Προσεγγιστική φασματική επαλληλία σε ανελαστικά πολυβάθμια συστήματα

Προσεγγιστική φασματική επαλληλία σε ανελαστικά πολυβάθμια συστήματα Γ. Κ. Γεωργούσης, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΑΣΠΑΙΤΕ ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η μέθοδος που αναπτύσσεται συνίσταται στον προσδιορισμό ιδιομορφικών ανελαστικών ταλαντωτών (μονοβάθμιων συστημάτων) μέσω των οποίων μπορούν να προκύψουν, για δεδομένη σεισμική διέγερση ή φάσμα σχεδιασμού, οι φασματικές (μέγιστες ιδιομορφικές) τιμές έντασης και παραμόρφωσης. Όπως και στα ελαστικά συστήματα, η πιθανή ακραία απόκριση του πραγματικού συστήματος μπορεί να εκτιμηθεί με φασματική επαλληλία, δηλαδή από έναν κατάλληλο συνδυασμό (SRSS ή CQC) των μέγιστων ιδιομορφικών τιμών. Για τον προσδιορισμό του ισοδύναμου ανελαστικού ταλαντωτή που αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιομορφή (που ουσιαστικά προσδιορίζει την απόκριση της κατασκευής) απαιτείται μόνο η «ανάγνωση» της ακαμψίας της κατασκευής στο αρχικό (ελαστικό) στάδιο και στο τελικό, όπου τα οριζόντια μέλη του φορέα έχουν εισέλθει στην πλαστική περιοχή, χωρίς να απαιτείται κάποια ιδιαίτερη ιδιομορφική ελαστοπλαστική στατική ανάλυση. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι περισσότεροι αντισεισμικοί κανονισμοί σήμερα βασίζονται στην αντίληψη ότι μία κατασκευή πρέπει: (i) να συμπεριφέρεται σε μικρούς και μεσαίου μεγέθους σεισμούς χωρίς ουσιαστικές επιπτώσεις στη φέρουσα ικανότητα του δομικού συστήματος, και (ii) να διαθέτει δυνατότητα ικανής ανελαστικής παραμόρφωσης και να μην καταρρέει, στην ενδεχόμενη περίπτωση ενός πολύ ισχυρού σεισμού. Δηλαδή, η ικανότητα ανελαστικής παραμόρφωσης είναι η ουσιώδης ιδιότητα που καθιστά αντισεισμικό ένα κτίριο σε έναν ισχυρό σεισμό. Ο προσδιορισμός της απαιτούμενης ανελαστικής παραμόρφωσης ενός πολυβάθμιου φορέα, έναντι μίας συγκεκριμένης σεισμικής διέγερσης, απαιτεί όμως μια πολύπλοκη, βήμα προς βήμα, δυναμική ανάλυση που ξεφεύγει από τα πλαίσια της καθημερινής πράξης ενός μελετητή δομικών έργων. Ένας πολυβάθμιος ανελαστικός φορέας δεν μπορεί να αντιμετωπισθεί όπως ο μονοβάθμιος ανελαστικός ταλαντωντής, όπου είναι ευχερής ο υπολογισμός της συνολικής (ελαστικής και πλαστικής) παραμόρφωσης μέσω ανελαστικών φασμάτων απόκρισης. Πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι για απλά (και κανονικά ) κτίρια μέχρι 10 ορόφους ο ΕΑΚ επιτρέπει την χρήση της ισοδύναμης στατικής μεθόδου και μόνο για πολύπλοκες (και μη κανονικές ) κτιριακές κατασκευές επιβάλει την δυναμική μέθοδο ανάλυσης. Αλλά και σ αυτήν την περίπτωση επιτρέπει την ιδιομορφική επαλληλία σε συνδυασμό με ανελαστικά φάσματα σχεδιασμού. Ο συνδυασμός αυτός δεν παρέχει πάντοτε ασφαλή αποτελέσματα (Aagostopoulos et al. 1978), αφού η επαλληλία προϋποθέτει ελαστική συμπεριφορά. Στην πραγματικότητα, είναι η απλότητα αυτής της μεθόδου που καθιστά αναγκαία την χρήση της από τον Αντισεισμικό Κανονισμό. Η μέθοδος συνίσταται στον προσδιορισμό ελαστικών ταλαντωτών (μονοβάθμιων ιδιομορφικών συστημάτων), των οποίων οι μέγιστες τιμές τυχόντος μεγέθους μπορούν να προκύψουν από ένα (έστω ανελαστικό) φάσμα και εν συνεχεία να αθροιστούν μέσω ενός κατάλληλου συνδυαστικού κανόνα. Δύο μέθοδοι έχουν διαμορφωθεί τελευταία για τον πιο αποτελεσματικό τρόπο ελέγχου της ανελαστικής ικανότητας μίας κατασκευής. Η πρώτη επιβάλλει, επιπλέον της δυναμικής ανάλυσης 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 1

