Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές

Κεφάλαιο 11: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το απλό εκκρεμές Σύνοψη Προσδιορισμός της έντασης του γήινου βαρυτικού πεδίου μέσω μέτρησης της περιόδου απλών αρμονικών ταλαντώσεων ενός απλού εκκρεμούς. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαια 1&3 11.1 Βασικές έννοιες Ως απλό εκκρεμές (βλ. Εικόνα 11.1) χαρακτηρίζεται ένα εξιδανικευμένο προσομοίωμα αιωρουμένου σώματος, το οποίο αποτελείται από σημειακή μάζα m κρεμασμένη μέσω αβαρούς, μη εκτατού νήματος μήκους l, εντός ομογενούς βαρυτικού πεδίου. Εικόνα 11.1 Απλό εκκρεμές. Στην πράξη αρκεί οι διαστάσεις του σώματος να είναι πολύ μικρότερες από το μήκος l του νήματος, η μάζα του νήματος να είναι πολύ μικρότερη από εκείνη του σώματος και το πλάτος αιώρησης τόσο μικρό, ώστε η ένταση του γήινου βαρυτικού πεδίου να μη μεταβάλλεται αισθητά. Αν εκτρέψουμε το εκκρεμές κατά γωνία θ και το αφήσουμε ελεύθερο, τότε αυτό θα εκτελέσει μια παλινδρομική κίνηση γύρω από τη θέση ισορροπίας, η οποία χαρακτηρίζεται (βλ. κεφ. 3.1) ως ταλάντωση. Τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της εν λόγω ταλάντωσης καθορίζονται προφανώς από τη συνισταμένη δύναμη, η οποία ασκείται επί του σώματος. Η συνισταμένη αυτή δύναμη ισούται με το (διανυσματικό) άθροισμα του βάρους Β = mg του σώματος, το οποίο έχει πάντα κατακόρυφο διεύθυνση και φορά προς τα κάτω, και της τάσης T του νήματος. Όταν το νήμα σχηματίζει την τυχαία γωνία θ με την κατακόρυφο, το βάρος του μπορεί να αναλυθεί σε μια κάθετη και μία παράλληλη ως προς το νήμα συνιστώσα (βλ. Εικόνα 11.1), των οποίων τα μέτρα είναι Β π = mgcosθ και Β κ = mgsinθ {1} Η παράλληλη προς το νήμα συνιστώσα εξουδετερώνεται προφανώς (με την προϋπόθεση ότι το νήμα είναι μη εκτατό!) από την τάση του νήματος, μια και δεν έχουμε κίνηση κατά τη διεύθυνσή του. Αυτό σημαίνει, ότι η μορφή της κίνησης καθορίζεται από την κάθετη προς το νήμα συνιστώσα του βάρους του σώματος Β κ. Όπως δε φαίνεται από τη σχέση {1}, η Β κ δεν είναι ανάλογη προς την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, οπότε η κίνηση του απλού εκκρεμούς δεν είναι εν γένει απλή αρμονική (βλ. κεφ. 3.1 και 3.3). Το sinθ μπορεί να αναπτυχθεί κατά Taylor (βλέπε π.χ. Bronstein, Semendjaiew, Taschenbuch der Mathematik): 1

