Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Σελίδα
Σκοποί ενότητας 4 Περιεχόμενα ενότητας 4 3 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 3 Ο μετασχηματισμός x x 5 3 Σύνθεση συναρτήσεων 8 4 Προβολές και Προσεγγίσεις Ελαχίστων Τετραγώνων 0 4 Το πρόβλημα για n= 0 4 Ίδιο πρόβλημα για n= 43 Ίδιο πρόβλημα για οποιοδήποτε n 44 Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων 4 Σελίδα 3
Σκοποί ενότητας Παρουσιάζονται θέματα Γραμμικής Άλγεβρας που είναι απαραίτητα για τον χρηματοοικονομικό και λογιστικό αναλυτή Περιεχόμενα ενότητας Γραμμικοί Μετασχηματισμοί, Ο μετασχηματισμός x x, Σύνθεση συναρτήσεων, Προβολές και Προσεγγίσεις Ελαχίστων Τετραγώνων, Το πρόβλημα για n=, για n=, για οποιοδήποτε n, Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Σελίδα 4
3 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Έστω δύο σύνολα X και Y Μια συνάρτηση ή απεικόνιση ή μετασχηματισμός f του X στο Y (Γράφουμε f : X Y ) είναι μια αντιστοίχηση ενός στοιχείου y Y για κάθε στοιχείο x X (Σε κάθε x X αντιστοιχούμε μόνο ένα y Y ) Γράφουμε: f : x y ή y = f( x) Το y ονομάζεται εικόνα του x Το X ονομάζεται πεδίο ορισμού της f και το Y πεδίο τιμών της f Κάποιες φορές ζωγραφίζουμε την αντιστοίχηση με βελάκια Σχήμα Απεικόνιση πεδίου ορισμού και πεδίου τιμών της συνάρτησης f Το σύνολο f( x) = { y Y x X με y = f( x)} Y ονομάζεται εικόνα της f (Είναι τα y Y στα οποία καταλήγει ένα τουλάχιστον βελάκι) 3 Ο μετασχηματισμός x x n m Έστω ένας m n πίνακας Τότε μπορώ να ορίσω ένα μετασχηματισμό f = ( f ), f :, ως εξής: Στο n x αντιστοιχώ το f : x y = f ( x): = x yn ym y m = x y Δηλαδή, η εικόνα του x είναι το γινόμενό του με τον Σελίδα 5
Παραδείγματα: c 0 =, 0 c x cx = Ο διαστέλλει τον x cx πρώτου άξονα και κατά c στην κατεύθυνση του δεύτερου κατά c στην κατεύθυνση του Σχήμα Απεικόνιση της μεταβολής που επιφέρει ο στον 0 = 0 τότε 0 = 0 και 0 = Ο περιστρέφει τον 0 κατά 90 ο Σχήμα 3 Απεικόνιση της μεταβολής που επιφέρει ο στον 0 = 0 τότε 0 = 0 και 0 = Αντανάκλαση στην ευθεία 45 ο 0 Σχήμα 4 Απεικόνιση της μεταβολής που επιφέρει ο στον 0 = 0 0, x x = x 0 Προβολή στον άξονα των x Σελίδα 6
Μια απεικόνιση f : X Y λέγεται «επί» αν για κάθε y Y υπάρχει x X τέτοιο που f( x) = y, αν δηλαδή η εικόνα της f, f( x ) ταυτίζεται με το Y (Καταλήγει βελάκι σε κάθε στοιχείο του Y ) Έχουμε: n m Η f : είναι «επί» το x = y έχει λύση για κάθε ο ( ) m m R= dm ( R ( )) = dm( ) m y y r = m όπου r η τάξη του πίνακα Άρα η f είναι «επί» r = m Η παραπάνω επιχειρηματολογία δείχνει και ότι: f( X) = R ( ), δηλαδή ο R ( ) είναι η εικόνα της f Μια