3ο Γενικό Λύκειο Λάρισας Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» Θέµα Ερευνητικής Εργασίας: ιερεύνηση των εξισώσεων και ανισώσεων µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων. Τάξη µαθητών: Α Λυκείου Αριθµός συµµετεχόντων µαθητών: 19 Επιβλέπων καθηγητής Κουτσαυτίκης Νίκος (Μαθηµατικός) Λάρισα Μάης, 2012
Έκθεση Ερευνητικής Εργασίας Εισαγωγή Πριν αρχίσουµε την παρουσίαση της εργασίας µας θα θέλαµε να ευχαριστήσουµε τον µαθηµατικό µας κύριο Κουτσαυτίκη για την πολύτιµη βοήθεια που µας προσέφερε καθώς και για τις συµβουλές που µας έδωσε για την δοµή της εργασίας µας. Μας εφιστούσε την προσοχή στα κατάλληλα σηµεία και εν τέλει βοήθησε καθοριστικά στην επιτυχία της εργασίας. Μετά από τις σύντοµες ευχαριστίες ας προχωρήσουµε στην παρουσίαση της εργασίας µας. Έχει ήδη αναφερθεί το θέµα αυτής και εποµένως εδώ θα σας περιγράψουµε τη διαδικασία µε την οποία πλησιάσαµε στην έννοια των εξισώσεων και των ανισώσεων. Ξεκινάµε µε µια ιστορική αναδροµή έτσι ώστε να δούµε την πορεία την οποία ακολούθησε η µαθηµατική κοινότητα για την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων χρησιµοποιώντας ανισώσεις και εξισώσεις. Συνεχίζουµε µε µια πρώτη θεωρητική επαφή µε έννοιες όπως είναι το πρόβληµα και η επίλυση προβληµάτων µέσω ανισώσεων και εξισώσεων. Αφού πλέον έχουµε εισέλθει στη λογική της επίλυσης προβληµάτων µε τη βοήθεια των εξισώσεων και ανισώσεων, µπορούµε να προχωρήσουµε στην επίλυση απλών και πολύπλοκων προβληµάτων µε τα παραπάνω εργαλεία. Για να το πετύχουµε αυτό, προσπαθήσαµε να εφαρµόσουµε τη θεωρητική διαδικασία στην επίλυση απλών καθηµερινών προβληµάτων κίνησης, γεωµετρίας, οικονοµίας κ.α. Στην πορεία της εργασίας διαπιστώσαµε ότι σε πολλές περιπτώσεις υπάρχει πρόβληµα εφαρµογής της θεωρίας που σε αρκετές περιπτώσεις ήταν αναµενόµενο. Αποφασίσαµε κατά οµάδες να ασχοληθούµε χωρίσουµε τα προβλήµατα σε κατηγορίες και να βρούµε διαφορετικούς τρόπους αντιµετώπισης. Στο τέλος της εργασίας διαπιστώσαµε ότι µε τη βοήθεια των ανισώσεων και εξισώσεων δευτέρου βαθµού µπορούµε να λύσουµε ένα πάρα πολύ µικρό των προβληµάτων που αντιµετωπίζει ο άνθρωπος στις καθηµερινές του δραστηριότητες, πόσο µάλλον η επιστηµονική κοινότητα. Αυτό το συναντούσαµε συνεχώς αναζητώντας πληροφορίες στο διαδίκτυο και επιστηµονικά περιοδικά. «Ιστορική Εξέλιξη των Εξισώσεων» Μία περιληπτική ιστορία των µαθηµατικών Τα µαθηµατικά ξεκινούν µε το µέτρηµα. Εντούτοις, δεν είναι λογικό να ειπωθεί ότι αυτό το πρωτόγονο µέτρηµα ήταν µαθηµατικά. Μόνον όταν καταγράφηκαν κάποια αντίγραφα υπολογισµών, δηλαδή, όταν υπήρξε κάποια