sinθ = θ θ3 + θ5 θ7 + (Εξίσωση 11.1) 3! 5! 7! Για γωνίες (πάντα σε rad!) μικρότερες των 0,1 rad ( 6 ) πρώτος προσθετέος υπερισχύει συντριπτικά έναντι των άλλων. Π.χ. για θ = 0,1 rad παίρνουμε sinθ = 0,0998: διαφορά 0,%. Για θ = 0,09 rad παίρνουμε sinθ = 0,0899: διαφορά 0,1%. Στην περίπτωση λοιπόν αυτή οι υπόλοιποι προσθετέοι μπορούν να παραληφθούν, οπότε έχουμε: Τότε η κινούσα το σώμα δύναμη Β κ γίνεται: Β κ = mgθ (Εξίσωση 11.) θ 0,1 rad ( 6 ) sinθ θ {} [Το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει, ότι η δύναμη Β κ έχει φορά αντίθετη προς τη φορά εκτροπής του σώματος, ότι δηλαδή τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας («δύναμη επαναφοράς»)]. Σύμφωνα με την Εικόνα 11.1 το σώμα κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας l. Αν λοιπόν παραστήσουμε με x το μήκος του τόξου, το οποίο αντιστοιχεί στη γωνία θ, τότε θα ισχύει: θ = x l {3} Η δύναμη επαναφοράς θα είναι κατά συνέπεια F Β κ = mg x l kx (Εξίσωση 11.3) k = mg l (Εξίσωση 11.4) («σταθερή επαναφοράς») Βλέπουμε λοιπόν ότι για μικρές εκτροπές από τη θέση ισορροπίας (θ 0,1 rad ( 6 )) η δύναμη είναι ανάλογη προς τη μετατόπιση x και η κίνηση του απλού εκκρεμούς είναι απλή αρμονική ταλάντωση με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά (βλ. κεφ. 3.1 και 3.3): στιγμιαία απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας κατά την τυχαία χρονική στιγμή t: x = x 0 sin(ωt + φ 0 ) (Εξίσωση 11.5) x 0 : πλάτος ταλάντωσης = μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. φ = ωt + φ 0 φάση (της ταλάντωσης). φ 0 : αρχική φάση. Ισούται με την τιμή της φάσης φ κατά τη χρονική στιγμή t = 0. Αν η αρχική φάση είναι διάφορη του μηδενός, αυτό σημαίνει ότι κατά τη χρονική στιγμή t = 0 το κινητό δεν βρισκόταν στη θέση ισορροπίας x = 0, αλλά στη θέση x = x 0 sinφ 0. κυκλική συχνότητα: (11.4) ω = k m = g l (Εξίσωση 11.6) συχνότητα (= αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων στη μονάδα του χρόνου): ν = ω π = 1 π g l (Εξίσωση 11.7)

περίοδος (= χρονική διάρκεια μιας πλήρους ταλάντωσης): T = 1 ν = π l g (Εξίσωση 11.8) Βλέπουμε λοιπόν ότι για μικρές εκτροπές η περίοδος του εκκρεμούς αυξάνεται με αυξανόμενο μήκος, ενώ είναι ανεξάρτητη από τη μάζα του και το πλάτος ταλάντωσης. Στην ανεξαρτησία της περιόδου από το πλάτος ταλάντωσης οφείλεται η χρησιμότητα του εκκρεμούς στην κατασκευή ωρολογίων ικανοποιητικής ακρίβειας. 11. Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας Όπως φαίνεται από τη σχέση (11.8), μετρώντας την περίοδο ταλάντωσης και το μήκος του εκκρεμούς (γεγονός το οποίο μπορεί να γίνει με σχετικά μεγάλη ακρίβεια) μπορούμε να προσδιορίσουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Πιο συγκεκριμένα και για μεγαλύτερη ακρίβεια ακολουθείται συνήθως η εξής μέθοδος (Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής): Στην πράξη η αιωρούμενη μάζα έχει κάποιες διαστάσεις, με αποτέλεσμα να είναι δύσκολο να προσδιορισθεί ακριβώς το μήκος l, το οποίο ισούται με την απόσταση του κέντρου μάζας από το σημείο ανάρτησης. Για τον λόγο αυτό προσδιορίζουμε το μήκος l από το σημείο ανάρτησης μέχρι κάποιο γνωστό σημείο (π.χ. έναν κόμβο στο νήμα) πλησίον του κέντρου μάζας, το οποίο απέχει (άγνωστη με ακρίβεια) απόσταση c από το κέντρο μάζας. (Η απόσταση c παίζει τον ρόλο πειραματικά προσδιοριστέας παραμέτρου.) Αντικαθιστώντας στην (11.8) το l μέσω του (l + c) παίρνουμε: T = π l+c g l = g 4π T c (Εξίσωση 11.9) Η παραπάνω σχέση παριστάνει ευθεία της μορφής y = ax + b (βλ. κεφ. 1.5.1) με κλίση a και σημείο τομής b με τον άξονα y: a κλίση = g 4π (Εξίσωση 11.10) b = c (Εξίσωση 11.11) Επομένως από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης l(t ) μπορούμε να υπολογίσουμε τόσο την επιτάχυνση της βαρύτητας g όσο και την παράμετρο c: g = 4π κλίση (Εξίσωση 11.1) c = σημείο τομής με τον άξονα l (Εξίσωση 11.13) 11..1 Υπολογισμός σφαλμάτων της επιτάχυνσης της βαρύτητας και της απόστασης του κόμβου από το κέντρο μάζας Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας g και της απόστασης c του κόμβου από το ΚΜ του σφαιριδίου, γίνονται με τη βοήθεια της κλίσης a και του σημείου τομής b με τον άξονα y, αντίστοιχα, μιας ευθείας της μορφής y = ax + b. Τα δύο αυτά μεγέθη προσδιορίζονται με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων (βλ. π.χ. Taylor J.R., An introduction to error analysis) από τις μετρημένες τιμές της περιόδου Τ και του μήκους l του εκκρεμούς (βλ. κεφ. 11.4). Τα σφάλματα επομένως υπολογίζονται με τη βοήθεια των σχέσεων της ενότητας 1.5.1: (μέσο) σφάλμα y: 3

