ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

Transcript

1 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου του δεύτερου το µετασχηµατίζουµε σε γινόµενο πρωτοβαθµίων και δευτεροβαθµίων παραγόντων f p q r w w είναι πολυώνυµα Αν =, όπου p( ), q( ), πρώτου ή δευτέρου βαθµού τότε κάνουµε τα εξής: Βρίσκουµε τα πρόσηµα των πολυωνύµων p( ), q( ),, γνωρίζουµε αν βρούµε τις ρίζες τους w, τα οποία Στον ίδιο πίνακα παριστάνουµε τα πρόσηµα των πολυωνύµων p( ),, w( ) και εύκολα βρίσκουµε το πρόσηµο του γινοµένου Παράδειγµα Να βρεθεί το πρόσηµο του γινοµένου: P = Το διώνυµο + έχει ρίζα το Το διώνυµο 4 έχει ρίζα το 4 Το τριώνυµο + έχει ρίζες τους και Το τριώνυµο + έχει ρίζες τους και Το τριώνυµο + 4δεν έχει ρίζες Έχουµε τον πίνακα q, Γ Β ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ΕΥΤΕΡΟΥ Λέγονται οι ανισώσεις της µορφής f > ή βαθµού µεγαλύτερου του δεύτερου f <, όπου f πολυώνυµο ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

2 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Για να λύσουµε τις ανισώσεις αυτές µετατρέπουµε το πολυώνυµο f σε γινόµενο πρωτοβαθµίων και δευτεροβαθµίων παραγόντων και βρίσκουµε το πρόσηµο του γινοµένου Όµοια λύνονται και οι ανίσωσης της µορφής f ή f Γ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Λέγονται οι ανισώσεις της µορφής όπου f( ), g πολυώνυµα f g( ) > ή f g( ) < ή f g ή f Για να λύσουµε τις ανισώσεις αυτές χρησιµοποιούµε τις ισοδυναµίες: f f g g > > 4 f f g g < < f f g και g g f f g και g g g, Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ν ν ν κ κ Θεωρούµε το πολυώνυµο f ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) =, όπου ν, ν,, ν, είναι φυσικοί αριθµοί και ρ κ, ρ,, ρ είναι πραγµατικοί αριθµοί κ Είναι φανερό ότι οι αριθµοί ρ, ρ,, ρ είναι ρίζες του πολυωνύµου f( ) κ Ισχύουν τα επόµενα: I Αν γ είναι ο µεγαλύτερος από τους αριθµούς ρ, ρ,, ρ, τότε το πολυώνυµο κ γ,+ f( ) είναι θετικό στο διάστηµα II Αν ρ, =,,,κ είναι ένα σηµείο τέτοιο ώστε ο εκθέτης ν του παράγοντα ν ( ρ ) είναι περιττός αριθµός, τότε δεξιά και αριστερά του ρ το πολυώνυµο f( ) έχει διαφορετικό πρόσηµο και το σηµείο ρ λέγεται απλό σηµείο Αυτό σηµαίνει ότι όταν περνάµε από ένα απλό σηµείο, το πολυώνυµο αλλάζει πρόσηµο III Αν ρ ένα είναι σηµείο τέτοιο ώστε ο εκθέτης ν του παράγοντα ( άρτιος αριθµός, τότε δεξιά και αριστερά του ρ το πολυώνυµο ν ) ρ είναι f έχει το ίδιο ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