που περιγράφεται ανωτέρω, και μία ανελαστική ανάλυση (ielastic pushover aalysis) έναντι μίας στατικής (προοδευτικά αυξανόμενης) φόρτισης που έχει τη μορφή σεισμικού φορτίου (π.χ. ανεστραμμένου τριγώνου ή της θεμελιώδους ιδιομορφής του ελαστικού φορέα ή ακόμα την ειδική μορφή -FEMA- που προδιαγράφει κάποιος κανονισμός). Σε γενικές γραμμές, η πλαστιμότητα της κατασκευής πρέπει να είναι επαρκής για παραμορφώσεις πολλαπλάσιες αυτών που προβλέπει ο στατικός υπολογισμός (τουλάχιστον κατά q φορές, αν ο σχεδιασμός της κατασκευής γίνεται μέσω του συντελεστή συμπεριφοράς q). Λογισμικά προγράμματα για τέτοιου είδους στατικές επιλύσεις έχουν αναπτυχθεί ευρέως τα τελευταία χρόνια, περιλαμβάνουν δε και την δυνατότητα διαφοροποίησης της μορφής του εξωτερικού φορτίου ανάλογα με την ανελαστικότητα που βαθμιαία δημιουργείται στον φορέα (adaptive pushover aalysis). Η δεύτερη μέθοδος (Chopra ad Goel 00, Chitaapakdee ad Chopra 003) στηρίζεται στην συνδυαστική άθροιση εντατικών μεγεθών που έχουν προκύψει από ανελαστικές αναλύσεις για στατικές φορτίσεις που προσομοιάζουν τις σημαντικότερες ιδιομορφές του ελαστικού φορέα (modal pushover aalyses). Οι αναλύσεις αυτές χρησιμεύουν για τον προσδιορισμό των ανελαστικών διαγραμμάτων φορτίουμετατόπισης των αντίστοιχων ιδιομορφικών ταλαντωτών, που πλέον δεν θεωρούνται ελαστικοί (όπως στην περίπτωση μιας ελαστικής ανάλυσης), αλλά ανελαστικοί, τα μέγιστα των οποίων μπορούν να προκύψουν από ένα απλό ανελαστικό φάσμα σχεδιασμού. Στην πράξη, αρκεί η γνώση της ανελαστικότητας της πρώτης ιδιομορφής (μέσω του σχετικού διαγράμματος φορτίουμετατόπισης ), αφού οι άλλες ιδιομορφές μπορούν κάλλιστα να θεωρηθούν ελαστικές (Chopra et al. 004). Η μέθοδος αυτή ( ιδιομορφική ανάλυση ανελαστικών συστημάτων ) αποτελεί στην ουσία της ένα τρόπο διάσπασης του συστήματος των εξισώσεων κίνησης πολυβάθμιων ανελαστικών συστημάτων σε ένα άθροισμα απλών εξισώσεων κίνησης ισοδύναμων ανελαστικών ταλαντωτών, που μπορούν να συνδυαστούν όπως και στα ελαστικά συστήματα. Είχε δε προταθεί αρχικά από τον Villaverde (1996), χωρίς όμως σαφή τρόπο προσδιορισμού των ανελαστικών διαγραμμάτων φορτίου-μετατόπισης των αντίστοιχων μονοβάθμιων ιδιομορφικών συστημάτων. Μειονέκτημα και των δύο μεθόδων είναι ότι απαιτούν επιπλέον στατικές επιλύσεις, και μάλιστα σε μη γραμμικούς φορείς, για να προκύψουν οι πιθανές ακραίες τιμές παραμορφώσεων. Η διαδικασία που αναπτύσσεται παρακάτω αποσκοπεί στο να δείξει, ότι η δεύτερη από τις μεθόδους αυτές μπορεί να εφαρμοσθεί σε φορείς που συνήθως χρησιμοποιούνται στην πράξη για την ανάληψη σεισμικών δυνάμεων (κοινά πλαίσια, συζευγμένα τοιχώματα κλπ.) χωρίς να απαιτείται προηγουμένως καμία στατική επίλυση. Απλά, σε φορείς που ανελαστικότητα περιορίζεται στα οριζόντια μέλη τους, ο προσδιορισμός του διαγράμματος φορτίου-μετατόπισης, του μονοβάθμιου ταλαντωτή που αντιστοιχεί στην πρώτη (και καθοριστική) ιδιομορφή μπορεί να προκύψει από την ακαμψία του φορέα στο αρχικό (ελαστικό) στάδιο και στο τελικό, όπου η ακαμψία του προκύπτει από αυτήν των κατακόρυφων μελών του. Οι φορείς που εξετάζονται είναι επίπεδα πλαίσια, στα οποία η ελαστοπλαστική συμπεριφορά περιορίζεται στα οριζόντια μέλη, όπως οι περισσότεροι Αντισεισμικοί Κανονισμοί επιβάλουν. Η εφαρμογή της μεθόδου παρουσιάζεται σε ένα σύστημα δύο συζευγμένων τοιχίων για την περίπτωση μιας εδαφικής διέγερσης ίσης με τον σεισμό του El Cetro (1940, N-S) αυξημένο κατά 50%. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που προκύπτουν από μία «εν χρόνω» ανάλυση του πραγματικού ανελαστικού φορέα. ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η μέθοδος ανάλυσης είναι ανάλογη με αυτή των ελαστικών συστημάτων, όπου οι πιθανές ακραίες τιμές ενός μεγέθους απόκρισης υπολογίζονται μέσω ενός κατάλληλου συνδυασμού των μέγιστων ιδιομορφικών (φασματικών) τιμών του ιδίου μεγέθους. Οι ιδιομορφικές τιμές προκύπτουν από την απόκριση μονοβάθμιων ταλαντωτών, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από την αντίστοιχη ιδιοπερίοδο Τ (ή την ιδιοσυχνότητα ω ) και, συνήθως, από μια προκαθορισμένη τιμή του συντελεστή απόσβεσης ξ. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006

