Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές.

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές. Ιωάννης Μηνάς Διαλυνάς Αθήνα, Μάρτιος 211 Επιβλέπων Καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης

Εισαγωγή Το σύστημα«κασταλία» δημιουργήθηκε από την ερευνητική ομάδα «ΙΤΙΑ»του ΕΜΠ, στα πλαίσια τουερευνητικού έργου «Εκσυγχρονισμός της εποπτείας και διαχείρισης τουσυστήματος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας» (1999 23). Το πρόγραμμα αναπτύχθηκε σε γλώσσα προγραμματισμού Object Pascal Delphi, και λειτουργεί σε αυτόνομο περιβάλλον, αλλά και ως πρόσθετο του λογισμικού Υδρογνώμων. Χρησιμοποιείται επιχειρησιακά από την ΕΥΔΑΠ, για τη βελτιστοποίηση της διαχείρισης του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας και έχει χρησιμοποιηθεί στα πλαίσιατεχνολογικών μελετών και ερευνητικών έργων, για διαχειριστικές αναλύσειςσύνθετων συστημάτων υδατικών πόρων (ταμιευτήρες Πλαστήρα, Σμοκόβου και Αποσελέμη, Δυτική Θεσσαλία, Βοιωτικός Κηφισός, Ρόδος). I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 2

Εισαγωγή Στο σύστημα στοχαστικής προσομοίωσης Κασταλίαεφαρμόζεται ένα πρωτότυπο σχήμα στοχαστικής ανάλυσης πολλών μεταβλητών και δύο χρονικών επιπέδων (από την ετήσια στη μηνιαία χρονική κλίμακα) που αναπαράγει: Το ελάχιστο σύνολο ουσιωδών στατιστικών παραμέτρων : 1. Μέση τιμή Παράμετροι περιθώριων 2. Διασπορά συναρτήσεων κατανομής 3. Συντελεστής Ασυμμετρίας Παράμετροι 4. Συντελεστές αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης από κοινού 5. Συντελεστές ετεροσυσχέτισης μηδενικής τάξης συναρτήσεων κατανομής Τις χαρακτηριστικές ιδιαιτερότητες των υδρολογικών ανελίξεων: 1. Μακροπρόθεσμη Εμμονή 2. Περιοδικότητα I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 3

Κασταλία (1) Ιστορικές ετήσιες χρονοσειρές Σχήμα προσομοίωσης Συνθετικές ετήσιες χρονοσειρές Συνάθροιση Επιμερισμός Ιστορικές µηνιαίες χρονοσειρές Συνθετικές µηνιαίες χρονοσειρές I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 4

Κασταλία (2) Ιστορικές ετήσιες χρονοσειρές Σχήμα προσομοίωσης Συνθετικές ετήσιες χρονοσειρές Συνάθροιση Επιμερισμός Ιστορικές µηνιαίες χρονοσειρές Συνθετικές µηνιαίες χρονοσειρές Συνάθροιση Επιμερισμός Ιστορικές ηµερήσιες χρονοσειρές Συνθετικές ηµερήσιες χρονοσειρές I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 5

Δυσκολίες προσομοίωσης σε ημερήσια κλίμακα Επιπρόσθετες ιδιαιτερότητες των υδρολογικών ανελίξεων που πρέπει να ληφθούν υπόψη στην ημερήσια χρονική κλίμακα: Υψηλός Συντελεστής Μεταβλητότητας Cv X = Υψηλός Συντελεστής Ασυμμετρίας Cs X = Διαλείπουσα Συμπεριφορά (διατήρηση Probability Dry) I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 6

Γέννηση ημερήσιων χρονοσειρών Περιοδικό μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης πρώτης τάξης ( PAR(1)) όπου: Y s, τ = a s Y s, τ 1 + b s V s, τ Y s,τ = (Y s,τ1,, Y s,τm ) Τ : διάνυσμα που αντιπροσωπεύει την ταυτόχρονη πραγματοποίηση m στοχαστικά εξαρτημένων ανελίξεων κατά την υποπερίοδο τ (ημέρα), την περίοδο s (μήνα), a s, b s : μητρώα παραμέτρων διαστάσεων (m x m) για κάθε περίοδο (μήνα), τα οποία εξαρτώνται με περιοδικό τρόπο από την υποπερίοδο και V s,τ = (V s,τ1,, V s,τm ) Τ : το διάνυσμα του λευκού θορύβου (στοχαστικά ανεξάρτητων μεταβλητών, στο χώρο και στο χρόνο) μεγέθους m. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 7

