Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος Το γραμμικό αρμονικό κύμα έχει εξ ορισμού τα εξής γνωρίσματα: Κύμα = Διάδοση ενέργειας χωρίς μεταφορά ύλης. Επιτρεπτή η συμμετοχή της ύλης στον κυματικό μηχανισμό. Απαραίτητη η συμμετοχή της στα μηχανικά, όχι όμως στα ηλεκτρομαγνητικά. Γραμμικό = Αναπτύσσεται σε μονοδιάστατο υλικό, όπως χορδή, νήμα, Αρμονικό = Κάθε δομική μονάδα του μέσου που συμμετέχει στον κυματικό μηχανισμό, κάνει απλή αρμονική ταλάντωση (α.α.τ.)... K O N x xn Στο σχήμα εμφανίζεται το σκηνικό διάδοσης ενός κύματος. Το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x ox, προερχόμενο από τα βάθη της περιοχής των αρνητικών x. Επιπλέον: Η «πηγή» βρίσκεται στην αρχή του άξονα και ταλαντώνεται με εξίσωση =A.ημωt (τη χρονική στιγμή t=0 η δομική μονάδα του μέσου που βρίσκεται στη θέση Ο, περνά από θ.ι. κινούμενη προς τη =+Α ακραία θέση ταλάντωσης ή πιο απλά, η «πηγή» κάνει α.α.τ. χωρίς αρχική φάση ) Οι παραπάνω όροι επιβάλλουν εξίσωση ταλάντωση για οποιαδήποτε δομική μονάδα που έχει την έκφραση: (1) Σχόλια πάνω στην εξίσωση κύματος 1. Η εξίσωση περιγράφει απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν x=0 περιγράφει την α.α.τ. της «πηγής», όταν x=xn την ταλάντωση της δομικής μονάδας Ν, κ.ο.κ. 2. Η τιμή της μεταβλητής x, αντικαθίσταται με το πρόσημό της! (για μια δομική μονάδα K στη θέση xk=-2 m, πρέπει να τοποθετήσουμε στην (1) x=xk = -2 m) 3. Η εξαρτημένη μεταβλητή, εκφράζει την απομάκρυνση και προφανώς χορεύει μεταξύ των τιμών Α. 4. Η έκφραση (2) ονομάζεται φάση του κύματος. Για να συμμετέχει μια δομική μονάδα στον κυματικό μηχανισμό, πρέπει φ 0. (3)
5. Όσες δομικές μονάδες ταλαντώνονται πριν τη «πηγή», έχουν φάση μεγαλύτερη από την «πηγή», ενώ όσες ταλαντώνονται μετά τη «πηγή», οφείλουν να έχουν φάση μικρότερη από τη «πηγή». Στο σχήμα της προηγούμενης σελίδας, η δομική μονάδα Ν, ταλαντώνεται λόγω φοράς διάδοσης του κύματος- μετά τη «πηγή» Ο. Ισχύει λοιπόν : Η παραπάνω έκφραση λέει απλά, ότι την ίδια χρονική στιγμή t=t, η «πηγή» έχει φάση μεγαλύτερη από την Ν, κατά τον παράγοντα, με την προϋπόθεση βεβαίως ότι το κύμα έφτασε στην Ν. Ποιος χρόνος απαιτείται για να γίνει η μετάβαση της κυματικής διαταραχής από τη «πηγή» Ο, στη δομική μονάδα Ν; (5) Το διάγραμμα της διαφοράς φάσεως Δφ=φ (O) -φ (Ν), σε συνάρτηση με τον χρόνο t είναι : Δφ t ON t Στο διάγραμμα θεωρώ ότι την t=0, έφτασε η διαταραχή στη «πηγή» Ο. Για 0 < t < t ON ταλαντώνεται ΜΟΝΟ η «πηγή» και γράφει φάση φ (Ο) =ω.t Όταν t=t ON έχουμε : Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Ν, με προϋπόθεση ότι η διέγερση έφτασε στο Ν ;
Ισχύει : (6) Στη σχέση (6) η μεταβλητή Χ Κ αντικαθίσταται με το πρόσημο της οπότε, Ποια είναι η εξίσωση κύματος, αν διαδίδεται κατά την αρνητική φορά; K O N x x N Απάντηση: (7) Για να εμφανιστεί η εξίσωση (7), πρέπει η «πηγή» Ο, η οποία βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, να ταλαντώνεται με εξίσωση =A.