Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228

απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding): Η αντιστοι χιση των κορυφω ν του γραφη ματος σε σημει α του επιπε δου και των ακμω ν σε καμπυ λες που ενω νουν τα σημει α που αντιστοιχου ν στα α κρα της ακμη ς επίπεδη απεικόνιση: Μια απεικο νιση στην οποι α: οι καμπυ λες που αντιστοιχου ν σε ακμε ς δεν τε μνουν τον εαυτο τους 2 καμπυ λες τε μνονται μο νο σε σημει α που αντιστοιχου ν σε κορυφη στην οποι α και οι δυ ο προσπι πτουν Επίπεδο γράφημα (Planar graph): Ένα γρα φημα το οποι ο ε χει μια επι πεδη απεικο νιση Ενεπίπεδο γράφημα (Plane graph): Ένα επι πεδο γρα φημα το οποι ο συνοδευ εται απο μια συγκεκριμε νη επι πεδη απεικο νιση Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 212 / 228

1 2 5 6 1 2 5 6 4 3 8 7 8 7 4 3 1 e 1 2 Μη επι πεδη απεικο νιση του Επι πεδη απεικο νιση του υπερκυ βου Q 3 f 0 f υπερκυ βου Q 3 e 2 1 7 f όψεις ενεπίπεδου γραφήματος: e 3 e 2 8 e 4 Τα ενωμε να τμη ματα του R 2 6 f e 9 που προκυ πτουν εα ν e 3 7 5 e 6 αφαιρε σουμε τις κορυφε ς και τις ακμε ς ενο ς γραφη ματος απο μια επι πεδη απεικο νιση του 4 e 5 3 f 0 : εξωτερικη ο ψη 2 περιθώριο όψης (face boundary): e Η περιη γηση που προκυ πτει απο τις ακμε ς και 2 7 f e 2 8 κορυφε ς που προσπι πτουν σε μια ο ψη f ενο ς e 4 6 f e 9 ενεπι πεδου γραφη ματος G (σε clockwise η ccw e 3 7 5 e 6 δια ταξη). Μερικε ς ακμε ς/κορυφε ς μπορει να 4 e 5 3 εμφανι ζονται 2 φορε ς περιθω ριο της f 2 : 2e 4 3e 6 5e 9 7e 8 6e 7 5e 6 3e 5 4e 2 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 213 / 228

Θεώρημα 11.1[Euler-1750]: Έστω συνδεδεμε νο ενεπι πεδο γρα φημα G με n κορυφε ς, m ακμε ς και f ο ψεις. Το τε ισχυ ει n + f = m + 2 (1) Απόδειξη [με επαγωγή στο πλήθος ακμών]: G συνεκτικο m n 1 (2) Βα ση: m = n 1 Ε.Υ. Το G ει ναι δε νδρο f = 1 (3) n + f = m + 2 (2),(3) n + 1= n 1 + 2 n + 1= n + 1 Έστω ο τι για κα θε ενεπι πεδο συνδεδεμε νο γρα φημα με k ακμε ς (k n 1) ισχυ ει το θεω ρημα Ε.Β. Θα δει ξω ο τι το θεω ρημα ισχυ ει για ενεπι πεδα συνδεδεμε να γραφη ματα με k + 1 ακμε ς Έστω ενεπι πεδο συνδεδεμε νο γρα φημα G με m G = k + 1 ακμε ς, n G κορυφε ς και f G ο ψεις Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 214 / 228

m G = k + 1 n Το G ε χει κυ κλο, και α ρα ε χει τουλα χιστον μια εσωτερικη ο ψη Έστω e μια ακμη που ανη κει στον κυ κλο που ορι ζει μια εσωτερικη ο ψη του G Κατασκευα ζω το ενεπι πεδο γρα φημα G αφαιρω ντας απο το G την ακμη e Το G ε χει f G = f G 1 ο ψεις και m G = m G 1 = k ακμε ς Απο επαγωγικη υπο θεση ε χουμε G n G + f G = m G + 2 n G + (f G 1) = (m G 1) + 2 n G + f G = m G + 2 το οποι ο ει ναι το ζητου μενο για το γρα φημα G e Πόρισμα 11.2: Ο αριθμο ς των ο ψεων ενο ς επι πεδου συνδεδεμε νου γραφη ματος δεν εξαρτα ται απο την επι πεδη απεικο νιση του Απόδειξη : Ο αριθμο ς των ο ψεων (απο το Θ. Euler) ει ναι πα ντα ι σος με m n + 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 215 / 228

