Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος εαρινού εξαμήνου 20-2) ΘΕΜΑ ο (30%) Ο υπερστατικός φορέας του σχήματος καταπονείται από θερμικά φορτία και υποχώρηση της στήριξης στον κόμβο #. Το εξωτερικό περιβάλλον του φορέα βρίσκεται σε θερμοκρασία T εξ. = 0 C, ενώ ο εσωτερικός χώρος σε θερμοκρασία T εσ. = 20 C. Η πάκτωση # υποχωρεί κατά d = 2 cm. Τα τρία μέλη του φορέα έχουν την ίδια διατομή ύψους h = 20 cm, 2 το ίδιο μέτρο ελαστικότητας με EI = 8 0 knm και για όλα ο συντελεστής θερμικής -5 - διαστολής δίνεται a = 0 ( C). Να επιλυθεί ο φορέας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων και συγκεκριμένα: (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα άκρα των τριών μελών του φορέα. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα., Ιουλ. 202 / 6

2 ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΔΟΚΩΝ A 2EI L 6EI = ( 2f + f2), QA = ( f + f2) L 2 B 2EI L f f 6EI = ( + 2 2), Q B = f + f2 L 2 A 6EI = ( d2 - d), QA = ( d2 - d) L 2 2EI L 3 B 6EI = ( d2 - d), QB = ( d2 - d) L 2 2EI L 3 T εξ. A aei = dt, B h aei =- dt h T εσ. d T = T - T εσ. εξ. Επίλυση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι η στροφή f στον κόμβο #2 (αριστερόστροφη). Μέλος -2: Q Q -5 2EI 6EI 0 EI EI 3EI EI = f ( 20-0) = f+ - (α) EI 6EI 0 EI EI 3EI EI = f ( 20-0) = f+ + (β) EI 2EI 3EI 3EI = f Q = f+ (γ) EI 2EI 3EI 3EI = f Q = f+ (δ) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

3 Μέλος 2-3: -5 EI 6EI 0 EI 3EI EI 23 = f ( 20-0) 2 23 = EIf- - (2α) Q Q -5 2EI 6EI 0 EI EI 3EI EI = f ( 20-0) = f- + (2β) EI 2EI 3EI 3EI = f Q = f- (2γ) EI 2EI 3EI 3EI = f Q = f- (2δ) Μέλος 2-: -5 EI 0 EI 2 = f+ ( 20-20) 2 = EIf (3α) 0.20 Q Q = EI f- EI ( 20-20) = EI f (3β) EI 3EI = f Q = f (3γ) EI 3EI = f Q = f (3δ) Προσδιορισμός της άγνωστης στροφής: Η άγνωστη f υπολογίζεται από την ισορροπία των ροπών στον κόμβο #2. Η εξίσωση αυτή γράφεται ως εξής: S = = æei 3EI EI ö æ 3EI EI ö f EIf- - + ( EIf) = 0 ç è ø çè ø 5EI 3EI 3EI 9 f+ - = 0 f = = rad () Γνωρίζοντας πλέον τη στροφή μπορούν να προσδιορισθούν τα ακραία εντατικά μεγέθη των μελών του φορέα αντικαθιστώντας τη τιμή της στροφής στις Εξ. (), (2) και (3). ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

4 Υπολογισμός των ακραίων εντατικών μεγεθών των μελών του φορέα Μέλος -2: EI 9 3EI EI 23 = + - = = 5 knm (5α) 2 EI 9 3EI EI 32 = + + = = 320 knm (5β) 2 3EI 9 3EI 87 Q2 = Q2 = + Q2 = Q2 = Q = Q = kn (5γ) 2 2 Μέλος 2-3: 9 3EI EI = EI = =- 500 knm (6α) 23 EI 9 3EI EI 3 = - + = =- 30 knm (6β) 32 3EI 9 3EI 93 Q23 = Q32 = - Q23 = Q32 = Q = Q = kn (6γ) Μέλος 2-: = EI 2 = = 80 knm (7α) EI = 2 = 2 = 90 knm (7β) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 202 / 6