ημωt (Όχι αρχική φάση. Εντάξει;) Η εξίσωση (7), απαιτεί η μεταβλητή x, να αντικαθίσταται με το πρόσημό της. (Πράγματι! Οι δομικές μονάδες που έχουν x>0 εμφανίζουν φάση μεγαλύτερη της «πηγής» κατά τον παράγοντα, ενώ όσες έχουν x<0 εμφανίζουν φάση μικρότερη κατά τον ίδιο παράγοντα σε απόλυτη τιμή και έτσι πρέπει! ) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το κύμα (7) προέρχεται από τη περιοχή των θετικών x, φτάνει στην «πηγή» Ο τη στιγμή t=0 και οδεύει προς τη περιοχή των αρνητικών x. Αν θεωρήσουμε ότι το κύμα είναι σε πλήρη ανάπτυξη και αυθαίρετα θεωρηθεί ότι τη στιγμή t=0 αρχίζει η μελέτη της «πηγής» με εξίσωση =A.ημωt, τότε οι υπολογισμοί μας καταγράφουν ο υ σ ι α σ τ ι κ ά το παρελθόν! (Ερώτημα που δεν έχει νόημα: Σε πόσο χρόνο το κύμα θα φτάσει σε θέση x=-8 m; Έχει όμως λογική η διατύπωση: Πότε μετά τη t=0 - το κύμα έφτασε σε θέση x=-8 m; )
ΜΙΑ «ΠΗΓΗ» ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΑ : «Πηγή» Ο βρίσκεται στην αρχή του άξονα x ox και τη στιγμή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση =Α.ημωt. Έτσι ένα κύμα 1 διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση και ένα 2 κατά την αρνητική. Ποιες οι εξισώσεις των κυμάτων; (Αρχικά όλες οι δομικές μονάδες του ελαστικού μέσου ηρεμούν). Εδώ η «πηγή» είναι πραγματική πηγή κυμάτων! K O N 2 x 1 Ισχύει: Κατά τη θετική φορά Κατά την αρνητική φορά, το x με πρόσημό του! Για την εν λόγω περίπτωση διάδοσης, ποια η Δφ μεταξύ δυο δομικών μονάδων, που βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις εκατέρωθεν της «πηγής»; Απάντηση : ΜΗΔΕΝ. Δείτε το μόνοι σας Δείτε επίσης ότι δομικές μονάδες σε θέσεις με αντίθετες τιμές απόστασης x, είναι συμφασικές. Δυστυχώς, με τα κύματα δεν «ξεμπερδεύεις» εύκολα. Μερικά βιβλία, αλλά και μερικά φυλλάδια δεν αρκούνται στα παραπάνω. Γράφουν για αρχική φάση της «πηγής», γράφουν για «πηγές» που δεν ταλαντώνονται τη t=0, κ.ά. Με τρομάζουν αυτά τα ζητήματα, όταν σκέπτομαι ότι είναι αδύνατο αυτά να διδαχτούν σε μια σχολική τάξη. Από την άλλη πάλι βλέπω τα τελευταία 2-3 χρόνια θέματα πανελλαδικών φυσικής, εκτός λογικής για δημόσιο σχολείο..οπότε δείτε τη συνέχεια με δική σας..ευθύνη!
Η «πηγή» είναι στη θέση x=0 και έχει αρχική φάση Στη διάδοση του σχήματος, η «πηγή» Ο, που βρίσκεται στη αρχή του άξονα x ox τη στιγμή t=0 βρίσκεται σε θέση +Α/2 με θετική ταχύτητα για πρώτη φορά. (το κύμα προϋπάρχει πριν τη στιγμή που εμείς ορίσαμε ως t=0) Ποια είναι η εξίσωση του κύματος; K O N x Απάντηση: Η «πηγή» ταλαντώνεται με εξίσωση =Aημ(ωt+φ ο ). Εύκολα από τα δεδομένα βρίσκουμε ότι φ ο =π/6 rad. Το τυχαίο σημείο Ν του ελαστικού μέσου που βρίσκεται δεξιά της «πηγής», οφείλει να έχει φάση μειωμένη κατά τον παράγοντα Άρα για κάθε δομική μονάδα σε θέση x, που ταλαντώνεται μετά τη πηγή έχουμε: Αυτή είναι η εξίσωση κύματος και ισχύει και για τις δομικές μονάδες για τις οποίες x<0, αφού η φάση αυτών παρουσιάζεται αυξημένη κατά τον παράγοντα, (ΠΡΟΣΟΧΗ! η μεταβλητή x συμμετέχει με το πρόσημό της) Αν στην εξίσωση του εν λόγω κύματος θέσετε x=0, τότε έχετε στα χέρια σας την εξίσωση ταλάντωσης της πηγής. Με εντελώς ανάλογο σκεπτικό, αντιμετωπίζουμε τη περίπτωση της διάδοσης του κύματος κατά την αρνητική κατεύθυνση. Απλά! Ο όρος x/λ θα εμφανιστεί στην εξίσωση με πρόσημο (+) και πάλι θα υπάρξει απαίτηση η μεταβλητή x να αντικαθίσταται με το πρόσημό της. Συνέχεια