3 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ πρόσηµο και το σηµείο ρ λέγεται διπλό σηµείο Αυτό σηµαίνει ότι όταν περνάµε από ένα διπλό σηµείο, το πολυώνυµο δεν αλλάζει πρόσηµο Με βάση τα προηγούµενα µπορούµε να βρούµε το πρόσηµο του πολυωνύµου f( ) για τις διάφορες τιµές του R Κάνουµε τα εξής: Πάνω στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών σηµειώνουµε µε µαύρους κύκλους όλες τις ρίζες του πολυωνύµου Από δεξιά προς τα αριστερά, αρχίζοντας πάνω από την πραγµατική ευθεία κατασκευάζουµε µια κυµατοειδή καµπύλη, η οποία περνά από όλα τα σηµεία που έχουµε σηµειώσει προηγούµενα, µε τρόπο ώστε όταν η καµπύλη περνά από ένα απλό σηµείο, τότε τέµνει την πραγµατική ευθεία και όταν περνά από ένα διπλό σηµείο, τότε η καµπύλη παραµένει προς την ίδια πλευρά της πραγµατικής ευθείας Αυτή η κυµατοειδής καµπύλη λέγεται καµπύλη προσήµων Το πολυώνυµο f( ) είναι θετικό στα διαστήµατα τα οποία η καµπύλη βρίσκεται πάνω από την πραγµατική ευθεία και αρνητικό στα διαστήµατα τα οποία η καµπύλη βρίσκεται κάτω από την πραγµατική ευθεία Παράδειγµα Θεωρούµε το πολυώνυµο: f = ( )( + ) ( 7) ( ) Η µεγαλύτερη ρίζα του πολυωνύµου είναι 7 f( ) είναι θετικό 7,+ το =, οπότε στο διάστηµα Οι αριθµοί, και 7 είναι απλά σηµεία γιατί τα διώνυµα, και 7 είναι υψωµένα σε περιττή δύναµη Όταν περνάµε από τα σηµεία αυτά, το πολυώνυµο αλλάζει πρόσηµο Οι αριθµοί και είναι διπλά σηµεία γιατί τα διώνυµα + και είναι υψωµένα σε άρτια δύναµη Όταν περνάµε από τα σηµεία αυτά, το πολυώνυµο δεν αλλάζει πρόσηµο Η καµπύλη προσήµων του πολυωνύµου f( ) είναι: 7 Συµπεραίνουµε ότι το πολυώνυµο f () παίρνει: Θετικές τιµές όταν (,) (, ) ( 7, + ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

4 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Αρνητικές τιµές όταν (, ) (,) (,7) Όλα αυτά είναι χρήσιµα για την λύση ανισώσεων που έχουν ή µπορούν να πάρουν την µορφή ν ν νκ ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) > ( < ) κ Για να λύσουµε την ανίσωση κάνουµε τα εξής: Κατασκευάζουµε την καµπύλη προσήµων του πολυωνύµου ν ν νκ κ f = ρ ρ ρ και επιλέγουµε τα κατάλληλα διαστήµατα σύµφωνα µε το σηµείο της ανισότητας Η ένωση αυτών των διαστηµάτων αποτελεί την λύση της ανίσωσης Παρατηρήσεις Είναι φανερό ότι τα προηγούµενα ισχύουν και όταν έχουµε ανίσωση της µορφής: ( α ) ( α ) ( α ) ν ν νκ κ µ ρ µ µ ( β) ( β) ( βρ) > ( < ) η οποία όταν β, β,,βρ, είναι ισοδύναµη µε την ανισώση ν ν ν κ µ µ µ ρ > α α α β β β κ ρ Αν έχουµε ανίσωση της µορφής f ή f, όπου ν ν νκ ( α) ( α) ( ακ) f = µ µ ( β) ( β) ( βρ) µ ρ < πρέπει β,β,,βρ, οπότε τα σηµεία µηδενισµού του αριθµητή τα σηµειώνουµε µε µαύρους κύκλους και συµπεριλαµβάνονται στη λύση, ενώ τα σηµεία µηδενισµού του παρανοµαστή τα σηµειώνουµε µε λευκούς κύκλους και δεν συµπεριλαµβάνονται στη λύση Αν στους όρους της ρητής παράστασης f( ) υπάρχουν παράγοντες καθολικά µη αρνητικοί, µπορούµε να τους παραλείψουµε όταν έχουµε ανίσωση της µορφής f f f f, > ή <, ενώ όταν έχουµε ανίσωση της µορφής ή πρέπει στην λύση να συµπεριλάβουµε τις ρίζες τους, οι οποίες όµως δεν µηδενίζουν τον παρανοµαστή Αν υπάρχουν παράγοντες καθολικά µη θετικοί, τους αλλάζουµε πρόσηµο Παραδείγµατα Να λυθεί η ανίσωση: Έχουµε ( ) ( + ) 5 ( 4) ( ) ( + ) 5 ( 4) > 5 4 > + >, 4 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 4

