2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Χειµερινό Εξάµηνο Ρόδος, Νοέµβριος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" ιδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός Εργασία Προόδου #1 φυλλάδιο 3 αϖό 3 ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Παρακαλούµε να απαντήσετε µε προσοχή δίνοντας έµφαση σε όσα ακούσατε στις διαλέξεις του µαθήµατος, αλλά και σε όσα µπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραµµάτων της προτεινόµενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: οι φοιτητές µε άρτιο αριθµό µητρώου σε πεντε από τις άρτια αριθµηµένες Ασκήσεις Προβληµατα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων (δηλ.απο κάθε οµαδα πεντε) και οι φοιτητές µε περιττό αριθµό µητρώου σε τέσσερις από τις περιττά αριθµηµένες Ασκήσεις Προβληµατα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων (δηλ.απο κάθε οµαδα πεντε) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 1 Η ΠΡΟΟ Ο ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΑ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΑΡΑ ΤΑ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ Ι ΑΓΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΝΤΟΣ ΥΛΗΣ!! Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #1 θα πρέπει να παραδοθεί την ευτερα 24 Νοεµβριου 2014 και ώρες 9.00-12.00 στο Εργαστήριο Μαθηµατικών. Ρόδος, Τετάρτη 08 Νοεµβρίου 2014 Για το Εργαστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και Πολυµέσων Ευγένιος Αυγερινός ηµητρα Ρεµουνδου Ελενη Χρυσαφινα 1

2

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Α 1) Τι ονοµάζοµε διµελή σχέση από ένα σύνολο Α προς ένα σύνολο Β ; Τι ονοµάζοµε σχέση µέσα σ ένα σύνολο Α ; 2) R είναι µια σχέση από το Α προς το Β. Τι ονοµάζοµε αντίστροφο αυτής της σχέσεως και πως την παριστάνοµε; 3) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται ανακλαστική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µια τέτοιας σχέσεως; 4) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται ταυτοτική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µιας τέτοιας σχέσεως; 5) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται συµµετρική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µιας τέτοιας σχέσεως; 6) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται αντισυµµετρική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µιας τέτοιας σχέσεως; 7) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται µεταβατική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µια τέτοιας σχέσεως; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Β 1) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α λέγεται σχέση ισοδυναµίας; 2) R είναι µια σχέση ισοδυναµίας µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Πότε δύο στοιχεία x και y του Α λέµε ότι είναι ισοδύναµα ως προς την σχέση R; 3) R είναι µια σχέση ισοδυναµίας µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Τι ονοµάζοµε κλάση ισοδυναµίας ενός στοιχείου x του Α ως προς την σχέση R ; 4) Μια σχέση ισοδυναµίας r µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α ορίζει άραγε