Η «πηγή» είναι στη θέση x=0, αλλά την t=0 δεν ξέρουμε τι κάνει! Τη στιγμή t=0 αρχίζει η μελέτη ταλάντωσης της δομικής μονάδας Κ με εξίσωση =A.ημωt. Η δομική μονάδα Κ βρίσκεται σε θέση x=-λ/4. Ποια είναι η εξίσωση ταλάντωσης της «πηγής» και ποια της δομικής μονάδας Ν. Ποια η εξίσωση του κύματος; K O N x Η «πηγή» θα κάνει ό,τι και η Κ, αλλά με μια καθυστέρηση, αφού η φάση της θα είναι μειωμένη κατά τον παράγοντα (1) Άρα η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής είναι: (2) Φυσικά η εξίσωση (2) απαιτεί t > T/4 (Αλλιώς θα είχαμε αρνητική φάση ) Η δομική μονάδα που είναι στα θετικά x, θα κάνει ό,τι η πηγή, αλλά με μειωμένη φάση κατά παράγοντα Επομένως η εξίσωση ταλάντωσης μιας μονάδας με x>0 είναι: : (3) Η (3) είναι η εξίσωση κύματος και περιγράφει τη κίνηση α.α.τ. μιας δομικής μονάδας, με τον όρο ότι η διέγερση έφτασε εκεί! ( Πότε άραγε- έφτασε ; ) (*) Η παραπάνω εξίσωση ανταποκρίνεται και για τιμές x<0, αρκεί όμως το x να τοποθετηθεί με το πρόσημό του. (*) έφτασε όταν φ=0! ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Η στάση μου απέναντι στα κύματα καθορίζεται από τη γνώση που θέλει κάθε δομική μονάδα να κάνει ό,τι η προηγούμενη δηλ. ίδια α.α.τ.- με μια χρονική καθυστέρηση. Αυτή η χρονική καθυστέρηση είναι ενσωματωμένη στη φάση. Αν ένα κύμα διαδίδεται από Α Β, επιβάλλεται η δομική μονάδα Β να έχει εφόσον ταλαντώνεται- μειωμένη φάση κατά τον παράγοντα ζητήματα στα γραμμικά αρμονικά κύματα. Πιστέψτε με. Αυτή η πρόταση είναι το κλειδί για να γίνουν κατανοητά
Μια δομική μονάδα K, που βρίσκεται στη θέση x=-6 m αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=0 με εξίσωση =0,1.ημ20πt. Το κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση έχει ταχύτητα διάδοσης 30 m/sec. Πριν τη t=0 οι δομικές μονάδες ηρεμούν. Α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος με θετική κατεύθυνση διάδοσης Β) Ένα σημείο Γ του μέσου έχει κάποια στιγμή απομάκρυνση +0,1 m. Σε ποια απομάκρυνση θα βρίσκεται ένα άλλο σημείο Β του μέσου που βρίσκεται σε απόσταση 1,5 m από αυτό; K O Μ X K =-6 m X Η τυχαία μονάδα Μ οφείλει να κάνει ό,τι και η Κ, αλλά με μια χρονική καθυστέρηση. Αυτή η χρονική καθυστέρηση ενσωματώνεται στην φάση, αρκεί να ζητήσουμε η φάση της Μ να είναι μικρότερη κατά τον παράγοντα σημείων! Εύρεση Τ : Τ=2π/ω = 2π/20π =0,1 sec Εύρεση λ : Επομένως η εξίσωση ταλάντωσης της Μ θα είναι : όπου (KΜ) είναι η απόσταση των δυο (1) Η (1) είναι εξίσωση κύματος, αφού αφορά ταλάντωση οποιασδήποτε μονάδας σε συνάρτηση με τη θέση x (x -6). Για να δουλέψει η (1) πρέπει το κύμα να φτάσει στη θέση x. Θα βρούμε ποιος χρόνος απαιτείται για τη διάδοση K Μ Έτσι η (1) ισχύει, εφόσον t t KN ( Να θυμάσαι ότι δεν επιτρέπεται φάση < 0 ) Β) d d Β Γ Β Εφόσον η δομική μονάδα είναι σε θέση +Α, έχει φάση φ=2κπ+π/2 rad. Για το δίδυμο Β (αριστερά του Γ) και Γ ισχύει :