5 3EI 9 27 Q2 = Q2 = Q2 = Q2 = Q = Q = 67.5 kn (7γ) 2 2 Ισορροπία του κόμβου #2: S = = knm knm + 80 knm = 0 (8α) S F = 0 Q -Q - N = kn kn + R = 0 y y kn kn + R = 0 R = kn (8β) y y S F = 0 - N + N - Q = 0 - N + N kn = 0 x N + N = 67.5 kn (8γ) 2 23 Ισορροπία ολόκληρου του φορέα (εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού R y ): S F = 0 - N + N - Q = 0 - N + N kn = 0 x N + N = 67.5 kn (9α) 2 23 S F = 0 Q - Q + R = kn kn + R = 0 y 2 32 y y kn kn + R = 0 y R = kn (9β) y S = m R -m Q -2m Q = y knm knm + 90 knm + 8 m kn - m 67.5 kn -2 m kn = knm = 0 (9γ) Ο υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των μελών -2 και 2-3 δεν είναι δυνατόν να επιτευχθεί, εφόσον εξ αρχής θεωρήθηκε ότι η αξονική παραμόρφωση των μελών του φορέα είναι αμελητέα και επιπλέον επειδή τα μέλη -2 και 2-3 είναι πάνω στην ίδια ευθεία. Συνεπώς, στην παρούσα κατάσταση προσδιορίζεται μόνο μία σχέση μεταξύ των N 2 και N 23, όπως αυτή που δίνεται στην Εξ. (8γ) και επαληθεύθηκε με την Εξ. (9α). ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

6 Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος του φορέα 5 knm T εξ. = + 0 C 30 knm N N 32 EI EI kn T εσ. = + 20 C EI T εσ. = + 20 C kn m δ =2cm 67.5 kn 90 knm kn 8 m m Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών του φορέα [ ] (knm) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

7 ΘΕΜΑ 2 ο (5%) () Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [] του παρακάτω πλαισιωτού φορέα. Να υπολογισθούν οι τιμές και οι αντίστοιχες θέσεις της μέγιστης θετικής ροπής κάμψης (δύο τιμές). (2) Επιπλέον, ζητείται να προσδιορισθεί η βύθιση w της άρθρωσης # εάν δίνεται ότι τα 8 2 μέλη του φορέα έχουν μέτρο ελαστικότητας E = 2 0 kn/ m και διατομή με πλάτος b = 30 cm και ύψος h = 0 cm. w kn =ò dx και f knm 0 EI =ò 0 dx EI Επίλυση: Οι αντιδράσεις του φορέα προσδιορίζονται από τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας του φορέα και τις δύο εξισώσεις μηδενισμού της καμπτικής ροπής στις αρθρώσεις των κόμβων # και #5 (η φορά των αντιδράσεων δίνεται στο επόμενο σχήμα): κάτω 5 7x 7x S = 0 R m -80 kn 2 m = 0 R = 0 kn () δεξιά S = 0 R 6m + R m -80kN 2m - 0 kn/ m 6m 3m = 0 7y 7x 6R + 60 kn -60 kn - 80 kn = 0 R = 30 kn 7y 7y (2) S F = 0 R + R - 80 kn = 0 R + 0 kn - 80 kn = 0 x x 7x x R = 0 kn (3) x ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

8 R x = 0 kn = 200 knm R y = 80 kn R 7x = 0 kn R 7y = 30 kn S F = 0 R + R -30kN -20 kn/ m 6m -0 kn/ m 6m = 0 y y 7y R + 30 kn -30 kn -20 kn - 60 kn = 0 R = 80 kn () y y S = 0 + R7 y 0m -30kN m + 80kN 2m - 20 kn/ m 6m m - 0 kn/ m 6 m 7 m = knm - 20 knm + 60 knm -20 knm - 20 knm = 0 = 200 knm (5) Ένας έλεγχος των αποτελεσμάτων μπορεί να γίνει παίρνοντας για παράδειγμα ισορροπία ροπών σε κάποιο άλλο σημείο του φορέα ή μηδενίζοντας τη ροπή στις αρθρώσεις για το τμήμα του φορέα που δεν χρησιμοποιήθηκε στις Εξ. () και (2). Για το σκοπό αυτό επιλέγεται η εξίσωση ισορροπίας ροπών όλου του φορέα στο κόμβο #2: S = 0 + R m + R 0 m + R m -30 kn m -80 kn 2 m 2 x 7y 7x - 20 kn/ m 6 m m - 0 kn/ m 6 m 7 m = = = 0 (6) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