ένα διαµερισµό του συνόλου Α; Αν ναι, ποια είναι τα στοιχεία (σύνολα) αυτού του διαµερισµού; 5) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α είναι διάταξη (σχέση διατάξεως) µε ευρεία σηµασία; ΟΜΑ Α Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. (α) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι ανακλαστική; (γ) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι συµµετρική; (δ) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι αντισυµµετρική; (ε) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι µεταβατική; Υποτίθεται Α. 2. Να σχεδιασθούν και να συγκριθούν τα γραφήµατα των δύο σχέσεων που ορίζονται µέσα στο σύνολο: Α = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12} από τις συνθήκες: p 1(x, y) = x είναι το τρίτο του y και p 2 (x, y) = x είναι το τριπλάσιο του y αντιστοίχως. Κατά τι διαφέρουν τα γραφήµατα των δύο σχέσεων; 3. Στην παρακάτω εικόνα δίνεται ένα σύνολο : Α = {α, β, γ} α β γ β α γ τριών ευθειών του επιπέδου. Να σχηµατισθούν τα γραφήµατα των σχέσεων, που ορίζονται µέσα στο σύνολο Α από τις συνθήκες: p 1(x, y) = x είναι παράλληλος µε ευρεία σηµασία προς την y και 3

p 2(x, y) = x δεν είναι παράλληλος µε ευρεία προς την y αντιστοίχως. 4.0 Να σχηµατίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της την σχέση R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Α = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} Ως εξής: ( x, y) A A : (x, y) R x y = 2 Να σχεδιάσετε το γράφηµα και το καρτεσιανό διάγραµµα αυτής της σχέσεως και να εξετάσετε, αν είναι ανακλαστική και συµµετρική. 4. Θεωρούµε τα σύνολα : Α = {2, 6, 8, 10, 12} και Β = {5, 9, 10, 11, 15} Η συνθήκη : p (x, y) = (x, y) A B και y = x + 3 ορίζει µια σχέση R από το Α προς το Β. Να αναγραφούν τα ζεύγη που αποτελούν την R. Ποια είναι η αντίστροφος σχέση R -1 της R και πως µπορεί να διατυπωθεί µια συνθήκη, που να ορίζει την R -1 ; Να καταρτισθούν δύο πίνακες µε διπλή είσοδο, ένας για την R και ένας για την R -1 5. Αν R είναι µια οποιαδήποτε σχέση µέσα σ ένα σύνολο Α και Ι Α είναι η ταυτοτική σχέση µέσα στο ίδιο σύνολο, τότε είναι η σχέση R I A ανακλαστική ; 6. Να καθορίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της και να σχεδιάσετε το γράφηµα της σχέσεως R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Ε = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Από την ισοδυναµία: (x, y) E E : (x, y) R x + y x y = 1 Είναι η σχέση αυτή συµµετρική ; 7. Q είναι το σύνολο των ρητών αριθµών, δηλ. των αριθµών της µορφής a, όπου β α Z και β Ζ* = Ζ {0}. Μέσα στο σύνολο Q θεωρούµε την σχέση R, που ορίζεται ως εξής: (x, y) Q Q : (x, y) R x y = 1 Να εξετάσετε, αν η σχέση αυτή είναι ανακλαστική, συµµετρική, αντισυµµετρική, µεταβατική. 8. Να σχηµατίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της την σχέση R που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Α = {0, 1, 2, 3, 4} ως εξής : (x, y) Α 2 : (x, y) R [(y = x + 2) v (y = x 2)] Να σχεδιάσετε το γράφηµα και το καρτεσιανό διάγραµµα αυτής της σχέσεως και να εξετάσετε, αν είναι ανακλαστική και συµµετρική. 