ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Μαθηματική Επαγωγή ΕΡΡ, κεφάλαια 3-4 ROSEN, κεφάλαιο 5 3 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Αρχή Ασθενούς Μαθηματικής Επαγωγής Ένα από τα πιο σημαντικά αποδεικτικά εργαλεία λί των ιακριτών Μαθηματικών!! Έστω λογική πρόταση Π(κ) που ελέγχει την ισχύ κάποιας ιδιότητας π, που έχει ως παράμετρο κάποιον φυσικό αριθμό κ. ΑΝ Βάση (α) Μπορώ να δείξω την αλήθεια της πρότασης Π(κ 0 ), δηλαδή, για Επαγωγής μια συγκεκριμένη τιμή κ 0, την ισχύ της ιδιότητας της ιδιότητας π. (β) Καταφέρνω να δείξω ότι: ΓΙΑ ΑΥΘΑΙΡΕΤΟ κ κ 0, Υπόθεση Βήμα ΑΝ αληθεύει η Π(κ) ΤΟΤΕ αληθεύει και η Π(κ+1). ΤΟΤΕ η πρόταση Π(κ) αληθεύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ τιμή κ κ 0 της παραμέτρου!!! 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.1: Να δειχθεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό ν 10 ισχύει ότι 2 ν > ν 3. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.1: Παράμετρος Επαγωγής = φυσικός αριθμός ν 10. [ΒΑΣΗ] ν=10: 2 10 = 1024 > 10 3 =1000 (ΟΚ) [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω κάποιος ΑΥΘΑΙΡΕΤΟΣ ακέραιος αριθμός κ 10 τ.ώ. 2 κ > κ 3. Χρήση Επαγωγικής Υπόθεσης [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θεωρώ τον ακέραιο αριθμό κ+1. Θα δείξω ότι: 2 κ+1 > (κ+1) 3. ΠΩΣ??? 2 κ+1 = 2 * 2 κ > (1 + 1/10) 3 * 2 κ (1 + 1/κ) 3 * 2 κ > (1 + 1/κ) 3 * κ 3 = (κ+1) 3. 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.2: Νδο χρησιμοποιώντας ΜΟΝΟ χαρτονομίσματα των 20 και 50 ευρώ, μπορούμε να σχηματίσουμε οποιοδήποτε ποσό που είναι πολλαπλάσιο του 10 και μεγαλύτερο μγ ή ίσο του 40. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.2: Παράμετρος Επαγωγής? [ΒΑΣΗ] Για Λ = 4, 40 = 4*10 Ευρώ: 40 = 2*20 + 0*5 (ΟΚ) [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω ότι ΓΙΑ ΚΑΠΟΙΟ ποσό 10Λ 40 ισχύει ότι: 10Λ = 20Χ(Λ) + 50Υ(Λ) για φυσικούς αριθμούς Χ(Λ),Υ(Λ). [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θεωρώ το ποσό 10(Λ+1). Θδο 10(Λ+1) = 20Χ(Λ+1) + 50Υ(Λ+1), για φυσικούς αριθμούς Χ(Λ+1),Υ(Λ+1). (α) Υ(Λ) 1: 10(Λ+1) = 10Λ + 10 = 20Χ(Λ) + 50Υ(Λ) + 10 = 20Χ(Λ) + 50[Υ(Λ)-1]+60 = 20[Χ(Λ)+3] + 50[Υ(Λ)-1] (β) Υ(Λ) = 0: Παρατηρώ ότι 10Λ = 20Χ(Λ) 40 Χ(Λ) 2. 10(Λ+1) = 10Λ + 10 = 20Χ(Λ) + 10 = 20*[Χ(Λ)-2] + 50*1. 4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.3: Να δειχθεί ότι το άθροισμα των πρώτων (στη σειρά) κ περιττών αριθμών ισούται με κ 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ο κ-στός μικρότερος περιττός αριθμός είναι ο 2κ-1, για κάθε φυσικό αριθμό κ 1. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.3: Παράμετρος επαγωγής? [ΒΑΣΗ] Προφανώς ισχύει ότι 1 = 1 2. Χρήση Επαγωγικής Υπόθεσης [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] ] Έστω για κάποιο κ 1 ότι ισχύει για τον κ-στό περιττό αριθμό 2κ-1: 1+3+...+ [2κ-1] = κ 2. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θεωρώ τον (κ+1)-στό ό περιττό αριθμό, δηλαδή δή τον 2κ+1. Θδο 1 + 3 +... + [2κ+1] = (κ+1) 2. Πράγματι: 1 + 3 +... + [2κ-1] + [2(κ+1)-1] = κ 2 + 2κ + 1 = (κ+1) 2. 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ασθενoύς Επαγωγής (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.4: Κάθε σκακιέρα διάστασης 2 κ x2 κ στην οποία υπάρχει οπουδήποτε ένα ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ τετράγωνο,, μπορεί να καλυφθεί πλήρως με τριόμινα (= γωνίες από τρία εφαπτόμενα τετράγωνα) που δεν επικαλύπτονται ούτε εκτείνονται εκτός της σκακιέρας. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.4: [ΒΑΣΗ] κ=0 (τετριμμένη περίπτωση). [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] ] Έστω ότι για κάποιο κ 1 ισχύει πως μπορώ να καλύψω τη σκακιέρα 2 κ-1 x2 κ-1 με τριόμινα. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θδο ότι μπορώ να καλύψω και τη σκακιέρα 2 κ x2 κ με τριόμινα. (α) Χωρίζω τη 2 κ x2 κ σκακιέρα σε τέσσερις 2 κ-1 x2 κ-1 σκακιέρες. (β) Η 2 κ-1 x2 κ-1 σκακιέρα με το απαγορευμένο τετράγωνο καλύπτεται πλήρως από τριόμινα (επαγ. υπόθεση). ) (γ) Για τις 3 2 κ-1 x2 κ-1 σκακιέρες θεωρώ ότι έχουν από ένα ψευδοαπαγορευμένο τετράγωνο, έτσι ώστε τα τρία αυτά τετράγωνα να σχηματίζουν ένα τριόμινο. Καλύπτω τα υπόλοιπα τετράγωνά τους από επαγωγική υπόθεση. 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Προβληματικές Χρήσεις Επαγωγής (Ι) Παράδειγμα IND.6: Όλες οι μπάλες του μπιλιάρδου έχουν ίδιο χρώμα. «ΑΠΟ ΕΙΞΗ»: [ΒΑΣΗ] [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Κάθε συλλογή από Κ 1 μπάλες είναι μονοχρωματική. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Έστω οποιαδήποτε συλλογή από Κ+1 μπάλες. ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ??? 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Προβληματικές Χρήσεις Επαγωγής (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.7: Για οποιεσδήποτε κευθείες θί στο επίπεδο που ανά δυο ΕΝ ΕΙΝΑΙ παράλληλες, ισχύει ότι ΟΛΕΣ τέμνονται σε ένα σημείο του επιπέδου. «ΑΠΟ ΕΙΞΗ» [ΒΑΣΗ] Για μια (ακόμα και για δυο ΜΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ) ευθεία του επιπέδου, ο ισχυρισμός αληθεύει. [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω ότι ΓΙΑ ΚΑΠΟΙΟ Κ 1 οποιεσδήποτε Κ μη