αναπαράσταση των αριθµών µπορεί να ειπωθεί ότι άρχισαν τα µαθηµατικά. Στην Βαβυλωνία τα µαθηµατικά αναπτύχθηκαν από το 2000 π.χ. Νωρίτερα, αναπτύχθηκε ένα σύστηµα αρίθµησης, κατά τη διάρκεια µίας µακράς περιόδου, µε βάση το 60. Επέτρεψε να αναπαρασταθούν οσοδήποτε µεγάλοι αριθµοί και κλάσµατα και έτσι κατέδειξε την ύπαρξη µίας ισχυρότατης ανάπτυξης των µαθηµατικών. Το αρχαιότερο ιστορικά αριθµητικό σύστηµα θεωρείται το αριθµητικό σύστηµα των Βαβυλωνίων. Ως Βαβυλώνιοι έχουν καταγραφεί ιστορικά µια σειρά λαών, µε σηµαντικότερους τους Σουµέριους και τους Ακκάδιους, που κατοικούσαν στην Μεσοποταµία, µε επίκεντρο τις πόλεις Ουρ και Βαβυλώνα ανέπτυξαν έναν από τους πρώτους πολιτισµούς γύρω στα 4.000 π.χ. Το αριθµητικό σύστηµα των Βαβυλωνίων είχε ως βάση των αριθµό 60, έναν αριθµό µε πολλούς ακέραιους διαιρέτες που προσφέρεται για την έκφραση κλασµάτων ως ακεραίων µερών µιας µονάδας. Παράλληλη όµως, είχε ως βοηθητική βάση και τον αριθµό 10. Οι αριθµοί από τον 1 ως και το 59 γράφονταν µε την αρχή της παράθεσης των συµβόλων, ενώ για τη γραφή των µεγαλύτερων του 59 αριθµών εφαρµόζονταν το σύστηµα θέσης. Είναι σαφές, ότι πρόκειται για ένα αριθµητικό σύστηµα που προέκυψε από τη σύνθεση διαφορετικών αριθµητικών συστηµάτων, που χρησιµοποιούνταν από τους λαούς της περιοχής ή τους λαούς µε τους οποίους οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν εµπορικές συναλλαγές. 2.000-538 π.χ. Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο µαθηµατικής κουλτούρας, µεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα το είχαν ανακαλύψει και οι Βαβυλώνιοι τον 16ο π.χ. αιώνα (1.000 χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα!!!). Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήµατα πρώτου και δεύτερου βαθµού, υπολόγιζαν εµβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραµµων, τραπεζίων καθώς και το εµβαδόν του κύκλου (π = 3 αντί π = 3,14). Το αριθµητικό τους σύστηµα είχε ως βάση το 60, ήταν µη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς µηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστηµα. Το εξηνταδικό σύστηµα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει µέχρι σήµερα στο µέτρηµα του χρόνου. Έτσι π.χ. όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθµό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εµείς σήµερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουµε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά. Τουλάχιστον από το 1700 π.χ. µελετήθηκαν αριθµητικά προβλήµατα, όπως οι Πυθαγόρειες τριάδες: α 2 + β 2 = γ 2. Στο πλαίσιο της επίλυσης αριθµητικών προβληµάτων µελετήθηκαν συστήµατα γραµµικών εξισώσεων. Επίσης, µελετήθηκαν δευτεροβάθµιες εξισώσεις και αυτά τα παραδείγµατα οδήγησαν σε µία µορφή αριθµητικής άλγεβρας. Γεωµετρικά προβλήµατα σχετικά µε όµοια σχήµατα, εµβαδά και όγκους µελετήθηκαν επίσης και δόθηκαν τιµές για