u( m f A=f/m fy αsk A y αsω ug( K uy u ω uy u Do=μuy (a) (b) (c) Σχ. 1 (α) Ανελαστικός ταλαντωτής υπό σεισμική διέγερση; (b) σχέση δύναμης επαναφοράς- μετατόπισης κατά τη φόρτιση, αποφόρτιση και επαναφόρτιση του ταλαντωτή; (c ) στατικό διάγραμμα φορτίου-μετατόπισης. Οι μέγιστες ιδιομορφικές (φασματικές) τιμές μπορούν να προσδιοριστούν από ένα ελαστικό φάσμα σχεδιασμού (ή το φάσμα μιας συγκεκριμένης διέγερσης) μέσω των τιμών των παραμέτρων ω και ξ. Φάσματα σχεδιασμού όμως μπορούν να κατασκευασθούν και για μονοβάθμια ελαστοπλαστικά συστήματα, όπου επιπλέον απαιτείται και η γνώση της παραμόρφωσης διαρροής u y, όπως προκύπτει από μια στατική φόρτιση. (Σχήμα 1c). Τα φάσματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στην περίπτωση ανελαστικών ταλαντωτών που δεν παρουσιάζουν μια καθαρή ελαστοπλαστική συμπεριφορά (διγραμμικά συστήματα), όταν ο λόγος παραμένουσας ελαστικότητας α s (Σχήμα 1b,c) είναι σχετικά μικρός. Η χρήση ενός ανελαστικού φάσματος είναι ευχερής και ο υπολογισμός της συνολικής παραμόρφωσης ενός ανελαστικού ταλαντωτή (όπως αυτός του Σχήματος 1a, που χαρακτηρίζεται από το στατικό διάγραμμα φορτίου-μετατόπισης του Σχήματος 1c) παρότι, θεωρητικά, απαιτεί μια πολύπλοκη μαθηματική ανάλυση καταλήγει σε απλούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, αν η μάζα του συστήματος είναι m, η εξίσωση κίνησης (αμελούμενου του όρου της απόσβεσης) για εδαφική επιτάχυνση ίση με u & (, είναι της μορφής f + f = mu& I R g & g (1) όπου f I = mu& η δύναμη αδράνειας και f R ( η δύναμη επαναφοράς. Εκφράζοντας την f R ( ως άθροισμα ενός ελαστικού και ενός διορθωτικού όρου: f R = Ku( f η εξ. (1) παίρνει την μορφή mu&& + Ku( = mu& f c g + c ή u& + ω u( = u& + f m (4) g c / όπου ω = K / m η συχνότητα του συστήματος. Παρότι ο διορθωτικός όρος f c ( είναι άγνωστος την χρονική στιγμή t και εξαρτάται όχι μόνο από την τιμή της παραμόρφωσης u(, αλλά και από το ρυθμό μεταβολής της (αν δηλ. u& ( >0 ή u&(t ) <0, βλ. Σχήμα 1b), η μέγιστη απόκριση του συστήματος μπορεί ευχερώς να υπολογισθεί μέσω του τρι-λογαριθμικού φάσματος του Σχήματος. Το εξωτερικό διάγραμμα του σχήματος αποτελεί το ελαστικό φάσμα σχεδιασμού κατά Newmark & Hall (η κατασκευή του περιγράφεται αναλυτικά από τον Chopra, 1995, και ορίζονται τα μέγιστα μεγέθη De(=7i), V e (=110.4i/s) και A e (=.71g) στα διαστήματα ενισχυμένων μετατοπίσεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων αντίστοιχα), ενώ τα εσωτερικά διαγράμματα αποτελούν ελαστοπλαστικά φάσματα σχεδιασμού για συντελεστές πλαστιμότητας ίσους με και 8 αντίστοιχα. () (3) 3 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 3

Σχήμα. Ελαστικό και ανελαστικά φάσματα σχεδιασμού κατά Newmark &Hall (Chopra 1995) Για ένα μονοβάθμιο ελαστοπλαστικό σύστημα με περίοδο Τ (=π/ω), συντελεστή απόσβεσης ξ και παραμόρφωση διαρροής u y, ο αντίστοιχος συντελεστής πλαστιμότητας, μ, θα είναι ίσος με D e /u y στο διάστημα των ενισχυμένων μετατοπίσεων (4s<<10s), ίσος με V e /ωu y στο διάστημα των ενισχυμένων ταχυτήτων (.5s<<4s) και ίσος με 0.5(( A / ω ) + 1) στο διάστημα των e u y ενισχυμένων επιταχύνσεων (.15s<<.5s). Προσοχή χρειάζεται στην περιοχή των περιόδων γύρω από την τιμή 0.5sec (στην τομή δηλαδή των διαστημάτων των ενισχυμένων ταχυτήτων και επιταχύνσεων), όπου η μικρότερη τιμή του συντελεστή πλαστιμότητας πρέπει να ληφθεί υπόψη. Δηλαδή, χρησιμοποιώντας την παράμετρο uy, που προσδιορίζεται από το στατικό διάγραμμα φορτίου-μετατόπισης, οι μέγιστες (φασματικές) τιμές παραμόρφωσης και επιτάχυνσης του μονοβάθμιου συστήματος του Σχήματος 1a μπορούν να υπολογισθούν και είναι ίσες με μu y και ω 1+ α ( μ 1) αντίστοιχα. u y [ ] s Η μέθοδος της ιδιομορφικής