( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

Transcript

1 ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx+ γ=. Εποµένως το τριώνυµο f (x) = αx + βx+ γ, α έχει διακρίνουσα = β γ, οπότε: Αν > το τριώνυµο έχει δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τον τύπο: β± x1, = α Αν = το τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες που δίνονται από τον τύπο: β x1, = α Αν < το τριώνυµο δεν έχει πραγµατικές ρίζες. I. ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Θεώρηµα Θεωρούµε το τριώνυµο f( x) = αx + βx+ γ, α 1. Αν >, το τριώνυµο έχει δύο ρίζες άνισες x και γράφεται στη µορφή: ( ) = 1 f x α(x x )(x x ). Αν =, το τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες x1= x = ρ και γράφεται στη µορφή: ( ) = f x α(x ρ) 3. Αν <, το τριώνυµο γράφεται στη µορφή: β f( x) = α x + + α Παρατηρήσεις 1. Από το προηγούµενο θεώρηµα έχουµε ότι το τριώνυµο ( ). f x = αx + βx+ γ, α β µπορεί να πάρει την µορφή: f (x) = α x+, οπότε α β Για α>, τότε το τριώνυµο παίρνει ελάχιστη τιµή, όταν x= α β (ii) Για α<, τότε το τριώνυµο παίρνει µέγιστη τιµή, όταν x=. α. Το προηγούµενο Θεώρηµα χρησιµεύει για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο. 3. Είναι φανερό ότι αν το τριώνυµο f( x) = αx + βx+ γ, α έχει διακρίνουσα αρνητική δεν παραγοντοποιείται. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

2 II. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Θεώρηµα Το τριώνυµο f( x) = αx + βx+ γ, α γίνεται: Ετερόσηµο του α, µόνο όταν είναι > και για τις τιµές του x που βρίσκονται µεταξύ των ριζών. Μηδέν, όταν η τιµή του x είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύµου., σε κάθε άλλη περίπτωση. Με την µορφή πινάκων έχουµε 1. Αν > και x οι ρίζες του τριωνύµου τότε: x x x + 1 αx + βx+ γ Ετερόσηµο του α. Αν = και ρ η διπλή ρίζα του τριωνύµου τότε: x ρ + αx + βx+ γ 3. Αν < τότε: x + αx + βx+ γ Ο µ ό σ η µ ο τ ο υ α III. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Ανισώσεις της µορφής αx + βx+ γ> και αx + βx+ γ<, α Για να λύσουµε µία ανίσωση που έχει η µπορεί να πάρει την µορφή ή αx + βx+ γ> αx + βx+ γ< µε α, είναι αρκετό να βρούµε το πρόσηµο του τριωνύµου αx + βx+ γ. Σχόλιο Ανάλογα λύνονται και οι ανισώσεις αx + βx+ γ και αx + βx+ γ µε α. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

3 Παρατήρηση!!! Θεωρούµε το τριώνυµο Η ανισότητα (ii) Η ανισότητα (iii) Η ανισότητα (iv) Η ανισότητα αx + βx+ γ µε α αx + βx+ γ> αληθεύει για κάθε x R, όταν α> και < αx + βx+ γ< αληθεύει για κάθε x R, όταν α< και < αx + βx+ γ αληθεύει για κάθε x R, όταν α> και αx + βx+ γ αληθεύει για κάθε x R, όταν α< και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση. 1. Η λύση της ανίσωσης x < x+ 6 είναι: Α. x< 3ή x> Β. < x< 3 Γ. 3< x<. x> Ε. < x<. Το πλήθος των λύσεων της ανίσωσης A= x Z /1 x 9 είναι { } Α. 3 Β. 4 Γ Ε Η λύση της ανίσωσης x x x< είναι: Α. x (,) Β. x (, ) Γ. x (,). x (, + ) Ε. x (, ) (, ) x 8x+ 1 που ανήκουν στο σύνολο 4. Το άθροισµα των θετικών ακεραίων λύσεων της ανίσωσης Α. 3 Β. 4 Γ Ε. 7 8 x< + είναι: x 5. Αν x είναι ρίζες της εξίσωσης α+ + αx+ 3x x =, α R και ισχύει η σχέση x1+ x >, τότε : Α. 3< α< 1 Β. < α<+ Γ. < α< 3. 3< α<+ Ε. < α< 6. Αν x είναι ρίζες της εξίσωσης x λx+ λ 1=, λ R και ισχύει η σχέση > 3, τότε ο λ παίρνει τιµές στο διάστηµα x x 1 Α. (,1) Β. (,3) Γ. ( 1,+ ). ( 1,3 ) Ε. ( 3, 1) 7. Αν α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί και ισχύουν οι σχέσεις και 3 α α >, τότε ο α παίρνει τιµές στο διάστηµα, 3 7 α β <, Α. ( 1,+ ) Β. ( ) Γ. (,1 ). ( 1,) Ε. (, 1) β β< ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 3

