ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Transcript

1 ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΕΡΕΗ ΣΦΑΙΡΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ REYNOLDS ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

2 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΕΡΕΗ ΣΦΑΙΡΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ REYNOLDS ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ένας μηχανισμός του καθαρισμού του νερού είναι η καθίζηση, όπου το νερό οδηγείται σε δεξαμενές ηρεμίας για να καθίσουν τα στερεά σωματίδια (π.χ. ιλύς), που βρίσκονται μέσα σ αυτό. Μας ενδιαφέρει συνεπώς να ξέρουμε την ταχύτητα καθιζήσεως ενός στερεού κόκκου γνωστής πυκνότητας και γεωμετρίας. Ηταχύτητα καθιζήσεως της σφαίρας μπορεί να βρεθεί αν γνωρίζουμε τη ροή γύρω από την σφαίρα. Ο αριθμός Reynolds βασίζεται σε κάποια τυπική διάσταση του κόκκου D, π.χ. για σφαιρικό κόκκο με D=0.01 cm, που καθιζάνει σε νερό (ν=0.01 cm 2 /s) οαριθμόςreynolds είναι: Re= UD/ν = U όπου U η ταχύτητα καθιζήσεως σε cm/sec.

3 Re= UD/ν = U Ένας κόκκος διαμέτρου 0.01 cm καθιζάνει με μικρή ταχύτητα, περίπου 0.51 cm/sec, οπότε ο αριθμός Reynolds της ροής γύρω από τον σφαιρικό αυτό κόκκο, θα είναι μικρός ίσος με Συνεπώς η ροή είναι στρωτή, οι δυνάμεις αδρανείας είναι πολύ μικρές και παραλείπονται, και όπως θα δούμε στη συνέχεια μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση. Για μεγάλους όμως αριθμούς Reynolds οι δυνάμεις αδρανείας δεν παραλείπονται οπότε το μαθηματικό μοντέλο της ροής αυτής δεν λύνεται. Αν προσπαθήσουμε να βρούμε μια λύση με τον H/Y, παρουσιάζονται σοβαρότατες δυσχέρειες, με αποτέλεσμα να μπορούμε να βρούμε λύσεις μόνο για ορισμένες περιοχές του αριθμού Reynolds.

4 Οι βασικές δυσκολίες (τόσο της αναλυτικής όσο και της αριθμητικής λύσης), οφείλονται στο γεγονός, ότι για αριθμούς Reynolds μεγαλύτερους π.χ. από 10, αναπτύσσονται διάφοροι στρόβιλοι γύρω από τη σφαίρα, οπότε η ροή γίνεται μη μόνιμη και ασταθής. Και έτσι τελικά η ταχύτητα καθιζήσεως του σφαιρικού κόκκου δεν μπορεί να υπολογισθεί γενικά, γιατί δεν μπορούμε να γνωρίσουμε αναλυτικά τη στρωτή ροή γύρω από τη σφαίρα για κάθε αριθμό Reynolds. Αδύνατο να βρεθεί αναλυτική λύση, όταν η γεωμετρία του κόκκου είναι ακανόνιστη. Ας ξανατονισθεί, ότι η αριθμητική λύση ρίχνει φως σ ένα συγκεκριμένο πρόβλημα ή οικογένεια συγγενών προβλημάτων, αλλά δεν μας δίνει το συμπυκνωμένο μήνυμα που περιέχεται σε οποιαδήποτε αναλυτική έκφραση.

5 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΕΡΕΗ ΣΦΑΙΡΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ REYNOLDS ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ α) Το πεδίο ταχυτήτων και πιέσεων της ροής γύρω απο μια σφαίρα Η πιο γνωστή λύση της προσεγγιστικής επίλυσης για μικρούς αριθμούς Reynolds είναι η ροή γύρω από μία σφαίρα διαμέτρου D. Η περίπτωση αυτή (Re<<1) U 0 συναντάται σε προβλήματα καθίζησης μικρών στερεών κόκκων, σε προβλήματα διασποράς μικρών σωματιδιακών ρυπαντών κ.λπ. r u θ θ 2R u r x Το φυσικό μέγεθος, που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα προβλήματα αυτά, είναι η δύναμη που εξασκείται από το ρευστό στο στερεό σφαιρικό σώμα, η οποία ονομάζεται σύρση (Drag), ή αντίσταση. Γνωρίζοντας τη δύναμη αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε την οριακή ταχύτητα (ταχύτητα καθίζησης) του στερεού σώματος.