ανάλυσης πολυβάθμιων ανελαστικών συστημάτων προκύπτει με ανάλογο τρόπο και συγκεκριμένα με την ακόλουθη θεώρηση του προβλήματος: Η εξίσωση κίνησης ενός πολυβάθμιου φορέα (Σχήμα 3a) σε μητρωϊκή μορφή έχει ως εξής: F + F = M1& u& (5) I R g Όπου F I = MU& (M: το μητρώο μαζών, U(: το άνυσμα μετατοπίσεων), 1 το μοναδιαίο άνυσμα και FR( το άνυσμα των δυνάμεων επαναφοράς. Εκφράζοντας το τελευταίο άνυσμα ως ένα άθροισμα ελαστικών και διορθωτικών δυνάμεων, δηλ. ως FR = KU( R(, η εξ. (5) παίρνει τη μορφή M U&& + KU( = M1u& g + R( όπου Κ είναι το ελαστικό μητρώο ακαμψίας του φορέα. Εφαρμόζοντας την συνήθη πρακτική υπολογισμού των μετατοπίσεων μέσω των ιδιομορφών Φ του ελαστικού φορέα, δηλ. θεωρώντας U = ΣU = ΣΦ Y (7) (6) 4 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 4

mn D( M m m1 K ug( (a) ug( (b) Σxήμα 3. (a) πολυβάθμιος κτιριακός φορέας; (b)ιδιομορφικός ταλαντωτής (Υ : το εύρος της ιδιομορφής που εξαρτάται από τη διέγερση) και λαμβάνοντας υπόψη τις ορθογωνικές ιδιότητες των ιδιομορφών ως προς τα μητρώα μάζας και ακαμψίας, η μητρωϊκή εξ. (6) παίρνει την απλή μορφή M D&& + K D = M u& + Γ Φ g R( (8) που μπορεί να θεωρηθεί, κατ αναλογία προς τα ελαστικά συστήματα, ως η εξίσωση κίνησης του ιδιομορφικού ανελαστικού ταλαντωτή (Σχήμα 3b) που χαρακτηρίζεται από τα μεγέθη: M = Γ L = L / M είναι η ενεργός ιδιομορφική μάζα (Σχήμα 3b), M D = Y / Γ η μετατόπιση της την χρονική στιγμή t, ω = K M = Φ KΦ Φ MΦ η συχνότητα της ιδιομορφής, = K ω M η ενεργός ακαμψία του αντίστοιχου ταλαντωτή, και Γ Φ R( είναι η άγνωστη διορθωτική δύναμη της ίδιας ιδιομορφής (κατ αναλογία του τελευταίου όρου της εξ. (3)), όπου Γ = L / M = Φ M1/ Φ MΦ Υπάρχει μία σαφής ομοιότητα μεταξύ των εξισώσεων (3) και (8), όπως και μεταξύ της (4) και της εξίσωσης που προκύπτει από την (8) διαιρώντας με D & + ω D = u& + Φ R( / L g M, δηλ. της και πρέπει να σημειωθεί ότι η εξ. (9) αποδίδει απόλυτα την ιδιομορφική κίνηση ενός ελαστικού φορέα όταν R(=0. Σε αυτή την περίπτωση, η μέγιστη τιμή της D (, οριζόμενη ως D ο, προσδιορίζεται εύκολα από ένα ελαστικό φάσμα μέσω της συχνότητας ω και του συντελεστή απόσβεσης ξ, που συνήθως προκαθορίζεται. Η αντίστοιχη, μέγιστη, τιμή της ενεργού επιτάχυνσης, που προκαλεί την μετατόπιση D ο στην μάζα σχέση M (9) του σχήματος 3b, δίνεται από την γραμμική A o = ω D o (10) 5 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 5

Και οι αντίστοιχες ιδιομορφικές μετατοπίσεις στον πραγματικό φορέα του Σχήματος 3a, από τις οποίες μπορούν να προκύψουν όλα τα εντατικά μεγέθη στον φορέα, δίνονται από την σχέση (βλ. εξ. (7)): U Φ Y = Γ Φ o =, max D o Τα ίδια ακριβώς μεγέθη προκύπτουν και αν ο ελαστικός φορέας φορτισθεί με το άνυσμα δυνάμεων f = Γ MΦ A όταν ο όρος της επιτάχυνσης, Α, εξισωθεί με την φασματική τιμή της ενεργού επιτάχυνσης Α ο. Οι δύο διαδικασίες είναι απολύτως ισοδύναμες (Chopra, 1995) και, προφανώς, στην δεύτερη περίπτωση η μετατόπιση D του ταλαντωτή του Σχήματος 3b, στην γενική περίπτωση μιας τυχούσας τιμής της επιτάχυνσης Α στην εξίσωση (1), μπορεί να προκύψει από την εξίσωση (11), εισάγοντας στο πρώτο μέλος της εξίσωσης αυτής την μετατόπιση σε κάποιο κόμβο του φορέα (που είναι γνωστή από την στατική επίλυση του φορέα για τη φόρτιση με το άνυσμα των δυνάμεων της εξ. (1). Συνήθως χρησιμοποιείται η μετατόπιση u r σε ένα σημείο στην κορυφή του φορέα). Δηλ. D = u / Γ Φ r r Βέβαια, σε ελαστικά συστήματα η τιμή της D, που προκύπτει από ανωτέρω σχέση, συνδέεται με την επιτάχυνση Α των ιδιομορφικών δυνάμεων της εξ. (1), όπως και τα αντίστοιχα φασματικά μεγέθη στην εξίσωση (10). Δηλαδή A = ω D. Το σημαντικό στη διαδικασία αυτή είναι ότι η σχέση Α - D, που εκφράζει την σχέση μεταξύ της ενεργού επιτάχυνσης και της μετατόπισης του ταλαντωτή του Σχήματος 