5 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Τα σηµεία µηδενισµού των διωνύνων που περιέχονται στο γινόµενο είναι =, =, = και 4 = 4 Το = είναι διπλό σηµείο, τα =, =, 4 = 4 είναι απλά σηµεία και στο 4 = 4 δεν ορίζεται η ανίσωση Κατασκευάζουµε την καµπύλη προσήµων και από αυτήν συµπεραίνουµε ότι η λύση της ανίσωση είναι: (,) (, ) ( 4, ) + Να λυθεί η ανίσωση: Έχουµε = + = + = + + Το τριώνυµο + έχει = 9+ 4= 49 και ρίζες οπότε ( )( 5) ( )( + )( + ) + ( )( + 5) ( )( + )( + )( )( + 5) + = + Εποµένως +, ± 7 = =, = 5 Τα σηµεία µηδενισµού των διωνύνων που περιέχονται στους όρους του κλάσµατος είναι = 5, =, =, 4 = και 5 = Είναι όλα απλά σηµεία και στα = 5 και 5 = δεν ορίζετε η ανίσωση 4 5 Κατασκευάζουµε την καµπύλη προσήµων και από αυτήν συµπεραίνουµε ότι η λύση, 5,, της ανίσωσης είναι: [ ] [ ) Να λυθεί η ανίσωση: Έχουµε ( 4 ) ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 5

6 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ( 4 + )( 4 ) ( ) , + > και > + = ψ> και η ( ) γίνεται: Θέτουµε ψ ψ 5ψ+ 6 ψ ψ+ ψ Με την καµπύλη προσήµων Βρίσκουµε ότι: ψ,, + και επειδή [ ] [ ) >, έχουµε ψ (,] [, + ) δηλαδή (,] [, ) [ ) ( ] ( ψ < <,, ή + Εποµένως ή ) (,, + ) Τελικά η λύση της ανίσωσης είναι: (, [, ) (,], + ) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 64 Να λυθεί το σύστηµα: + 4 < Λύνουµε την πρώτη ανίσωση ,8 [ ] Λύνουµε την δεύτερη ανίσωση < < + 4 < 4 < ( )( + ),, Τελικά η λύση του συστήµατος είναι: 8,, [ ) < ψ ψ 8 8 Για ποιες τιµές του α R ισχύει: Έχουµε + α +, για κάθε R + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 6

7 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ + α + α + + και + α + + α + α + + α ( α ) ( α ) + ( ) + γιατί + > για κάθε R Το τριώνυµο 4 + ( α ) + έχει = ( α ) 6= ( α 4)( α 4) ( α 7)( α+ ), οπότε η ανισότητα ( ) είναι αληθής για κάθε R όταν ( α 7) ( α+ ) α [,7] + = + α + α + α ( α + ) 4 + ( α + ) 4 ( α ) Το τριώνυµο ( α+ ) + 4 έχει = ( α+ ) 6= ( α 4)( α 4) ( α )( α+ 6), οπότε η ανισότητα ( ) είναι αληθής για κάθε R όταν ( α ) ( α+ 6) α [ 6,] Άρα, όταν α [,], τότε για κάθε R ισχύει: = + α + ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι: Α { R : ή < } Β { R : ή < < } Γ { R : < ή < } { R : ή } Ε { R : Το άθροισµα των ακεραίων λύσεων της ανίσωσης ( ) ( + 5) Α 8 Β Γ 4 Ε 9 > είναι ίσο µε Ποιο από τα παρακάτω σύνολα είναι λύση της ανίσωσης Α A (, ) A (,) { } ( 6+ 9)( ) = Β B= (, ) { } Γ Γ = (, ) {,} = Ε E = (, ) { } ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 7

