1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ

Transcript

1 1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( x 1 ) µ = 5( 10x µ ) Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β. ( x 1 ) µ 5( 10x µ ) ( µ 50) x = µ 5µ () 1 = µ x µ = 50x 5µ µ x 50x = µ 5µ Λύνουµε την εξίσωση: µ 50 0 µ 5 = 0 = ( ) ( µ 5 )( µ + 5) = 0 µ 5= 0 ή µ + 5= 0 µ = 5 ή µ = 5. α. Αν µ 5, 5 τότε η (1) έχει µοναδική λύση την: µµ ( 5) ( )( ) ( ) µ 5µ µ x = = = µ 50 µ 5 µ + 5 µ + 5 β. Αν µ = 5 τότε η (1) γίνεται 0x = 0, που έχει άπειρες λύσεις (είναι ταυτότητα). Αν µ = 5 τότε η (1) γίνεται 0x = 50, που είναι είναι αδύνατη. x + λ λx 1 λx. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: = 1 6 Πολλαπλασιάζουµε µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονοµαστών, το 6. x + λ λx 1 λx 6 6 = 6 6 ( x + λ) ( λx 1) = 6 ( λx ) 6 x+ λ λx+ = 6 λx+ x λx + λx = 6 + λ ( λ+ λ) x= λ+ 7 ( λ+ ) x= λ+ 7 () 1 Είναι λ+ = 0 λ=.

2 4. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις α. Αν λ τότε η (1) έχει µοναδική λύση την : λ+ 7 x = λ + β. Αν λ = τότε η (1) γίνεται: 0x =, άρα είναι αδύνατη.. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: λ( λ )( x 1) = λ x 4 ( )( ) λ λ x 1 λ x 4 = ( λ λ) x+ x= λ λ+ λ 4 ( λ λ+ ) x = λ 4 () 1 Λύνουµε την εξίσωση: λ λ+ = 0 ( ) ± 1 λ = λ α. Αν λ 1, τότε η (1) έχει µοναδική λύση την: β. Αν λ= 1 τότε η (1) γίνεται: Αν λ= τότε η (1) γίνεται: λ 4 ( λ )( λ+ ) λ+ x = = = λ λ+ ( λ 1)( λ ) λ 1 ± 1 = λ= ή λ= 1 0x = 1 4 0x = και είναι αδύνατη. 0x = 4 0x = 0 και είναι ταυτότητα. 4. Να βρείτε διψήφιο αριθµό αν είναι γνωστό ότι το ψηφίο των δεκάδων είναι τριπλάσιο από το ψηφίο των µονάδων και αν εναλλάξουµε την θέση των ψηφίων του θα προκύψει αριθµός κατά 6 µικρότερος. Έστω xy ο διψήφιος αριθµός, τότε : ( x10 + y) ( y10 + x) = 6 (1) και x = y (). Λόγω της () έχουµε: x10 + y = 0y + y = 1y και y10 + x = 10y + y = 1y και απο την (1) παίρνουµε : 1y 1y = 6 18y = 6 y =. Άρα x = 6, οπότε ο ζητούµενος αριθµός είναι ο Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x 1 = 5 ii. x 1 1 x 5 1 =

3 Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα ο 5. iii. x 1 x= 4 iv. x 1 = µ 9 i. x 1 = 5 x 1 = 5 ή x 1= 5 x 1 = ή x 1 = 7 x 1 = ή x 1 = 7 αδύνατη ή x 1 = 7. x 1 = 7 x 1= 7 ή x 1= 7 x = 8 ή x = 6 x = 4 ή x = ii. Θέτουµε ω= x 1 = 1 x (αφού οι αντίθετοι αριθµοί έχουν την ίδια απόλυτη τιµή), και η εξίσωση γίνεται: ω ω 5 ω ω 5 1= 6 6= 6 (ω ) 6= (ω 9) ω 4 6= ω 15 ω= 5 ω= 5.Άρα x 1 = 5 x 1= 5 ή x 1= 5 x = 6 ή x = 4. iii. x 1 x= 4 Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: Άρα για x 1 η εξίσωση γράφεται: x 1,αν x 1 x 1 = x + 1,αν x 1 6 ( x+ 1) x = 4 5x = 6 x =, (απορρίπτεται). 5 και για x 1 η εξίσωση γράφεται: (x 1) x = 4 x = x = ( δεκτή). iv. Το πρόσηµο του τριωνύµου: φ(µ) = µ 9 = (µ + )(µ ) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: µ + φ(µ) + +