3b, μπορεί να προσδιοριστεί εμμέσως από μια στατική ανάλυση με εξωτερικά φορτία που ορίζονται από την εξ. (1). Και αν η διαδικασία αυτή φαίνεται να είναι περιττή σε ελαστικά συστήματα, είναι σημαντική σε ανελαστικούς φορείς, αφού παρέχει έναν προσεγγιστικό τρόπο προσδιορισμού ιδιομορφικών διαγραμμάτων Α -D και στο ανελαστικό στάδιο (ικανοτικά διαγράμματα των ιδιομορφικών ταλαντωτών). Πρέπει να σημειωθεί ότι η συνολική τέμνουσα που αντιστοιχεί στη φόρτιση της εξ. (1) ίση με V b = 1 f = 1 Γ MΦ A = M A Επομένως, για μια βαθμιαία αυξανόμενη φόρτιση της μορφής της εξ. (1) και πέραν του ελαστικού σταδίου -θεωρώντας ότι προοδευτικά αυξάνεται η επιτάχυνση Α -, αρκεί η κατασκευή του διαγράμματος τέμνουσας βάσης-μετατόπισης κορυφής (V b -u r όπως φαίνεται στο Σχήμα 4a) και μέσω της εξίσωσης (13) η τροποποίησή του σε διάγραμμα Α - D, που καλύπτει τόσο το ελαστικό όσο και το ανελαστικό στάδιο (Σχήμα 4b). Μειονέκτημα της μεθόδου αποτελεί το γεγονός ότι η μορφή της φόρτισης παραμένει αναλλοίωτη και δεν προσαρμόζεται στην αντίστοιχη ιδιομορφή του ανελαστικού συστήματος που δημιουργείται βαθμιαία. Παρόλα αυτά, έχει ήδη αποδειχθεί (Chopra ad Goel 00, Chitaapakdee ad Chopra 003) ότι χρησιμοποιώντας αυτά τα ικανοτικά διαγράμματα, η μέθοδος διάσπασης πολυβάθμιων ανελαστικών συστημάτων (δηλ. της εξ. (6)) σε ένα άθροισμα ανελαστικών ιδιομορφικών ταλαντωτών (μέσω των εξισώσεων (9) που εκφράζουν μια σχέση μεταξύ Α και D όπως αυτή του Σχήματος 4b) παρέχει πολύ ακριβή αποτελέσματα. (11) (1) (13) (14) 3 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Α 1 - D 1 ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ Η ιδιομορφική ανάλυση ανελαστικών συστημάτων γίνεται ακόμα ευκολότερη όταν το ικανοτικό διαγράμμα της πρώτης ιδιομορφής, Α 1 -D 1, μπορεί να προσδιοριστεί εκ των προτέρων χωρίς να απαιτείται καμία ιδιαίτερη στατική επίλυση. Σε φορείς που συνήθως χρησιμοποιούνται στην πράξη 6 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 6

Vb A =Vb/M α ω s ur ω Dy D=ur/ΓΦr (a) (b) Σχήμα 4. (a) Καμπύλη τέμνουσας βάσης-μετατόπισης κορυφής;(b) ιδιομορφικό διάγραμμα Α - D (κοινά πλαίσια, συζευγμένα τοιχώματα, συνδυασμός πλαισίων και τοιχωμάτων κλπ.) και όταν η ανελαστικότητα (διαρροή) περιορίζεται στις δοκούς των φορέων αυτών, η κατασκευή τού διαγράμματος Α 1 -D 1 είναι ευχερής. Θεωρώντας το ομοιόμορφο ζεύγος των συζευγμένων τοιχίων του Σχήματος 5a, που υπόκειται σε μία οριζόντια φόρτιση που προσομοιάζει ένα σεισμικό φορτίο, οι τέμνουσες δυνάμεις στις δοκούς ζεύξης παρουσιάζουν μια κατανομή παρόμοια με αυτή του Σχήματος 5b. Η μορφή της κατανομής αυτής αποδίδεται καλύτερα όχι με διακριτά στατικά μοντέλα, αλλά με το μοντέλο του συνεχούς μέσου (Coull & Choudbury,1967a & 1967b) όπου η κατακόρυφη διάταξη των δοκών αντικαθίσταται με ένα ισοδύναμο διατμητικό μέσο με ακαμψία ίση με EI b /h (I b η ενεργός ροπή αδράνειας των δοκών, h το ύψος ορόφου). Το μοντέλο του συνεχούς μέσου παρέχει αναλυτική έκφραση της διατμητικής ροής, q, (τέμνουσα δύναμη ανά μονάδα ύψους) καθ ύψος του συνεχούς μέσου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5b. Για τις συνήθεις περιπτώσεις σεισμικών φορτίσεων, η μέγιστη τιμή της q παρουσιάζεται περί το μέσον του ύψους του φορέα, ενώ στην περίπτωση που το εξωτερικό φορτίο παίρνει τη μορφή μιας συγκεντρωμένης δύναμης στην κορυφή του φορέα, η q max εμφανίζεται και αυτή στην κορυφή του φορέα. Θεωρώντας ότι το εξωτερικό φορτίο αυξάνεται βαθμιαία, το διατμητικό μέσο στο επίπεδο όπου παρουσιάζεται η q max θα εισέλθει στο πλαστικό στάδιο όταν η τιμή της q max γίνει ίση με την αντοχή του συνεχούς μέσου q u (=V u /h=m u /bh, όπου M u η πλαστική ροπή (διαρροής) της δοκού και b το καθαρό μήκος αυτής). Σε φορείς με πλάστιμες δοκούς, όπου είναι δυνατόν να