Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ Γιώργος Άγγελος Λευτέρης 1

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΙ ΔΥΟ ΡΑΒΔΟΥΣ & ΈΝΑΝ ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΣΚΟ Ο ΟΠΟΙΟΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΚΤΕΛΕΙ ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ (ΤΕΛΙΚΑ Ο ΔΙΣΚΟΣ ΘΑ ΠΕΣΕΙ ΣΤΟ ΠΗΓΑΔΙ;) Δυο ομογενείς ράβδοι ΚΛ (m1=3kg, l1=1m) & ΛΜ (m2=4kg, l2=1,5m), εκ των οποίων η ΛΜ φέρει στο άκρο της Μ καρφί αμελητέας μάζας, είναι ενωμένες στο κοινό τους άκρο Λ, έτσι ώστε να σχηματίζουν ορθή γωνία Λ 90. Μεταξύ των δύο ράβδων, υπάρχει ομογενής κυκλικός δίσκος μάζας m=2kg και ακτίνας R= 2 10 m, o οποίος εξαρτάται από το κοινό σημείο των ράβδων (σημείο ένωσης) μέσω μη εκτατού νήματος όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σημείο επαφής (Γ) μεταξύ του δίσκου και της ράβδου ΚΛ, απέχει από την άρθρωση (σημείο Κ) απόσταση (5l1)/6. Κ Μ C1 φ φ C1 C C2 Λ C Γ (Αρχική θέση) Γ Λ h1=r/ημφ C2 C (Τυχαία θέση) επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας U=0 φ Μ C C C d2 d1 C r Αρχικά η όλη διάταξη βρίσκεται σε ισορροπία (το άκρο Μ της ράβδου ΛΜ συνδέεται με σταθερό σημείο, μέσω μη εκτατού 2

νήματος), με την ράβδο ΚΛ να σχηματίζει γωνία φ 45 με τη κατακόρυφο που διέρχεται από το σημείο Κ. Την χρονική στιγμή t 0, σπάει το νήμα στο σημείο Μ, και το όλο σύστημα ράβδοι κύλινδρος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές, περί οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδο ΚΛΜ, που διέρχεται από το άκρο Κ της ράβδου ΚΛ. Όταν το σύστημα διαγράψει γωνία 90, η ράβδος ΛΜ έρχεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο και στερεώνεται. Την στιγμή που το σύστημα ακινητοποιείται, το νήμα στο σημείο Λ σπάει και ο δίσκος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος της ράβδου ΛΜ (σχηματίζεται κεκλιμένο επίπεδο). Α. Αν η στατική τριβή μεταξύ της ράβδου ΛΜ και του δίσκου είναι Τ1, να υπολογιστούν: 1. η τάση του νήματος στο σημείο Μ και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στο άκρο Κ της ράβδου ΚΛ. 2. η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο ΚΛΜ, ο οποίος διέρχεται από το Κ. 3. η αρχική (όταν κόβεται το νήμα στο σημείο Μ) και η τελική (όταν η ράβδος ΛΜ στερεώνεται στο έδαφος) γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος. 4. η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος, τη στιγμή που η ράβδος ΛΜ στερεώνεται στο έδαφος. 5. η γραμμική ταχύτητα τους σημείου Μ, τη στιγμή που η ράβδος ΛΜ στερεώνεται στο έδαφος. 6. η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μ1, ώστε ο δίσκος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. 7. η γωνιακή επιτάχυνση & η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυκλικού δίσκου. 8. η ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου, η γωνιακή του ταχύτητα, ο αριθμός των στροφών που έχει εκτελέσει και η κατακόρυφη μετατόπιση του, την στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. 9. για το σύστημα, τη στιγμή που η ράβδος ΛΜ στερεώνεται στο έδαφος, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, 3

10. για το δίσκο, τη στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, οι ρυθμοί μεταβολής της στροφικής και μεταφορικής κινητικής ενέργειας, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής. Β. Ο κυκλικός δίσκος μόλις φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, περνά χωρίς απώλειες ενέργειας σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ ταυτόχρονα δέχεται στο κέντρο μάζας του οριζόντια δύναμη F=5N με φορά προς τα δεξιά. Στην συνέχεια μετά από απόσταση S=3m, ο δίσκος εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο ενώ ταυτόχρονα παύει να εφαρμόζεται η δύναμη F. 1. Αν η στατική τριβή μεταξύ του δίσκου και του οριζοντίου επιπέδου είναι Τ2 και ο συντελεστής στατικής τριβής μ2=0,1, να εξετάσετε εάν ο δίσκος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση, για όσο χρόνο βρίσκεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο. 2. Αν σε απόσταση d1=2m από το σημείο που ο δίσκος εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο, υπάρχει πηγάδι διαμέτρου r=1m, να εξετάσετε αν ο δίσκος θα πέσει στο πηγάδι. Επιπλέον το πηγάδι βρίσκεται σε απόσταση d2=1m, κάτω από το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται: Ι ά ml, Ι ί mr, g10m, 2 1,4 Απάντηση: Α. 1W W VF W2W1W N WW2TTy114