Παρατηρήσεις Στο PAR(1) αναπαράγεται το ελάχιστο σύνολο ουσιωδών στατιστικών παραμέτρων, που περιλαμβάνει: τις παραμέτρους των περιθώριων συναρτήσεων κατανομής (μέσες τιμές, διασπορές και ασυμμετρίες ) τις παραμέτρους των από κοινού συναρτήσεων κατανομής (συντελεστές ετεροσυσχέτισης για lag μηδέν και συντελεστές αυτοσυσχέτισης για lag ένα). I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 8

Υπολογισμός μητρώου παραμέτρων b Αποσύνθεση του μητρώου συνδιασπορών c s = b s b s T (decomposition): b s b st = Cov [Y s, τ, Y s, τ ] a s Cov [Y s, τ 1, Y s, τ 1 ] a s T Στην Κασταλίαγίνεται χρήση γενικευμένου αλγόριθμου προσδιορισμού μιας βέλτιστης λύσης (Koutsoyiannis, 1999) για c είτε θετικά ορισμένο (ακριβής λύση) είτε όχι (προσεγγιστική λύση). Οι τυχαίες μεταβλητές V s, τ παράγονται μέσω γεννήτριας τυχαίων αριθμών που θεωρείται ότι ακολουθούν κατανομή γάμα τριών παραμέτρων (Pearson III). Οι παράμετροι της κατανομής εκτιμώνται συναρτήσει των στατιστικών χαρακτηριστικών των V s, τ (μέση τιμή Ε[V s, τ ], διασπορά Var[V s, τ ] και ασυμμετρία (μ 3 [V s, τ ])). I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 9

Διατήρηση της ασυμμετρίας(1) Οι ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές παρουσιάζουν έντονη ασυμμετρία. Το σύστημα προσομοίωσης (διαδικασία αναγωγής) αναπαράγει τις ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης, όχι όμως και τις ροπές τρίτης τάξης. Για τη διατήρηση της ασυμμετρίας οι Koutsoyiannis, Onof και Wheater, (23) εξέτασαν μη γραμμικούς μετασχηματισμούς. Εφαρμογή μετασχηματισμού δύναμης: Χ t := Χ t (m) όπου Χ t (m) συμβολίζει το διάνυσμα Χ t με στοιχεία υψωμένα στη δύναμη m, < m< 1 I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 1

Διατήρηση της ασυμμετρίας(2) Ιστορική χρονοσειρά Μετασχηματισμός Δύναμης Μετασχηματι -σμένη Ιστορική χρονοσειρά Σχήμα προσομοίωσης Τελική συνθετική χρονοσειρά Απο- μετασχηματισμός Μετασχηματι -σμένη Συνθετική χρονοσειρά I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 11

Διατήρηση του Probability Dry(1) Η πιθανότητα εμφάνισης ξηρών περιόδων (Probability Dry) αποτελεί πολύ σημαντική πληροφορία στην ημερήσια κλίμακα και η διατήρησή της καθίσταται απαραίτητη. Το μοντέλο γέννησης ημερήσιων χρονοσειρών βροχόπτωσης : 1. δεν κάνει διάκριση μεταξύ ξηρών και υγρών περιόδων 2. είναι αναμενόμενο να φέρει πολύ μικρότερα ποσοστά ξηρών περιόδων σε σχέση με την πραγματικότητα Επομένως, η φύση των υδρολογικών διεργασιών απαιτεί την επιβολή ορισμένων αριθμητικών περιορισμών στο σχήμα προσομοίωσης, προκειμένου να προσεγγίσουμε καλύτερα την πραγματικότητα. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 12