9. Να σχηµατίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της την σχέση R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο. Α = {1, 6, 12, 18, 24, 36} ως εξής : (x, y) Α Α : x R x και y έχουν Μ.Κ.. το 6. Να σχεδιάσετε το γράφηµα αυτής της σχέσεως και να εξετάσετε, αν είναι ανακλαστική και συµµετρική. 10. Ένας µαθητής έκανε τον εξής συλλογισµό: Αν θεωρήσουµε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α, που είναι συµµετρική και µεταβατική, δηλ. ισχύουν οι προτάσεις : (x, y) Α Α : (x, y) R ( y, x) R και (x, y, z) Α Α Α : (x, y) R Λ (y, z) R (x, z) R, τότε θα είναι και ανακλαστική, διότι : (x, y) Α Α : (x, y) R Λ ( y, x) R (x, x) R. Είναι ο συλλογισµός του ορθός ; 4

11. R είναι µια σχέση µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1. Αν η R είναι συµµετρική, τότε η R -1 είναι συµµετρική 2. Αν η R είναι αντισυµµετρική, τότε η R -1 είναι αντισυµµετρική. 12. R είναι µια σχέση µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1. Αν η R είναι ανακλαστική, τότε R R -1. 2. Αν η R είναι συµµετρική, τότε R R -1. 13. R και R είναι δύο σχέσεις µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1. Αν µια τουλάχιστον από τις R και R είναι ανακλαστική, τότε R R είναι ανακλαστική. 2. Αν οι R και R είναι ανακλαστικές, τότε R R είναι ανακλαστική. 14. R και R είναι δύο σχέσεις µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει : 1) Αν οι R και R είναι αντισυµµετρικές, τότε η R R είναι αντισυµµετρική. 2) Αν οι R και R είναι αντισυµµετρικές τότε η R R είναι αντισυµµετρική. 15. R και R είναι δυο σχέσεις µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1) Αν οι R και R είναι µεταβατικές, τότε η R R είναι µεταβατική. 2) Αν οι R και R είναι µεταβατικές, τότε η R R είναι µεταβατική. 16. Να αναφέρεται παράδειγµα µιας σχέσεως µέσα σ ένα σύνολο Α, η οποία να είναι : 1) ανακλαστική και συµµετρική 2) ανακλαστική και αντισυµµετρική 3) ανακλαστική και µεταβατική 4) συµµετρική και µεταβατική 5) αντισυµµετρική και µεταβατική. 17. Να αναφέρεται παράδειγµα µιας σχέσεως µέσα σ ένα σύνολο Α, η οποία να είναι : 1) ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική 2) ανακλαστική, συµµετρική και αντισυµµετρική 3) ανακλαστική, αντισυµµετρική και µεταβατική 4) αντιανακλαστική αντισυµµετρική, και µεταβατική 5) Τέλος να αναφέρετε παράδειγµα σχέσεως σ ένα µη κενό σύνολο Α, η οποία δεν είναι ούτε ανακλαστική ούτε συµµετρική ούτε αντισυµµετρική ούτε µεταβατική. 18. Θεωρούµε το σύνολο : Α = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Και την σχέση µέσα στο Α Α, που ορίζεται ως εξής : (x, y), (z, ω) Α Α: (x, y) R (z, ω) min (x, y) min (z, ω), όπου µε min (x, y) παριστάνοµε τον µικρότερο από τους x και y, όταν x y και τον x, όταν x = y. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς: (-1, 2) R (0, 3), (2, 3) R (1, -2), (0, 0) R (0, 1), (0, 1) R (0, 0), (-1, 3) R (0, 2). Είναι η σχέση αυτή αντιανακλαστική; ανακλαστική; συµµετρική; αντισυµµετρική; µεταβατική; 19. Οι σχέσεις στα αντιστοίχως αναφερόµενα; σύνολα, που ορίζονται από τους παρακάτω προτασιακούς τύπους στα αντίστοιχα καρτεσιανά γινόµενα, είναι ανακλαστικές; αντιανακλαστικές; συµµετρικές; αντισυµµετρικές; µεταβατικές; 1) χ y, x y, µέσα στο R. 2) «x και y δεν είναι πρώτοι προς αλλήλους», µέσα στο Ν {1}. 5