Επομένως η απομάκρυνση της Β (που βρίσκεται αριστερά της Γ) θα είναι : Με ανάλογο τρόπο εργαστείτε για να βρείτε την απομάκρυνση της Β, η οποία βρίσκεται δεξιά της Γ, για να βρείτε πάλι ότι B =-1 m. ΚΡΑΤΗΣΤΕ ΤΟ Στη παραπάνω διαχείριση γνωρίζαμε τη φάση μιας δομικής μονάδας και υπολογίσαμε τη διαφορά φάσης αυτής με μια άλλη. Έτσι έμμεσα- υπολογίστηκε η φάση της άλλης. Λοιπόν! Αυτό σημαίνει δυνατότητα εύρεσης της απομάκρυνσης, ταχύτητας, εντάξει; Τι είναι η «πηγή» στα κύματα ; Μια δομική μονάδα η οποία βρίσκεται στη αρχή του άξονα και αποτελεί έτσι θέση αναφοράς των αποστάσεων των υπολοίπων δομικών μονάδων του γραμμικού ελαστικού μέσου. Τίποτε άλλο! Τι δεν είναι η «πηγή»; Δεν είναι κατά ανάγκη θέση από την οποία ξεκίνησε η κυματική διαταραχή. Μπορούμε να έχουμε εξίσωση κύματος χωρίς η «πηγή» να συμμετέχει στο κύμα λόγω του ότι το κύμα δεν έφτασε ακόμη σε αυτή ή γιατί δεν επιτρέπεται να συμμετέχει (δείτε την επόμενη άσκηση), κ.ο.κ. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο οι δομικές μονάδες ηρεμούν. Τη στιγμή t=0 μια δομική μονάδα M που βρίσκεται σε θέση x o =4 m του άξονα x ox αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση =0,1 ημ10πt. Σε χρόνο t MN =3 sec, το κύμα φτάνει στη θέση x N =6 m. 1. Ποια η εξίσωση κύματος 2. Να γράψετε την εξίσωση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με τη θέση x των σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t=0,5 sec και να τη παραστήσετε γραφικά 3. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή ξεκινά τις ταλαντώσεις του το σημείο Ν με x N =8 m 2 1 O M N +x x
Εύρεση περιόδου κύματος : (1) Εύρεση ταχύτητας διάδοσης : (2) Εύρεση μήκους κύματος : (3) 1) Η δομική μονάδα Ν, κάνει ό,τι και η M, αλλά με χρονική καθυστέρηση, η οποία ενσωματώνεται στη φάση. Έτσι η φάση της Ν, θα είναι μειωμένη σε σχέση με τη φάση της Μ κατά τον παράγοντα. Επομένως για τη ταλάντωση της Ν που προκαλεί το κύμα 1, ισχύει : (4) με t 3 sec. Και για τη ταλάντωση του τυχαίου σημείου που απέχει x>(ομ) από τον άξονα ισχύει Η τελευταία σχέση εκφράζει το κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση. Βεβαίως απαιτείται x 4 m και για κάθε σημείο η απαραβίαστη απαίτηση φ 0. Φαίνεται «παράλογο» ότι η δομική μονάδα Ο, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων ΔΕΝ περιγράφεται από το κύμα 1, αλλά είναι η «πηγή» του. Φίλοι μου δεν είναι «παράλογο» αν δεχτείτε ότι «πηγή» είναι απλά ένα σημείο αναφοράς και τίποτε άλλο. Ποια η εξίσωση ταλάντωσης της Ο, την οποία προκαλεί το 2 ; Η τελευταία σχέση είναι εξίσωση ταλάντωσης της Ο και προφανώς απαιτεί t t MO Εύρεση t MO :
Εξίσωση κύματος που διαδίδεται κατά την αρνητική κατεύθυνση. 2 x O M N +x Έχουμε στα χέρια μας την εξίσωση ταλάντωσης της «πηγής» του κύματος 2. Επομένως για μια δομική μονάδα με συντεταγμένη x (x<0) θα έχουμε: πρόσημό της!, με τη μεταβλητή x να αντικαθίσταται με το 2) Το κύμα σε χρόνο Δt=0,5 sec διανύει εκατέρωθεν της Μ, απόσταση Επομένως θα δουλέψουμε για τιμές : x o -1/3 x x o +1/3 t=0,5 x=x o -1/3 = 4-1/3 t=0,5 Οι εξισώσεις είναι πρώτου βαθμού, οπότε ο προσδιορισμός δυο σημείων, είναι αρκετός για τη σχεδίαση x=x o =4 t=0,5 x=x o =4
t=0,5 x=x o +1/3=4+1/3 Να και το ζητούμενο διάγραμμα! 5π φ (rad) +x (m) 4-1/3 4 4+1/3 3) Δεν υπάρχει δυσκολία για να βρείτε τον χρόνο t MN = 6 sec Ας σταματήσουμε εδώ Οι κυματικές ιστορίες είναι ατελείωτες.