4 6. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Έτσι : 1. Για µ (,) το µ 9< 0,άρα η (ε) είναι αδύνατη.. Για µ =, το µ 9= 0 και η (ε) γίνεται: x 1 = 0 x = 1.. Για µ ( ω, ) (, + ω) είναι µ 9> 0, άρα η (ε) γίνεται: = = ή = + ή x= µ x 1 µ 9 x 1 µ 9 x 1 µ 9 x µ < ii. < x 1 < 8 6. Λύστε τις ανισώσεις: i. x 1 1 x iii. x 1 < iv. i. Θέτουµε ω= x και η ανίσωση γίνεται: x + x+ 1 < x+ 5 ω 1 ω ω 1 ω < 1 6 < 6 6= (ω 1) < 6 (ω ) 1 1 ω < 6 ω+ 4 5ω< 1 ω< x < < x < < x < + < x < ii. Είναι x 1 < 8 < x 1 < 8 x 1 > x 1 < 8 8< x 1< 8 7< x < 9 7 < x < και x 1 > x 1 < ή x 1 > x < 1 ή x > 1 x < ή x > Τελικά παίρνουµε : < x < ή 1< x<.

5 Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα ο 7. iii. x 1 < x < x 1 < 5< x 1 < 1 5 > x 1 > 1. Άρα x 1 < 5 5 < x 1 < 5 4 < x < 6 iv. Βρίσκουµε το πρόσηµο του τριωνύµου: = = 1 4= < 0, άρα x + x+ 1 = x + x+ 1. Άρα η ανίσωση γίνεται: φ(x) = x + x + 1. Είναι x + x+ 1> 0 για κάθε x R, δηλαδή x + x+ 1< x+ 5 x 4< 0 x < 4 x < < x<.. ΤΑΥΤΟΤΗTΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ µε Απόλυτα 7. Αν α < β< γ βρείτε χωρίς απόλυτα την παράσταση: Α = α β γ α + α β γ Ισχύουν: α< β α β< 0, άρα α β = α+ β γ > α γ α > 0, άρα γ α = γ α α< β και α < γ άρα α< β+ γ α β γ< 0 άρα α β γ = α+ β+ γ Τελικά είναι : Α = α+ β+ γ α+ α β γ Α = α. 8. Βρείτε τα x,y εφόσον ισχύει x y + x + y 4 = 0. x y + x + y 4 = 0 x y = 0 και x+ y 4= 0 x y = και x+ y = 4, οπότε λύνουµε το σύστηµα: x y = 4x y = 6 5x = 10 x = x+ y = 4 x+ y = 4 y = x y = 1 9. είξτε την ισοδυναµία α+ 5β = 5α+ β α = β

6 8. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις α+ 5β = 5α+ β α+ 5β= 5α+ β ή α+ 5β= 5α β β= α ή 7α= 7β α= β ή α= β 10. είξτε την ισοδυναµία α+ 5β < 5α+ β β < α α+ 5β < 5α+ β α+ 5β < 5α+ β (α+ 5β) < (5α+ β) 4α + 5β + 0αβ < 5α + 4β + 0αβ 19β < 19α β < α β < α β < α 11. είξτε ότι: α 1 β+ 5 α 1 β+ Για α 1 ισχύει: α 1 1 α 1 α 1 α 1 Για β ισχύει: β β+ β+ 1 1 β β+ β+ Άρα α 1 β+ 5 α 1 β+ 1. Αν x < 1 και y < δείξτε ότι x + y < 8 x < 1 1< x < 1 άρα < x < άρα 8 < x + y < 8 y < < y< άρα 6 < y < 6 Οπότε και x + y < 8 ΡΙΖΕΣ 1. α. Λύστε την εξίσωση: β. Λύστε την ανίσωση: 4x 4x+ 1 8= 0 < x x+ 1 < 10