Ερώτημα Α.1: Στο σύστημα ασκούνται οι εξής δυνάμεις: Το βάρος W1 της ράβδου ΚΛ, το βάρος W2 της ράβδου ΛΜ, το βάρος W του κυκλικού δίσκου, η τάση του νήματος Τν στο σημείο Μ και η δύναμη F που ασκεί η άρθρωση στο άκρο Κ της ράβδου ΚΛ, την οποία αν την αναλύσουμε σε συνιστώσες, η μια από αυτές θα είναι κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω. Αρχικά η διάταξη ισορροπεί άρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων, ως προς το Κ θα είναι μηδέν, δηλαδή: Στ 0F0W l 2 ηµφ W l ηµφ l ηµφ 2 W l ηµφ T l ηµφ l ηµφ 0 W l 2W l l 2 2Wl 2T l l 0 W 2W 2W l W l 2T l l T W 2W 2W l W l 2l l T 30 80 40 1401.5 21 1.5 N T 42 N Σχόλιο! F είναι η δύναμη που ασκεί η άρθρωση, στο άκρο K της ράβδου KΛ. Επιπλέον λόγω της ισορροπίας θα ισχύει και ΣF 0 ΣF 0F T W W W0 F W W WT F 30 40 20 42 N F 48N Ερώτημα Α.2: Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο ΚΛΜ, ο οποίος διέρχεται από το Κ, θα είναι: I I K I I ί Εφαρμόζοντας το θεώρημα Steiner, για κάθε περίπτωση θα έχουμε: Ράβδος ΚΛ 5

I K I m l 2 l I K 1 12 m l 1 4 m l I K 1 3 m l I K 1 3 31 Kgr m I K 1 Kg m Ράβδος ΛΜ I I m KC l I 1 12 m l m KC από Πυθαγόρειο Θεωρηµα KC ΛC ΚΛ l 2 l I 1 12 m l m l 1 4 m l I 1 3 m l m l I 1 3 41.5 41 Kg m I 7 Kg m Κυκλικός Δίσκος I I mkc R I 1 2 mr mkc από Πυθαγόρειο Θεωρηµα KC ΚΓ ΓC 5l 6 R I 1 2 mr m 5l 6 mr I 3 2 mr m 5l 6 I 3 2 2 2 10 2 51 6 Kg m I 1.5 Kg m Τελικά I 171.5Kgm I 9,5 Kg m Ερώτημα Α.3: Αρχική γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, θα έχουμε: Στ K. I α.. F0W l 2 ηµφ W l ηµφ l 2 ηµφ Wl ηµφ I α.. W l 2 ηµφ W l ηµφ l 2 ηµφ W l ηµφ I α.. 6

α.. W 2W 2W l W l ηµφ 2I α.. 30 80 40 1401.5 α.. 7,8 rad 2 229,5 rad Τελική γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, θα έχουμε: Στ K. I α.. F0W l 2 ηµφ W l ηµφ l 2 ηµφ Wl ηµφ R ηµφ I α.. W l 2 ηµφ W l ηµφ l 2 ηµφ Wl ηµφ R ηµφ I α.. α.. W 2W 2Wl W l 2WR ηµ φ ηµφ 2I α.. 30 80 40 1401.5 220 2 2 1 2 10 229,5 α.. 2,9 rad 0 rad Σχόλιο! Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι μειώνεται η στροφική κινητική ενεργεία του συστήματος από κάποιο σημείο και μετά (ποιο συγκεκριμένα όταν η ράβδος ΚΛ διαγράψει γωνία μεγαλύτερη ή ίση των 45 0, το σύστημα αρχίζει να επιβραδύνεται). Ερώτημα Α.4: Τελική γωνιακή ταχύτητα του συστήματος Έστω ότι το σύστημα, τη στιγμή που στερεώνεται η ράβδος ΛΜ στο έδαφος, έχει γωνιακή ταχύτητα ω1. Εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας θα έχουμε: Κ. U. Κ. U. 0W l ηµφ l 2 ηµφ W l ηµφ l 2 ηµφ W l ηµφ h 7