3) «x είναι πολλαπλάσιο του y», µέσα στο Ν. 4) x > y, x < y, µέσα στο Z. 5) α β > k, όπου k δοσµένος, α, β, k N, µέσα στο Ν. 20. Να ευρεθεί το είδος των παρακάτω σχέσεων (δηλ. ποιες απ αυτές είναι ανακλαστικές, συµµετρικές, κ.λ.π.) µέσα στο σύνολο : Ε = {x x N : x 12}, Που ορίζονται µέσα στο Ε Ε από τις παρακάτω συνθήκες: 1) xy = 24 4) x 2 4y 2 = 0 2) xy = 12 5) x 2y = 0 3) x 2 + y 2 100 6) x + 3y = 1 21. Θεωρούµε τις σχέσεις : S = { (x, y) R R : 2x 3y = 1 } T = { (x, y) R R : 3x 2y = 21 } Παριστάνει το σύνολο S T µια αντιανακλαστική, αντισυµµετρική και µεταβατική σχέση. ΟΜΑ Α Ε ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Θεωρούµε το σύνολο: Α = {α, β, γ, δ, ε, ζ} του οποίου τα στοιχεία είναι οι παρακάτω προτάσεις: Α1) η Αθήνα είναι πόλις Β) ο αριθµός 2 είναι άρτιος Γ) ο αριθµός 1 είναι άρτιος ) 3 < 6 Ε) 2 + 5 = 3 Ζ) κάθε τετράγωνο είναι ρόµβος Η συνθήκη: p(x, y) = (x, y) Α Α και (x y) ορίζει µια σχέση R στο σύνολο Α. Να καθορίσετε την R µε αναγραφή των στοιχείων της και να εξετάσετε αν είναι σχέση ισοδυναµίας. 2. Ποια είναι η σχέση R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Α = {1, 2, 3, 4} Από την συνθήκη: p 1(x, y) = (x, y) Α Α και x + y = y + x; Ποια είναι η σχέση R, που ορίζεται µέσα στο ίδιο σύνολο Α από την συνθήκη: p 2(x, y) = (x, y) Α Α και xy = yx; Τι παρατηρείτε; 3. Να αποδείξετε ότι στο σύνολο Q των ρητών αριθµών η σχέση R, που ορίζεται ως εξής: είναι σχέση ισοδυναµίας. x, y x ' Q : y ' x R y x (x, y p(x, y) = Z µε y 0) y x ' xy = yx y ' 5. Στο σύνολο R των πραγµ. Αριθµών θεωρούµε την σχέση S, που ορίζεται ως εξής: (x, y) R R : x S y x - y = x y (1) Να αποδείξετε ότι η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας µέσα στο R και να σχεδιάσετε σε καρτεσιανό ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων το σύνολο των σηµείων M(x, y) του επιπέδου, που ικανοποιούν την ισότητα (1), η οποία ορίζει την σχέση S µέσα στο σύνολο R, δηλ. να σχεδιάσετε το διάγραµµα της S. 6. Θεωρούµε το δυναµοσύνολο (E) του συνόλου: Ε = {α, β, γ} Και την σχέση R στο (E), που ορίζεται ως εξής: 6

(Α, Β) (E) (E): (Α, Β) R A {α} = Β {α} 1) Να αποδείξετε ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας στο (E). 2) Να αναγράφουν τα ζεύγη που αποτελούν την R, να σχεδιάσετε το διάγραµµα του καρτεσιανού γινοµένου (E) (E) και να ξεχωρίσετε σ αυτό µ ένα κόκκινο περίγραµµα το διάγραµµα της σχέσεως R. Τέλος να καθορίσετε τις κλάσεις ισοδυναµίας (mod R) και το σύνολο πηλίκο. 7. Να αποδείξετε ότι: αν R και R είναι δύο σχέσεις ισοδυναµίας µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α, τότε και η σχέση R R είναι σχέση ισοδυναµίας µέσα στο Α. 8. Αν R 3 είναι το σύνολο των σηµείων του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, Ρ το σύνολο των σηµείων ενός ορισµένου επιπέδου του R 3 και P c το συµπλήρωµα του Ρ ως προς το R 3 και, δηλ. P c = R 3 P, τότε να αποδείξετε ότι η σχέση στο P c : S = {(x, y) P c P c : (ευθύγραµµο τµήµα) Ρ = }, ηλ. η σχέση S, που ορίζεται µέσα στο σύνολο P c από την συνθήκη: (ευθύγραµµο τµήµα x, y) Ρ = είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο P c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΩΝ Ι Ποια είναι τα αληθοσύνολα των προτασιακών τύπων. ώστε τις απαντήσεις σας µε δύο τρόπους παράστασης. 