απεικόνιση f : X Y λέγεται «μονοσήμαντη» αν κάθε x X απεικονίζεται σε διαφορετικό y Y, δηλαδή, αν x και x' X έχουν την ίδια εικόνα, πρέπει να ταυτίζονται: f( x) = f( x') x= x' (Αν σε κάποιο y Y καταλήγει βελάκι, θα είναι μόνο ένα) n m Η f : είναι μονοσήμαντη x x (από x = x ' x = x ') (από ( x x') = 0 x x' = 0 ) δεν υπάρχουν ελεύθερες μεταβλητές { } N( ) = 0 dm( N( )) = 0 r = n Άρα: η f είναι «μονοσήμαντη» r = n Μια απεικόνιση f : X Y λέγεται «αμφιμονοσήμαντη» αν είναι «επί» και «μονοσήμαντη» Τότε μπορώ να ορίσω την αντίστροφη συνάρτηση f : Y X, ως εξής: Αν y = f( x) τότε f ( y) x = ή ( ( )) f f x = x Σχήμα 5 Απεικόνιση της f Για να αντιστρέφεται η f χρειάζομαι «επί» ( r = m) και «μονοσήμαντη» ( r = n) Άρα r = m= n και επομένως ο είναι αναγκαστικά μη ιδιόμορφος Σελίδα 7
Ερώτηση: Υπάρχει B n nτέτοιος που «να δίνει» την σημαίνει: Θέλω B : B x = x f ; Δηλαδή, f ( y) = f y = B y που B Απάντηση: ΝΑΙ B= Η αντίστροφη συνάρτηση f δίνεται από τον αντίστροφο πίνακα f f ( y) = f y: = y και όντως αν y = x τότε y x x = = 3 Σύνθεση συναρτήσεων Έστω f : m n n m x x και f B : y B s m m y y By s Ορίζουμε την σύνθεση των συναρτήσεων h : n s και hx ( ): fb( f( x) ) = f και f ως μια καινούρια συνάρτηση B h= fb f με Σχήμα 6 Απεικόνιση της σύνθεσης των συναρτήσεων Ποιος πίνακας «δίνει» την h ; Δηλαδή, υπάρχει C τέτοιος που hx ( ) = f( x) = C x; h( x) = f f ( x) = f ( x) = B ( x) Άρα C = B ΝΑΙ: ( ) B B Η σύνθεση συναρτήσεων δίνεται από τον πολλαπλασιασμό πινάκων Ορισμός: Ένας μετασχηματισμός f μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων V, W, f : V γραμμικός αν: f (0) = 0 f( x+ y) = f( x) + f( y) xy, V f( λx) = λf( x) x V, λ c W λέγεται Σελίδα 8
Παρατήρηση: Για ένα m n πίνακα η απεικόνιση f είναι γραμμική: 0= 0 ( x + y) = x + y ( λx) = λx Πρόταση (χωρίς απόδειξη): Έστω οποιοσδήποτε γραμμικός μετασχηματισμός f : θα υπάρχει m n τέτοιος που f ( x) = x, δηλαδή f f n m Τότε Αν γνωρίζουμε τις εικόνες y = f( e) των στοιχείων της κανονικής βάσης κατασκευάζεται ως = y y yn e 0 = 0 τότε ο πίνακας (Κάθε γραμμικό μετασχηματισμό «τον δίνει» ένας πίνακας) Παράδειγμα: Η απεικόνιση f «στροφή κατά γωνία θ» Σχήμα 7 Απεικόνιση της συνάρτησης f «στροφή κατά γωνία θ» cosθ snθ Άρα = f( e) f( e) = και η απεικόνιση προβολή στην snθ cosθ f( e ) ae, = a= aa, aa a a a + a + a και aa ae, a + a f( e ) = a = aa, a a + a L a, ax, Pa ( x) = a aa, Άρα a aa = Συνεπώς, a + a aa a ax, a x aa Pa ( x) = a= a= x= x aa, aa aa Σελίδα 9