6 To μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος αυτού δέχεται σαν λύση: 3R R 3 u θ u r (r,θ,φ)=υ0 cosθ 1 + 2r 2r 3 3R R 3 u θ (r,θ,φ)= υ0 sin θ 1 4r 4r 3 p(r,θ,φ)=p 3 μυ R o r cosθ όπου p 0 η πίεση του περιβάλλοντος ή η γνωστή πίεση για r. Μπορούμε να επαληθεύσουμε, ότι οι παραπάνω εξισώσεις αποτελούν τη λύση του προβλήματος της ομοιόμορφης ροής γύρω από στερεή ακίνητη σφαίρα με αντικατάστασή τους στις προσεγγιστικές εξισώσεις Navier-Stokes γραμμένες σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες και παρατηρώντας, ότι ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες. Η λύση αυτή βρέθηκε για πρώτη φορά από τον Stokes το 1851, και γι αυτό καλείται πολλές φορές ροή stokes (Stokes flow), ηδεδύναμη αντίστασης στη ροή της σφαίρας, που υπολογίζεται με βάση την ανωτέρω λύση, λέγεται αντίσταση stokes (stokes drag) 2R r θ u r x

7 Παρατηρούμε, ότι οι εξωτερικές δυνάμεις μπορούν να τεθούν ίσες με μηδέν (χωρίς η λύση να χάνει σε γενικότητα), και ότι λόγω συμμετρίας σε πολικές (σφαιρικές) συντεταγμένες έχουμε u φ =0, / φ=0. U 0 r u θ θ 2R u r x Οι οριακές συνθήκες του προβλήματος είναι: α) η συνθήκη μη ολίσθησης στην επιφάνεια της σφαίρας u r (r,θ,φ)=u θ (r,θ,φ)=0 για r=r, β) για r, η ροή είναι ομοιόμορφη, δηλαδή u r (,θ,φ) υ 0 cosθ u θ (,θ,φ) -υ 0 sinθ 3R u (r,θ,φ)=υ cosθ 1 + 2r R 3 2r r 0 3 3R u (r,θ,φ)= υ sin θ 1 4r R 3 4r θ 0 3

8 3R u (r,θ,φ)=υ cosθ 1 + 2r R 3 2r r 0 3 3R u (r,θ,φ)= υ sin θ 1 4r R 3 4r θ 0 3 p(r,θ,φ)=p 3 μυ R o r Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι: 4R Οι ταχύτητες u r και u θ είναι ανεξάρτητες του ιξώδους του ρευστού, παρά το γεγονός ότι έχουμε στρωτή ροή ιξώδους ρευστού. Γενικότερα, αυτή είναι μια αλήθεια για κάθε λύση της προσεγγιστικής εξίσωσης, δηλαδή για όλες τις αργές κινήσεις. Το ιξώδες μ εμφανίζεται μόνο στην πίεση. Οιγραμμέςροήςψ(r,θ) παρουσιάζουν συμμετρία ως προς το επίπεδο, που είναι κάθετο στον άξονα x στο σημείο (κέντρο) 0.Τα φαινόμενα τύπου αύλακος (wake),και στροβιλισμών πίσω από τη σφαίρα δεν εμφανίζονται. Αυτό οφείλεται στη παράλειψη των αδρανειακών όρων. Η ταχύτητα είναι παντού μικρότερη από την ομοιόμορφη ταχύτητα υ 0. Η παρουσία της σφαίρας μέσα στη ροή γίνεται αισθητή σε αποστάσεις r που είναι σημαντικές σε σχέση με την ακτίνα R της σφαίρας. Πράγματι σε απόσταση r=10r, οι ταχύτητες παραμένουν 10% μικρότερες της ταχύτητας υ 0 της αδιατάραχτης ομοιόμορφης ροής. ψ(r,θ)=υ 0 R 2 sin 2 θ R 4r 3r + cos θ r 2 2R 2

