3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

Transcript

1 . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης η µέθοδος των αντιθέτων συντελεστών ΣΧΟΛΙΑ. Προτιµητέα µέθοδος : Ανάλογα µε την µορφή των εξισώσεων του συστήµατος άλλοτε µας συµφέρει η µέθοδος της αντικατάστασης και άλλοτε η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών. Η εµπειρία µας οδηγεί στο τι θα επιλέξουµε κάθε φορά.. Αδύνατο σύστηµα : Αν, κατά την διαδικασία επίλυσης, µία εξίσωση του συστήµατος πάρει την µορφή 0x + 0y = γ 0 τότε αυτή είναι προφανώς αδύνατη, οπότε το σύστηµα είναι αδύνατο.. Αόριστο σύστηµα : Αν, κατά την διαδικασία επίλυσης, µία εξίσωση του συστήµατος πάρει την µορφή 0x + 0y = 0, τότε αυτή παραλείπεται και το σύστηµα απαρτίζεται από µία µόνο γραµµική εξίσωση, η οποία ως γνωστόν αν έχει µία λύση τότε έχει άπειρες, οπότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή είναι αόριστο.

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Το σύστηµα x + y = 0 και x y = 0 έχει λύση το ζεύγος (0, 0 ) Σ Η σχέση (x y + ) + (x y + ) = 0 ορίζει σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους Σ γ) Η σχέση (x + y + )(x + y ) = 0 ορίζει σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους Λ δ) Ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µπορεί να έχει ακριβώς δύο λύσεις Λ ε) Αν ένα γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους x και y είναι αόριστο, τότε αληθεύει για οποιεσδήποτε τιµές των x και y Λ στ) Το σύστηµα 0x + 0y = και x + y = έχει µία µόνο λύση Λ ζ) Το σύστηµα 0x + 0y = 0 και x + y = έχει µία µόνο λύση Λ Επειδή και οι δύο εξισώσεις επαληθεύονται για x = 0 και y = 0 το ζεύγος (0, 0) είναι λύση του συστήµατος, Εποµένως η πρόταση είναι σωστή Η δοσµένη σχέση δίνει x y + = 0 και x y + = 0, δηλαδή ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Άρα η πρόταση είναι σωστή γ) Η δοσµένη σχέση δίνει x + y + = 0 ή x + y = 0 που δεν είναι σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Άρα η πρόταση είναι λάθος δ) Αν το σύστηµα έχει δύο λύσεις, θα έχει άπειρες. Άρα η πρόταση είναι λάθος ε) Οι άπειρες λύσεις του συστήµατος µπορεί να ικανοποιούν µία συγκεκριµένη σχέση µεταξύ των x και y. Άρα η πρόταση είναι λάθος στ) Επειδή η εξίσωση 0x + 0y = είναι αδύνατη, το σύστηµα είναι αδύνατο. Άρα η πρόταση είναι λάθος ζ) Επειδή η εξίσωση 0x + 0y = 0 είναι αόριστη, το σύστηµα είναι αόριστο. Άρα η πρόταση είναι λάθος

3 . Να γράψετε ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους που είναι προτιµότερο να το λύσουµε µε την µέθοδο της αντικατάστασης και ένα άλλο που είναι προτιµότερο να το λύσουµε µε την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών. Απάντηση x= y+ Για το σύστηµα προτιµητέα µέθοδος είναι η αντικατάσταση x y= x + y= 0 Ενώ για το σύστηµα προτιµητέα µέθοδος είναι η των αντίθετων x y= συντελεστών. Να γράψετε τρία γραµµικά συστήµατα δύο εξισώσεων µε αγνώστους x και y έτσι, ώστε το ένα να έχει µοναδική λύση την x = και y =, το δεύτερο να είναι αδύνατο και το τρίτο να έχει άπειρες λύσεις της µορφής (x, x ) Απάντηση x+ y= Σύστηµα µε µοναδική λύση την x = και y = : x+ y= x + y = 0 Σχόλιο Σύστηµα αδύνατο : x + y = Σύστηµα µε άπειρες λύσεις της µορφής (x, x ) : y+ = x y 6x= Σχόλιο