4 ( ) ( x 3x x 3x ) 8 8. Η παράσταση ( x x ) ( x 7x+ 1) είναι ίση µε Α. x + 1 Β. x 1 Γ. x + 1. x 1 x 3 x 3 x 4 x 4 Ε Η ανίσωση x( x 4 ) µ είναι αληθής για κάθε x R όταν το µ παίρνει τιµές στο διάστηµα, Α. ( ) Β. (, ] Γ. [, ]. [,+ ) Ε. [ 3,+ ) 1. Η ανίσωση x αx> x + 5x είναι αληθής για κάθε x R όταν Α. 9< α< 1 Β. 1 α 9 Γ. α> 1. α 9 α R 1, 9 < Ε. { } 11. Η ανίσωση x + αx x 9< είναι αληθής για κάθε x R όταν Α. 8< α< 4 Β. 4< α< 8 Γ. 8< α<+. < α<+ Ε. < α< 4 1. Αν α β < < και η ανίσωση ( β αx) ( x+ α) αληθεύει όταν x [ 3, ] το γινόµενο α β είναι ίσο µε Α. 6 Β. 9 Γ Ε. 18, τότε ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γράψετε δύο τριώνυµα που έχουν ρίζες τους παρακάτω αριθµούς και 3 (ii) 5 και 1 (iii) 1 3 και 3.. Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις ( ) αx α + 3 x+ 6α, α x β α x α αβ (ii) ( ) Να γίνουν γινόµενα παραγόντων οι παραστάσεις: x ψ 4x+ ψ+ 3 (ii) x ψ 7x+ 3ψ Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα 3α 5αβ 8β α + 3αβ+ β (ii) α 9αx+ 14x α αx x. 5. Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα x ( α β) x αβ x + α+ β x+ αβ ( ) (ii) 4 x 38x x 39x ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 4

5 6. Να βρείτε το πρόσηµο των παρακάτω τριωνύµων για τις διάφορες πραγµατικές τιµές του x R. κ + 1 x κx+ 1, κ R (ii) x + λx λ, λ R. ( ) 7. Να λύσετε τις ανισώσεις x 3x+ 5> (ii) 8. Να λύσετε τις ανισώσεις 35x + x 6 (ii) 9. Να λύσετε τις ανισώσεις x 14x 15< (iii) 1x + 19x+ 6 (iii) x x. 5x ( x+ 3)( x 1) > 4x+ 9 (ii) ( ) ( ) 1. Να λύσετε τις ανισώσεις 6x <. 4x 3 + x 7x 6. ( ) 1< (ii) ( x+ 3 ) x ( x 3 ) ( 3x 1 ) x x 7 11x x Να λύσετε τις ανισώσεις x x 3x 1 (ii) (x 11) (6x 1) 7x 3 > Να λύσετε τις ανισώσεις x 5 x + 6< (ii) x x. 13. Να λύσετε τις ανισώσεις x x < x (ii) x 3x + x <. 14. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία το τριώνυµο τιµές µικρότερες από το τριώνυµο g(x) = x + x Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία το τριώνυµο τιµές µεγαλύτερες από το τριώνυµο 16. Για ποιες τιµές του λ R το τριώνυµο κάθε x R. g(x) = x 4x Για ποιες τιµές του α R η εξίσωση ( ) ( ) πραγµατικές άνισες. 18. Για ποιες τιµές του µ R η εξίσωση ( ) ύο ρίζες πραγµατικές άνισες (ii) ύο ρίζες ίσες f (x) = x 5x+ 7 παίρνει f (x) = 3x 5x+ 1παίρνει φ(x) = 4x 3x+ 1 λ γίνετε θετικό για α x α+ 1 x+ α 1= έχει ρίζες µx µ 3 x+ 4= έχει: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 5

