Theoretcl Competton: July Queston ge of. Ηλεκτρισμένη Σαπουνόφουσκα Θεωρήστε μια σφαιρική σαπουνόφουσκα ακτίνας. Ο αέρας στο εσωτερικό της σαπουνόφουσκας έχει πυκνότητα ρ και θερμοκρασία T. Η σαπουνόφουσκα περιβάλλεται με αέρα πυκνότητας ρ, ατμοσφαιρικής πίεσης και θερμοκρασίας T. Η μεμβράνη της σαπουνόφουσκας έχει επιφανειακή τάση γ, πυκνότητα ρ s και πάχος t. Η μάζα και η επιφανειακή τάση της σαπουνόφουσκας δεν αλλάζουν με τη θερμοκρασία. Υποθέστε ότι >> t. Η αύξηση της ενέργειας, de, που χρειάζεται για να αυξήσει το εμβαδόν της επιφάνειας της μεμβράνης της σαπουνόφουσκας κατά da, δίνεται από τη σχέση de = γ da, όπου γ είναι η επιφανειακή τάση της μεμβράνης.. Να προσδιορίσετε το λόγο ρ ι T ρ T, σε συνάρτηση των μεγεθών γ, και. [. pont]. ρ T Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του λόγου ι, χρησιμοποιώντας ρ T γ =,5 Nm., =, cm και 5 =,x N. m. [.pont]. Η σαπουνόφουσκα αρχικά σχηματίστηκε από θερμότερο αέρα στο εσωτερικό της. Να υπολογίσετε την ελάχιστη αριθμητική τιμή της θερμοκρασίας T, έτσι ώστε η σαπουνόφουσκα να επιπλέει περιβαλλόμενη από ακίνητη μάζα αέρα. Χρησιμοποιήστε T = K, ρ s = kg. m, ρ =, kg. m, t = nm και g = 9,8 m. s. [.7ponts] Μετά το σχηματισμό της η σαπουνόφουσκα θα αποκτήσει θερμική ισορροπία με το περιβάλλον της. Αυτή η σαπουνόφουσκα, περιβαλλόμενη από ακίνητη μάζα αέρα, φυσιολογικά πέφτει κατακόρυφα προς το έδαφος.. Να προσδιορίσετε την ελάχιστη ταχύτητα u μιας αέριας μάζας η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και εμποδίζει την πτώση της σαπουνόφουσκας όταν αυτή βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον της. Να δώσετε την απάντησή σας σε συνάρτηση των μεγεθών ρ s,, g, t και του συντελεστού ιξώδους του αέρα, n. Υποθέστε ότι η ταχύτητα της αέριας μάζας είναι σχετικά μικρή ώστε να ικανοποιείται ο νόμος του Stokes. Αγνοήστε τη μεταβολή της ακτίνας της σαπουνόφουσκας λόγω της πτώσης της θερμοκρασίας της. Η αντίσταση του αέρα από το νόμο του Stokes είναι F = 6π n u. [.7ponts].5 Να υπολογίσετε την τιμή της ταχύτητας u χρησιμοποιώντας 5 n,8x kg. m =. s. [.pont]
Theoretcl Competton: July Queston ge of Οι όροι που περιέχουν την επιφανειακή τάση γ στις απαντήσεις των πιο πάνω ερωτημάτων, δεν επηρεάζουν τόσο πολύ την ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Μπορείτε λοιπόν να παραλείψετε τους όρους που περιέχουν την επιφανειακή τάση γ σε όλα τα πιο κάτω ερωτήματα..6.7.8 Αν αυτή η σφαιρική σαπουνόφουσκα ηλεκτριστεί ομοιόμορφα με συνολικό φορτίο, να προσδιορίσετε την εξίσωση που δίνει τη νέα ακτίνα σε συνάρτηση των μεγεθών,, και της διηλεκτρικής σταθεράς του κενού ε. [.5ponts] Υποθέστε ότι το συνολικό φορτίο δεν είναι υπερβολικά μεγάλο (.e. << ) και η ε ακτίνα της σαπουνόφουσκας αυξάνεται πολύ λίγο. Υπολογίστε τη μεταβολή Δ όπου n = +Δ. Δίνεται ότι ( + x) + nx, όπου x <<. [.5 pont] Να προσδιορίσετε την εξίσωση που δίνει την τιμή του φορτίου σε συνάρτηση των μεγεθών t, ρ, ρ s, ε,, έτσι ώστε η σαπουνόφουσκα να παραμένει ακίνητη, περιβαλλόμενη από ακίνητη μάζα αέρα. Να υπολογίσετε, επίσης, την τιμή του φορτίου. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά του κενού ε = 8,85x frd. m. [. pont]