Ερώτηση 11.1: Πω ς μεταβα λλεται ο τυ πος του Euler για γραφη ματα με k συνεκτικε ς συνιστω σες? Βαθμός όψης: Ο αριθμο ς των ακμω ν μιας ο ψης. Συμβολι ζεται με d(f). Ακμε ς που προσπι πτουν σε μια μο νο ο ψη προσμετρου νται 2 φορε ς f 1 d(f 0 ) = 8 d(f 1 ) = 4 f 0 Λήμμα 11.3: Έστω επι πεδο γρα φημα G με m ακμε ς και ε στω F(G) το συ νολο των ο ψεω ν του. Το τε d(f) = 2m f F(G) Απόδειξη : Κα θε ακμη συνισφε ρει ακριβω ς 2 μονα δες στο α θροισμα γιατι : ει τε προσπι πτει σε 2 ο ψεις η σε μια ο ψη αλλα μετριε ται διπλα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 216 / 228

Θεώρημα 11.4: Έστω επι πεδο γρα φημα G με n κορυφε ς και m ακμε ς. Το τε m 3n 6 (4) Απόδειξη : Ισχυ ει για n = 3 m = 3 (με γιστος # ακμω ν) 3 3 3 6 = 3 Υποθε τω ο τι n 4 Υποθε τω ο τι το G ει ναι συνδεδεμε νο. Αλλιω ς η (4) ισχυ ει για κα θε συνεκτικη του συνιστω σα Για κα θε ο ψη f F(G) ισχυ ει d(f) 3 d(f) 3f (5) f F(G) Απο Λη μμα 11.3 ε χουμε d(f) = 2m (6) f F(G) (5),(6) 2m 3f (7) Απο Θ. Euler n + f = m + 2 2 = n + f m 6 = 3n + 3f 3m (7) 6 3n + 2m 3m 6 3n m m 3n 6 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 217 / 228

Πόρισμα 11.5: Το γρα φημα K 5 δεν ει ναι επι πεδο Απόδειξη : Για το K 5 ε χω: n = 5 m = 10 Εα ν το K 5 η ταν επι πεδο, θα ι σχυε ο τι 10 3 5 6 10 9 το οποι ο ει ναι ψευδε ς Σημείωση: Η σχε ση m 3n 6 δεν ει ναι αρκετη για να αποδει ξουμε με ο μοιο τρο πο ο τι το K 3,3 δεν ει ναι επι πεδο. n = 6 m = 9 9 3 6 6 9 12 ισχυ ει Θεώρημα 11.6: Έστω διμερε ς επι πεδο γρα φημα G με n κορυφε ς και m ακμε ς. Το τε ισχυ ει: m 2n 4 (8) Απόδειξη : Για διμερη γραφη ματα ισχυ ει ο τι d(f) 4 Ομοια με απο δειξη θεωρη ματος 11.4 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 218 / 228

Ερώτηση 11.2: Να δειχθει ο τι το K 3,3 δεν ει ναι επι πεδο. Ερώτηση 11.3: Να δειχθει ο τι κα θε υπογρα φημα των K 5 και K 3,3 ει ναι επι πεδο. Θεώρημα 11.7[Wagner-1937, Fary-1948]: Κα θε επι πεδο γρα φημα μπορει να απεικονισθει στο επι πεδο ε τσι ω στε οι ακμε ς του να αντιστοιχου ν σε ευθυ γραμμα τμη ματα Λήμμα 11.8: Για κα θε επι πεδο γρα φημα G ισχυ ει ο τι δ(g) 5 Απόδειξη [Με άτοπο]: Έστω δ(g) 6 Το τε d(v) 6n και d(v) = 2m v V(G) v V(G) Άρα 2m 6n m 3n άτοπο, γιατι για επι πεδα γραφη ματα ισχυ ει ο τι m 3n 6 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 219 / 228

ομοιομορφικά γραφήματα: Δυ ο γραφη ματα ει ναι ομοιομορφικά ο ταν μπορει να παραχθει το ε να απο το α λλο με μια η περισσο τερες υποδιαιρε σεις ακμω ν και συμπτυ ξεις κορυφω ν υποδιαι ρεση ακμη ς: u v u w v συ μπτυξη κορυφη ς: u w v u v Θεώρημα 11.9[Kuratowski-1930]: Ένα γρα φημα G ει ναι επι πεδο ανν κανε να υπογρα φημα του δεν ει ναι ομοιομορφικο με το K 5 η το K 3,3 Παρα δειγμα: Το γρα φημα Petersen δεν ει ναι επι πεδο Σημείωση: Η σχε ση m 3n 6 δεν αρκει για να αποδειχθει η μη-επιπεδο τητα του γραφη ματος Petersen. Για το γρα φημα Petersen ε χω n = 10, m = 15 και 15 3 10 6 = 24 που ισχυ ει Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 220 / 228