6 (iii) εν έχει πραγµατικές ρίζες. 19. Για τις διάφορες τιµές του α R να βρείτε το πλήθος και το είδος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: α x α x αx α+ 1 x+ α 1=. ( ) + ( ) + = (ii) ( ). Για τις διάφορες τιµές του λ R, να λύσετε τις εξισώσεις: x λx λ 3 λ 1 x λ 3 x λ+ 3=. + + = (ii) ( ) ( ) 1. Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω ανισότητες αληθεύουν για κάθε x R x α 3 α+ 6 (ii) ( α+ 4) x αx+ α 6<. ( ). Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω ανισότητες αληθεύουν για κάθε x R α 1 x α+ 1 x+ α+ 1> (ii) ( α ) x 8x+ α+ 4. ( ) ( ) 3. Για ποιες τιµές του α R οι παρακάτω ανισότητες αληθεύουν για κάθε x R x ( 1) x+ 15α α 7 (ii) ( ) 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) τις τιµές του λ R. α 3 x αx+ 3α 6<. x + λx λ+ = έχει πραγµατικές ρίζες για όλες 5. Για ποιες τιµές του κ R το τριώνυµο ( ) τετράγωνο ενός διωνύµου. 6. Για ποιες τιµές του κ R το τριώνυµο ( ) αναλύεται σε γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων. x κ+ 7 x+ κ+ 13γίνεται τέλειο x κ 3 x 3κ 5κ δεν 7. Αν α, β, γ είναι τα µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το τριώνυµο ( ) f (x) β x β γ α x γ = είναι θετικό για κάθε x R. 8. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R το τριώνυµο f (x) = x 1λx+ 7λ αναλύεται σε γινόµενο δυο πρωτοβαθµίων παραγόντων. 9. Η εξίσωση ( ) 3x α α 6 x α + + =, α R έχει µία ρίζα x1=. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε α R (ii) Να βρείτε την ρίζα x της εξίσωσης συναρτήσει του α (iii) Να βρείτε τις τιµές του α για τις οποίες ισχύει x > 1 (iv) Να βρείτε τις τιµές του α για τις οποίες ισχύει ( ) 4 α α x1 + x = 4. 9 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 6

7 3. Έστω x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης ( ) του λ R για τις οποίες ισχύει 31. Αποδείξτε ότι η παράσταση x, ψ R. x + x 16 8λ. 1 x λ+ 1 x+ 4λ=. Να βρείτε τις τιµές x 6xψ+ 5ψ + x 8ψ+ 14 είναι θετική για κάθε 3. Αν x είναι ρίζες της εξίσωσης x 3x+ κ= να βρείτε τις τιµές του κ R έτσι ώστε να ισχύει: 3x x + 3x x + x x ίνονται οι παραστάσεις: A= x + 3 x 1 x 4και B= 3x 3 3 x 4x x 3x Για ποιες τιµές του x R και οι δύο παραστάσεις είναι ανεξάρτητες του x (ii) Αν x< 1να αποδείξετε ότι A+ B (iii) Αν x 3 να λύσετε την εξίσωση: 3A B= 18x (iv) Αν x να δείξετε ότι: A 3B= 3. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 7