4 . Να λυθούν τα συστήµατα x y= x+ y= 9 x y= x= y+ x+ y= 9 x+ y= 9 x= y x + 5y = 6 γ) x y = y x = x= y x + 5y = 6 x= y+ (y+ ) + y= 9 x= y+ 6y+ + y= 9 x= y+ y= x= y y+ 5y= 6 x= y 8y= 6 x y= x y= 6 x y= y= x 6 γ) x y = y x = λύσαµε την η ως προς x αντικαταστήσαµε στη η πράξεις x= y+ y = x=.+ = 6 y = (x, y) = (6, ) η η λυµένη ως προς x αντικατάσταση στη η x (x 6) = y= x 6 x x+ 5= y= x 6 x= y y = x=.= 6 y = απαλοιφή παρανοµαστών λύσαµε τη η ως προς y (x, y) = (6, ) αντικατάσταση στην η x = 0 y = 0 6 = 6

5 5 5. Να λυθούν τα συστήµατα x y= x 8y= x y= x 8y= x y= x y = x = y+ (y + ) 8y= x = y+ 8y + 8y= x = y+ 0y= αδύνατη το σύστηµα αδύνατο Σχόλιο x y= x y = x y= x y = x y = Σχόλιο x = y + (x, y) = (y +, y) 6. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σηµεία Α(, ) και Β(, ). Όπως γνωρίζουµε η εξίσωση µίας ευθείας είναι της µορφής y = αx + β. Πρέπει λοιπόν να βρούµε τα α και β. Η ευθεία διέρχεται από το Α(, ) = α + β () Η ευθεία διέρχεται από το Β(, ) = α + β () Λύνουµε το σύστηµα των (), () και βρίσκουµε α =, β = 5 Η ζητούµενη ευθεία είναι η y = x 5.

6 6. Τα παρακάτω συστήµατα να λυθούν µε τη µέθοδο των αντιθέτων συντελεστών x y= 5 x y= x y= 8 γ) 8x+ y= 5 x y = 0 5x+ y= x y= 5 αντίθετοι οι συντελεστές του y, προσθέτουµε κατά µέλη 8x+ y= 5 x y= 5 x y= 5 αντικατάσταση στην η 0x = 0 x =. y= 5 x = (x, y) = x =, x y= x y = 0 x y= x + y = 0 x y= x = ( ) y= x = ίδιοι οι συντελεστές του y, αλλάζουµε πρόσηµα στη η προσθέτουµε κατά µέλη αντικατάσταση στην η 6 y= x = x =, γ) x y= 8 5x+ y= 0x+ 5y= 0 0x+ y= 9y = 8 0x+ y= πολλαπλασιάζουµε την η µε το 5 και τη η µε το προσθέτουµε κατά µέλη,, 0x+ y= 0x+ ( ) = x = Άρα (x,y) = (, )

7 8. Να λυθεί το σύστηµα (x y) = (x + y) (x ) 6 = (y + 8) 9. Να λυθεί το σύστηµα (x y) = (x + y) (x ) 6 = (y + 8) x y= x + y x 6 = y+ 6 x+ 5y= 0 x y= x= 5y ( 5y) y = x= 5y 5y y = x= 5y x= 5y, y = y = (x+ y) 5(y x) = (x+ y) (x y) = (x+ y) 5(y x) = x+ y 5y+ 5x= (x+ y) (x y) = x+ y x+ y = 8x y= x + 5y = 8x y= x = 5y 8( 5y) y= x = 5y 56 0y y= x = 5y x = 5y x =, x= 0 y =

8 8 0. Να λυθεί το σύστηµα 0,x+ 0,5y = 0,x y = 0,5 0,x+ 0,5y = 0,x y = 0,5 πολλαπλασιάζουµε µε το 0 x+ 5y= 0 x 0y= 5 πολλαπλασιάζουµε την η µε το x+ 0y= 0 x 0y= 5 προσθέτουµε κατά µέλη x+ 0y= 0 x+ 0y= y= 0, x= 5 x = 5 x = 5, x = 5. Οµοίως τα συστήµατα x y+ = x y = x y+ = x = y+ x y = x y = x + y y x = x + y x y = 0 x y= x y= x y= x = αφαιρούµε κατά µέλη, x = 5

