ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης γωνίας του αντίστοιχου τόξου της, στην σχέση μεταξύ τους και στο μέτρο του τόξου. Μία ώρα στον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου της, στην σχέση της με την επίκεντρη με ίδιο αντίστοιχο τόξο. Μία ώρα στην ισότητα εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ : Οι μαθητές επιδιώκεται: να γνωρίζουν την έννοια της εγγεγραμμένης γωνίας και να σχεδιάζουν τέτοιες γωνίες, να γνωρίζουν τη σχέση του μέτρου μιας επίκεντρης γωνίας και του μέτρου του αντίστοιχου τόξου, να γνωρίζουν τη σχέση του μέτρου μιας εγγεγραμμένης γωνίας και του μέτρου του αντίστοιχου τόξου, να αναγνωρίζουν την ισότητα εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στο ίδιο τόξο η σε ίσα τόξα, να μπορούν να «μεταφέρουν» ίσες εγγεγραμμένες γωνίες, να διαχειρίζονται τη σχέση μεταξύ εγγεγραμμένης, αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ: Τα φύλλα εργασίας θα δοθούν στους μαθητές στην τάξη και με αυτενέργειά τους και καθοδήγηση του καθηγητή, όπου αυτό κρίνεται απαραίτητο, θα οδηγηθούμε στην επίτευξη των προαναφερθέντων στόχων. ΧΩΡΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ: Tο σχέδιο μαθήματος προτείνεται να διεξαχθεί εναλλάξ στην τάξη και στο εργαστήριο υπολογιστών (ή διαφορετικά κάνοντας χρήση του διαδραστικού πίνακα) ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ: Οι μαθητές πρέπει να έχουν στη διάθεσή τους φύλλα εργασίας, το σχολικό βιβλίο της Β Γυμνασίου και το τετράδιο σημειώσεων.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Ο ( Επίκεντρη γωνία ) Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη; Τι λέμε αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας; Πότε ο λέμε ότι ένα τόξο είναι μ ; Επίκεντρη γωνία σε κύκλο (Ο,ρ) λέγεται κάθε γωνία... που έχει την κορυφή της στο... του κύκλου. Αν οι πλευρές της επίκεντρης γωνίας τέμνουν τον κύκλο (Ο,ρ) στα σημεία... και... λέμε ότι το τόξο είναι το αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας. Επίσης λέμε ότι η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ βαίνει στο τόξο ΑΒ. Ένα τόξο λέμε ότι είναι ο μ, όταν αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία ο μ Δραστηριότητα 1: Στον διπλανό κύκλο ( Ο, ρ) η επίκεντρη γωνία αντίστοιχο τόξο της...έχει μέτρο... Υπάρχει άλλη επίκεντρη με ίδιο αντίστοιχο τόξο με αυτό της ΑΟΒ έχει μέτρο... και το ΑΟΒ ;... Η ευθεία ΒΟ τέμνει τον κύκλο στο σημείο και η ευθεία ΑΟ στο σημείο Δ. Η επίκεντρη γωνία ΓΟΔ έχει μέτρο... γιατί;... και το αντίστοιχο τόξο... έχει μέτρο... Άρα τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι... Τι παρατηρείτε για τις χορδές ΑΒ και ΓΔ ;... ( αφού τις μετρήσετε ) Δραστηριότητα 2: Στο διπλανό σχήμα οι κύκλοι είναι ίσοι;... Τα τόξα ΑΒ και ΑΒ ανήκουν στον ίδιο κύκλο;... Το τόξο ΑΒ έχει μέτρο... και το τόξο Α Β έχει μέτρο... Μπορούμε να πούμε ότι τα τόξα είναι ίσα;... Οι επίκεντρες γωνίες ΑΟΒ και ΑΟΒ είναι ίσες;... Συμπέρασμα: Α) Σε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλο ισχύουν: 1. Ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν... και τα αντίστοιχα... τους και αντίστροφα. 2. Ίσα τόξα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες... τους και ίσες χορδές έχουν και τα αντίστοιχα μικρά ή μεγάλα... τους ίσα (Σε κάθε χορδή ενός κύκλου αντιστοιχούν δύο τόξα, ένα μικρό και ένα μεγάλο ). Β) Δεν μπορούμε να κάνουμε σύγκριση τόξων σε... κύκλους. Δύο τόξα του... κύκλου ή... κύκλων. ο μ είναι ίσα μόνο όταν είναι τόξα - 2 -
Χαρακτηριστικά τόξα Κάθε κύκλος είναι τόξο... και Κάθε ημικύκλιο είναι τόξο...και Κάθε τεταρτοκύκλιο είναι τόξο... αντιστοιχεί στην... επίκεντρη αντιστοιχεί στην... επίκεντρη αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία... γωνία. γωνία. Δραστηριότητα 3: Να υπολογίσετε πόσων μοιρών είναι το τόξο που διαγράφει η άκρη του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού σε 30 λεπτά. Σε πόσο χρόνο η άκρη του ωροδείκτη διαγράφει τόξο 90 0 ;. Δραστηριότητα 4: Να γράψετε έναν κύκλο (Ο, ρ) και μία επίκεντρη γωνία του ΑΟΒ που να βαίνει σε τεταρτοκύκλιο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Σχήμα. Δραστηριότητα 5 Να υπολογίσετε πόσων μοιρών είναι καθένα από τα τόξα: ΑΔ, ΔΓ και ΓΒ. - 3 -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και τα σημεία Α, Β, Γ, Δ του κύκλου σχηματίζουν τετράγωνο. Η επίκεντρη γωνία ΑΟΒ έχει μέτρο : Α. 30 0 Β. 90 0 Γ. 135 0 Δ. 160 0 ii. Αν σε κύκλο (Ο, ρ) η χορδή ΑΒ = ρ τότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι: Α. Σκαληνό Β. Ισοσκελές Γ. Ισόπλευρο Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα 2. Σε έναν κύκλο (Ο, ρ) είναι 0 AB = 55, 0 BΓ = 74 και 0 ΓΔ = 96. Να υπολογίσετε τις επίκεντρες γωνίες που βαίνουν στα τόξα AB, BΓ και ΓΔ. 3. Δίνεται κύκλος (0,6cm) και σημείο το Α. Γράφουμε κύκλο (Α,4cm) που τέμνει τον πρώτο κύκλο στα σημεία Β, Γ. Να εξηγήσετε γιατί ΑΟΒ = ΑΟΓ. 4. Στο διπλανό σχήμα η ΑΓ είναι διάμετρος του κύκλου. Να υπολογίσετε τα τόξα AB, BΓ, ΓΔ και ΔΑ. 5. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε 2 εφάπτονται του κύκλου στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΡΒ - 4 -