1. P(x) : 5(x 2-1) = 120 2. q(x) : x 2 1 24 3. R(x) : 6x 2 + 5x = 0 4. α(x) : 7x 2 + 1 > 0 5. β(x) : 2x 2-18 0 6. c(x) : x 2 + 9 = 0 7. d(x) : -x 2 + 2x + 3 0 8. h(x) : -6x 2 + 11x 4 < 0 3x 1 24x + 2 9. f(x) : {(3x 1) 24x π x Z} 45 2x > 7x 10. g(x) : 2(x + 4) (x + 6) < 12 x x N 11. k(x) : 6 x + 3 5 > 2(1 + x) x Z 12. l(x) : 3x 1 < x + 5 2-2 x x + 2 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΩΝ ΙΙ 13. m(x) : x - 2 1 > 2 x + 1 x - 3 1 3 x - 1 14. n(x) : x 10 x = - 3 x - 2 x Z 15. P 1 (x) : x 2 > 1 x 2 3 0 16. P 2 (x) : 5x 2x 2 x N 7

17. P 3 (x) : x < 3 x 2 + 3x 4 < 0 18. P 4 (x) : x 2 + 4 > 4x x Z 19. P 5 (x) : x + x+4 2 5x + 2 x N 2 1 x 1 x 20. P 6 (x) : x - > + 1 x - - 1 2 2 3 3 21. P 7 (x) : x 2 + 1 > 0 x N 22. P 8 (x) : x 2 x + 1 > 0 x(x + 4) 5 23. P 9 (x) : x 2 4 < 12 x Z 24. P 10 (x) : -2x 2 + 5x 3 0 x N 25. P 11 (x) : x 2 4x + 4 0 x Z ΟΜΑ Α Ζ 1. Ποσα συνολα εχει το δυναµοσυνολο του Β = {Ανατολή, ύση, Βορράς, Νότος} 2. Ποσα και ποια του Γ = {11, 17, 19}, 3. Ποσα του = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, ποσα απ αυτά είναι 3µελη και ποια. 4. Είναι αληθεια ότι το δυναµοσυνολο καποιου συνολου είναι κενο; 5. Πόσες διαµερίσεις που κάθε µια να αποτελείται από 4 σύνολα µπορούµε να βρούµε σε ένα 7µελες σύνολο. 6. Ποσες είναι ολες οι διαµερισεις που µπορουµε να φτιαξουµε σε ένα τριµελες συνολο? ΟΜΑ Α Η ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ένας σκύλος κυνηγάει µιαν αλεπού, οποία προηγείται κατά 220 δικά της βήµατα. Όταν ο σκύλος κάνει 3 βήµατα η αλεπού κάνει 4, αλλά 7 βήµατα του σκύλου ισοδυναµούν µε 11 βήµατα της αλεπούς. Θα φτάσει ποτέ ο σκύλος την αλεπού; Αν ναι, µετά από πόσα βήµατά του θα συµβεί αυτό; 2. Μια συνάντηση άρχισε ανάµεσα στις 3 και 4 το απόγευµα, και τέλειωσε µεταξύ των 6 και 7. Στη συνάντηση αυτή οι δείκτες του ρολογιού τις στιγµές της έναρξης και της λήξης αντάλλαξαν θέση. Τί ώρα άρχισε η συνάντηση; 3. Στη διαθήκη του ένας πατέρας άφησε στους τρεις γιους του 17 αγελάδες, και ζήτησε να τις µοιραστούν ως εξής: Ο πρώτος να πάρει τις µισές (!), ο δεύτερος το ένα τρίτο, κι ο τρίτος το ένα ένατο. Φυσικά δε κατάφεραν να βρουν άκρη µ αυτή την εντολή. Ένας γνωστός τους µαθηµατικός προθυµοποιήθηκε να τους βοηθήσει. Για το σκοπό αυτό έφερε µαζί του µια δική του αγελάδα, και τους µοίρασε το σύνολο πια των 18 αγελάδων, κάτι που ήταν εύκολο να γίνει, αλλά και που ο καθένας από τους τρεις κληρονόµος το θεώρησε ευνοϊκό για τον εαυτό του. Τί συνέβη, και γιατί; 4. Η φυλακή ενός βασιλείου του περασµένου αιώνα είχε 1000 κελιά, αριθµηµένα από το 1 ως και το 1000. Κάθε κελί είχε έναν φυλακισµένο, και για κάθε φυλακισµένο υπήρχε ένας ξεχωριστός φύλακας. Σε µια επανάσταση, µετά την ανατροπή του βασιλιά, δόθηκε η διαταγή να απελευθερωθούν ορισµένοι φυλακισµένοι, µε βάση τον εξής κανόνα: 0) κάθε φύλακας θα περάσει µπροστά από όλα