4 Προβολές και Προσεγγίσεις Ελαχίστων Τετραγώνων Έστω ένα σύστημα με «πολλές» εξισώσεις και λίγους αγνώστους x κατά πολύ μεγαλύτερο) Γνωρίζουμε ότι ένα σύστημα έχει λύση αν b R ( ) 4 Το πρόβλημα για n= Έτσι πχ αν n =, δηλ ο είναι μια στήλη a, δηλαδή λύση αν b Span( a) Μπορώ να κάνω «κάτι» αν b Span( a) ; = b με m n και m n ( : a = a = και x, το σύστημα έχει a m Ιδέα: Αφού x b = 0 αδύνατο, βρες τουλάχιστον x τέτοιο ώστε το x b να είναι όσο πιο «κοντά στο 0» γίνεται, δηλαδή να ελαχιστοποιείται το x b Βρες x : x b x b x Αν θέσω p = x τότε p Span( a) και αν p = x τότε και p Span( a) Το πρόβλημά μου, λοιπόν, μπορεί ισοδύναμα να γραφτεί: Βρες p Span( a) : p b p b p Span( a) ή περιφραστικά: Βρες εκείνο το σημείο p της ευθείας Span( a ) που να ελαχιστοποιεί την απόστασή του από το b (συγκρινόμενο με την απόσταση του b με άλλα σημεία p της Span( a )) Σχήμα 8 Απεικόνιση της προβολής p του b στην ευθεία Span( a ) Γεωμετρική λύση: p η προβολή του b στο Span( a ) Αλγεβρική λύση: Θέτω n = E( x) = x b = ( a x b) de( x) ab a, b a ax b x a ab x dx = = = = < > a = < a, a > 0 n ( ) 0 0 = και < ab, > p = x = a = Pa x < aa, > Σελίδα 0
4 Ίδιο πρόβλημα για n= [ ] = a a, x x = x Βρες x x = : x b x b x x x = x a + x a Span( a, a ) = : E και θέτοντας p = x E και p = x E το πρόβλημα Καθώς γράφεται ισοδύναμα: Βρες p E = Span( a, a) : p b p b p E ή βρες εκείνο το σημείο p του E που να έχει ελάχιστη απόσταση από το b (συγκρινόμενο με την απόσταση του b από άλλα σημεία p του E ) Σχήμα 9 Απεικόνιση της προβολής p του b στο επίπεδο Span( a, a ) 43 Ίδιο πρόβλημα για οποιοδήποτε n Γενικώς: x = xa+ + x a R( ) = Span( a, a ) n n n Βρες p R ( ) : p b p b p R ( ) με p = x και p = x Βρες εκείνο το σημείο p R ( ) που να ελαχιστοποιεί την απόσταση από το b Απάντηση: Θα είναι η προβολή του b στο R ( ), δηλαδή εκείνο το σημείο p R ( ) με b p σε κάθε στοιχείο του R ( ) Διότι: Έστω p R ( ) θα δείξουμε b p b p b p b p p p ( b p) ( p p),( b p) ( p p) = + = + + = = b p + p p + b p, p p b p 0 Σελίδα
b p, p p = 0 εκ κατασκευής διότι p p R ( ) Υπολογισμός των p, x : ( ) b x σε κάθε στοιχείο τουr b x a a ( b x) = 0 b x a a ( b x) = 0 ( b x) = 0 x = b b x an an ( b x) = 0 Η λύση x ικανοποιεί την εξίσωση ( x ) = b Εάν οι στήλες του είναι ανεξάρτητες Τότε και η προβολή του b στο ( ) Ο πίνακας οποιοδήποτε ( P ) P R R( ) αντιστρέψιμος και b υπολογίζεται ως ( x ) b = p PR( ) b x ( ) b = = = = ονομάζεται πίνακας προβολής στο R ( ) Έχει την ιδιότητα ότι m b πολλαπλασιάσω με τον P θα πάρω την προβολή του b στο R ( ) Ερώτηση Άσκηση: Έστω U ένας υπόχωρος και τα { v v } Γ τέτοιος που Γ x να είναι για κάθε x το πλησιέστερο στο x σημείο του U,, r μια βάση του Να βρεθεί