6. Σε ένα κύκλο (0, ρ), να θεωρήσετε τα διαδοχικά τόξα αποδείξετε ότι οι ακτίνες ΟΑ και ΟΔ είναι κάθετες. o o o AB = 35,BΓ= 120, ΓΔ= 150. Να 7. Σε ένα κύκλο (0, ρ), να γράψετε μια επίκεντρη γωνία ˆ AOB. Αν η γωνία 30 ο, να βρείτε πόσες μοίρες είναι το τόξο AB. ˆ ABO είναι ίση με 8. Στο διπλανό σχήμα η ΔΒ είναι διάμετρος και τόξο AB είναι ίσο με 40 ο. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι τα τόξα B ΓΓΔΔΕ,,,EA. 9. Στο παρακάτω σχήμα το Θ είναι μέσο του τόξου AB. Να αποδείξετε ότι : α) η ΑΘ είναι διχοτόμος της γωνίας AOB ˆ β) ΟΔ ΑΒ γ) AH = BH. 10. Στο παρακάτω σχήμα τα σημεία Μ, Ν είναι τα μέσα των τόξων AB και BΓ αντίστοιχα. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι το τόξο MN. - 5 -
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 Ο ( Εγγεγραμμένη γωνία ) α) Ποια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη; β) ποιο είναι το αντίστοιχο τόξο της ; α) Μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σ έναν κύκλο, όταν η κορυφή της είναι του κύκλου και οι πλευρές της... τον κύκλο β) Αν οι πλευρές της εγγεγραμμένης γωνίας τέμνουν τον κύκλο (Ο, ρ) στα σημεία... και..., τότε το τόξο... του κύκλου (Ο, ρ) που βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της εγγεγραμμένης γωνίας λέγεται... τόξο αυτής και λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία...βαίνει στο τόξο.... γ) Ποια είναι η σχέση της εγγεγραμμένης γωνίας προς την επίκεντρη που αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο; Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας, που βαίνει στο ίδιο τόξο. (Με άλλα λόγια, η εγγεγραμμένη γωνία σε μοίρες είναι ίση με το μισό του αντίστοιχου τόξου της.) Δραστηριότητα 1: Να αποδείξετε ότι η εγγεγραμμένης γωνία είναι η μισή της επίκεντρης με ίδιο αντίστοιχο τόξο,όταν το κέντρο του κύκλου ανήκει στην πλευρά της εγγεγραμμένης ( όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα ) Λύση:................... ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 1 Ποια είναι η σχέση εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας με ίδιο αντίστοιχο τόξο ; Απάντηση:.... ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 2 Ποια είναι η σχέση εγγεγραμμένης γωνίας με το αντίστοιχο τόξο της ; Απάντηση:.... - 6 -
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 3 Πια είναι η σχέση εγγεγραμμένων γωνιών με ίσα αντίστοιχα τόξα στον κύκλο όπου ανήκουν ; Απάντηση:.... ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 4 Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι... ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 5 Πάντα εγγεγραμμένες γωνίες ή επίκεντρες με ίσα αντίστοιχα τόξα μπορούν να συγκριθούν ; Απάντηση:.... Δραστηριότητα 2: α) Στα διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών x, y, z. όταν o AM = MB = 60. β) Στα διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών x, y, z. όταν: o AB =ΓΔ= 50....... γ) Στα διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών x, y, z..... - 7 -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ 1. Εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ) του διπλανού σχήματος είναι η γωνία και βαίνει στο τόξο.. 2. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο (Ο, ρ) είναι ΒΓ = 58, τότε η γωνία φ =.. και η γωνία ω = 3. Στο διπλανό σχήμα είναι η ΒΓ διάμετρος του κύκλου (Ο,ρ) Τότε η γωνία ΒΑΓ =.. 4. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 42. Τότε φ = = =. 5. Να υπολογίσετε την γωνία φ στα παρακάτω σχήματα φ =.. φ = φ =. φ =. - 8 -
6. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες που σημειώνονται στα παρακάτω σχήματα : 7. Οι χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου τέμνονται στο σημείο Σ. Αν ΓΒ = 98 και Α = 84, να υπολογίσετε την γωνία ΒΣΓ 8. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε την γωνία ΑΒΟ 130 0 9. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = Γ = 100 ΚΑΙ ΒΓ = 120 α) Να δείξετε ότι ΑΔ // ΒΓ β) Να υπολογίσετε την γωνία Κ.. 10. Στα παρακάτω σχήματα να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ - 9 -