Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2

Transcript

1 Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx Ζ. (7. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f x α x Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης α β γ α f x x x, 0

2

3 Ζ Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας Θεωρία 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f(x) αx είναι άρτια. α 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Για κάθε x R, x R και f( x) α( x) αx f(x). Επομένως η f είναι άρτια. Άρα η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς άξονα y y. Σημείωση: Η παραπάνω συναρτήση γίνεται ευθεία (y = 0) που ταυτίζεται με τον άξονα x x όταν α = 0. Θεωρία. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση: f με f(x) = αx, α 0 Απάντηση: Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Έστω x1,x R με x1 x τότε: Δ f(x ) f(x1) αx αx1 α(x x1) α(x x1)(x x1) (1) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : 1η περίπτωση: Έστω α > 0 Αν 0 x 1 x τότε:

4 368. Μελέτη συναρτησης f(x) = αx (1) 0, αφού x x 0 και x 0 Άρα f γνησίως αύξουσα στο 0, Αν x 0 τότε: x1 1 x1 (1) 0 αφού x x1 0 και x x1 0 Άρα f γνησίως φθίνουσα στο,0. Συνοπτικά τα συμπεράσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: α > 0 η περίπτωση: Έστω α < 0, κατ ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: f γνησίως ί στο 0, f γνησίως ύ στο,0 Συνοπτικά τα συμπεράσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: α < 0 Θεωρία 3. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με f(x) αx, α 0 Απάντηση: Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Απ την θεωρία () έχουμε: α) όταν α > 0 η f γνησίως φθίνουσα στο (,0] και f γνησίως αύξουσα στο [0, ) οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 το f(0) α 0 0 ο β) Όταν α < 0 η f γνησίως αύξουσα στο (,0] και f γνησίως φθίνουσα στο [0, ) οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 το f(0) α 0 0. ο

5 Μελέτη συνάρτησης f(x) = αx 369. Ερωτήσεις κατανόησης - Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα 1 Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσεις: f(x) x, g(x) 3x Λύση: Το πεδίο ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων είναι το R. Η μονοτονία κάθε συνάρτησης της μορφής: f(x) αx εξαρτάται απ το α. f γνησίως φθίνουσα στο (,0], f γνησίως αύξουσα στο [ 0, ) αφού α = > 0 g γνησίως αύξουσα στο (,0], g γνησίως φθίνουσα στο [ 0, ) αφού α = -3 < 0 Παράδειγμα Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση: f(x) ( λ ) x Λύση : Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R. Aν λ 0 λ λ ή λ τότε f γνησίως φθίνουσα στο (,0] και f γνησίως αύξουσα στο [ 0, ) Aν λ 0 λ λ τότε f γνησίως αύξουσα στο (,0] και f γνησίως φθίνουσα στο [ 0, ) Aν λ 0 λ λ ή λ τότε η f είναι σταθερή στο R με f(x) = 0. Παράδειγμα 3 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) x Λύση: Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Επειδή > 0, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και f γνησίως αύξουσα στο [0, ). Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 το f(0) = 0.

6 370. Μελέτη συναρτησης f(x) = αx Συνοψίζοντας λοιπόν έχουμε: Να κάνετε την μελέτη και την γραφική παράσταση της συνάρτησης: f(x) αx, α 0 Απάντηση: 1. Το πεδίο ορισμού της f είναι το R.. Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y ως άρτια 3. Αν α > 0 τότε f γνησίως φθίνουσα στο (,0] και f γνησίως φθίνουσα στο [0, ) και παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 το 0. Αν α < 0 τότε f γνησίως αύξουσα στο (,0] και f γνησίως φθίνουσα στο [0, ) και παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 το Όταν α > 0 και x ή τότε f (x) Ενώ όταν α < 0 και x ή τότε f (x) 5. Γραφική παράσταση Σημείωση: Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης ονομάζεται παραβολή.

7 Μελέτη συνάρτησης f(x) = αx 371. Παράδειγμα 4 Να μελετηθεί η συνάρτηση 3 f(x) x Λύση: 1. Η f έχει πεδίο ορισμού το R.. Η f είναι περιττή αφού για κάθε x R και x R, επίσης f ( x) ( x) x f (x). Επομένως είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. 3. Για κάθε x1, x R με x1 x 3 3 Έχουμε x ή f(x ) f(x ), επομένως f γνησίως αύξουσα στο R. x Ακρότατα δεν υπάρχουν αφού f γνησίως αύξουσα στο (, ) Όταν x = 100, f(100) = , x 10, f (10 ) 10 άρα όταν x,f (x) Όταν x 100,f ( 100) , x 10,f ( 10 ) 10 άρα όταν x,f (x) 6. Γραφική παράσταση:

8 37. Μελέτη συναρτησης f(x) = αx Ερωτήσεις κατανόησης - Ασκήσεις για λύση 1. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις Σωστή ή Λάθος: i) Aν η παραβολή y αx,α 0 διέρχεται από το σημείο Α(-,-4) τότε είναι α>0. ii) H γραφική παράσταση της παραβολής στο ο τεταρτημόριο. y α x,α 0, είναι πάντα στο 1ο και iii) Η παραβολή y = (x) και η ευθεία y=4 τέμνονται σε σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x x. iv) Η παραβολή y = (5x) -1 έχει ελάχιστο το -1. v) H ισότητα y=(4-x)(4+x) παριστάνει παραβολή που έχει μέγιστη τιμή το 16.. Να κάνετε την μελέτη και την γραφική παράσταση της συνάρτησης: x 1, αν x f(x)= x, αν x x 1, αν x 3. Όμοια για τις συναρτήσεις: -x, x 1 i) f(x)= x 1, x 1 4. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 3 3x και gx f x συντεταγμένων. 3x και να τις παραστήσετε στο ίδιο σύστημα