8 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ + 4 Το πλήθος των ακεραίων λύσεων της ανίσωσης ( 4+ 4)( 6+ 5) είναι: Α 6 Β 5 Γ 4 Ε ( 4 )( + ) 5 Η µικρότερη ακεραία λύση της ανίσωσης Α Β Γ Ε + 6 Η λύση της ανίσωσης 99 + είναι: ( + ) Α (, ) Β (,) { } Γ (, ) { } (, ) { } Ε [, + ) { } 7 Η λύση της ανίσωσης + 4 ( + ) Α (, 4] Β [ 4, ] Γ (, ] [, + ) { } Ε [,+ ) είναι: 4 είναι: 8 Αν 4, το άθροισµα όλων των ακεραίων τιµών που µπορεί να πάρει ο 4 είναι Α 8 Β 6 Γ 4 Ε 9 Αν µ + µ + µ =, µ R και ισχύει < < τότε το µ παίρνει τιµές στο σύνολο Α, Β 4, Γ, +, Ε (, 4 ) Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης, είναι ρίζες της εξίσωσης ( ) µ µ + µ + =, µ R και ισχύουν < και < < τότε το µ παίρνει τιµές στο σύνολο Α (, ) Β,+ Γ (, ) (, + ) Ε (, ) (, ) Το σύνολο λύσεων του συστήµατος < + + είναι: + Α (, ) Β (,) Γ [, ) (, ) Ε [ ),+ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 8

9 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε το πρόσηµο των γινοµένων: () P() = ( 4 )( 4+ 4)( + ) () Q() = ( )( + )( + 5) Να λύσετε τις ανισώσεις: + > () ( + ) () () ( )( + )( 5) > Να λύσετε τις ανισώσεις: () () < Να λύσετε τις ανισώσεις: () ( )( + 8) < () < 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: () () ( 5)( 9)( ) Να λύσετε τις ανισώσεις: () 64 () 6 Να λύσετε τις ανισώσεις 5 4 () 5 6 (v) > 7 Να λύσετε τις ανισώσεις: ( + ) () > () ( + )( ) 5 8 Να λύσετε τις ανισώσεις: () ( )( + ) + () 4 > () () 4 > < 9 Να λύσετε τις ανισώσεις: () 9 4 ( + )( + ) () 4+ > () 5 > Να λύσετε τις ανισώσεις: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 9

10 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ () < () > Να λύσετε τις ανισώσεις: () () < () () + Να λύσετε τις ανισώσεις: () + 6 () + < Να λύσετε τις ανισώσεις: () + > () ( + ) ( + ) Να λύσετε τις ανισώσεις: + 4 () 4 () > Συστήµατα ανισώσεων 5 Να λύσετε τα συστήµατα ανισώσεων: + < 5 () () < Να λύσετε τo σύστηµα ανισώσεων: () ( )( 8) () + < + < 7 Να λύσετε τα συστήµατα ανισώσεων: () () < < Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 7 () 4 < + < 4+ 6 () < < Ανισώσεις µε απόλυτα 9 Να λύσετε τις ανισώσεις: () > () 4 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

11 o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Να λύσετε τις ανισώσεις: () 5 + < () 6 + Να λύσετε τις ανισώσεις: + () < () Να λύσετε τις ανισώσεις: () + () Γενικές Για ποιες τιµές του α R οι ρίζες της εξίσωσης την συνθήκη + 4 Για ποιες τιµές του α Rη ανισότητα R α α= ικανοποιούν + αληθεύει για κάθε 5 Για ποιες τιµές του α Rτο σύστηµα ανισοτήτων για κάθε R + α + αληθεύει 6 Να λύσετε την εξίσωση β + β 5 β =, β και να βρείτε τις τιµές του β R για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζες αρνητικές 7 Για ποιες τιµές του α R το άθροισµα των ριζών της εξίσωσης: + = α α + α α α είναι µικρότερο από ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