δημιουργηθούν πλαστικές αρθρώσεις χωρίς μείωση της καμπτικής ικανότητας της δοκού (συνεπώς και της διατμητικής αντοχής του ισοδύναμου συνεχούς μέσου), περαιτέρω αύξηση του εξωτερικού φορτίου θα προκαλέσει μια πλαστικοποίηση του συνεχούς μέσου σε μία ευρύτερη ζώνη και συρρίκνωση των περιοχών όπου το διατμητικό μέσο παραμένει στο ελαστικό στάδιο (στα άκρα του φορέα όπως φαίνεται στο Σχήμα 5c). Παραμετρικές αναλύσεις (Paulay 1970, Gluck 1973, Coull ad Nayar 1976, Coull ad Choo 198, Georgoussis 005), για διάφορα είδη εξωτερικής φόρτισης (ομοιόμορφη, ανεστραμμένου τριγώνου κλπ.), έχουν δείξει ότι μετά από μια μικρή σχετικά αύξηση του εξωτερικού φορτίου το διατμητικό μέσο θα έχει πλαστικοποιηθεί σχεδόν σε όλο του το ύψος (Σχήμα 5d). Προφανώς, η ίδια συμπεριφορά θα προκύψει και όταν το εξωτερικό φορτίο λάβει το σχήμα της πρώτης ιδιομορφής του φορέα. Επομένως, εάν η βασική ιδέα για την κατασκευή του διαγράμματος Α 1 -D 1 (Chopra ad Goel 00, Georgoussis, 006) είναι η φόρτιση του φορέα με δυνάμεις που έχουν την κατανομή της αντίστοιχης (πρώτης) ιδιομορφής, που στο αρχικό (ελαστικό) στάδιο δίνονται από την εξ. (1) (=1), στο τελικό στάδιο, όταν ουσιαστικά το διατμητικό μέσο έχει πλαστικοποιηθεί σε όλο του το ύψος, η περαιτέρω αύξηση του εξωτερικού φορτίου θα πρέπει να έχει τη μορφή ( M1 M1u ) Δ 1 Δf (15) 1 = Γ1uMΦ1u A 7 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 7

q z qmax elastic zoe plastic qu zoe qu plastic zoe H elastic zoe elastic zoe He (a) b l (b) (c) (d) Σχήμα 5.(a) Ζεύγος συζευγμένων τοιχίων υπό τυπική σεισμική φόρτιση;(b) η διατμητική ροή στο ελαστικό στάδιο;(c) μετά την πρώτη διαρροή στο επίπεδο της q max και (d) σε προχωρημένο ανελαστικό στάδιο. M Όπου τα μεγέθη Γ 1u, Φ 1u και αναφέρονται στην πρώτη ιδιομορφή του συστήματος που αποτελείται από δύο τοιχία με πλήρως πλαστικοποιημένο το διατμητικό μέσο που τα συνδέει ( με όλες δηλ. τις δοκούς μεταξύ των τοιχίων να έχουν σχηματίσει πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα τους). Η φόρτιση της εξ. (15) δημιουργεί μια τέμνουσα ίση με Δ = M Δ και μετατοπίσεις ΔU ΔA1 ( M1 M1u ) = Γ1uΦ1u ( M1 M1u ) Δ 1 1 = Γ1uΦ1u D ω1u V b 1 1 A1 όπου ω 1u είναι η πρώτη συχνότητα του συστήματος με πλήρως πλαστικοποιημένο το διατμητικό μέσο, η οποία, στο τετράγωνο, αποτελεί και την κλίση του διαγράμματος Α 1 -D 1 σε προχωρημένο ανελαστικό στάδιο του φορέα, δηλ. ΔA1 = ω 1u Δ D1 (στο Σχήμα 4b -για =1- η συχνότητα της πρώτης ιδιομορφής του ανελαστικού συστήματος έχει τεθεί ίση με ω1u = α1sω1 ). Επομένως, εάν το πραγματικό διάγραμμα Α1-D 1 (πλήρης γραμμή) του Σχήματος 4b, προσεγγισθεί με μια διγραμμική καμπύλη αρχικής κλίσης ω 1 και τελικής ω 1u, το επιπλέον μέγεθος που χρειάζεται για τον πλήρη προσδιορισμό αυτής, είναι η τιμή του αποκοπτώμενου τμήματος Αα1 (στον άξονα των επιταχύνσεων) από το δεύτερο σκέλος της διακεκομμένης γραμμής του Σχήματος 4b. Η τιμή αυτή αντιστοιχεί στην επιτάχυνση του ανύσματος της εξ. (15) που προκαλεί μετατόπιση στην κορυφή του φορέα ίση με αυτήν που προκαλεί το διατμητικό μέσο όταν έχει πλήρως πλαστικοποιηθεί (δηλ. πλαστικές ροπές M u έχουν αναπτυχθεί στα άκρα όλων των δοκών) και δίνεται από την σχέση: A a1 M1u ω1u Qu H = (17) M Γ Φ 3EI 1 1u 1ur 3 Οι τιμές μετατόπισης και επιτάχυνσης ( διαρροής ) που αντιστοιχούν στο σημείο που αλλάζει η κλίση στη διγραμμική (διακεκομμένη) καμπύλη του Σχήματος 4b, είναι οι ακόλουθες (16) D 3 M1u 1 Q H 1 y = = M1 1 1u 1u 1ur A1 y = ω 1 D1 y Q H u u D 1y [( ω ω ) 1] Γ Φ 3EI 3EI 3 (18) (19) 8 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 8