το π. Η βάση των µαθηµατικών των Βαβυλωνίων κληρονοµήθηκε από τους Έλληνες και ανεξάρτητη ανάπτυξη από τους Έλληνες άρχισε περί το 450 π.χ. Τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη οδήγησαν στην ατοµική θεωρία του ηµόκριτου. Μία πιο ακριβής διαµόρφωση των εννοιών ανήγαγε την αντίληψη ότι οι ρητοί αριθµοί δεν ήταν αρκετοί για τη µέτρηση όλων των µηκών. Έτσι, ανήλθε µία γεωµετρική διαµόρφωση των άρρητων αριθµών. Ακόµα, µελέτες των εµβαδών ανέπτυξαν µία µορφή ολοκλήρωσης. Μία µικρή ιστορία για τις Εξισώσεις µε αφορµή τη µελέτη του έργου πηγή που είναι ο κώδικας 65, ένα ελληνικό µαθηµατικό χειρόγραφο του 15ου αιώνα. Η µεθοδολογία της λύσεως των εξισώσεων πρώτου και δευτέρου βαθµού ήταν γνωστή από την αρχαιότητα. Ο ιόφαντος µάλιστα τις χώριζε σε κατηγορίες, και χρησιµοποιούσε µόνο τη θετική ρίζα χωρίς όµως αυτό να σηµαίνει ότι αγνοούσε την ύπαρξη της αρνητικής. Βέβαια και σε πολύ µεταγενέστερα χειρόγραφα δεν γινόταν λόγος για αρνητικές ρίζες. Στην Ευρώπη, η Άλγεβρα των Αράβων αναπτύχθηκε ιδιαίτερα λόγω της γρήγορης ανάπτυξης του εµπορίου. Οι περισσότεροι µαθηµατικοί στηρίζονταν αρχικά στην άλγεβρα που προήρθε από τους Άραβες και αργότερα, µε την ανάπτυξη της γεωµετρίας στον αρχαία Ελλάδα στην Ελληνική γεωµετρική Άλγεβρα. Οι Ιταλοί δίδασκαν τους εµπόρους τις ινδοαραβικές τεχνικές για τη λύση προβληµάτων και εισήγαγαν τον αλγεβρικό συµβολισµό. Επίσης, ανέπτυξαν τη µελέτη της δευτεροβάθµιας εξίσωσης και αναζητούσαν τεχνικές για τη λύση τρίτου και τετάρτου βαθµού. Κατά τον 15ον αι. δε, χρησιµοποιούσαν την εξής ορολογία: α) Αριθµός, για κάθε πραγµατικό αριθµό. β) Πράγµα, για τον άγνωστο x. γ) Τζένσο, για το x 2. Ο Φιµπονάτσι (1225 µ.χ.) χρησιµοποιούσε τους ίδιους όρους για να ονοµάσει τις ανωτέρω παραστάσεις, εκτός από την παραστάσεις x 2 την οποίες ονόµαζε, quadratus ή census ή avere. Ο Φιµπονάτσι είχε επιρρεασθεί από τους Αλ Χουαρίζµι και Αλ Κάρα. Ο Αλ Χουαρίζµι όµως, ενώ ονοµάζει τον άγνωστο χ πράγµα, το x 2 το καλεί τετράγωνο και όχι τζένσο. Στη ύση ο Jordanus Nemorarius χρησιµοποιούσε την ίδια ορολογία µε τον Φιµπονάτσι, και ο Luca Pacioli το 1494 χρησιµοποιεί την ίδια µεθοδολογία επίλυσης πρωτοβάθµιων και δευτεροβάθµιων εξισώσεων µε αυτήν του συγγραφέα του χειρογράφου µας. Την ίδια µεθοδολογία επίλυσης χρησιµοποιούσε από παλαιότερα και ο Omar Khayyam. ιαπιστώνουµε λοιπόν, ότι µπορεί µεν να υπάρχουν άµεσες επιρροές από τη ύση, όµως τον κυριότερο ρόλο διαδραµατίζουν οι αλληλεπιδράσεις των επιστηµονικών ιδεών Ανατολής και ύσης.