1 Δy = ± (y n i i b ax i ) + (aδx) {1} εδώ αμελητέο! [Δx: (μέσο) σφάλμα των τιμών x i. Στην περίπτωσή μας το x αντιστοιχεί στο τετράγωνο T της περιόδου και μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο, επειδή η περίοδος προσδιορίζεται μέσω χρονομέτρησης είκοσι πλήρων ταλαντώσεων (βλ. κεφ. 11.4).] μέσο σφάλμα της κλίσης a: Δa = Δy n n x i i ( x i i ) {} μέσο σφάλμα του σημείου τομής b: Δb = Δy x i i n x i i ( x i i ) {3} Υπολογισμός του μέσου σφάλματος της επιτάχυνσης της βαρύτητας g: Εικόνα 11. Για τον υπολογισμό του σφάλματος του g. Σύμφωνα με τις σχέσεις της ενότητας 11., η επιτάχυνση της βαρύτητας g υπολογίζεται [βλ. εξίσωση (11.1)] από την κλίση μιας ευθείας της μορφής y = ax + b, το σφάλμα της οποίας υπολογίζεται από την {} και {1}, θέτοντας y l, x Τ και b = l 0 : κλίση a {} (11.1): g = 4π κλίση 4π a Δg = 4π Δa = 4π Δy n n x i i ( i x i ) Εικόνα 11.: y l,x Τ Δg = 4π Δl n n T 4 i i ( T i i ) (Εξίσωση 11.14) όπου y = ax + b= l(t )= g 4π T +l 0 Δl = ± 1 n (l i l 0 κλίση T i ) i {4} Υπολογισμός του μέσου σφάλματος της απόστασης c: 4

Σύμφωνα με τις σχέσεις της ενότητας 11., η σταθερή c [βλ. εξίσωση (11.13)] είναι ίση και αντίθετη με το σημείο τομής μιας ευθείας της μορφής y = ax + b, το σφάλμα της οποίας υπολογίζεται από την {3} και {1}, θέτοντας y l, x Τ Εικόνα 11. (11.13): c = (σημείο τομής με τον άξονα l ) c = b Δc = Δb = {} = Δy x i i n i x i ( x i y l,x Τ = Δl i ) T 4 i (11.14) i n T 4 i i ( T i i ) Δc = Δg 4π T 4 i i n (Εξίσωση 11.15) 11.3 Πειραματική διαδικασία Animation 11.1 Διαδραστική περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας. (Είναι διαθέσιμη από τον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων.) Η πειραματική διαδικασία στοχεύει στη μέτρηση (μέσω ψηφιακού χρονομέτρου) της περιόδου ταλάντωσης απλού μαθηματικού εκκρεμούς συναρτήσει του μήκους του. Απαιτούμενα όργανα: 1. Απλό εκκρεμές με κατάλληλη βάση ανάρτησης (Εικόνα 10.3). Εικόνα 11.3 Απλό εκκρεμές.. Ψηφιακό χρονόμετρο (Εικόνα 11.4) 5