9 Η περίπτωση ακίνητου ρευστού και σφαίρας κινούμενης με ταχύτητα σταθερή και ίση με υ 0 συνδέεται άμεσα με την προηγούμενη λύση και τροποποιώντας τις οριακές συνθήκες, βρίσκουμε, ότι η σφαίρα που κινείται με σταθερή ταχύτητα υ 0 σεακίνητορευστόδημιουργείγύρω της ροή, που σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων κινούμενο με τη σφαίρα έχει συνιστώσες: 3R R 3 ur ( r,θ) = υ0cosθ 2r 2r 3 3R R 3 u θ ( r,θ) = υ0 sin θ + 4r 4r 3 p(r,θ,φ)=p 3 μυ R o r cos θ

10 β) Υπολογισμός της δύναμης αντίστασης στερεάς σφαίρας σε ομοιόμορφη αργή ροή ταχύτητας Uο (Re<1). Χρησιμοποιώντας την παραπάνω λύση για το πεδίο ταχυτήτων και για τις πιέσεις, μπορούμε να υπολογίσουμε τη δύναμη που εξασκεί η ομοιόμορφη ροή με ταχύτητα U 0 σε ακίνητη σφαίρα. Η δύναμη αυτή είναι η ίδια με την αντίσταση που εξασκείται σε κινούμενη σφαίρα με σταθερή ταχύτητα U 0 ως προς το ρευστό. Είναι προφανές, ότι η δύναμη θα είναι παράλληλη προς τη διεύθυνση της ροής. Συνεπώς, για να την υπολογίσουμε πρέπει να βρούμε το ολοκλήρωμα της προβολής στον άξονα x(όπου θ=0) των τάσεων σ ij που ενεργούν σ όλη την επιφάνεια της σφαίρας. ( ) rr F = σ cosθ σ rθ sinθ ds Αντίσταση σφαίρας σε αργή ροή (Re<<1): F=6 π R μ U 0

11 Η παραπάνω σχέση οφείλεται στον Stokes (1851) και είναι γνωστή στη διεθνή βιβλιογραφία σαν νόμος του Stokes για την δύναμη αντίστασης σφαίρας στη διεύθυνση της ροής (Stokes s drag law). Οι τάσεις σ rr και σ rθ παίρνουν τις ίδιες τιμές στις δύο ισοδύναμες περιπτώσεις: α) σφαίρα ακίνητη - ροή γύρω από τη σφαίρα, β) ρευστό ακίνητο - σφαίρα κινούμενη με σταθερή ταχύτητα υ 0, και συνεπώς, η ασκούμενη δύναμη F είναι η ίδια. Τα πειραματικά αποτελέσματα για μικρούς αριθμούς Reynolds (Re<0.5) ταυτίζονται με τη θεωρητική λύση. Για μεγαλύτερους αριθμούς Reynolds η λύση και τα πειραματικά αποτελέσματα διαφέρουν κατά ποσοστό που αυξάνει με την αύξηση του Re.

12 Βέβαια αυτό το περιμέναμε, γιατί ο νόμος του Stokes προήλθε από την προσεγγιστική εξίσωση που ισχύει για Re<<1. Το γεγονός ότι η λύση εξακολουθεί να ισχύει μέχρι Re 0.5 είναι σημαντικό. Για μεγαλύτερους αριθμούς Reynolds (π.χ. Re=100) η ροή εξακολουθεί να είναι στρωτή αλλά ο νόμος του Stokes δεν ισχύει. Ένας κόκκος άμμου, που καθιζάνει σε νερό, ικανοποιεί τη συνθήκη Re<<1, όταν η διάμετρός του είναι μικρότερη από 0.12 χιλιοστά, ενώ για μια σταγόνα νερού που πέφτει στον αέρα η συνθήκη αυτή ικανοποιείται για διάμετρο σταγόνας μικρότερη από 0.8 χιλιοστά.