Διατήρηση του Probability Dry(2) Το συνολικόποσοστό ξηρών περιόδων προκύπτει από το άθροισμα των ημερών μηδενικού ύψους βροχής ως εξής (Koutsoyiannis, Onof and Wheater, 23): 1. Οι αρνητικές τιμές (μικρές μέσες τιμές, μεγάλοι συντελεστές μεταβλητότητας)που παράγονται από το ημερήσιο PAR(1) μηδενίζονται. 2. Ένα ποσοστό π των πολύ μικρών τιμών (μικρότερες από ένα όριο (threshold) l (π.χ.1.3 mm)) τίθενται μηδέν. Εντούτοις, δεν διατηρείται πλήρως η πιθανότητα εμφάνισης ξηρών περιόδων απαίτηση επιπλέον περιορισμού. Μία επιπλέον τεχνική δοκιμάζεται, η οποία λαμβάνει υπόψην (στη διάσταση του χώρου) τις ημέρες που υπάρχει ηλιοφάνειακαι επίσης η επιλογή των ξηρών περιόδων γίνεται με τυχαίο τρόπο λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα του μοντέλου Μαρκόφ. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 13

Διατήρηση του Probability Dry(3) o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε ξηρή περίοδο, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t). o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε υγρή περίοδο, τότε υπάρχει μικρότερη πιθανότητα ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t).... t X l t - n X l t n + 1 X l t - 2 X l t - 1 Ξηρή περίοδος I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 14

Διατήρηση του Probability Dry(3) o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε ξηρή περίοδο, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t). o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε υγρή περίοδο, τότε υπάρχει μικρότερη πιθανότητα ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t).... t X l t - n X l t n + 1 X l t - 2 X l t - 1 Ξηρή περίοδος X l t Ξηρή περίοδος I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 15

Διατήρηση του Probability Dry(3) o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε ξηρή περίοδο, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t). o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε υγρή περίοδο, τότε υπάρχει μικρότερη πιθανότητα ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t).... t X l t - n X l t n + 1 X l t - 2 X l t - 1 Υγρή περίοδος I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 16

Διατήρηση του Probability Dry(3) o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε ξηρή περίοδο, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t). o Αν σε κάποιο χρονικό βήμα (X l t 1) έχουμε υγρή περίοδο, τότε υπάρχει μικρότερη πιθανότητα ακολουθεί ξηρή περίοδος (X l t).... t X l t - n X l t n + 1 X l t - 2 X l t - 1 Υγρή περίοδος X l t Ξηρή περίοδος I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 17

Διατήρηση του Probability Dry(4) Αν τουλάχιστον σε ένα σταθμό έχουμε ξηρή περίοδο με αυτή τη μέθοδο, τότε υπάρχει μια πιθανότητα να έχουμε μηδενικό ύψος βροχής και σεόλουςτους υπόλοιπους σταθμούς στο ίδιο χρονικό βήμα. Έτσι, λαμβάνονται υπόψην (στοχώρο) οι ημέρες που υπάρχει ηλιοφάνεια. X 2 t X 1 t :Ξηρή υποπερίοδος X 3 t X 4 t X 6 t X 5 t I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 18

Διατήρηση του Probability Dry(4) Αν τουλάχιστον σε ένα σταθμό έχουμε ξηρή περίοδο με αυτή τη μέθοδο, τότε υπάρχει μια πιθανότητα να έχουμε μηδενικό ύψος βροχής και σεόλουςτους υπόλοιπους σταθμούς στο ίδιο χρονικό βήμα. Έτσι, λαμβάνονται υπόψην (στοχώρο) οι ημέρες που υπάρχει ηλιοφάνεια. X 2 t X 1 t :Ξηρή υποπερίοδος X 3 t X 4 t X 6 t X 5 t I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 19

Διατήρηση του Probability Dry(5) Η τελευταία μέθοδος λαμβάνει υπόψη την Probability Dry του δείγματος. Διατηρείται ικανοποιητικά η πιθανότητα εμφάνισης ξηρών περιόδων. Μέσω των αριθμητικών περιορισμών προκύπτει μια μικρή αλλοίωση της αποτελεσματικότητας του σχήματος προσομοίωσης. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 2