7 α. 4x 4x+ 1 8= 0 (x 1) = 8 x 1 = 8 x 1 = 4 x 1= 4 ή x 1= 4 x = 5 ή x = 5 x = ή x = β. < x x+ 1< 10 < (x 1) < 10 < x 1 < 10 x 1 < 10 x ( 9,11) x ( 9, 1) (,11) x 1 > x (, 1) (, + ) διότι: * x 1 < < x 1 < 10 9< x < 11 x ( 9,11) και x 1 > x 1< ή x 1> x < 1 ή x > x (, 1) (, + ) 14. ίνεται f(x) = x 4x+ 4 x+ µε x R : i. Γράψτε την f µε πολλαπλό τύπο. ii. Να γίνει η γραφική παράσταση της f. i) Για x R ισχύει f(x) = (x ) x+ = x x+. Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: Άρα: x,αν x 0 x x = x +,αν x < 0 x < x + x x+ f(x) x+ x+ = x + 5 x x x+ = 1

8 0. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις x + 5,αν x ηλαδή: f (x) = 1,αν x < ii. Η γραφική παράσταση της f αποτελείται: Από την ηµιευθεία µε εξίσωση: y= x+ 5 αν x που έχει αρχή το Α(,1) και περνάει από το σηµείο y Β(1,). Από την ηµιευθεία µε εξίσωση y= 1 αν x που έχει αρχή το Α(,1) και είναι παράλληλη στον x x. Στις ιδιότητες των ριζών: 15. Βρείτε το γινόµενο: Γ= αβ α β 4 αβ x y B A 0 1 x Ισχύουν: αβ = 1 αβ= α β 6 6 αβ αβ = α β Άρα: Γ= αβ αβ αβ Γ= αβαβαβ Γ= α β Γ= αβ αβ 16. είξτε ότι: = 1 Ισχύει: = ( )( )( ) = ( )( ) ( 4 )( ) + + = + = ( )( ) + = = 4 = 1= είξτε ότι: ( 8 50)( 98 00) = 18

9 Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα ο 1. Ισχύουν: 8 = 4 = 4 = 50 = 5 = 5 = 5 98 = 49 = 49 = 7 00 = 100 = 100 = 10 Άρα: ( 8 50)( 98 00) ( 5 )( 7 10 ) ( ) = = = 9 = 9 = είξτε ότι: + = 4 Τροπή Άρρητου Παρονοµαστή σε ρητό: + + Ισχύουν ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = = = = = = = = Άρα: + + = + + = είξτε ότι: + = Ισχύουν: ( ) ( )( ) ( ) ( ) = = = = ( ) ( )( ) ( ) ( ) = = = =

10 . Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις = = = ( 6 5)( 6+ 5) 6 5 Άρα: = = = ιώνυµη εξίσωση: 0.Λύστε τις εξισώσεις: i. iii. 4 x - 16 = 0 6 4x + 8 = 0 ii. iv. x + 81 = 0 6 x = 64x i. 4 x - 16 = 0 4 x 16 = = 4 x 81 4 x 81 =± x =± ii. x + 81 = 0 x = 81 x = 7 = x = x 7 iii. 6 4x + 8 = 0 6 4x = 8 6 x = αδύνατη 6 iv. x = 64x 6 x 64x = 0 5 x( x ) = 0 5 x = 0 ή x = 0 5 x = 0 ή x = 5 x = 0 ή x = x = 0 ή x = 1.Λύστε τις εξισώσεις: i. (x - ) + 16 = 0 x -1 - x ii. -1= 6 iii. x -9x +8=0 4 4