τα κελιά µια φορά, 1) ο πρώτος φύλακας θα ανοίξει όλα τα κελιά, 2) ο δεύτερος θα κλείσει κάθε δεύτερο κελί, δηλαδή όλα µε άρτια αρίθµηση, 3) ο τρίτος θα σταµατάει µόνο σε κάθε τρίτο κελί, και θα το κλείνει αν είναι ανοιχτό ή θα το ανοίγει αν είναι κλειστό, 4) ο τέταρτος όµοια θα σταµατά σε κάθε τέταρτο κελί και θα το κλείνει αν ήταν ήδη ανοιχτό και θα το ανοίγει αν ήταν κλειστό, και 5) µε ανάλογο τρόπο θα ενεργήσουν ο πέµπτος, ο έκτος κλπ µέχρι και ο χιλιοστός φύλακας. Ποιοι φυλακισµένοι θα απελευθερωθούν; 5. Σε δύο στρατιώτες ανατέθηκε να µεταφέρουν ένα µήνυµα διά µέσου µιας ερήµου, την οποία µπορεί κανείς να διασχίσει σε 9 ηµέρες. Αν καθένας από τους δύο στρατιώτες µπορεί να 8

κουβαλήσει µαζί του τρόφιµα µόνο για 12 ηµέρες, είναι δυνατό να µεταφερθεί το µήνυµα, και οι στρατιώτες να επιστρέψουν εκεί από όπου ξεκίνησαν, χωρίς να στερηθούν από τρόφιµα; 6. Ποιο είναι το ψηφίο των µονάδων του αριθµού Ν = 1! + 2! + 3! + + 17! ; 7. Αν όλες οι ακµές ενός κύβου αυξηθούν κατά 30%, τότε κατά πόσο τοις εκατό αυξάνεται η επιφάνειά του, και κατά πόσον ο όγκος του; κατά πόσο πρέπει να αυξηθεί η ακµή ενός κύβου, ώστε ο όγκος του να διπλασιαστεί; 8. Ποιος κατά κάποιο λογικό τρόπο θα µπορούσε να είναι ο έβδοµος όρος της ακολουθίας αριθµών: 3, 7, 16, 32, 57, 93, _ ; 9. Κάποια χρονιά, ο Γενάρης είχε τέσσερις Τρίτες και τέσσερα Σάββατα. Ποια µέρα της εβδοµάδας ήταν η 1η αυτού του µήνα; 10. Η Άννα, ο Βασίλης και ο Γιώργος βαδίζουν στον ίδιο δρόµο και προς την ίδια κατεύθυνση. Μια κάποια χρονική στιγµή t, ο Γιώργος βρίσκεται 300 m πιο µπροστά από το Βασίλη, και ο Βασίλης 100 m πιο µπροστά από την Άννα. Μετά από 6 min η Άννα φτάνει τον Βασίλη, και µετά από άλλα 6 min φτάνει και τον Γιώργο. Σε πόσο χρόνο από τη στιγµή t ο Βασίλης θα φτάσει το Γιώργο; 11. Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι αριθµοί; Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι αριθµοί που περιέχουν µόνο άρτια ψηφία; Πόσοι τριψήφιοι δεν περιέχουν το ψηφίο 7, αλλά περιέχουν τουλάχιστο µια φορά το 8; 12. Έχουµε έναν αριθµό πουλιών και αγοράσαµε µερικά κλουβιά, για να τα βάλουµε µέσα. Αν βάλουµε 7 πουλιά σε κάθε κλουβί, τότε περισσεύει ένα πουλί. Αν βάλουµε 9 πουλιά σε κάθε κλουβί, τότε περισσεύει ένα κλουβί. Πόσα είναι τα πουλιά και πόσα τα κλουβιά; 13. Μια βρύση γεµίζει µια δεξαµενή σε 15 λεπτά της ώρας, µια δεύτερη σε 20 λεπτά, και µια τρίτη σε 30. Αν είναι ανοιχτές και οι τρεις βρύσες, σε πόσο χρόνο θα γεµίσουν τη δεξαµενή; 14. Ένας γεωργός έχει στην αυλή του κότες και κουνέλια. Όλα τα ζώα είναι 50, ενώ τα πόδια τους συνολικά είναι 140. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια; 15. Πόσα κιλά καφέ αξίας των 900 δραχµών ανά κιλό και πόσα των 600 πρέπει να αναµίξουµε, ώστε να πάρουµε µίγµα 50 κιλών και αξίας 720 δραχµών ανά κιλό; 16. Κάποιος έκανε µια πορεία 5 ωρών. Αρχικά βάδισε σ έναν επίπεδο δρόµο, ύστερα σε έναν ανηφορικό, και µετά επέστρεψε από τον ίδιο δρόµο µέχρι το σηµείο που ξεκίνησε. Στον επίπεδο δρόµο η ταχύτητά του ήταν 4 km/h, στον ανήφορο ήταν 3 km/h, και στον κατήφορο 6 km/h. Ποιο ήταν το συνολικό µήκος του δρόµου που βάδισε; 9