ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012"

Transcript

1 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R ορίζουµε µια σχέση R R R ως εξής : x R y x y Q Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R, και να περιγράψετε το σύνολο πηλίκο R/R. Λύση. Χάριν απλότητας γράφουµε : αντι R, [x] αντί [x] R, κτλ. Για κάθε x, y, z R έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα δηλαδή x x : Επειδή x x = 0 Q έπεται ότι x x. Συµµετρική ιδιότητα δηλαδή x y = y x : Αν x y τότε x y Q = y x Q = y x Μεταβατική ιδιότητα δηλαδή x y και y z = x z : Επειδή x y και y z, έχουµε x y Q = x z Q = x z y z Q Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R. Εστω x R. Τότε η κλάση ισοδυναµίας [x] του x ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] = { y R x y } = { y R x y Q } = { y R x y = r Q } = { x r R r Q } = { x + r R r Q } := x + Q και άρα το σύνολο πηλίκο του R ως προς την R είναι R/R = { [x] R x R } = { x + Q x R }

2 2 Ασκηση 2. Στο σύνολο των ϱητών αριθµών Q ορίζουµε µια σχέση R Q Q ως εξής : x R y x y Z Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q, και υπάρχει µια 1-1 και επί επεικόνιση f : Q/R Q [0, 1) Λύση. Χάριν απλότητας γράφουµε : αντι R, [x] αντί [x] R, κτλ. Για κάθε x, y, z Q έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα δηλαδή x x : Επειδή x x = 0 Z έπεται ότι x x. Συµµετρική ιδιότητα x y = y x : Αν x y τότε x y Z = y x Z = y x Μεταβατική ιδιότητα δηλαδή x y και y z = x z : Επειδή x y και y z έχουµε x y Z = x z Z = x z y z Z Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q. Εστω x Q. Τότε η κλάση ισοδυναµίας του x ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [x] = { y Q x y } = { y Q x y Z } = { y Q x y = m Z } = { x m Q m Z } = { x + m Q m Z } := x + Z και άρα το σύνολο πηλίκο του Q ως προς την R είναι Q/R = { [x] R x Q } = { x + Z x Q } Για να περιγράψουµε αναλυτικότερα το σύνολο-πηλίκο Q/R, σταθεροποιούµε έναν ϱητό αριθµό x = p q, όπου µπορούµε να υποθέσουµε ότι q > 0. Από την Ευκλείδια διαίρεση έπεται ότι υπάρχουν α, β Z έτσι ώστε p = α q + β µε 0 β < q. Εποµένως ϑα έχουµε 0 β q < 1, και τότε Εποµένως x = p q = a q + β q = a + β q = x β q = a Z = x R [x] = [ β q ], όπου β Q [0, 1) q Η παραπάνω ανάλυση µας επιτρέπει να ορίσουµε µια αντιστοιχία β q f : Q/R Q [0, 1), [ p q ] f([p q ]) = β q όπου p = α q + β και 0 β q < 1. Θα δείξουµε ότι η f είναι µια καλά ορισµένη απεικόνιση :