9 9 x + y y x = x + y x y = 0 x+ y y+ x= 0 x+ y x+ y= 0 x y= 0 πολλαπλασιάζουµε τη η µε το x + y = 0 x y= 0 προσθέτουµε κατά µέλη x + 9y = 80 x y= 0 x y= 0, 8y= 80 y = 0 x 0= 0 y = 0 x= 0 y = 0. Οµοίως τα συστήµατα x y= x 5,5y= x y= x 5,5y= x y= x + y = 0= 0 x + y = 5x y= ( ) 5x y= 5x y= 5x y= πολλαπλασιάζουµε τη η µε το προσθέτοντας κατά µέλη x + y =, x = y +, x = 5x +y= 9 5x y= 0x +0y= 5x y= y+ προσθέτοντας κατά µέλη αδύνατο Σχόλιο Σχόλιο

10 0. Ένα οικοτροφείο έχει συνολικά 6 δίκλινα και τρίκλινα δωµάτια στα οποία υπάρχουν 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωµάτια ; Έστω x είναι ο αριθµός των δίκλινων και y ο αριθµός των τρίκλινων δωµατίων. Τότε τα κρεβάτια των δίκλινων είναι x και των τρίκλινων y. Με βάση τις υποθέσεις του προβλήµατος θα ισχύει x + y = 6 και x + y = 68 Σύστηµα x+y= 6 ( ) x+y= 68 x y= 5 x+y= 68 6 x+y= 68 6 x+.6= 68 6 x= 0 6 x = 0. Πριν 8 χρόνια η ηλικία του Κώστα ήταν διπλάσια από την ηλικία του Παύλου. Μετά από 9 χρόνια η ηλικία του Κώστα θα είναι τα 5/ της ηλικίας του Παύλου. Να βρεθούν οι ηλικίες των δύο ατόµων. Έστω x είναι η σηµερινή ηλικία του Κώστα και y η ηλικία του Παύλου. x 8= (y 8) x 8= y 6 Τότε σύµφωνα µε το πρόβληµα 5 x + 9 = (y + 9) x+ 6= 5y+ 5 x= y 8 x 5y= 9 x= y 8 (y 8) 5y= 9 x= y 8 8y 5y= 9 x= y 8 y= 8 x= y 8 y = x=. 8= 6 y =

11 5. Η περίµετρος ενός ορθογωνίου είναι 8 cm. Αν αυξήσουµε συγχρόνως τη µία διάσταση κατά 5 cm και την άλλη κατά cm, τότε το εµβαδόν αυξάνεται κατά 65cm. Να βρεθούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Αν x και y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε x + y = 8 και Ε = xy. Μετά τις µεταβολές, οι διαστάσεις θα γίνουν x + 5 και y + και το νέο εµβαδόν θα είναι Ε = (x + 5)(y + ) Σύµφωνα όµως µε το πρόβληµα είναι Ε = Ε + 65 (x + 5)(y + ) = xy + 65 xy + x + 5y + 5 = xy + 65 x + 5y = 60 x+ y= 8 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε x = 5 και y = 9 x + 5y = Να βρείτε τα x και y γνωρίζοντας ότι x + y 5 + 5x y = 0 Πρέπει να ισχύει x + y 5= 0 και 5x y = 0 x+ y= 5 () Σύστηµα. x = και y = 5x y= (). αx y= β+ Να βρείτε τα α και β ώστε το σύστηµα να έχει λύση το x = β+ α ζεύγος (x, y) = (5, ) 5α = β+ Πρέπει να ισχύει.. α = και β = 0 0 = β+ α 8. Να βρείτε τα ρ και λ ώστε η εξίσωση (λ ρ + ) x = 5λ + ρ + 6 να είναι αόριστη. Πρέπει να ισχύει λ ρ + = 0 και 5λ + ρ + 6 = 0 λ ρ= () 6 8 Σύστηµα λ = και ρ = 5λ+ρ= 6 () 9 9