13

14 Είναι συνηθισμένο στις εφαρμογές να εφαρμόζουμε τη δύναμη αντίστασης F που εξασκείται σ ένα σώμα από τη ροή με τη βοήθεια ενός αδιάστατου συντελεστή, του συντελεστή αντίστασης C D, οοποίος προκύπτει διαιρώντας την F με το ρυ και με την επιφάνεια προβολής του σώματος σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση της ροής (ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού). Για ροή Stokes (Re<0.5), αντικαθιστώντας την: F=6 π R μ U 0 βρίσκουμε: F C D = 1 ρυ πr 2 24 C D = Re

15 Συντελεστής αντίστασης CD για αριθμούς Reynolds από 0.1 έως 106 που υπολογίσθηκε πειραματικά Μια εμπειρική έκφραση για το συντελεστή αντίστασης που ισχύει για μεγάλη περιοχή αριθμών Reynolds είναι η ακόλουθη: 24 6 CD Re 1+ Re για 0<Re<2x105

16 γ) Ταχύτητα καθίζησης μικρών στερεών σφαιρών Ας θεωρήσουμε μια στερεή σφαίρα, που πέφτει ελεύθερα σ ένα ακίνητορευστόυπότηνεπίδρασητηςδύναμηςτηςβαρύτητας. Αν ρ σ είναι η πυκνότητα του στερεού σώματος και ρ η πυκνότητα του ρευστού, τότε η δύναμη βαρύτητας είναι: Β= 4 ( ) 3 πr3 ρ σ ρ g Όταν η δύναμη βαρύτητας γίνει ίση με την δύναμη αντίστασης F που ενεργεί πάνω στη σφαίρα λόγω της κίνησής της, τότε η σφαίρα θα κατέρχεται με σταθερή ταχύτητα υ g. Αναυτήηοριακήταχύτηταυ g είναι τέτοια, ώστε Re=υ g (2R)/ν<0.5, τότε εφαρμόζεται ο νόμος του Stokes, και έχουμε: F 6πμRυ ( 4 g 3 ) πr 3 ( ρ σ ρ) 2 R = = g 2 g υ g = 1 ΟαριθμόςReynolds για την οριακή ταχύτητα παίρνει τη μορφή: ( ) υ g 2R 4 R 3 g ρ Re σ = = ν 9 ν 2 1 ρ 9 ν ρ σ ρ

17 Για μεγαλύτερους αριθμούς Reynolds θέτουμε για τη δύναμη F 1 F C ( ) D 2 ρυ g 2 = πr 2 και συνδυάζοντάς την με την Β= 4 ( ) 3 πr3 ρ σ ρ g βρίσκουμε ότι η ταχύτητα καθίζησης για Re>0.5 δίνεται από: υ 2 8 g = 3 ( ) g ρ σ ρ C D ρ R Σχετικά πρόσφατα έχουν αναπτυχθεί ημιεμπειρικοί τύποι, που υπολογίζουν την ταχύτητα καθίζησης σωματιδίων τόσο μικρών όσο και μεγάλων, σε περιοχή στρωτής ροής ή τυρβώδους. Στη συνέχεια παρατίθενται δύο τέτοιοι τύποι, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στον υπολογισμό της ταχύτητας καθίζησης στις δεξαμενές καθίζησης. O Nian-Sheng Cheng (1997) ορίζει την αδιάστατη παράμετρο d ( ρ ρ)g = ρν σ * 2 1/3 d

18 Ο συντελεστής αντίστασης δίνεται (για οποιοδήποτε αριθμό Reynolds) και η ταχύτητα καθίζησης Ug βρίσκεται από την αδιάστατη εξίσωση: C 4 d 3Re 3 * D 2 U d 0 = ( 2 = d 5) 1.5 Ένας άλλος τύπος (για μικρούς και μεγάλους αριθμούς Reynolds) προταθείς από τον Zhang (1989), δίνεται από τη (μη αδιάστατη) σχέση: ν ( ρ ρ)gd ν d ρ d 2 σ U o = (13.95 ) όπου το ιξώδες ν εκφράζεται σε cm 2 /s, η ταχύτητα καθίζησης Uo σε cm/s, και η διάμετρος d σε cm. Παρά το γεγονός ότι η ανάλυση που προηγήθηκε έγινε για ρευστό ασυμπίεστο, η ίδια ανάλυση ισχύει για σωματίδια στον αέρα, γιατί τα συμπιεστά ρευστά (όπως π.χ. οαέρας) ακολουθούν τους ίδιους νόμους για την δύναμη αντίστασης, για την οριακή ταχύτητα κ.λπ. Αυτό συμβαίνει γιατί, για πολύ μικρές ταχύτητες τα φαινόμενα συμπιεστότητας είναι αμελητέα. ν *