Εικόνα 11.4 Ψηφιακό χρονόμετρο. Το ξεκινάμε και σταματάμε πιέζοντας το Α. Το μηδενίζουμε πιέζοντας το Β. 3. Μετροταινία Διεξαγωγή Μετρήσεων: 1. Χαλαρώνουμε τη βίδα (Εικόνα 11.3), η οποία σφίγγει την οριζόντια ράβδο, στην οποία είναι τυλιγμένο το περίσσιο σχοινί του εκκρεμούς, ξετυλίγουμε περιστρέφοντας τη ράβδο τόσο σχοινί, ώστε το μήκος l (από το σημείο ανάρτησης ως τον κόμβο) να γίνει ίσο με 1m και ξανασφίγγουμε τη βίδα. 1. Εκτρέπουμε το εκκρεμές κατά γωνία μικρότερη των 3, το αφήνουμε ξεκινώντας ταυτόχρονα το χρονόμετρο, χρονομετρούμε τον χρόνο t 0 είκοσι πλήρων ταλαντώσεων και τον σημειώνουμε στον Πίνακα 1.. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και ελαττώνοντας κάθε φορά το μήκος l κατά 10cm για όλα τα μήκη του Πίνακα 1. 11.4 Επεξεργασία των μετρήσεων Η επεξεργασία των μετρήσεων στοχεύει: 1. Στην κατασκευή της γραφικής παράστασης του μήκους l του εκκρεμούς συναρτήσει του τετραγώνου T της περιόδου του, τον υπολογισμό της κλίσης της και του σημείου τομής l 0 με τον άξονα l σύμφωνα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.. Στον προσδιορισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας από την παραπάνω προσδιορισθείσα κλίση σύμφωνα με τη σχέση g = 4π κλίση και της απόστασης του κόμβου από το κέντρο μάζας του σώματος από τη σχέση c = l 0. Προς τον σκοπό αυτό: 1. Κάνουμε όσους υπολογισμούς απαιτεί ο Πίνακας 1.. Σε χιλιοστομετρικό χαρτί (DIN A4) κάνουμε γραφική παράσταση του μήκους l συναρτήσει του τετραγώνου T της περιόδου, σύμφωνα με τις οδηγίες του κεφαλαίου 1.5. Προς τον σκοπό δε αυτό συμπληρώνουμε τον Πίνακα. 3. Υπολογίζουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας g προσέχοντας τις μονάδες! (Σημειωτέον, ότι η αποδεκτή τιμή για γεωγραφικό πλάτος 45 και υψόμετρο 0 είναι g = 9,81 m/s ). 4. Συμπληρώνουμε τον Πίνακα. 5. Τέλος σχολιάζουμε τα αποτελέσματά μας και τα παρουσιάζουμε με μορφή εργασίας, η οποία θα έχει τα κύρια χαρακτηριστικά, τα οποία περιγράφονται στην Εισαγωγή. 6

Εικόνα 11.5 Ενδεικτικός Πίνακας 1. Εικόνα 11.6 Ενδεικτικός Πίνακας. Βιβλιογραφία/Αναφορές Bronstein, Semendjaiew, Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, 17η έκδοση, Zuerich - Frankfurt Thun, 1977 7

Taylor J.R., An introduction to error analysis, University Science Books, η έκδοση, 1997 Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Αθήνα, Β. Γκιούρδας Εκδοτική, 004 Κριτήρια αξιολόγησης Ερώτηση 1 Ποια είναι τα χαρακτηριστικά ενός απλού εκκρεμούς θεωρητικά και πρακτικά; Θεωρητικά το νήμα πρέπει να είναι απόλυτα αβαρές και μη εκτατό και η μάζα σημειακή. Στην πράξη αρκεί η μάζα του νήματος να είναι πολύ πολύ μικρότερη από εκείνη του σώματος, οι διατάσεις του σώματος πολύ πολύ μικρότερες από το μήκος του νήματος και το πλάτος αιώρησης τόσο μικρό, ώστε η ένταση του γήινου βαρυτικού πεδίου να μη μεταβάλλεται αισθητά. Ερώτηση Πότε η κίνηση του εκκρεμούς είναι απλή αρμονική ταλάντωση; Για γωνία εκτροπής μικρότερη των 6. Ερώτηση 3 Σε ποια ιδιότητα του εκκρεμούς στηρίζεται η χρησιμότητά του στην κατασκευή ωρολογίων ικανοποιητικής ακρίβειας; Στο γεγονός ότι για μικρές εκτροπές η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από τη μάζα του και το πλάτος ταλάντωσης. Ερώτηση 4 Είναι κατάλληλο το εκκρεμές για τον προσδιορισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας; Για τον προσδιορισμό του g απαιτείται η μέτρηση της περιόδου ταλάντωσης και του μήκους του εκκρεμούς, γεγονός το οποίο μπορεί να γίνει απλά και με σχετικά μεγάλη ακρίβεια. Ερώτηση 5 Τι ρόλο παίζει ο κόμβος στο νήμα του εκκρεμούς; Επειδή η αιωρούμενη μάζα έχει κάποιες διαστάσεις, είναι δύσκολο να προσδιορισθεί ακριβώς το μήκος του εκκρεμούς, το οποίο ισούται με την απόσταση του κέντρου μάζας από το σημείο ανάρτησης. Για τον λόγο αυτό προσδιορίζουμε το μήκος από το σημείο ανάρτησης μέχρι τον κόμβο και στη συνέχεια την απόσταση c του κόμβου από το κέντρο μάζας, από την γραφική παράσταση l = g 4π T c, σαν σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα. 8