εξωεπίπεδο γράφημα (outer-planar graph): Ένα επι πεδο γρα φημα G ονομα ζεται εξωεπίπεδο εα ν υπα ρχει επι πεδη απεικο νιση του G στην οποι α ο λες οι κορυφε ς προσπι πτουν στην εξωτερικη ο ψη K 4 μη-εξωεπι πεδο γρα φημα εξωεπι πεδο γρα φημα Θεώρημα 11.10: Ένα γρα φημα ει ναι εξωεπι πεδο ανν δεν υπα ρχει κα ποιο υπογρα φημα του ομοιομορφικο με το K 4 η το K 2,3 Απόδειξη : Το K 4 και το K 2,3 δεν ει ναι εξωεπι πεδα (Αλλιω ς το K 5 και το K 3,3 θα η ταν επι πεδα) Σημείωση: Η εξωεπιπεδο τητα δεν πλη ττεται απο την αφαι ρεση κορυφη ς/ακμη ς και την συ μπτυξη ακμη ς/κορυφη ς. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 221 / 228

με α τοπο Έστω ο τι το εξωεπι πεδο γρα φημα G περιε χει υπογρα φημα ομοιομορφικο με το K 4 η το K 2,3 Με σω συμπτυ ξεων κορυφη ς και διαγραφε ς ακμω ν-κορυφω ν στο G, παι ρνω το K 4 η το K 2,3 χωρι ς να πλη ττεται η εξωεπιπεδο τητα. άτοπο γιατι τα K 4 και K 2,3 δεν ει ναι εξωεπι πεδα με α τοπο Έστω ο τι το G δεν περιε χει υπογρα φημα ομοιομορφικο με το K 4 η το K 2,3 και ε στω ο τι το G δεν ει ναι εξωεπι πεδο Το G ει ναι επι πεδο (δεν περιε χει υπογραφη ματα ομοιομορφικα με το K 5 η το K 3,3 ) Θεωρω το γρα φημα G = G K 1 G : v G K 1 Το G δεν ει ναι επι πεδο [Έστω ο τι η ταν επι πεδο. Το τε η v ανη κει σε μι α ο ψη που περιε χει ο λες τις κορυφε ς του G. Το G ει ναι εξωεπι πεδο. άτοπο] Το G περιε χει υπογρα φημα H ομοιομορφικο με το K 5 η το K 3,3 Το H περιε χει την v [Γιατι το G ει ναι επι πεδο] Εα ν αφαιρε σουμε την v απο το H αφαιρου με μια κορυφη απο το K 5 η το K 3,3, οπο τε το G περιε χει υπογρα φημα ομοιομορφικο με το K 4 η το K 2,3 άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 222 / 228

Θεώρημα 11.11: Για κα θε εξωεπι πεδο γρα φημα με n κορυφε ς και m ακμε ς ισχυ ει ο τι m 2n 3 (9) Απόδειξη : Ισχυ ει προφανω ς για ακυκλικα γραφη ματα (m n 1) Έστω G ε να εξωεπι πεδο γρα φημα με κυ κλους και ε στω μια εξωεπι πεδη απεικο νιση του Κατασκευα ζω το G προσθε τοντας ακμε ς στο G ε τσι ω στε να μην υπα ρχουν γε φυρες και να μην πλη ττεται η εξωεπιπεδο τητα του Έστω m οι ακμε ς του G, m m Παρα δειγμα: G G Ζωγραφι ζω το G ε τσι ω στε ο λες οι κορυφε ς του να ει ναι στην ι δια ευθει α και ελευ θερες προς τα κα τω: 8 7 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 223 / 228

Έστω v 1, v 2,..., v n οι κορυφε ς του ο πως τις συναντα με απο αριστερα προς τα δεξια Σχηματι ζω το επι πεδο γρα φημα G ο πως παρακα τω: Τοποθετω 2 αντι γραφα του G καθρεπτικα το ε να ως προς το α λλο. Έστω v 1, v 2,..., v n οι κορυφε ς του 2ου αντι γραφου Προσθε τω τις ακμε ς (ευθ. τμη ματα) (v i, v i ), 1 i n Τριγωνοποιω τις ο ψεις v i v i+1 v i+1 v i v i προσθε τοντας την ακμη (v i v i+1 ), 1 i < n Προσθε τω την ακμη (v n, v 1 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Το G ει ναι επι πεδο με V(G ) = 2n και E(G ) = 2m + 2n Απο Θ. 11.4: 2m + 2n 3 2n 6 2m 4n 6 m 2n 3 m 2n 3 (γιατι m m ) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 224 / 228