πίνακας Απάντηση: Ο Γ πρέπει να είναι ο πίνακας προβολής στο U Για να τον βρω πρέπει να σχηματίσω πίνακα, τέτοιο που U R ( ) Γ= ( ) = Ο [ v v ] Ιδιότητες: Αν P πίνακας προβολής τότε: P P = r έχει αυτή την ιδιότητα Άρα έχουμε = P (Αν προβάλλω δύο φορές είναι σαν να πρόβαλα μία) = P ( P συμμετρικός) Ισχύει και το ανάποδο: Ένας συμμετρικός πίνακας με κάποιο υπόχωρο Απόδειξη: P PP P = = ( ) ( ) = ( ) = και ( ) P = ( ) = ( ) P ( = ) = P, διότι = P θα είναι πίνακας προβολής σε συμμετρικός Σελίδα
Παράδειγμα : = 3, 0 0 4 b = 5, 6 R( ) = Span, 3 0 0 P =?, P ( ) b=?, x =? 3 0 0 R 0 5 = 3 0 5 3 Τύπος στο : a b d b c d = ad cb c a Άρα 3 5 ( ) = 6 5 5 0 3 0 3 5 ( ) = 5 3 0 0 3 0 0 και (( P ) ) = = 3 0 0 0 0 0 0 P 0 0 0 0 0 4 4 PR( ) b Pb 0 0 = = 5 = 5 0 0 0 6 0 4 5 6 3 0 x= ( ) b= 0 x Σελίδα 3
4 P b = 5 = x = x a + x a = + 3 6 0 0 Δηλαδή R( ) Παράδειγμα : Έστω v = Να υπολογιστεί ο πίνακας προβολής Γ στο Span() v Με V =, VV ( V) V vvv ( ) v = 0 4 4 4 4 vv + + 4+ 4 Γ= = = vv = ( ) 44 Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Έστω ότι έχω n μετρήσεις a, b πχ b πίεση και a θερμοκρασία Οι μετρήσεις αυτές σε διάγραμμα διασποράς αερίου βρίσκονται κοντά σε ευθεία (άγνωστη) και υποψιάζομαι ότι οι δύο ποσότητες συνδέονται με μια γραμμική σχέση την οποία θέλω να εκτιμήσω Σχήμα 0 Απεικόνιση ευθείας ελαχίστων τετραγώνων b = x+ xa + ε Πώς; Ιδέα: Βρες εκείνη την ευθεία (εκείνα τα x, x ) που να είναι «κοντά στα σημεία», δηλαδή b x xa μικρό ή καλύτερα «ελάχιστο» Σελίδα 4
πχ n b x xa ελάχιστο = * = ( ) Αλλά, a b x * = x και * ελαχιστοποιείται για a n b n x = ( ) x b με a = a n Σημειώστε ότι η λύση της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων συνδέεται με την προβολή του b b = b n n στο a Span, a n Σχήμα Απεικόνιση της προβολής του b στο επίπεδο Θα έχουμε x m a b Σ Σ = ( ) b= x a a Σ Σ Σab Σa Σa Σb = = mσa Σ ( a) Σa ab m Σ Σελίδα 5
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 00 Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Οικονομικό Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ανδριανός Ε Τσεκρέκος, 05 Ανδριανός Ε Τσεκρέκος «Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα» Έκδοση: 0 Αθήνα 05 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://opencoursesauebgr/modules/document/?course=loxr00 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 40 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» [] http://creatvecommonsorg/lcenses/by-nc-sa/40/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Σελίδα 7
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σελίδα 8