Όπου Q u =q u l (l: η αξονική απόσταση των δύο τοιχίων). Η ακρίβεια της μεθόδου φαίνεται στο Σχήμα 6c (αναφέρεται στο παράδειγμα που ακολουθεί), όπου η καμπύλη Α 1 -D 1 (πλήρης γραμμή) που κατασκευάσθηκε κατά τα προηγούμενα παρουσιάζεται μαζί με την F s1 /L 1 -D 1 καμπύλη (διάστικτη γραμμή) που προτείνεται από τους Chopra ad Goel (00), μετά δηλαδή από μία στατική επίλυση με βαθμιαία αυξανόμενη εξωτερική φόρτιση που είχε την κατανομή της πρώτης ιδιομορφής του ελαστικού φορέα. Η διγραμμική καμπύλη του Σχήματος 4b αποτελεί μια προσεγγιστική ικανοτική καμπύλη του πρώτου ιδιομορφικού ταλαντωτή του φορέα και επομένως, σε συνδυασμό με το φάσμα σχεδιασμού του Σχήματος, μπορεί να προκύψει ο ιδιομορφικός συντελεστή πλαστιμότητας, μ 1, όπως ακριβώς και σ ένα απλό μονοβάθμιο ανελαστικό σύστημα. Οι φασματικές τιμές D 1ο και Α 1ο της πρώτης ιδιομορφής του φορέα υπολογίζονται από του τύπους: D 1o = μ 1 D 1y () ω 1u A 1o = ω1 D1 y 1 + ( μ1 1) (3) ω1 Ενώ το αντίστοιχο άνυσμα μετατοπίσεων προκύπτει από τον συνδυασμό των εξ. (11) και (16), δηλ. M1 1o = Γ1Φ1D1 y + Γ1uΦ1u 1 1 M1u ( μ1 ) D y U (4) 0,5 0, A1/g b l θ M u M θ y θ 0,15 0,1 0,05 0 Fs1/L1-D1 A1-D1 D1 (m) 0 0,05 0,1 0,15 (a) (b) (c) Σχήμα 6. (a) το σύστημα συζευγμένων τοιχωμάτων του παραδείγματος;(b )το διάγραμμα ροπών στροφών των δοκών ζεύξης; (c) το ικανοτικό διάγραμμα Α1-D1 του φορέα. 4 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ένα δεκαώροφο σύστημα δύο συζευγμένων τοιχίων αναλύεται με την προτεινόμενη προσεγγιστική μέθοδο, για την περίπτωση μιας εδαφικής διέγερσης ίσης με τον σεισμό του El Cetro (1940, N-S) αυξημένο κατά 50%, και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που προκύπτουν από τη βήμαπρος-βήμα δυναμική μέθοδο ανάλυσης. Τα τοιχώματα (Σχήμα 6a) έχουν διαστάσεις 30x300cm, 9 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 9

ευρίσκονται σε (αξονική) απόσταση l=5m, και συνδέονται στις στάθμες των ορόφων (ύψους h=3.5m) με δοκούς διαστάσεων 5x70cm. Το σύστημα των δύο τοιχωμάτων σχεδιάζεται να αντέχει ελαστικά το ήμισυ της σεισμικής τέμνουσας που αναπτύσσεται σε ένα δεκαώροφο κτίριο επιφάνειας 4x15m με φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας ίσο με 8kN. Συνεπώς για R d ( =0.10g, το σύστημα των δύο συζευγμένων τοιχίων σχεδιάζεται να έχει μία φέρουσα ικανότητα έναντι οριζοντίων δυνάμεων ίση με Rd Wt 8x15x4x10 Vbd = = 0.1 = 1440kN g Η αντίστοιχη φέρουσα ικανότητα των δοκών ζεύξης (ιδίων σε όλους τους ορόφους) προέκυψε θεωρώντας ότι το ανωτέρω φορτίο έχει τη μορφή ανεστραμμένου τριγώνου. Προκειμένου τα αποτελέσματα να έχουν παραμετρική ερμηνεία, η επίλυση έγινε με τη μέθοδο του συνεχούς μέσου, (Georgoussis, 006) χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα των Coull & Choudbury (1967a & b). Η μέγιστη τιμή της διατμητικής ροής υπολογίσθηκε ίση με q max =q u =00.46kN/m σε ύψος περίπου ίσο με το τρίτο του ύψους του φορέα. Συνεπώς η καμπτική ικανότητα των δοκών υπολογίσθηκε ως M u =q u hb/=00.46x3.5x/=701.6kn Ενώ η αντίστοιχη στροφή διαρροής θ y (Σχήμα 6b), που απαιτείται για μια πλήρη βήμα-προς-βήμα δυναμική ανάλυση, υπολογίσθηκε από τον τύπο M u =(6EI b /b)θ y και βρέθηκε ίση με 0.0016rad. Στον παρακάτω Πίνακα φαίνονται τα μεγέθη: περίοδοι, ενεργές μάζες και ύψη (σε ανηγμένη μορφή M και h ) του ελαστικού φορέα για τις τρεις πρώτες ιδιομορφές, καθώς και τα αντίστοιχα μεγέθη της πρώτης ιδιομορφής στο τελικό στάδιο παραμόρφωσης, όταν σε όλες τις δοκούς ζεύξης έχουν σχηματισθεί πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα τους. Η διγραμμική ικανοτική καμπύλη Α 1 -D 1 της πρώτης ιδιομορφής φαίνεται στο Σχήμα 6c και η αντίστοιχη μετατόπιση διαρροής υπολογίσθηκε ίση με D 1y =0.0517m. Η συμπεριφορά του φορέα στις ανώτερες ιδιομορφές θεωρήθηκε ελαστική (Chopra et al. 004) και οι μετατοπίσεις σε όλους τους ορόφους, όπως προέκυψαν από την προτεινόμενη μέθοδο με φασματική επαλληλία (SRSS) και την πλήρη, βήμαπρος-βήμα, δυναμική ανάλυση (N-L,RHA) φαίνονται στο Σχήμα 7. 