Περιγραφή της γενικής διαδικασίας αναγωγής Αν Y τ = (Y τ1,, Y τm ) Τ είναι το διάνυσμα τωνμεταβλητών χαμηλού επιπέδου, και Χ = (Χ 1,, Χ m ) Τ το διάνυσμα μεταβλητών υψηλού επιπέδου, τότε σε κάθε χρονική περίοδο, τα διανύσματα Υ τ και Χ πρέπει να ικανοποιούν την αθροιστική ιδιότητα: s Y τ= 1 όπου s το πλήθος των υποπεριόδων κάθε περιόδου. τ = We denote the higher-and lower-level discrete time processes by Χ = (Χ 1,, Χ m ) Τ and Y τ = (Y τ1,, Y τm ) Τ, respectively, where superscript T denotes the transpose of a vector or matrix X Οι Koutsoyiannis and Manetas (1996) και Koutsoyiannis (21) ανέπτυξαν ένα πλήθος σχημάτων επιμερισμού (με χρήση μικρού πλήθους παραμέτρων). I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 21

Μοντέλο γραμμικής αναγωγής Τελική χρονοσειρά Βοηθητική χρονοσειρά Υ τ Βήµα 4 (έξοδος): Ηµερήσιες συνθετικές χρονοσειρές τ Χαµηλό Επίπεδο (Ηµέρες) Διαδικασία αναγωγής Βήµα 2:Γέννηση βοηθητικών ηµερήσιων χρονοσειρών τ Χ Βήµα 1 (είσοδος): Μηνιαίες συνθετικές χρονοσειρές Υψηλό Επίπεδο (Μήνες) Βήµα 3:Υπολογισµός του αθροίσµατος των βοηθητικών τιµών I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 22

Μοντέλο γραμμικής αναγωγής Η διαδικασία γραμμικής αναγωγής: Υ τ = τ + λ τ (Χ ) όπου : s X = τ= 1 Y τ Για κάθε υποπερίοδο αντιστοιχεί ένας συντελεστής λ τ. Για τους συντελεστές λ τ είναι: λ = 1 s λ τ = Οι συντελεστές λ τ για τον επιμερισμό των ετήσιωνχρονοσειρών υπολογίζονται με βάση τις συνδιασπορές των μεταβλητών. τ= 1 I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 23

Μοντέλο γραμμικής αναγωγής Όμως αυτή η μέθοδος δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τα ημερήσια δεδομένα! Έστω ξηρή υποπερίοδος που προκύπτει από το ημερήσιο PAR(1) τ Ξηρή Υποπερίοδος Σύστημα προσομοίωσης τ Μοντέλο Γραμμικής Αναγωγής HΥ τ δενείναι ξηρή υποπερίοδος! Υ τ = τ + λ τ (Χ ) Άρα τελικά δε μπορεί να διατηρηθεί η Probability Dryμε αυτή τη μέθοδο I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 24

Μοντέλο γραμμικής αναγωγής Δοκιμάζεται μια μέθοδος επιμερισμού της διαφοράς μονάχα στις υγρές υποπεριόδους: (Χ ) 1. Για κάθε περίοδο Χ (μήνας) μετράται ο αριθμός nτων υγρών υποπεριόδων. 2. Οι συντελεστές λ τ για λαμβάνονται από τη σχέση: λ τ = Το ποσοστό λ τ είναι ίδιογια κάθε υποπερίοδο. Προφανώς ισχύει: s τ= 1 λ τ = 1 I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 25

Μοντέλο γραμμικής αναγωγής Άρα: Ο αριθμός των ημερών με μηδενικό ύψος βροχής τελικά δεν επηρεάζεται. Διατήρηση του Probability Dry. Ισχύει η αθροιστική ιδιότητα: s Y τ= 1 τ = X I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 26