9 Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων του φορέα R x = 0 kn = 200 knm R y = 80 kn R 7x = 0 kn R 7y = 30 kn [ N ] (kn) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

10 Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων και Καμπτικών Ροπών του φορέα R x = 0 kn = 200 knm R y = 80 kn R 7x = 0 kn R 7y = 30 kn [ Q] (kn) q 2 /8 = 0 q 2 /8 = 0 q 2 /8 = 5 [ ] (knm) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

11 Όπως φαίνεται και από το διάγραμμα ροπών του φορέα, τα σημεία στα οποία εμφανίζεται τοπικά μέγιστη θετική ροπή κάμψης είναι το μέσον του τμήματος -5 και ο κόμβος #6, με τιμές 5 knm και 80 knm, αντίστοιχα. Ζητείται επίσης να προσδιορισθεί η βύθιση w της άρθρωσης # όταν τα μέλη του φορέα 8 2 έχουν μέτρο ελαστικότητας E = 2 0 kn/ m και διατομή πλάτους b = 30 cm και ύψους h = 0 cm. Η ζητούμενη αυτή παραμόρφωση θα υπολογισθεί με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου (Αρχή Δυνατών Έργων), σύμφωνα με την οποία προκειμένου να προσδιορισθεί η εγκάρσια μετατόπιση του κόμβου # (βύθιση) επιβάλλεται στο φορέα μοναδιαία δύναμη στο σημείο αυτό και με διεύθυνση αυτή της ζητούμενης μετατόπισης, δηλαδή εγκάρσια. Η σχέση υπολογισμού της μετατόπισης είναι: w kn = ò dx = dx 0 EI EI ò0 (7) στην οποία είναι το διάγραμμα ροπών του φορέα για τη δεδομένη φόρτιση του φορέα και το διάγραμμα ροπών για εγκάρσιο μοναδιαίο φορτίο στον κόμβο #. Τα ολοκληρώματα των γινομένων των ροπών για κάθε τμήμα του φορέα προσδιορίζονται από τον πίνακα που ακολουθεί και ο οποίος δίνεται στην εκφώνηση του προβλήματος. Τιμές ολοκληρωμάτων ò 0 dx j k j k k k k 0 j j j k j k 2 j ( + 2) k ( 2j ) + j2 2 k j j 6 j j2 j j 3 k( j + j3 + j2) k( j + 2j3) 6 6 ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 202 / 6

12 Οι αντιδράσεις του φορέα για μοναδιαία φόρτιση προσδιορίζονται από τις ίδιες εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν κατά την προηγηθείσα ανάλυση για τη συνολική φόρτιση (Εξ. έως 5): κάτω 5 7x 7x S = 0 R m = 0 R = 0kN (8) δεξιά S = 0 R7y 6m + R7x m = 0 R7y = 0kN (9) S F = 0 R + R = 0 R = 0kN (0) x x 7x x S F = 0 R + R - kn = 0 R = kn () y y 7y y S = 0 + R 0m -kn m = 0 = knm (2) 7y Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος και Καμπτικών Ροπών του φορέα για μοναδιαία φόρτιση kn R x = 0 kn = knm R y = kn 7 R 7x = 0 kn R 7y = 0 kn 2 m m 6 m 0 [ ] (knm) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

13 Η βύθιση w της άρθρωσης # υπολογίζεται από την Εξ.(7): æ ö w kn = ç dx = dx + dx EI çèò 0 ø EI ò0 EI ò 0 μέλος -2 μέλος 2- = EI ( τραπέζιο στο 2, - διάγραμμα Μ) ( ορθογώνιο στο 2, - διάγραμμα Μ) υπολογίζεται από τη σχέση στο κελί (2,) του πίνακα + EI ( παραβολή στο 2, - διάγραμμα Μ) ( τρίγωνο στο 2, - διάγραμμα Μ) υπολογίζεται από τη σχέση στο κελί (3,2) του πίνακα = m (- knm ) é( - 200) + (-360) ùknm EI 2 ë û + m (- knm ) é( - 00) + 2( -60) ùknm EI 6 ë û (3) Η ροπή αδράνειας I υπολογίζεται από τις διαστάσεις της ορθογωνικής διατομής των μελών: I 3 3 bh = = m = 6 0 m () 2 2 Συνεπώς, από την Εξ. (3) προκύπτει η τιμή της ζητούμενης μετατόπισης: w = (-8)(- 560) knm + (-8)(-720) knm EI EI = ( 8)( 800) knm = knm EI ( 2 0 kn/ m )( 60 m ) w = 0.02 m = 2 cm (5) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