Theoretcl Competton: Soluton Queston ge of 7. SOLUTION.. The bubble s surrounded by r., T,, T, O s, t Cuttng the sphere n hlf nd usng the projected re to blnce the forces gve () The pressure nd densty re relted by the del gs lw: T V nt or, where M = the molr mss of r. () M Apply the del gs lw to the r nsde nd outsde the bubble, we get M T M T, T T ()
Theoretcl Competton: Soluton Queston ge of 7.. Usng of the rto s.5 Nm,. cm 5 nd. Nm, the numercl vlue T T. () (The effect of the surfce tenson s very smll.).. Let W = totl weght of the bubble, F = buoynt force due to r round the bubble W mss of flm+mss of r st g T stg g T g (5) The buoynt force due to r round the bubble s B g (6) If the bubble flots n stll r, B W T g stg g T (7) errngng to gve T T st 7. K (8) The r nsde must be bout 7. C wrmer.
Theoretcl Competton: Soluton Queston ge of 7.. Ignore the rdus chnge dus remns. cm (The rdus ctully decreses by.8% when the temperture decreses from 7. K to K. The flm tself lso becomes slghtly thcker.) The drg force from Stokes Lw s F 6u (9) If the bubble flots n the updrught, F W B 6 u st g g () When the bubble s n therml eulbrum T T. 6 u st g g errngng to gve u g s tg () 6 6.5. The numercl vlue s.6 m/s u. The nd term s bout orders of mgntude lower thn the st term. From now on, gnore the surfce tenson terms..6. When the bubble s electrfed, the electrcl repulson wll cuse the bubble to expnd n sze nd thereby rse the buoynt force. The force/re s (e-feld on the surfce chrge/re) There re two lterntves to clculte the electrc feld ON the surfce of the sop flm.
Theoretcl Competton: Soluton Queston ge of 7 A. From Guss s Lw Consder very thn pll box on the sop surfce., T O, T, E E = electrc feld on the flm surfce tht results from ll other prts of the sop flm, excludng the surfce nsde the pll box tself. E = totl feld just outsde the pll box = = E + electrc feld from surfce chrge = E E Usng Guss s Lw on the pll box, we hve s result of symmetry. E perpendculr to the flm Therefore, E E E () B. From drect ntegrton A o O chrge sn.
Theoretcl Competton: Soluton Queston ge 5 of 7 To fnd the mgntude of the electrcl repulson we must frst fnd the electrc feld ntensty E t pont on (not outsde) the surfce tself. Feld t A n the drecton OA s E E A A sn sn cos sn 8 cos d () The repulsve force per unt re of the surfce of bubble s E () Let nd be the new pressure nd densty when the bubble s electrfed. Ths electrc repulsve force wll ugment the gseous pressure. s relted to the orgnl through the gs lw. (5) In the lst euton, the surfce tenson term hs been gnored. From blncng the forces on the hlf-sphere projected re, we hve (gn gnorng the surfce tenson term) (6) 5
Theoretcl Competton: Soluton Queston ge 6 of 7 errngng to get (7) Note tht (7) yelds when, s expected..7. Approxmte soluton for when Wrte, Therefore,, (8) E. (7) gves: (9) 96 96 96 ().8. The bubble wll flot f B W g stg g () Intlly, T T for nd 6
Theoretcl Competton: Soluton Queston ge 7 of 7 g stg g g stg g stg 96 96 t s () 9 56 C 56 nc Note tht f the surfce tenson term s retned, we get 96 7