PAR(1): Επαναληπτική διαδικασία Monte Carlo Εφαρμογή επαναληπτικής διαδικασίας τύπου Monte Carlo. Για κάθε χρονική περίοδο, παράγεται ένα πλήθος πραγματοποιήσεων των ημερήσιων μεταβλητών μέσω του μοντέλου PAR(1), μέχρι η απόσταση: X l l n 1 X X = n l l= 1 Var[ X ] να γίνει μικρότερη από μια τιμή ΔΧ max. Με αυτό τον τρόπο περιορίζεταιη αλλοίωση στατιστικών χαρακτηριστικών λόγω της γραμμικής αναγωγής. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 27

Εφαρμογή Παραγωγή ημερήσιων συνθετικών χρονοσειρών βροχόπτωσης μήκους 1 ετών μέσω πολυμεταβλητού επιμερισμού με εφαρμογή του συστήματος Κασταλία από ημερήσια δεδομένα τριών σταθμών: o Τιθορέα o Παύλος o Δρυμαία Μήκος ημερήσιων χρονοσειρών: 43 έτη (1/1/1964 31/12/26) I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 28

Ιστορικές Ημερήσιες Χρονοσειρές Section: 1 145 14 135 13 125 12 115 Τιθορέα 11 15 1 95 9 85 8 mm 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 1963-12-15 1965-12-14 1967-12-14 1969-12-13 1971-12-13 1973-12-12 1975-12-12 1977-12-11 1979-12-11 1981-12-1 1983-12-1 1985-12-9 1987-12-9 1989-12-8 1991-12-8 1993-12-7 1995-12-7 1997-12-6 1999-12-6 21-12-5 23-12-5 25-12-4 Section: 1 12 115 11 15 1 95 9 85 8 75 Παύλος 7 65 mm 6 55 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 1963-12-15 1965-12-14 1967-12-14 1969-12-13 1971-12-13 1973-12-12 1975-12-12 1977-12-11 1979-12-11 1981-12-1 1983-12-1 1985-12-9 1987-12-9 1989-12-8 1991-12-8 1993-12-7 1995-12-7 1997-12-6 1999-12-6 21-12-5 23-12-5 25-12-4 Section: 1 1 95 9 85 8 75 7 65 6 55 Δρυμαία mm 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 1963-12-15 1965-12-14 1967-12-14 1969-12-13 1971-12-13 1973-12-12 1975-12-12 1977-12-11 1979-12-11 1981-12-1 1983-12-1 1985-12-9 1987-12-9 1989-12-8 1991-12-8 1993-12-7 1995-12-7 1997-12-6 1999-12-6 21-12-5 23-12-5 25-12-4 I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 29

Ιστορικές Ημερήσιες Χρονοσειρές Weibull Normal Gamma Exceedance probability (%) - scale: Normal distribution Τιθορέα mm 99.95% 99.8% 99.5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%.5%.2%.5% 19 18 17 16 15 14 13 12 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Weibull Normal Gamma Exceedance probability (%) - scale: Normal distribution mm 99.95% 99.8% 99.5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%.5%.2%.5% 16 15 14 Παύλος 13 12 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Weibull Normal Gamma Exceedance probability (%) - scale: Normal distribution mm 99.95% 99.8% 99.5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%.5%.2%.5% 13 12 11 1 9 8 7 6 5 Δρυμαία 4 3 2 1 I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 3

Παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν Στο υδρολογικό σενάριο χρησιμοποιήθηκε: ο εκθέτης m=.95 στο μετασχηματισμό δύναμης των ημερήσιων χρονοσειρών, το ποσοστό π =.99και το όριο (threshold) l =.3mm για τη στρογγυλοποίηση των πολύ μικρών τιμών ύψους βροχόπτωσης, τα ποσοστά λ 1 =.28 και λ 2 =και η πιθανότητα k 3 =.6 για την εφαρμογή της μεθόδου διατήρησης της Probability dry. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 31