1 2 I Kω W l ηµφ l 2 ηµφ W l 2 ηµφ W l ηµφ 3 2 W l ηµφ W h 1 2 I Kω W l ηµφ 2 1 2 I Kω W l ηµφ W h ω 2 I K W l ηµφ W h ω ω 2W l ηµφ W h I K 2 40 1.5 2 2 9,5 20 2 2 10 2 rad R µ ω 3 rad Ερώτημα Α.5: H γραμμική ταχύτητα του σημείου Μ, σε κάθε στιγμή θα δίνεται από την σχέση u M ωρ, όπου ρ η ακτίνα περιστροφής. Την χρονική στιγμή που η ράβδος ΛΜ στερεώνεται στο έδαφος, η ταχύτητα του σημείου Μ είναι: u M ω ΚΜ ΚΜ ΚΛ ΛΜ ΚΜ l l u M ω l l u M 31 1.5 m u M 5,4 m Ερώτημα Α.6: Δικαιολόγηση της φοράς της τριβής που δέχεται ο κυκλικός δίσκος. Οι δυνάμεις που δέχεται ο δίσκος είναι οι εξής: το βάρος του W, την κάθετη αντίδραση Ν1 από τη ράβδο και την στατική τριβή Τ1, η οποία έστω ότι έχει φορά προς τα πίσω. Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης θα έχουμε: Στ I α. W0N 0T RI α.. R T R I α. α T R R α 2T m I 8

T Ακόµα ΣF mα W T ma Wηµφ T m 2T m 3T WηµφT 1 3 Wηµφ T 1 3 20 2 2 N T 4,7 N 0 Η τριβή Τ1 είναι θετική. άρα έχει φορά προς τα πίσω. Ο κυκλικός δίσκος για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πρέπει να ισχύει: T Τ T µ Ν W T µ W T µ Wσυνφ µ T T Wµ µ Wσυνφ εφφ 3 µ 1 3 άραµ 1 3 Ερώτημα Α.7: Επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου α 2T m 2 1 T 1 α 3 Wηµφ α 3 Wηµφ m 2Wηµφ 3m α 220 2 322 m α 4,7 m Γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου α α. Rα. α R α. 4,7 2 10 α. 33,3 rad rad Ερώτημα Α.8: Ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου τη στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Η κίνηση του κέντρου μάζας, περιγράφεται από τις σχέσεις: u α t & x 1 2 α t Η απόσταση που διανύει ο δίσκος, μέχρι να φτάσει στη βάση του 9

κεκλιμένου είναι: x l R. Οπότε: x l R l R 1 2 α t t 2l R α u α t t u α u 2l R u α α 2α l R u 2 4,7 3 2 2 10 m u 3,6 m Για τον υπολογισμό της ταχύτητας του κέντρου μάζας του δίσκου, μπορούμε να εφαρμόσουμε και την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (η στατική τριβή που είναι υπεύθυνη για την κύλιση δεν παράγει έργο):...., Αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος, μέχρι να φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Σε 1 περιστροφή ο δίσκος διαγράφει γωνία 2π Σε n1 περιστροφές ο δίσκος διαγράφει γωνία θ1 1 n 2π θ n θ 2π Επιπλέον για το δισκο ισχύει ω α. t & θ 1 2 α. t Αρα θ 1 2 α. t & θ 1 2 α. t θ 1 2 α. u θ α 2π 1 4π α. u α 10

n 1 4π α. u α n 1 n 4,9 π στροφές 4π 33,3 3,6 1 4,7 στροφές Κατακόρυφη μετατόπιση του δίσκου, μέχρι να φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ηµφ h l R hηµφl R h 2 2 3 2 2 10 m h0,96 m Γωνιακή ταχύτητα του δίσκου, τη στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ωα. t, ω α. t ω α. u ω α. u α ω u R ω 10 rad 3,6 2 ω 25,4 rad α Ερώτημα Α.9: Ρυθμός μεταβολής στροφικής κινητικής ενέργειας του ΔK. συστήματος, τη στιγμή που η ράβδος ΛΜ στερεώνεται στο έδαφος: ΔW ΔΣτ θ ΔK. ΔK. ΔK. Στ Δθ Στ ω Ι α. ω Ι α. ω Ι α.. ω... ΔK. 9,52,9 3 J... 82,6 J... 11

Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος, τη στιγμή που η ράβδος ΛΜ στερεώνεται στο έδαφος: ΔL ΔΙ ω Ι Δω. ΔL Ι α. ΔL... Ι α.. ΔL 9,52,9Κg m... ΔL 27,5 Κg m... Ερώτημα Α.10: Ρυθμός μεταβολής στροφικής κινητικής ενέργειας του δίσκου, ΔK. τη στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ΔW ΔΣτ θ ΔK. Στ Δθ Στ ω Ι α. ω Ι α. ω ΔK. Ι α. ω ΔK. 1 2 2 2 10 33,3 25,4 J ΔK. 16,9 J Ρυθμός μεταβολής μεταφορικής κινητικής ενέργειας του δίσκου, τη στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ΔK µ. ΔW F ΔΣF x ΣF Δx ΣF F u 12