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η συμπεριφορά πολυώροφων κτιριακών φορέων, που έχουν σχεδιασθεί σύμφωνα με τον κανόνα πρόβλεψης των πλαστικών αρθρώσεων στις δοκούς (ικανοτικός σχεδιασμός για το ενδεχόμενο ενός ισχυρού σεισμού), μπορεί να εκτιμηθεί με φασματική επαλληλία ανελαστικών ιδιομορφικών ταλαντωτών. Το ανελαστικό διάγραμμα φορτίου-μετατόπισης του ταλαντωτή που αντιστοιχεί στην πρώτη και καθοριστική ιδιομορφή, μπορεί να προκύψει από τα χαρακτηριστικά του φορέα στο αρχικό (ελαστικό) στάδιο και στο τελικό (ανελαστικό) στάδιο, όπου, επειδή τα οριζόντια μέλη του φορέα έχουν εισέλθει στο πλαστικό στάδιο, η ακαμψία του φορέα προκύπτει από αυτή των κατακόρυφων μελών του. Επειδή ακριβώς δεν απαιτείται κάποια πρόσθετη στατική επίλυση για τον προσδιορισμό του διαγράμματος αυτού, η μέθοδος είναι ιδιαίτερα απλή και μπορεί να εφαρμοσθεί ακόμα και στο στάδιο προμελέτης ενός έργου. Η ακρίβεια της μεθόδου, με συγκρίσεις που έχουν γίνει με την πλήρη βήμα-προς-βήμα δυναμική ανάλυση, φαίνεται να είναι ικανοποιητική. 10 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 10

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Ιδιομ Τ(s) Αρχικό στάδιο M M M h = h H Τ(s) = t Τελικό στάδιο M M M h = t = h H 1 1.081 0.698 0.738.643 0.646 0.761 0.65 0.178 0.136 - - - 3 0.10 0.054 0.115 - - - 10 8 6 4 0 Story Prop. Aalysis N-L, RHA U (m) 0 0.05 0.1 0.15 0. Σχήμα 7. Μετατοπίσεις του φορέα του παραδείγματος κατά την προτεινόμενη μέθοδο και με βήμα-προς-βήμα δυναμική ανάλυση (N-L,RHA) 6 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Aagostopoulos SA, Havilad RW, Biggs JM. 1978. Use of Ielastic Spectra i Aseismic Desig. J. Struct. Div. ASCE, 104(1): 95-109. Chitaapakdee C, Chopra AK. 003. Evaluatio of Modal Pushover Aalysis usig Geeric Frames. Earthquake Egg. Struct. Dy. 3: 417-44. Chopra AK. 1995. Dyamics of Structures: heory ad Applicatios to Earthquake Egieerig. Pretice-Hall. N.J. Chopra AK, Goel RK. 00. A Modal Pushover Aalysis Procedure for Estimatig Seismic Demads for Buildigs. Earthquake Egg. Struct. Dy. 31: 561-58. 11 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 11

Chopra AK, Goel RK, Chitaapakdee C. 004. Evaluatio of a Modified MPA Procedure Assumig Higher Modes as Elastic to Estimate Seismic Demads. Earthquake Spectra. 0(3): 757-778. Coull A, Choo BS. 198. Simplified Elasto-Plastic Aalysis of Coupled Shear Walls. Proc. Ist. Civ. Egrs. : 365-381. Coull A, Choudhury JR. 1967a. Stresses ad Deflectios i Coupled Shear Walls. ACI Joural/Feb. 65-7. Coull A, Choudhury JR. 1967b. Aalysis of Coupled Shear Walls. ACI Joural/Sept. 587-593. Coull A, Nayar KK. 1976. Elasto-Plastic Aalysis of Coupled Shear Walls. J. Struct. Div. ASCE 10(S9): 1845-1860. Georgoussis G. 005. Ductility Factors of Symmetrical Structures with Restricted Ielasticity. Accepted for publicatio i he Structural Desig of all ad Special Buildigs. Georgoussis G. 006. Approximate Modal Aalysis of Multistory Symmetrical Buildigs with Restricted Ielasticity. Accepted for publicatio i he Structural Desig of all ad Special Buildigs. Gluck J. 1973. Elasto-plastic Aalysis of Coupled Shear Walls. J. Struct. Div. ASCE 8: 1743-1760. Newmark NM, Riddel R. 1979. A Statistical Study of Ielastic Respose Spectra. Proc. d U.S. Natioal Coferece o Earthquake Egieerig: 495-504 Paulay. 1970. A Elasto-plastic Aalysis of Coupled Shear Walls. Proc. ACI. 11: 915-9 Ruteberg A. 1975. Approximate Natural Frequecies for Coupled Shear Walls. Earthquake Egg. Struct. Dy. 4: 95-100. Villaverde R. 1996. Simplified Respose-Spectrum Seismic Aalysis of Noliear Structures. J. Eg. Mech. ASCE, 1(3): 8-85. 1 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου., 006 1