14 ΘΕΜΑ 3 ο (25%) Για τη συνεχή δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής: (α) των αντιδράσεων στις στηρίξεις # και #5, (β) της τέμνουσας δύναμης στο μέσον του τμήματος -2 και (γ) της καμπτικής ροπής στη στήριξη #. Επίλυση: Κεντρικό τμήμα της ανάλυσης για τον προσδιορισμό των γραμμών επιρροής που ζητούνται, είναι η δοκός 3--2-, η οποία στηρίζεται αυτόνομα στους κόμβους # και #2. Οι δοκοί και -6-8 εξαρτώνται από τη κεντρική δοκό Γραμμή επιρροής της αντίδρασης R y στη στήριξη #: Για μοναδιαία δύναμη στον κόμβο # θα είναι R y( # ) = kn, ενώ για δύναμη στον κόμβο #2 η αντίδραση στη στήριξη # θα γίνει R y( # 2) = 0kN. Οι τιμές αυτές διαμορφώνουν το ευθύγραμμο διάγραμμα μεταξύ των κόμβων # και #2 και στη συνέχεια προεκτείνοντας το διάγραμμα προς τα άκρα της δοκού 3--2-, δηλαδή προς τους κόμβους #3 και #, προσδιορίζονται από όμοια τρίγωνα οι τιμές, R y( # 3) =.5kN και R y( # ) =- 0.5kN, αντίστοιχα. Στη συνέχεια εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία το μοναδιαίο φορτίο βρίσκεται πάνω στην στήριξη #5, όπου τότε είναι προφανώς R y( # 5) = 0kN, καθώς και η περίπτωση με το μοναδιαίο φορτίο να έχει τοποθετηθεί στον κόμβο #6 και όπου πάλι είναι R y( # 6) = 0kN. Έτσι, έχοντας προσδιορίσει δύο τιμές της γραμμής επιρροής της αντίδρασης R y στο τμήμα της δοκού 7-5-3, τις R y( # 5) = 0kN και R y( # 3) =.5kN με τις οποίες ορίζεται το ευθύγραμμο διάγραμμα για ολόκληρο το τμήμα και από όμοια τρίγωνα υπολογίζεται η τιμή R y( # 7) =- kn που αντιστοιχεί σε μοναδιαίο φορτίο στον κόμβο #7. Όμοια, αντιμετωπίζεται και η δοκός -6-8 για την οποία έχουν προσδιορισθεί οι τιμές R y( # ) =- 0.5kN και R y( # 6) = 0kN, οπότε προεκτείνοντας την ευθεία που τις ενώνει βρίσκεται η τιμή της αντίδρασης R y( # 8) = 0.25kN, η οποία αντιστοιχεί σε μοναδιαίο φορτίο στον κόμβο #8. 2. Γραμμή επιρροής της αντίδρασης R 5y στη στήριξη #5: Για μοναδιαία δύναμη στους κόμβους #, #2 και #6, οι αντίστοιχες αντιδράσεις στη στήριξη #5 θα είναι R 5 y( # ) = 0kN, R 5 y( # 2) = 0kN και R 5 y( # 6) = 0kN, ενώ για φορτίο στον ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 202 / 6