3 3 Καλά ορισµένη: Εστω [x], [y] Q/R, όπου x = p p q και y = q, και έστω ότι [x] = [y], δήλαδή [ p q ] = [ p q ]. Επειδή όπως παραπάνω µπορούµε να γράψουµε [ p q ] = [β ] και [p q q ] = [β q ] όπου p = α q + β, 0 β < q και p = α q + β, 0 β < q, έπεται ότι [ β q ] = [β q ] = β q β q = k Z = β q = β q + k = 0 β q + k < 1 Οµως αφού k Z από την τελευταία ανισότητα έπεται ότι k = 0 και άρα β q = β q = f([ p q ]) = f([p ]) = f([x]) = f([y]) q Εποµένως η f είναι µια καλά ορισµένη απεικόνιση. Θα δείξουµε ότι η f είναι 1-1 και επί. Ενα προς ένα : Εστω f([ p p q ]) = f([ q ]) όπου p q = α + β q έχουµε : Συνεπώς η f είναι ένα προς ένα. p q p q = α α Z = [ p q ] = [p q ] p και q = α + β q. Τότε β q = β q και άρα Επί : Για κάθε ϱητό p q Q [0, 1) έχουµε ότι f([ p q ]) = p q και άρα η f είναι επί. Αρα δείξαµε ότι υπάρχει µια καλά ορισµένη 1-1 και επί επεικόνιση f : Q/R Q [0, 1). Ασκηση 3. Θεωρούµε το υποσύνολο S = { z C z = 1 } του συνόλου C των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Στο C ορίζουµε µια σχέση R ως εξής : z R w zw 1 S 1. Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο C, και ακολούθως να περιγραφεί το σύνολοπηλίκο C /R. 2. Είναι το υποσύνολο S κλειστό ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C ; 3. Είναι η πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R; Λύση. Παρατηρούµε ότι : z R w zw 1 S zw 1 = 1 z w 1 = 1 z w 1 = 1 z = w. 1. Εστω y, z, w C. Εχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα : Αφού το µέτρο yy 1 = 1, δηλαδή yy 1 S, έπεται ότι y y. Συµµετρική ιδιότητα : Αν y z τότε ϑα έχουµε : yz 1 S = (yz 1 ) 1 S = zy 1 S = z y

4 4 Μεταβατική ιδιότητα : Εστω y z και z w. Τότε έχουµε yz 1 S = yz 1 zw 1 = yz 1 zw 1 = 1 = yz 1 zw 1 = 1 zw 1 S = yw 1 = 1 = yw 1 S = y w Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο C. Εστω z C. Τότε το σύνολο πηλίκο του C ως προς την R είναι C /R = { [z] R z C } όπου η κλάση ισοδυναµίας του z ως προς τη σχέση R είναι το ακόλουθο σύνολο : [z] = { w C z w } = { w C zw 1 S } = { w C zw 1 = 1 } = { w C 1 z w = 1} = { w C z = w } ηλαδή γεωµετρικά, η κλάση του z είναι ο κύκλος µε κέντρο το µηδέν στο µιγαδικό επίπεδο και ακτίνα το µέτρο του z. Αρα το σύνολο-πηλίκο C /R µπορεί να περιγραφεί γεωµετρικά ως το σύνολο όλων αυτών των οµόκεντρων κύκλών όπου κάθε ϕορά η ακτίνα του κύκλου ϑα είναι όσο και το µέτρο του αντίστοιχου µιγαδικού αριθµού. 2. Το υποσύνολο S είναι κλειστό ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C αφού αν z, w S τότε zw = z w = 1, δηλαδή zw S. 3. Για να είναι η πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R ϑα πρέπει για κάθε x, y, z, w C να ισχύει x R z και y R w = x y R z w Εύκολα δείχνουµε ότι αν xz 1 = 1 και yw 1 = 1 τότε το µέτρο xy(zw) 1 = 1 και άρα η πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C είναι συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R. Ασκηση 4. Να εξεταστεί, ποια από τα ακόλουθα υποσύνολα τού καρτεσιανού γινοµένου Z Z ορίζουν µια σχέση ισοδυναµίας φ επί του συνόλου των ακεραίων αριθµών Z και για κάθε φ να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας καθώς και η προκύπτουσα διαµέριση του συνόλου Z: (1) g 1 = {(z, z) z Z}, (2) g 2 = {(z, z + 1) z Z}, (3) g 3 = {(z + 1, z) z Z}, (4) g 4 = g 1 g 2, (5) g 5 = g 1 g 2 g 3 (6) g 6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, (7) g 7 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}, (8) g 8 = g 1 g 7, (9) g 9 = g 1 g 7 {(7, 8), (8, 7)}, (10) g 10 = g 1 g 7 {(3, 4), (4, 3)}. Λύση. (1) Το σύνολο g 1 = {(z, z) z Z} είναι σχέση ισοδυναµίας. Για κάθε z Z οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι [z] = {z} και άρα Z = z Z [z].