παράλληλες ευθείες διέρχονται από κοινό σημείο του επιπέδου. [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Έστω ότι οποιεσδήποτε Κ+1 2 ΜΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ευθείες Λ 1,Λ 2,...,Λ Κ+1 του επιπέδου. Οι Καπό αυτές Λ 1,Λ 2,...,Λ Κ πρέπει (επ. υπ.) να τέμνονται σε κοινό σημείο, έστω Ρ. Οι Κ από αυτές Λ 2,Λ 3,...,Λ Κ+1 πρέπει (επ. υπ.) να τέμνονται σε κοινό σημείο, έστω Ρ. ΑΝ Ρ Ρ ΤΟΤΕ οι (μη παράλληλες) ευθείες Λ 2,Λ 3,...,Λ Κ (που διέρχονται και από τα δυο αυτά σημεία) ταυτίζονται (ΑΤΟΠΟ) ΑΡΑ: Αφού διαφορετικές ευθείες, Ρ=Ρ!!! ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ??? 8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Αρχή της Ισχυρής Μαθηματικής Επαγωγής Έστω μια οποιαδήποτε μια πρόταση Π(κ) που ελέγχει την αλήθεια μιας ιδιότητας π, ως παράμετρος της τιμής κ. ΑΝ Βάση (α) Μπορώ να δείξω την αλήθεια της πρότασης Π(κ 0 ), δηλαδή, για Επαγωγής μια συγκεκριμένη τιμή κ 0 της ιδιότητας π. (β) Καταφέρνω να δείξω ότι: ΓΙΑ ΑΥΘΑΙΡΕΤΟ κ κ 0, ΑΝ ΤΟΤΕ Υπόθεση αληθεύει η Π(λ) ( ) για όλες τις τιμές μςκ 0 λ κ αληθεύει και η Π(κ+1). ΤΟΤΕ η πρόταση Π(κ) αληθεύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ στιγμιότυπο με τιμή της αριθμητικής ιδιότητας, κ κ 0!!! ΗΛΑ Η: Π(κ 0 ) ΚΑΙ... ΚΑΙ Π(κ) Π(κ+1) Βήμα 9 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Επαγωγή στην Πολυπλότητα των Τύπων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.8 (βλ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.11): Νδο το σύνολο συνδέσμων Σ4 = {, } ΕΝ ΕΙΝΑΙ πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Έστω γλώσσα της ΠΛ με μόνο μια μεταβλητή, την p. Θδο ΠΑΝΤΑ ισχύει ότι: ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(φ) = Α, για κάθε φ με συνδέσμους από το Σ4. Άρα είναι αδύνατον να εκφραστεί ο φ = p. [ΒΑΣΗ] Mε 0 συνδέσμους, υπάρχει ένας και μόνο τύπος Χ(0) = p, και ισχύει ότι ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(0)) = Α. [ΥΠΟΘΕΣΗ] Έστω ότι για κάποιο Κ 0, και οποιονδήποτε τύπο χ(λ) με ακριβώς 0 Λ Κ συνδέσμους, που είναι όλοι από το Σ4, ισχύει ότι: ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(λ)) = Α. [ΒΗΜΑ] Θεωρώ τυχόντα τύπο χ(κ+1) με Κ+1 συνδέσμους, μόνο από το Σ4. Τότε, χ(κ+1) = χ(λ) & χ(κ-λ) για κάποιο 0 Λ Κ, όπου & Σ4. ΕΣΤΩ α(p) = A TOTE α(χ(λ)) = α(χ(κ-λ)) = Α (ισχυρή επαγωγική υπόθεση) ΤΟΤΕ χ(λ), χ(κ-λ) {χ 1, χ 2 } p χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 2 χ 1 p ΑΡΑ: A Α Α Α A Α Ψ ΑΝ α(p) = A TOTE α(χ(κ+1))=α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α 10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.9: Σε ένα δωμάτιο του παλατιού υπάρχουν Ν σύμβουλοι, που φορούν άσπρα (τουλάχιστον ένας) ) και πράσινα (τουλάχιστον ένας) ) καπέλα. Στην αίθουσα εμφανίζεται κάθε μια ώρα ο βασιλιάς, στον οποίο αναφέρονται οι σύμβουλοι που ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ ότι φορούν άσπρα καπέλα, οπότε και βγαίνουν αμέσως από το δωμάτιο. Οι σύμβουλοι βλέπουν ο ένας τον άλλο, αλλά ΟΧΙ τον εαυτό τους, και ΕΝ ΣΥΝΕΝΝΟΟΥΝΤΑΙ μεταξύ τους. Νδο ΑΝ υπάρχουν ακριβώς Α άσπρα καπέλα ΤΟΤΕ όλοι οι σύμβουλοι με άσπρα καπέλα θα βγούνε ταυτόχρονα από το δωμάτιο, ακριβώς στην Α-στή επίσκεψη του βασιλιά στην αίθουσα. 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (ΙI) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.9: Επαγωγή στο πλήθος 1 Α N των συμβούλων με άσπρα καπέλα. [ΒΑΣΗ] Α=1: Την 1 η φορά ο σύμβουλος με το άσπρο καπέλο βγαίνει από την αίθουσα και κανείς άλλος δεν πρόκειται να βγει. ΓΙΑΤΙ? ΑΣΠΡΟ ΚΑΠΕΛΟ: Βλέπει μόνο πράσινα καπέλα, άρα αυτός σίγουρα άσπρο. Στην πρώτη επίσκεψη του βασιλιά, βγαίνει έξω. ΠΡΑΣΙΝΑ ΚΑΠΕΛΑ: Βλέπουν ένα άσπρο καπέλο που βγαίνει στην πρώτη επίσκεψη του βασιλιά, άρα εκείνος ΕΝ ΒΛΕΠΕΙ άλλο άσπρο καπέλο. Άρα, οι ίδιοι έχουν πράσινα καπέλα και δε βγαίνουν ΠΟΤΕ. [ΕΠ. ΥΠΟΘ.] Έστω για τυχόν 1 Α Ν-1 και κάθε 1 Β Α ότι: ΑΝ υπάρχουν ακριβώς Β άσπροι σύμβουλοι ΤΟΤΕ θα βγούνε όλοι μαζί (και μόνο αυτοί) ) στην Β-στή επίσκεψη του βασιλιά. 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (ΙIΙ) Ι) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.9 (συνέχεια): [ΕΠ. ΒΗΜΑ] Θδο ΑΝ υπάρχουν Α+1 άσπροι σύμβουλοι ΤΟΤΕ αυτοί θα βγούνε ΑΚΡΙΒΩΣ την (Α+1)-στή ώρα: 1. ΑΣΠΡΑ ΚΑΠΕΛΑ: Βλέπουν (αρχικά) Α άσπρα καπέλα, άρα συμπεραίνουν ότι υπάρχουν Α ή Α+1 άσπρα καπέλα. 2. ΠΡΑΣΙΝΑ ΚΑΠΕΛΑ: Βλέπουν (αρχικά) Α+1 άσπρα καπέλα, άρα συμπεραίνουν ότι υπάρχουν Α+1 ή Α+2 άσπρα καπέλα. 3. Μέχρι την Α-στή ώρα, δε βγαίνει κανένας: Κανείς δεν είναι βέβαιος για το ακριβές πλήθος των καπέλων. 4. Την (Α+1)-στη ώρα βγαίνουν ΟΛΟΙ οι άσπροι και κανείς άλλος: Κανένας δε βγήκε την Α-στη ώρα Οι άσπροι καταλαβαίνουν ότι τα άσπρα καπέλα είναι Α+1: Αν ήταν Α θα έπρεπε (επ. υπόθ.) ) να είχαν βγει τη στιγμή Α. Άρα, ΚΑΙ οι ίδιοι φορούν άσπρο καπέλο. Οι πράσινοι, την (Α+1)-στη ώρα, καταλαβαίνουν ότι τα άσπρα καπέλα είναι Α+1 (αφού οι άσπροι βγήκαν έξω), άρα οι ίδιοι φορούν πράσινα καπέλα, και παραμένουν στο εξής στην αίθουσα. 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.10: Νδο κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 2, είτε είναι πρώτος αριθμός, είτε είναι γινόμενο πρώτων. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.10: [ΒΑΣΗ] Κ=2: Ο 2 είναι πρώτος αριθμός. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 2 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 2 Λ Κ, ο Λ είναι πρώτος, ή ο Λ είναι γινόμενο πρώτων. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Αν ο Κ+1 είναι πρώτος, έχουμε τελειώσει. Έστω λοιπόν ότι Κ+1 = Λ*Μ για κάποιους ακέραιους 2 Λ,Μ (Κ+1) / 2. ΤΟΤΕ: Λ = Ρ 1 * Ρ 2 *...* Ρ λ, για κάποιο ακέραιο λ 1 και κάποιους πρώτους αριθμούς Ρ 1,ΡΡ 2,...,ΡΡ λ. Μ = Σ 1 * Σ 2 *... * Σ μ, για κάποιο ακέραιο μ 1 και κάποιους πρώτους αριθμούς Σ 1,Σ 2,...,Σ μ. Κ+1 1 = Ρ 1 * Ρ 2 *...* Ρ λ * Σ 1 * Σ 2 *...* Σ μ για κάποιους πρώτους αριθμούς Ρ 1,Ρ 2,...,Ρ λ,σ 1,Σ 2,...,Σ μ. 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (V) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.12: Νδο για κάθε Ν 8, μπορούμε να στείλουμε ένα γράμμα που κοστίζει Ν Ευρώ με γραμματόσημα ΜΟΝΟ των 3 και 5 Ευρώ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.12: [ΒΑΣΗ] Κ=8: Προφανές. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 8 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 8 Λ Κ,, Λ = 3*Χ(Λ)+5*Υ(Λ), ( ), όπου Χ(Λ),Υ(Λ) ( ( ) είναι φυσικοί αριθμοί. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Εξετάζω την περίπτωση του αριθμού Κ+1: AN Κ 10 ΤΟΤΕ Κ+1 = (Κ-2) + 3 = 3*Χ(Κ-2) + 5*Υ(Κ-2) + 3 = 3*[Χ(Κ-2)+1] + 5*Υ(Κ-2) ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ // Κ = 8 ή 9... ΑΝ Κ = 8 ΤΟΤΕ Κ+1 = 9 = 3*3 ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ // Κ == 9... Κ+1 = 10 = 5*2 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα Ισχυρής Επαγωγής (VΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.13: Έστω τουρνουά μεταξύ κ 2 παικτών, όπου παίζουν ΟΛΟΙ ΜΕ ΟΛΟΥΣ, ανά δύο. Σε κάθε αναμέτρηση ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ισοπαλία. Νδο υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία π:[κ] [κ] [ ] (κατάταξη ά ξ των παικτών), ) τ.ώ. ΓΙΑ ΚΑΘΕ 1 λ κ-1, 1 ισχύει ότι ο π(λ) νικά τον π(λ+1). Πχ, για Κ=3, ΑΝ 1 νικά 2, 2 νικά 3, 1 νικά 3, ΤΟΤΕ (1,2,3) αλλά όχι (1,3,2)... Συμβολισμός: Για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό Κ, [Κ] = {1,2,3,,Κ}. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.13: [ΒΑΣΗ] Κ=2: 2 Ο νικητής της αναμέτρησης {1,2} μπαίνει πρώτος στην κατάταξη. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 2 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 2 Λ Κ, υπάρχει έγκυρη κατάταξη π:[λ] [Λ]. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Για τον παίκτη 1: Α = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΟΥΝ τον 1 και Β = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΑ ο 1 =([κ+1] {1}) Α π 1 : [ Α ] [ Α ] = Μια έγκυρη κατάταξη των παικτών του Α. π 2 : [ Β ] [ Β ] = Μια έγκυρη κατάταξη των παικτών του Β. ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ Α, π(λ) = π 1 (λ) π(1) = Α +1 ΓΙΑ ΚΑΘΕ λ Β, π(λ) = 1+ Α +π 2 (λ). 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Μερικά Παραδείγματα: Ισχυρή Επαγωγή? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ IND.14: Για το τουρνουά του Παραδείγματος IND.13, έστω ότι για Κ = 4, 1 νικά 2, 3 νικά 1, 4 νικά 1, 2 νικά 3, 2 νικά 4, 3 νικά 4. Η κατάταξη (1,2,3,4),, είναι έγκυρη αλλά Α ΙΚΗ!!! Υπάρχει έγκυρη ΚΑΙ ΙΚΑΙΗ κατάταξη, όπου ο πρώτος να έχει και τις περισσότερες νίκες? ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.14: [ΒΑΣΗ] Κ=2: Ο νικητής της αναμέτρησης {1,2} μπαίνει πρώτος στην κατάταξη. Η κατάταξη εκτός από έγκυρη είναι και δίκαιη. [ΕΠ.ΥΠΟΘ.] Έστω ότι για κάποιο ακέραιο Κ 2 ισχύει ότι: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 2 Λ Κ, υπάρχει έγκυρη και δίκαιη κατάταξη π:[λ] [λ]. [ΕΠ.ΒΗΜΑ] Έστω λ [κ+1] ο παίκτης με τις περισσότερες νίκες: ΑΝ ΝΙΚΕΣ(λ) == κ // Ο λ νίκησε όλους τους άλλους ΤΟΤΕ π(λ) = 1 και για κάθε μ [κ+1 {λ}, π(μ) = 1 + π 1 (μ) όπου π 1 :([κ+1]-{λ}) ([κ+1]-{λ}) μια έγκυρη και δίκαιη κατάταξη του [κ+1]-{λ} (από Επαγ. Υπόθεση). 17 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικά Παραδείγματα: Ισχυρή Επαγωγή? ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ IND.14: ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ: // για κάθε μ [κ+1], 1 ΝΙΚΕΣ(μ) ΝΙΚΕΣ(λ) κ-1 Α = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΟΥΝ τον λ και Β = το σύνολο αυτών που ΝΙΚΑ ο λ = [κ+1] ( {λ} Α ) ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΟΤΕ μ A, (1) ΥΠΑΡΧΕΙ (Επ. Υπόθ.) έγκυρη ΚΑΙ δίκαιη κατάταξη στο τουρνουά των κ παικτών χωρίς τον μ, π 1 :([κ+1]-{μ}) ([κ+1]-{μ}), με π 1 (λ)=1. (2) Πρέπει να τοποθετήσουμε στην κατάταξη π 1 και τον μ. Έστω : ν = ο τελευταίος (στην κατάταξη π 1 ) παίκτης που ΝΙΚΑ τον μ. Ν = π 1 (ν) Βάλε τον μ ΑΜΕΣΩΣ ΜΕΤΑ ΤΟΝ ν: ΓΙΑ ΚΑΘΕ 1 ρ Κ+1, ΑΝ ρ == μ ΤΟΤΕ π(ρ) = Ν+1 ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΑΝ π 1 (ρ) Ν ΤΟΤΕ π(ρ) =π π 1 (ρ) ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ π(ρ) = π 1 (ρ) + 1 18 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Απόδειξη Θ. Απαγωγης του ΠΛ (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.2 [Θεώρημα της Απαγωγής]: Για οποιοδήποτε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ σύνολο προτασιακών τύπων Τ Τ(Γ 0 ), και οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ Τ(Γ 0 ), ΑΝ Τ {φ} - ψ ΤΟΤΕ Τ - (φ ψ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω τυπική απόδειξη ψ 1, ψ 2,..., ψ Κ-1, ψ Κ = ψ που δείχνει ότι: Τ {φ} ψ. Κάνουμε επαγωγή στο πλήθος βημάτων Κ της τυπικής απόδειξης. [ΒΑΣΗ] Κ = 1. Τότε ψ = ψ 1 Α 0 Τ {φ}. (α) ψ Α 0 Τ. Τ ψ. ΑΡΑ, Τ φ ψ (ΓΙΑΤΙ???) (β) ψ = φ. Τότε Τ φ ψ (ΓΙΑΤΙ???) [ΥΠΟΘΕΣΗ] Έστω ότι για κάθε 1 Λ Κ 11 αληθεύει ότι ΑΝ Τ {φ} ψ Λ ΤΟΤΕ Τ (φ ψ Λ ). 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Απόδειξη Θ. Απαγωγης του ΠΛ (ΙΙ) [ΒΗΜΑ] Θδο ΑΝ Τ {φ} ψ Κ ΤΟΤΕ Τ (φ ψ Κ ) (α) ψ Κ Α 0 Τ {φ} (βλ. ανάλογη απόδειξη με ΒΑΣΗ). (β) ψ Κ Α 0 Τ {φ}. Ο ψ = ψ Κ μπορεί να προκύψει ΜΟΝΟ από εφαρμογή του ΜΡ σε προηγούμενα βήματα της απόδειξης. ΑΡΑ: Για κάποια 1 Λ,Μ Κ-1, οι τύποι ψ Λ και ψ Μ = ψ Λ ψ Κ είναι ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ βήματα της απόδειξης που υπονοεί το Τ {φ} ψ Κ. ΤΟΤΕ: Τ {φ} ψ Λ και Τ {φ} ψ Κ ΑΡΑ: Τ φ ψ Λ και Τ φ ψ Κ (ισχυρή επαγ. υπόθ.) ΜΟΝΟ ΜΕ ΤΙΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ Τ : 1....... α. φ ψ Λ Τ φ ψ Λ... β. φ ψ Μ = φ (ψ Λ ψ Κ ) Τ φ ψ Μ β+1. [φ (ψ Λ ψ Κ )] [(φ ψ Λ ) (φ ψ Κ )] ΑΣ2 β+2. 2 (φ ψ Λ ) (φ ψ Κ ) β,β+1 β 1 ΜΡ β+3. φ ψ Κ α,β+2 ΜΡ 20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Επαγωγή στην Πολυπλότητα των Τύπων (ΙΙ) (Άσκηση Επανάληψης από διαφάνειες 1 ης εβδομάδας): 7. Έστω Τ το σύνολο των τύπων (της ΠΛ) οι οποίοι είναι είτε προτασιακές μεταβλητές είτε της μορφής φ, φ ψ, φ ψ, όπου φ, ψείναι ήδη κατασκευασμένοι τύποι του Τ. Για κάθε φστο Τ, φ* είναι ο τύπος που προκύπτει από τον φως εξής: Αντικαθιστούμε κάθε προτασιακή μεταβλητή με την άρνησή της. Εναλλάσσουμε τα, μεταξύ τους (δηλαδή, ο σύνδεσμος μετατρέπεται στον και ο μετατρέπεται στον ). ίξ είξτε με επαγωγή στην πολυπλοκότητα λ των τύπων του Τότι φ φ*. 21 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Επαγωγή στην Πολυπλότητα των Τύπων (ΙΙ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων από το Τ. [ΒΑΣΗ] Τύποι πολυπλοκότητας Κ = 0 είναι προτασιακές μεταβλητές. Για φ = p, φ* = p = φ (ΟΚ) [ΥΠΟΘΕΣΗ] Έστω για αυθαίρετο Κ 0 ότι οποιοιδήποτε τύποι χ,ψ Τ με πολυπλοκότητες 0 Λ, Μ Κισχύει ότι χ* χ και ψ* ψ. [ΒΗΜΑ] Θδο για κάθε τύπο φ Τ πολυπλοκότητας Κ+1 ισχύει: φ* φ. φ (α) φ = χ. ΤΟΤΕ: φ* = ( χ)* (χ*) ) ( χ) ( = φ. φ (β) φ = χ ψ. Χρήση Ισχυρής Επαγωγικής Υπόθεσης ΤΟΤΕ: φ* = (χ ψ)* (χ*) (ψ*) ( χ) ( ψ) (χ ψ) = φ. (γ) φ = χ ψ. ΤΟΤΕ: φ* = (χ ψ)* (χ*) (ψ*) ( χ) ( ψ) (χ ψ) = φ. 22 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.