12 9. Ποιο σύστηµα εξισώσεων παριστάνει το διπλανό σχήµα ; Έστω y = αx + β η εξίσωση της ε. Αφού διέρχεται από τα σηµεία (, 0) και (0, ) θα έχουµε το σύστηµα 0=α+β 0=α+β =α.0 + β = β α= β β= α= β= Εποµένως ε : y = x + Αφού η ε διέρχεται από το Ο, θα έχει εξίσωση y = kx. Και αφού διέρχεται από το Α(, ) θα ισχύει = k, k = Εποµένως ε : y = x To ζητούµενο σύστηµα είναι x+ y = x ε ε y O Α(, -) x

13 0. Οι ευθείες ε : x y =, ε : x + y = ε : x + αy = φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. Συµπληρώστε τις προτάσεις Οι συντεταγµένες του Α είναι λύσεις του συστήµατος.. Οι συντεταγµένες του Β είναι λύσεις του συστήµατος γ) Να βρείτε την τιµή του α δ) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Γ. x Γ Ο y y Β ε :x-y = - Α ε : x + αy = ε : x + y = x+α y= Οι συντεταγµένες του Α είναι λύσεις του συστήµατος x y= x+ y= Οι συντεταγµένες του Β είναι λύσεις του συστήµατος x y= γ) Επειδή η ευθεία ε : x + αy = διέρχεται από το Α(, ), ισχύει + α = οπότε α = δ) x+ y= Οι συντεταγµένες του Γ είναι η λύση του συστήµατος.. x + y = x= y = 0 x

14 Μη γραµµικά συστήµατα. Εκτός από τα γραµµικά συστήµατα υπάρχουν βέβαια και µη γραµµικά. Τέτοια συστήµατα είναι εκείνα στα οποία µία τουλάχιστον εξίσωση δεν είναι γραµµική. Τα µη γραµµικά συστήµατα λύνονται κατά κανόνα µε την µέθοδο της αντικατάστασης. Συνήθως λύνουµε τη γραµµική εξίσωση του συστήµατος ως προς τον έναν άγνωστο και συνεχίζουµε κατά τα γνωστά.. Να λυθούν τα συστήµατα x + y= () x + y= () x y= 0 () x y = 6 () x + y= () x y= 0 () Η () δίνει x = y Οπότε η () γίνεται ( y)y =0, y y + 0 = 0 Λύνοντας αυτή την δευτεροβάθµια εξίσωση βρίσκουµε y = ή y = 5 Όταν y = τότε η x = y δίνει x = 5 Όταν y = 5 τότε η x = y δίνει x = Εποµένως οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (x, y) = (5, ) και (x, y) = (, 5) x + y= () x y = 6 () Η () δίνει x = y Οπότε η () γίνεται ( y) y = 6, y + y 5= 0 απ όπου προκύπτει ότι y = 5 ή y = Για y = 5, από την x = y έχουµε x = 9 Για y = από την x = y έχουµε x =. Άρα λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (x, y) = (9, 5) και (x, y) = (, ).

15 5. To άθροισµα των πλευρών δύο τετραγώνων είναι 8m, ενώ η διαφορά των εµβαδών τους είναι 6m. Να βρεθούν τα µήκη των πλευρών των τετραγώνων. Έστω x και y οι πλευρές των δύο τετραγώνων µε x > y. Τα εµβαδά των τετραγώνων είναι Ε = x και Ε = y Σύµφωνα µε το πρόβληµα έχουµε τις εξισώσεις x + y = 8 και x y = 6 Η δεύτερη εξίσωση γίνεται (x + y)(x y) = 6 και λόγω της πρώτης 8(x y) = 6 x y = Λύνοντας το σύστηµα των x + y = 8 και x y = βρίσκουµε x = 5 και y =. Να λυθούν τα συστήµατα + = x y + = x y 5 x+ y = 5 x y = Το σύστηµα αυτό το λύνουµε µε το εξής «κόλπο» Θέτουµε x = α () και y = β () α + β = α = 0 Το σύστηµα παίρνει την µορφή. α+ β = β = Αντικαθιστώντας στις () και () προκύπτει x = και y = Περιορισµός x 0 και y 0 Θέτουµε x = α () και y = β () α+ β = 5α β=. α= β = Τότε οι () και () γίνονται x = x = και y = y = 9