Η έννοια του προβλήµατος Η λέξη πρόβληµα έχει συναντηθεί πολλές φορές από τις πρώτες τάξεις του σχολείου. Έχουν λυθεί, για παράδειγµα, προβλήµατα στα Μαθηµατικά και τη Φυσική. Προβλήµατα, όµως, αντιµετωπίζουµε και καθηµερινά, όπως: ποιος είναι ο πιο σύντοµος δρόµος, για να πάµε στο σχολείο µας, πώς να οργανώσουµε µία εκδροµή, πώς να τακτοποιήσουµε τα βιβλία στη βιβλιοθήκη, ώστε να τα βρίσκουµε ευκολότερα. Τα προβλήµατα που µόλις αναφέραµε είναι σχετικά απλά και σύντοµα βρίσκουµε τη λύση τους. Πολλά προβλήµατα, όµως, είναι πιο πολύπλοκα και η επίλυσή τους µας δυσκολεύει ιδιαίτερα. Για παράδειγµα, η ρύπανση της ατµόσφαιρας, η εξοικονόµηση ενέργειας, η θεραπεία ορισµένων ασθενειών, η εξερεύνηση του διαστήµατος και η κατάσκευή µιας γέφυρας µεγάλου µήκους, είναι ιδιαίτερα σύνθετα προβλήµατα. Υπάρχουν επίσης και άλλες κατηγορίες προβληµάτων που: είτε δεν µπορούµε να τα επιλύσουµε µε τις µέχρι τώρα γνώσεις µας, όπως η ακριβής πρόβλεψη των σεισµών, η γήρανση του ανθρώπου, η ανακάλυψη εξωγήινων πολιτισµών και η επικοινωνία µαζί τους, είτε έχει αποδειχθεί ότι δεν µπορούµε να τα επιλύσουµε, όπως: ο τετραγωνισµός του κύκλου µε κανόνα και διαβήτη ή το ταξίδι στο παρελθόν. Γενικότερα, ως πρόβληµα θεωρούµε κάθε ζήτηµα που τίθεται προς επίλυση, κάθε κατάσταση που µας απασχολεί και πρέπει να αντιµετωπιστεί. Η λύση ενός προβλήµατος δεν µας είναι γνωστή, ούτε προφανής. Η πρώτη µας ενέργεια για να λύσουµε πιο εύκολα ένα πρόβληµα, είναι η καταγραφή των δεδοµένων. εδοµένα προβλήµατος είναι τα στοιχεία που µας είναι γνωστά και µπορούν να µας βοηθήσουν στη λύση του προβλήµατος. Σε κάθε πρόβληµα ψάχνουµε να βρούµε την απάντηση σε µια ερώτηση. Αυτό που ψάχνουµε είναι το ζητούµενο. Για παράδειγµα, το ζητούµενο σε µια κατασκήνωση µπορεί να είναι το στήσιµο της σκηνής ή ο καταµερισµός των εργασιών. Σε µια παρτίδα σκάκι ζητούµενο είναι οι κατάλληλες κινήσεις που θα µας οδηγήσουν σε «µατ» του αντίπαλου βασιλιά. Σε ένα γεωµετρικό πρόβληµα ζητούµενο µπορεί να είναι το µήκος ενός ευθυγράµµου τµήµατος. Η διαδικασία µέσω της οποίας βρίσκουµε το ζητούµενο και επιτυγχάνουµε τον επιθυµητό στοχο ονοµάζεται επίλυση προβλήµατος. Υπάρχουν προβλήµατα, των οποίων τη λύση µπορούµε να περιγράψουµε µε ακρίβεια (π.χ.: ο υπολογισµός της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου) και προβλήµατα που δεν έχουν ακριβή λύση (π.χ.: η αξιοποίηση του ελεύθερου χρόνου µας). Ακόµα πολλές φορές πρέπει να ελέγχουµε, αν τα δεδοµένα του προβλήµατος που έχουµε είναι επαρκή, ώστε να µπορούµε να σχεδιάσουµε την επίλυσή του.