5 5 (2) Το σύνολο g 2 = {(z, z + 1) z Z} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας αφού για κάθε z Z το (z, z) / g 2. (3) Οµοια µε το σύνολο g 2 έχουµε ότι το σύνολο g 3 = {(z + 1, z) z Z} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας. (4) Το σύνολο g 4 = g 1 g 2 δεν είναι σχέση ισοδυναµίας δίοτι για παράδειγµα το στοιχείο (0, 1) g 4 ενώ το (1, 0) / g 4 και άρα δεν ισχύει η συµµετρική ιδιότητα. (5) Το σύνολο g 5 = g 1 g 2 g 3 είναι σχέση ισοδυναµίας επί του Z. (6) Το στοιχείο (1, 2) g 6 αλλά το (2, 1) / g 6 και άρα το σύνολο g 6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας. (7) Για παράδειγµα τα στοιχεία (1, 2), (2, 1) g 7 αλλά το (1, 1) / g 7 και άρα το σύνολο g 7 δεν είναι σχέση ισοδυναµίας. (8) Το σύνολο g 8 = g 1 g 7 είναι σχέση ισοδυναµίας και οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι [1] = [2] = [3] = {1, 2, 3} και τα µονοσύνολα [z] = {z} για κάθε z Z\{1, 2, 3}. (9) Το σύνολο g 9 = g 1 g 7 {(7, 8), (8, 7)} είναι σχέση ισοδυναµίας και οι κλάσεις ισοδυναµίας είναι [1] = [2] = [3] = {1, 2, 3}, [7] = [8] = {7, 8} και τα µονοσύνολα [z] = {z} για κάθε z Z\{1, 2, 3, 7, 8}. (10) Το σύνολο g 10 = g 1 g 7 {(3, 4), (4, 3)} δεν είναι σχέση ισοδυναµίας δίοτι τα στοιχεία (4, 3), (3, 1) g 10 αλλά (4, 1) / g 10. Ασκηση 5. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και {R i } i I µια οικογένεια σχέσεων ισοδυναµίας επί του X. Λύση. 1. Να δείξετε ότι η τοµή R = i I R i είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. 2. Να εξετάσετε αν η ένωση R = i I R i είναι σχέση ισοδυναµίας επί του X. 1. Εστω x X. Τότε το (x, x) R i, i I, και άρα (x, x) i I R i. Συνεπώς η σχέση R είναι ανακλαστική. Εστω (x, y) i I R i. Τότε έχουµε (x, y) R i, i I = (y, x) R i, i I = (y, x) i I R i και άρα η R είναι συµµετρική. Εστω (x, y) i I R i και (y, z) i I R i. Τότε για κάθε i I έχουµε (x, y) R i = (x, z) R i, i I = (x, z) R i (y, z) R i i I δηλαδή η R είναι µεταβατική. Εποµένως η τοµή R = i I R i είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. 2. Θα δείξουµε µε ένα παράδειγµα ότι γενικά η ένωση R = i I R i δεν είναι σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου X. Αντιπαράδειγµα : Εστω X = {1, 2, 3} και ϑεωρούµε τα παρακάτω υποσύνολα του καρτεσιανού γινοµένου X X : R 1 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1) } και R 2 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2) } Τότε R = R 1 R2 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) } Παρατηρούµε ότι τα (1, 2), (2, 3) R αλλά το (1, 3) / R και άρα η R δεν είναι σχέση ισοδυνα- µίας αφού δεν ισχύει η µεταβατική ιδιότητα. ιαπιστώστε όµως ότι στο παράδειγµα αυτό η R είναι ανακλαστική και συµµετρική. Γενικά εύκολα ϐλέπουµε ότι η ένωση σχέσεων ισοδυναµίας επί ενός µη-κενού συνόλου ικανοποιεί την ανακλαστική και συµµετρική ιδιότητα, αλλά όπως είδαµε στο παραπάνω αντιπαράδειγµα, δεν ικανοποιεί γενικά την µεταβατική ιδιότητα.