ΔK µ. mα u ΔK µ. mα u ΔK µ. 2 4,7 3,6 J ΔK µ. 33,8 J Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, τη στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ΔL ΔΙ ω Ι Δω. ΔL Ι α. σταθ. ΔL 1 2 2 2 10 33,3 Κg m ΔL m 0,6 Κg Ρυθμός μεταβολής της ορμής του δίσκου, τη στιγμή που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ΔP Δm u m Δu mα σταθ. ΔP ΣF mα ΔP 24,7 Κg m ΔP 9,4 Κg m Β. T2 u NcF2W F T0 2u W cn2g g 13

Ερώτημα Β.1: Η μετάβαση του κυκλικού δίσκου από το κεκλιμένο επίπεδο στο οριζόντιο γίνεται χωρίς απώλειες ενέργειας. Άρα η ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου, τη στιγμή που αρχίζει να κινείται στο οριζόντιο επίπεδο θα είναι: u. u u. 3,6 m Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα έχουμε: ΣF X mα FT mα ΣF 0N W Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα έχουμε: Στ Ι α. T RΙ α. Έστω ότι ο δίσκος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση, κατά την κινησή του στο οριζόντιο επίπεδο (εισάγουμε την υπόθεση ότι ο δίσκος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση για να χρησιμοποιήσουμε την σχέση. FT mα T RΙ α FT. T R m 1 2 mr α α. R. FT 2 T R R FT 2FT T 2T T F 3 Ο κυκλικός δίσκος για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πρέπει να ισχύει: T Τ T µ Ν W T µ W F 3 µ W F3µ WF3 0.120N F6NF 6 N Από την υπόθεση της άσκησης η δύναμη F που ασκούμε είναι 5 Ν < Fmax. Άρα ο δίσκος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση κατά μήκος του οριζοντίου επιπέδου. 14

Ερώτημα Β.2: Η κίνηση του κέντρου μάζας του κυκλικού δίσκου, για όσο χρονικό διάστημα βρίσκεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο, θα περιγράφεται από τις σχέσεις u u. α t & x u. t 1 2 α t όπου α FT /m α 51/2 α 2 m/ Τη στιγμή που ο δίσκος εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο, έχει διανύσει απόσταση S. Oπότε στις παραπάνω σχέσεις ένα θέσω xc = S, t = t1 & u = u1, θα προκύψουν τα εξής: x u. t 1 2 α t S, Su. t 1 2 α t 1 2 2t 3,6t 30t 3,6t 30 Δβ 4αγ Δ 12,96 12 25 t β Δ 2α t 3,6 25 2 3,6 5 t 2 ή t 3,6 5 2 0,. 0 δεκτή t 3,6 5 2 t 0,7 Άρα την απόσταση S, ο δίσκος την διανύει σε χρόνο 0,7. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του εκείνη τη στιγμή, πού είναι η ταχύτητα με την οποία εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο (παύει να ασκείται και η δύναμη F) είναι: u u. α t u u. α t u 3,6 2 0,7 m u 5m Για να εξετάσουμε εάν ο δίσκος θα πέσει στο πηγάδι, θα πρέπει να προσδιορίσουμε την μέγιστη και ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το 15

κέντρο μάζας του όταν εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο, ώστε να πέσει στο πηγάδι. Εν συνεχεία θα συγκρίνουμε τις ταχύτητες αυτές με την ταχύτητα. Δηλαδή: αν τότε ο δίσκος θα πέσει στο πηγάδι Όταν ο δίσκος εγκαταλείψει το οριζόντιο επίπεδο, η κίνηση του κέντρου μάζας του θα περιγράφεται από τις εξής σχέσεις: Κατά τον άξονα x, o δίσκος δεν δέχεται καμία δύναμη (α 0. Άρα: u u σταθ. & x u t Κατά τον άξονα y, o δίσκος δέχεται την δύναμη του βάρους (δεν υπάρχει αρχική ταχύτητα κατά τον άξονα y, η επιτάχυνση είναι α g. Άρα: u g t & y 1 g t 2 Για να πέσει μέσα στο πηγάδι ο δίσκος πρέπει d d Rx d d R Ru td d R & & y d R 1 2 gt d R d R t t 2d R g u d d R t & 21 0,14 10 t0,47 2 0,14 0,47 m u 210,14 m 0,47 4,55 m u 6,08 m u, 6,08 m u, 4,55 m Επομένως αφού u 5m ο δίσκος θα πέσει μέσα στο πηγάδι Επιμέλεια Θεμάτων: 16