Χρωματισμο ς επι πεδων γραφημα των Θεώρημα 11.12: Κα θε επι πεδο γρα φημα ει ναι 6-χρωματι σιμο Απόδειξη [Με επαγωγή ως προς το πλήθος κορυφών]: Έστω επι πεδο γρα φημα G με n κορυφε ς Βα ση: n 6 Αναδρομη : Έστω κορυφη v του G τε τοια ω στε d(v) 5 Η κορυφη v πα ντα υπα ρχει (Λη μμα 11.8) Χρωμα τισε αναδρομικα το G {v} με 6 χρω ματα Οι γει τονες της v στο G ε χουν χρωματιστει με το πολυ 5 χρω ματα. Χρωμα τισε την v με το (τουλα χιστον ε να) μη-χρησιμοποιηθε ν χρω μα Θεώρημα 11.13[Heawood-1890]: Καθε επι πεδο γρα φημα ει ναι 5-χρωματι σιμο Απόδειξη [Με επαγωγή ως προς το πλήθος κορυφών]: Έστω επι πεδο γρα φημα G με n κορυφε ς Βα ση: n 5. Το G χρωματι ζεται με 5 χρω ματα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 225 / 228

Αναδρομη : Έστω κορυφη v V(G) με d(v) 5 Το G {v} χρωματι ζεται αναδρομικα με 5 χρω ματα Αν N G (v) < 5, η v χρωματι ζεται με το (τουλα χιστον 1) μη-χρησιμοποιηθε ν χρω μα Έστω N G (v) = 5 και N G (v) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } Υπα ρχουν 2 γει τονες της v, ε στω οι v 1, v 2 οι οποι οι δεν ει ναι ενωμε νοι με ακμη στο G [Διαφορετικα το G θα περιει χε το K 5 ] G: G Κατασκευα ζω το γρα φημα G v : 1 v2 απο το G κα νοντας: v v 5 v 5 w συ μπτυξη των ακμω ν (v, v 1 ), (v, v 2 ) v 3 v 3 Χρωματι ζω αναδρομικα το G {w} με 5 χρω ματα, και ε στω, οι v 3, v 4, v 5 ε χουν χρωματιστει με τα χρω ματα 3, 4, 5 και ε στω η w ε χει χρωματιστει με το χρω μα 1 Χρωματι ζω νο μιμα το G ως εξη ς: Οι κορυφε ς v 1 και v 2 με το χρω μα 1 [(v 1, v 2 ) / E(G)] Η κορυφη v με το χρω μα 2 Όλες οι α λλες κορυφε ς διατηρου ν το χρωματισμο του G v 4 v 4 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 226 / 228

Θεώρημα 11.14[Appel&Haken-1977]: Κα θε επι πεδο γρα φημα ει ναι 4 χρωματι σιμο Δυικό (dual) επίπεδου γραφήματος: Το δυικό γράφημα ενός επίπεδου γραφήματος G ει ναι ε να γρα φημα G το οποι ο ε χει ως: V(G ) = {f : f F(G)} E(G ) = {e = (f, g) : Οι ο ψεις f και g βρι σκονται στις 2 πλευρε ς της ακμη ς e E(G)} Παρα δειγμα: f 1 f 2 G f 0 G Σημείωση: Το δυικο γρα φημα G του G ει ναι επι πεδο γρα φημα το οποι ο μπορει να ε χει παρα λληλες ακμε ς και/η βρο γχους. k-χρωματισμός ως προς τις όψεις: Ο χρωματισμο ς των ο ψεων ενο ς επι πεδου γραφη ματος στο οποι ο γειτονικε ς ο ψεις (ο ψεις με κοινη ακμη ) ε χουν διαφορετικο χρω μα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 227 / 228

Σημείωση: Ο χρωματισμο ς ο ψεων ενο ς γραφη ματος G ει ναι ισοδυ ναμος με το χρωματισμο κορυφω ν του G (αφου αφαιρεθου ν οι παρα λληλες ακμε ς και οι βρο γχοι). Παρα δειγμα: G G G 3 1 2 2 1 4 G 3 1 2 2 1 4 Γρα φημα G και το δυικο του G 4-χρωματισμο ς του G 4-χρωματισμο ς ο ψεων του G Θεώρημα 11.15: Ένα επι πεδο γρα φημα ει ναι 2-χρωματι σιμο ως προς τις ο ψεις ανν ε χει κυ κλο Euler Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 228 / 228