση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου Στην έναρξη των υπολογισµών πρέπει να ορισθεί στο πλέγµα ένα συγκεκριµένο πεδίο δηλαδή πρέπει να υπάρξει µια διέγερση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Υπάρχουν τρεις µέθοδοι για το σκοπό αυτό: Τη χρονική στιγµή t 0 που αντιπροσωπεύει το χρόνο έναρξης το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο καθορίζεται µέσα στο συνολικό χώρο της δοµής που µελετάται. Ο δεύτερος τρόπος είναι να ορισθεί µια αρµονική πεδιακή ταλάντωση σ ένα σύνορο της δοµής. Ο τρίτος τρόπος διέγερσης είναι να χρησιµοποιηθεί ένας ηλεκτροµαγνητικός παλµός πεπερασµένου µήκους στο χώρο και πεπερασµένης διάρκειας στο χρόνο. χωρική εγκάρσια κατανοµή του παλµού ορίζεται από το χρήστη αλλά πολύ προσεγγιστικές υποθέσεις είναι αποδεκτές µόνο εάν αφήνεται επαρκής χώρος ανάµεσα στο επίπεδο διέγερσης και το επίπεδο αναφοράς της δοµής που πρόκειται να αναλυθεί έτσι ώστε τα ηλεκτροµαγνητικά πεδία που είναι λύσεις των εξισώσεων του Mawell να µπορούν να τεθούν στο χώρο ανάµεσα στην πηγή και στη δοµή. διάρκεια του παλµού πρέπει να είναι τόσο σύντοµη ώστε το φάσµα του να περιλαµβάνει όλες τις επιθυµητές συχνότητες. Το µήκος του στο χώρο πρέπει να είναι τέτοιο ώστε οι αρχικοί και οι ανακλώµενοι παλµοί να µπορούν να διαχωριστούν ακριβώς. πίσης όµως οι κοµβικές αποστάσεις του πλέγµατος πρέπει να είναι µικρότερες από το µήκος του παλµού για να εξασφαλίζουν έτσι ένα λογικό υπολογισµό της χωρικής πεδιακής κατανοµής. 4