Συνθετικές Ημερήσιες Χρονοσειρές Section: 1 18 175 17 165 16 155 15 Τιθορέα 145 14 135 13 125 12 115 11 15 1 95 mm 9 85 8 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 219-12-1 227-11-29 235-11-27 243-11-25 251-11-23 259-11-21 267-11-19 275-11-17 283-11-15 291-11-13 299-11-11 217-11-1 2115-11-8 2123-11-6 Section: 1 24 23 22 21 2 19 18 17 16 15 14 Παύλος 13 mm 12 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 219-12-1 227-11-29 235-11-27 243-11-25 251-11-23 259-11-21 267-11-19 275-11-17 283-11-15 291-11-13 299-11-11 217-11-1 2115-11-8 2123-11-6 Section: 1 Δρυμαία mm 155 15 145 14 135 13 125 12 115 11 15 1 95 9 85 8 75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 211-12-3 219-12-1 227-11-29 235-11-27 243-11-25 251-11-23 259-11-21 267-11-19 275-11-17 283-11-15 291-11-13 299-11-11 217-11-1 2115-11-8 2123-11-6 I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 32

Συνθετικές Ημερήσιες Χρονοσειρές Weibull Normal Gamma 22 2 99.95% 99.8% 99.5% 99% 98% Exceedance probability (%) - scale: Normal distribution 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%.5%.2%.5% Τιθορέα 18 16 14 mm 12 1 8 6 4 2 Weibull Normal Gamma 13 99.95% 99.8% 99.5% 99% 98% Exceedance probability (%) - scale: Normal distribution 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%.5%.2%.5% 12 11 1 9 Παύλος 8 mm 7 6 5 4 3 2 1 Weibull Normal Gamma Δρυμαία mm 18 17 16 15 14 13 12 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 99.95% 99.8% 99.5% 99% 98% Exceedance probability (%) - scale: Normal distribution 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%.5%.2%.5% I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 33

Ημερήσια Μέση Τιμή Τιθορέα Μέσες τιμές (mm) 4 3 2 1 Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματικές Συνθετικές Παύλος Μέσες τιμές (mm) 3 2 1 Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματικές Συνθετικές Δρυμαία Μέσες τιμές (mm) 4 3 2 1 Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματικές Συνθετικές I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 34

Ημερήσια Τυπική Απόκλιση Τιθορέα Τυ υπικές αποκλίσεις (mm) 1 5 Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικές Συνθετικές Παύλος Τυπικές αποκλίσεις (mm) 1 5 Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικές Συνθετικές Δρυμαία Τυπικές αποκλίσεις (mm) 1 5 Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικές Συνθετικές I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 35

Ημερήσιος Συντελεστής Αυτοσυσχέτισης Συντελεστές αυτοσυσχέτισης,4,2 Τιθορέα Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Συνθετικοί Συντελεστές αυτοσυσχέτισης,3,2,1 Παύλος Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Theoretical Synthetic Συντελεστές αυτοσυσχέτισης,4,2 Δρυμαία Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Theoretical Synthetic I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 36

Ημερήσιος Συντελεστής Ασυμμετρίας Συντελεστές ασυμμετρίας 1 5 Τιθορέα Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Συνθετικοί Συντελεστές ασυμμετρίας 2 15 1 5 Παύλος Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Συνθετικοί Συντελεστές ασυμμετρίας 15 1 5 Δρυμαία Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Συνθετικοί I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 37

Probability Dry Probability Dry 1,5 Τιθορέα Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματική Συνθετική Probability Dry 1,5 Παύλος Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματική Συνθετική Probability Dry 1,5 Δρυμαία Oct Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Δειγματική Συνθετική I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 38

Συντελεστής ετεροσυσχέτισης(transformed) Συντελεστές ετεροσυσχέτισης 1,5 Τιθορέα- Παύλος Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Θεωρητικοί Συνθετικοί Συντελεστές ετεροσυσχέτισης 1,5 Τιθορέα - Δρυμαία Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Θεωρητικοί Συνθετικοί Συντελεστές ετεροσυσχέτισης,6,4,2 Δρυμαία - Παύλος Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Θεωρητικοί Συνθετικοί I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 39

Συντελεστής ετεροσυσχέτισης Συντελεστές ετεροσυσχέτισης 1,5 Τιθορέα- Παύλος Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Συνθετικοί Συντελεστές ετεροσυσχέτισης 1,5 Τιθορέα - Δρυμαία Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Συνθετικοί Συντελεστές ετεροσυσχέτισης,6,4,2 Δρυμαία - Παύλος Oct Nov Dec Jan Feb Mar AprMay Jun Jul Aug Sep Δειγματικοί Συνθετικοί I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 4