11 i. (x - ) + 16 = 0 ii. (x ) 16 (x ) 8 = x 8 x = x = 0 x = 0 = = 4 4 x x -1= 4 4 x 1 x 6 6= 6 ( 4 ) 4 x 1 6= ( x) 4 4 4x 6= 9 x 4 7x = x = 7 17 x =± iii. x -9x +8=0 Θέτουµε W = x και η εξίσωση γίνεται : W 9W+ 8= 0 ( 9) ± 49 W = 9± 7 W = W = 1 ή W = 8 x = 1 ή x = 8 x = 1 ή x = Μεθοδολογία στις ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Εξισώσεις µε Απόλυτα f(x) = θ f(x) = θ αν θ> 0 f(x) = θ f(x) = 0 αν θ= 0 αδύνατη αν θ < 0 f(x) = g(x) f(x) = g(x) ή f(x) = g(x) f(x) = g(x) Με τον ορισµό απαλλασόµαστε από το απόλυτο και λύνουµε την εξίσωση. Ανισώσεις µε Απόλυτα f(x) < θ θ< f(x) < θ θ > 0 f(x) > θ f(x) < θ ή f(x) > θ f(x) g(x) f(x) g(x) υψώνουµε στο τετράγωνο και καταλήγουµε σε 1ου και ου βαθµού εξίσωση. Με τον ορισµό απαλλασόµαστε από το απόλυτο και λύνουµε την ανίσωση. Όταν στην εξίσωση υπάρχουν περισσότερα από ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορισµό απαλλασόµαστε από τα απόλυτα. Όταν στην ανίσωση υπάρχουν περισσότερα από ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορισµό απαλλασσόµαστε από τα απόλυτα.

12 1. Αν x = , αποδείξτε ότι: x + = x + = x + 4 x x x x. Να λυθεί η εξίσωση: (x + 1) + (x ) + (1 x) = 0

13 Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 5.. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ( ) ( ) ( ) ( ) x + 1 x + = x + 1 x β) γ) 0,x + 0,5( x + 1) = 1,( x + ) x + x + 1 5x = 6 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α)( λ 1) x = λ -1 β)( λ ) x = λ + γ) λ x = 4x + λ 5. Ένας χυµός φρούτων έχει περιεκτικότητα σε πορτοκάλι 60%. Προσθέτου- µε στο χυµό 50ml καθαρό χυµό πορτοκάλι και η περιεκτικότητα του χυ- µού γίνεται 70%. Να βρεθεί πόσα ml αρχικού χυµού είχαµε.

14 6. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 6. Ο ιόφαντος ο Αλεξανδρεύς έζησε περίπου το 50 µ.χ. και είναι ο τελευταίος από τους µεγάλους Έλληνες αρχαίους µαθηµατικούς. Τίποτα δεν είναι γνωστό γι αυτόν, εκτός από τα βιβλία µε τα άριστα τεκµηριωµένα επιτεύγµατά του. Η µόνη λεπτοµέρεια απ την ζωή του είναι ο γρίφος που λέγεται ότι ήταν σκαλισµένος στον τάφο του. Ο Θεός του παραχώρησε το ένα έκτο της ζωής του για να είναι νέος. Μετά και από το ένα δωδέκατο αυτής είχαν φυτρώσει στα µάγουλα του γένια. Κατόπιν µε το ένα έβδοµο της επιπλέον, τον φώτισαν τα κεριά του γάµου, και πέντε χρόνια µετά το γάµο του (ο Θεός) του έδωσε ένα γιο. Αλίµονο! Το παιδί γεννήθηκε κακότυχο, και όταν απέκτησε το µισό της ηλικίας του πατέρα του, η άπονη Μοίρα το πήρε µακριά του. Η επιστήµη των µαθηµατικών ανακούφισε τον πόνο του, µετά όµως από τέσσερα χρόνια πέθανε Πόσα χρόνια έζησε ο ιόφαντος; x 1 x + 5x 7. α. Να λυθεί η ανίσωση: β. Να λυθεί η ανίσωση: λ( x + 1) 1 x για τις διάφορες τιµές του πραγ- µατικού αριθµού λ.

15 Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο Να βρείτε τρείς θετικούς ακέραιους, αν το άθροισµά τους είναι µεγαλύτερο του 14 και µικρότερο του 4, όταν ο δεύτερος είναι διπλάσιος απ τον πρώτο και ο τρίτος µικρότερος απ τον δεύτερο κατα Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς απόλυτα. x + x+1 A= x 10. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. x 1 = x 4x+ β. x+ x 1 = x

16 8. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας γ. x 5 = 5 x δ. x x = x = x ε. x + = x + 1 στ. x + 1 = x + 6 ζ x x + 4 = α. Αν α, β < < να αποδείξετε ότι: i) α + β < 1 ii) α + β + 1 < 8