15 κόμβο #5 η αντίδραση στην στήριξη του κόμβου αυτού θα γίνει R y( # 5) = kn. Επομένως, ακολουθώντας ίδια λογική με αυτή της γραμμής επιρροής της αντίδρασης στον κόμβο #, οι τιμές που βρέθηκαν διαμορφώνουν μηδενικό διάγραμμα για το τμήμα -2 και προεκτείνοντάς το μέχρι τα άκρα της δοκού θα προκύψουν μηδενικές επίσης τιμές στους κόμβους #3 και #. Εξετάζοντας, στη συνέχεια, την περίπτωση που το μοναδιαίο φορτίο βρίσκεται στη στήριξη #5, η αντίδραση θα είναι R 5 y( # 5) = kn και συνεπώς, διαθέτοντας δύο τιμές της γραμμής επιρροής για τη δοκό 7-5-3, τις R 5 y( # 5) = kn και R 5 y( # 3) = 0kN, ορίζεται το ευθύγραμμο διάγραμμα το τμήμα και μέσω αυτού με όμοια τρίγωνα προσδιορίζεται η τιμή R 5 y( # 7) = 5/3kN για φορτίο στον κόμβο #7. Με ίδιο τρόπο αντιμετωπίζεται η δοκός -6-8 για την οποία έχουν υπολογισθεί οι τιμές R 5 y( # ) = 0kN και R 5 y( # 6) = 0kN, οπότε προεκτείνοντας το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από αυτές έως το άκρο #8, βρίσκεται η τιμή R 5 y( # 8) = 0kN, που αναφέρεται σε μοναδιαίο φορτίο στον κόμβο #8. 3. Γραμμή επιρροής της τέμνουσας δύναμης Q m στο μέσον m του τμήματος -2: Στην περίπτωση αυτή μορφώνεται, κατ αρχήν, το διάγραμμα για μοναδιαίο φορτίο στο διάστημα -2, το οποίο είναι αυτό της αμφιερείστου δοκού. Προεκτείνοντας τα ευθύγραμμα τμήματα του διαγράμματος προς τα άκρα #3 και # της δοκού 3--2-, υπολογίζονται από όμοια τρίγωνα οι τιμές της τέμνουσας δύναμης Q m( # 3) = 0.5kN και Q m( # ) =- 0.5kN, που οφείλονται σε μοναδιαίο φορτίο στους κόμβους #3 και #5, αντίστοιχα. Για τις ακραίες δοκούς ακολουθείται η ίδια διαδικασία με αυτή των προηγουμένων περιπτώσεων, δηλαδή με γνωστές τις τιμές στους κόμβους των αρθρώσεων #3 και # και δεδομένο ότι η τέμνουσα δύναμη παίρνει τις τιμές Q m( # 5) = 0kN και Q m( # 6) = 0kN όταν η δύναμη βρεθεί στους κόμβους των στηρίξεων #5 και #6, ορίζονται τα ευθύγραμμα διαγράμματα για τα τμήματα και Από όμοια τρίγωνα υπολογίζονται οι τιμές στα άκρα Q m( # 7) =- /3kN και Q m( # 8) = 0.25kN για μοναδιαίο φορτίο στους κόμβους #7 και #8, αντίστοιχα.. Γραμμή επιρροής της καμπτικής ροπής στη στήριξη #: Στην περίπτωση αυτή όπως και στις προηγούμενες, εξετάζεται πρώτα η γραμμή επιρροής για μοναδιαίο φορτίο στο διάστημα -2. Για οποιαδήποτε θέση x του φορτίου στο διάστημα αυτό, η ροπή στον κόμβο # θα είναι μηδενική, ( x ) = 0kNm. Όταν το φορτίο κινηθεί στο διάστημα 2- θα είναι πάλι μηδενική η ροπή στον κόμβο # και θα συνεχίσει να είναι για οποιαδήποτε θέση του φορτίου από τον κόμβο # έως και τον #8. Όταν το μοναδιαίο φορτίο βρίσκεται στο τμήμα 3-, θα δημιουργείται ροπή στον κόμβο #, η οποία είναι ανάλογη της απόστασης του φορτίου από τον κόμβο # και όταν αυτό βρεθεί στο άκρο #3 θα έχει τιμή ( # 3) = 2m kn = 2kNm. Για την ακραία δοκό ακολουθείται η λογική που εφαρμόστηκε στις προηγούμενες περιπτώσεις, δηλαδή με γνωστή την τιμή στην άρθρωση #3 και δεδομένο ότι η καμπτική ροπή στον κόμβο # μηδενίζεται ( # 5) = 0kNm όταν η μοναδιαία δύναμη βρεθεί στη στήριξη #5, ορίζεται το ευθύγραμμο διάγραμμα για το τμήμα 5-3. Προεκτείνοντας αυτό προς τον κόμβο #7 και χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα στο ακραίο τμήμα, υπολογίζεται η τιμή ( # 7) = /3kNm για μοναδιαίο φορτίο στον κόμβο #7. ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6

16 7 P =kn m 3 m 2 m m 2 m 2 m m [ γ.ε. ] (kn) R y /3 + [ γ.ε. ] R5 y (kn) m 2 m m /3 [ γ.ε. ] (kn) Q m / [ γ.ε. ] (knm) 2 ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ / 6