Συμπεράσματα Η Κασταλία χρησιμοποιεί ένα πρωτότυπο πολυμεταβλητό σχήμα προσομοίωσης δύο επιπέδων (από ετήσια σε μηνιαία χρονική κλίμακα) ιδανικό για τη διατήρηση των ουσιωδών στατιστικών χαρακτηριστικών και για την αναπαραγωγή της μακροπρόθεσμης εμμονής και της περιοδικότητας. Αναπτύχθηκε ένα υπολογιστικό σύστημα που εφαρμόζει μια μεθοδολογία πολυμεταβλητού στοχαστικού επιμερισμού μηνιαίων υδρολογικών χρονοσειρών σε ημερήσιες. Η αναβαθμισμένη έκδοση της Κασταλίας: 1) Aναπαράγει τα παραπάνω χαρακτηριστικά ταυτόχροναγια την ετήσια, τη μηνιαία και την ημερησια χρονική κλίμακα. 2) Xειρίζεται αποτελεσματικά επιπρόσθετες δυσκολίεςπου εμφανίζονται σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές, όπως ο υψηλός συντελεστής μεταβλητότητας, η υψηλή ασυμμετρία και η διαλείπουσα συμπεριφορά. 3) Mπορεί να χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια συστήματος λήψης αποφάσεων για τη διαχείριση υδροσυστημάτων. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 41

Αναφορές Ευστρατιάδης, Α., Στοχαστική προσομοίωση υδρολογικών διεργασιών Το λογισμικό Κασταλία, Σημειώσεις μαθήματος "Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους", 18 σελίδες, Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Ιανουάριος 211. Ευστρατιάδης, Α., και Δ. Κουτσογιάννης, Κασταλία (έκδοση 2.) - Σύστημα στοχαστικήςπροσομοίωσης υδρολογικών μεταβλητών, Εκσυγχρονισμός της εποπτείας και διαχείρισης τουσυστήματος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας, Τεύχος 23, 13 σελίδες, Τομέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων ΕΜΠ, Αθήνα, Ιανουάριος 24. Bras, R. L. and Rodriguez-Iturbe, I., Random functions and hydrology, Addison Wesley, USA, 1985. Koutsoyiannis, D., A generalized mathematical framework for stochastic simulation and forecast of hydrologic time series, Water Resources Research, 36(6), 1519 1533, 2. Koutsoyiannis, D., Coupling stochastic models of different time scales, Water Resources Research, 37(2), 379 392, 21. Koutsoyiannis, D., Optimal decomposition of covariance matrices for multivariate stochastic models in hydrology, Water Resources Research 35(4), 1219 1229, 1999. Koutsoyiannis, D., and A. Efstratiadis, A stochastic hydrology framework for the management of multiple reservoir systems, Geophysical Research Abstracts, Vol. 3, European Geophysical Society, 21. Koutsoyiannis, D., and A. Manetas, Simple disaggregation by accurate adjusting procedures, Water Resources Research, 32(7) 215 2117, 1996. Koutsoyiannis, D., C. Onof, and H. S. Wheater, Multivariate rainfall disaggregation at a fine timescale, Water Resources Research, 39 (7), 1173, doi:1.129/22wr16, 23. Matalas, N.C. and Wallis, J.R., Generation of synthetic flow sequences, in Systems approach to water management, A.K. Biswas editor, McGraw Hill, 1976. Salas, J. D., Analysis and modeling of hydrologic time series, Chapter 19, Handbook of Hydrology, edited by D. Maidment, McGraw Hill, New York, 1993. Salas, J. D., Delleur, J. W., Yevjevich, V., and Lane, W. L., Applied Modelling of Hydrologic Time Series, Water Resources Publications, Littleton, Co., USA, 1988. I. Διαλυνάς, Ανάπτυξη υπολογιστικού συστήματος για τον πολυμεταβλητό στοχαστικό επιμερισμό μηνιαίων σε ημερήσιες υδρολογικές χρονοσειρές 42

Τέλος Παρουσίασης Ευχαριστώ 43