6 6 Ασκηση 6. Θεωρούµε το σύνολο X = { 1, 2, 3, 4}. Λύση. 1. Εστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), (4, 1), (2, 3) } X X Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. 2. Εστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 3), (4, 1) } X X Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. 1. Η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R ϑα πρέπει να περιέχει και τα Ϲεύγη (1, 3), (1, 4), (3, 2), (1, 2). Αρα ϑα πρέπει να περιέχει και τα ακόλουθα : (2, 1) R R = (2, 2) R (1, 2) R R (4, 2) R R (2, 4) R R (3, 1) R R (1, 4) R R = (4, 4) R = (3, 4) R = (4, 3) R Εποµένως η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R ϑα πρέπει να περιέχει όλα τα διατεταγµένα Ϲεύγη στοιχείων του X. Αρα R = X X 2. Οµοια όπως παραπάνω ϐρίσκουµε ότι η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R είναι R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 3), (3, 2), (1, 4), (4, 1) } Ασκηση 7. Να περιγραφούν όλες οι πιθανές σχέσεις ισοδυναµίας επί ενός συνόλου X µε 1, 2, 3, και 4 στοιχεία. Λύση. Υπενθυµιζουµε ότι υπάρχει µια 1-1 και επί αντιστοιχία µεταξύ των σχέσεων ισοδυναµίας R επί ενός συνόλου X και των διαµερίσεων επί του X: R X X R = X/R = { [x] R X x X } = { A i X i I } R = {(x, y) X X i I : x, y I } Θα χρησιµοποιήσουµε την παραπάνω αντιστοιχία για να περιγράψουµε τις Ϲητούµενες σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X = {a}. Τότε X X = {(a, a)} και άρα έχουµε µόνο µια σχέση ισοδυναµίας την R = X X. Εστω X = {a, b}. Τότε X X = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. Για να ϐρούµε όλες τις σχέσεις ισοδυναµίας του X αρκεί να ϐρούµε όλες τις διαµερίσεις του. Στη περίπτωση αυτή έχουµε τη διαµέριση 1 = {a, b} = X και άρα την σχέση ισοδυναµίας R 1 = X X, και τη διαµέριση 2 = {{a}, {b}} όπου η σχέση ισοδυναµίας είναι R 2 = {(a, a), (b, b)}.

7 7 Εστω X = {a, b, c}. Τότε οι διαµερίσεις του συνόλου X και οι αντίστοιχες σχέσεις ισοδυναµίας είναι 1 = { a, b, c } = X X R 1 = X X 2 = { {a, b}, {c} } R 2 = { (a, b), (b, a), (a, a), (b, b), (c, c) } 3 = { {a, c}, {b} } R 3 = { (a, c), (c, a), (a, a), (c, c), (b, b) } 4 = { {b, c}, {a} } R 4 = { (b, c), (c, b), (b, b), (c, c), (a, a) } 5 = { {a}, {b}, {c} } R 5 = { (a, a), (b, b), (c, c) } Εστω X = {a, b, c, d}. Τότε οι διαµερίσεις του συνόλου X είναι οι ακόλουθες : 1 = { a, b, c, d } = X X 2 = { {a, b, c}, d } 3 = { {b, c, d}, {a} } 4 = { {a, c, d}, {b} } 5 = { {a, b, d}, {c} } 6 = { {a, b}, {c, d} } 7 = { {a, c}, {b, d} } 8 = { {a, d}, {b, c} } 9 = { {a, b}, {c}, {d} } 10 = { {a, c}, {b}, {d} } 11 = { {a, d}, {b}, {c} } 12 = { {b, c}, {a}, {d} } 13 = { {b, d}, {a}, {c} } 14 = { {c, d}, {a}, {b} } 15 = { {a}, {b}, {c}, {d} } Εποµένως προκύπτουν 15 σχέσεις ισοδυναµίας R i, 1 i 15, επί του συνόλου X, η περιγραφή των οποίων αφήνεται ως άσκηση. Ασκηση Στο σύνολο N N, όπου N = { 0, 1, 2, 3, }, ορίζουµε την ακόλουθη σχέση R: (a, b), (c, d) N N : (a, b) R (c, d) a + d = b + c είξτε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο N N και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (N N)/R. 2. Στο σύνολο Z Z ορίζουµε την ακόλουθη σχέση S: (x, y), (a, b) Z Z : (x, y) S (a, b) xb = ya είξτε ότι η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Z Z και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (Z Z )/S. Λύση. 1. Για κάθε (a, b), (c, d), (e, f) N N έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα : Επειδή a + b = b + a έπεται ότι (a, b) (a, b). Συµµετρική ιδιότητα : Αν (a, b) (c, d) τότε a + d = b + c = c + b = d + a = (c, d) (a, b) Μεταβατική ιδιότητα : Αν (a, b) (c, d) και (c, d) (e, f) τότε έχουµε a + d = b + c c + f = d + e = a + d + f = b + c + f = b + d + e = a + d + f = b + d + e = (a, b) (e, f) Αρα η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο N N.