17 Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 9. 1.Να λύσετε τις ανισώσεις: α. x+ x< 5 β. x 1 < x + 5 γ. x < x + x 5 δ. < x x+ 1 < Αν x = και y = να βρεθεί η τιµή της παράστασης: A = x xy + y Να αποδείξετε τις ισότητες: α α α α. 9 = α α β. α β 1 = 6 αβ α β

18 40. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας γ. 4 + = δ. ( )( ) = Να λυθεί η εξίσωση: x ( 1 x) = ( 1 x) 1

19 Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο ίνεται η εξίσωση x x + λ + = 0. Αν η εξίσωση έχει ρίζα το 5 να βρεθεί η άλλη ρίζα. 17. Έστω η εξίσωση x (λ + 1)x + λ = 0 και x 1, x είναι οι ρίζες της. Αν οι αριθµοί, x 1, x είναι πλευρές τριγώνου, να δείξετε ότι το λ (1,) x - λ + 1 x λ =. Αν τα x 1, x είναι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε το λ ώστε: x - 7x x - 7x x + x 18. Έστω η εξίσωση ( ) =

20 4. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 19. ίνεται η εξίσωση x - 5x + 1 = 0 α) είξτε (χωρίς να τις βρείτε), ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι πραγµατικές, διάφορες του µηδενός. β) Αν x 1, x οι δύο ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να κατασκευάσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τα: x x x και x 1) 1 1 ) x1- και x - 0. ίνεται η εξίσωση x - ( λ - ) x λ Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει: α) δύο ρίζες αρνητικές β) δύο ριζες θετικές και άνισες

21 Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 4. γ) δύο ρίζες ετερόσηµες δ) δύο ρίζες αντίστροφες ε) δύο ρίζες αντίθετες 1. Να λυθεί η εξίσωση: + 1 x + x = x x x + 1

22 44. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας. Να απλοποιηθεί η παράσταση: Κ = ( α β και α,β> 0) α β α β + β α. Αν α > β> 0 δείξτε ότι α+ β α + β αβ α β α+ β = α+ β

23 Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο Αν α, β, γ θετικοί αριθµοί δείξτε ότι: α β γ α+ β+ γ + + = βγ αγ αβ αβγ

24 46. Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá ÂÞìá ÂÞìá 1 ÅëÝã ïõìå ôç ãíþóç ìáò ΘΕΜΑ 1 ο Α. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i) x i) x + 1 iii) x + < 1 iv) x 1 0 Β. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 1 < x < ii) -1 x iii) 1 < x + 1 < x + 1 iv) 1 x + ΘΕΜΑ ο x 1 1 x Α. Να λυθεί η εξίσωση: + = x + Β. Να γίνουν οι πράξεις: α) γ) 45α β + 15α β 0α β α,β > 0 Γ. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

25 Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο 47. i) 4 16 ii) 5 4 iii) 4 iv) ΘΕΜΑ ο α) Ένας µαθηµατικός που πρόκειται να αγοράσει ένα περιφραγµένο οικόπεδο στο Βαρνάβα Αττικής σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδόν 4070 m θέλησε να µάθει τις διαστάσεις των πλευρών του. Ο ιδιοκτήτης όµως του οικοπέδου δεν ήξερε τις διαστάσεις. Θυµόταν, όµως, ότι χρησιµοποίησε 58m συρµατόπλεγµα για να το περιφράξει. Μ αυτές τις πληροφορίες ο µαθηµατικός βρήκε τις διαστάσεις. Ποιες ήταν αυτές; β) Μετά θέλησε να µάθει από την πολεοδοµία του Καπανδριτίου ποιο είναι το µέγιστο εµβαδόν του σπιτιού που δικαιούται µε βάση το νόµο, να κτίσει. Ο πολεοδόµος για να τον δυσκολέψει (υποτίθεται) του έδωσε την απάντησή ότι η περίµετρος του σπιτιού (σχήµατος ορθογωνίου) µπορεί να είναι µέχρι 40m. Ο µαθηµατικός φυσικά βρήκε το µέγιστο εµβαδό. Ποιό ήταν αυτό;