8 8 Εστω (a, b) N N. ακόλουθο σύνολο : Τότε η κλάση ισοδυναµίας του (a, b) ως προς τη σχέση R είναι το [(a, b)] = { (c, d) N N (a, b) (c, d) } = { (c, d) N N a + d = b + c } = { (c, d) N N a b = c d } Για να περιγράψουµε το σύνολο πηλίκο του N N ως προς την R ορίζουµε τη παρακάτω αντιστοιχία : f : (N N)/R Z, [(a, b)] R f([(a, b)] R ) = a b και ϑα δείξουµε ότι η f είναι µια καλά ορισµένη, ένα προς ένα και επί απεικόνιση. Καλά ορισµένη: Εστω [(a, b)] = [(c, d)]. Τότε (a, b) R (c, d) = a + d = b + c = a b = c d = f([(a, b)]) = f([(c, d)]) και άρα η f είναι καλά ορισµένη. Ενα προς ένα : Εστω f([(a, b)]) = f([(c, d)]). Τότε a b = c d = a + d = b + c = (a, b) (c, d) = [(a, b)] = [(c, d)] Συνεπώς η f είναι ένα προς ένα. Επί : Εστω k Z. Αν k 0 τότε f([(k, 0)]) = k 0 = k ενώ αν k < 0 τότε f([(0, k)]) = 0 ( k) = k. Αρα η f είναι επί. Εποµένως το σύνολο πηλίκο (N N)/R είναι σε 1-1 και επί αντιστοιχία µε το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών. 2. Για κάθε (x, y), (a, b), (c, d) Z Z έχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα : Επειδή x y = y x έπεται ότι (x, y) (x, y). Συµµετρική ιδιότητα : Αν (x, y) (a, b) τότε x b = y a = a y = b x = (a, b) (x, y) Μεταβατική ιδιότητα : Εστω (x, y) (a, b) και (a, b) (c, d). Τότε έχουµε x b = y a = x b d = y a d = y b c = (x d) b = (y c) b a d = b c = x d = y c διότι b 0 = (x, y) (c, d) Αρα η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Z Z. Για να περιγράψουµε το σύνολο πηλίκο του Z Z ως προς την S ορίζουµε τη παρακάτω αντιστοιχία : f : Z Z /S Q, [(x, y)] S f([(x, y)] S ) = x y και ϑα δείξουµε ότι είναι µια καλά ορισµένη, ένα προς ένα και επί απεικόνιση.

9 9 Καλά ορισµένη: Εστω [(x, y)] = [(a, b)]. Τότε (x, y) S (a, b) = x b = y a = x y = a b = f([(x, y)]) = f([(a, b)]) και άρα η f είναι καλά ορισµένη. Ενα προς ένα : Εστω f([(x, y)]) = f([(a, b)]). Τότε x y = a = x b = a y = (x, y) (a, b) = [(x, y)] = [(a, b)] b Συνεπώς η f είναι ένα προς ένα. Επί : Εστω p q Q. Αρα p, q Z µε q 0 και τότε f([(p, q)]) = p q. Αρα η f είναι επί. Εποµένως το σύνολο πηλίκο Z Z /S είναι σε 1-1 και επί αντιστοιχία µε το σύνολο των ϱητών αριθµών Q. Παρατήρηση. Η παραπάνω Ασκηση κατασκευάζει : (1) το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών από το σύνολο N των ϕυσικών αριθµών ως σύνολο-πηλίκο µιας κατάλληλης σχέσης ισοδυναµίας R επί του N N. (2) το σύνολο Q των ϱητών αριθµών από το σύνολο Z των ακεραίων αριθµών ως σύνολο-πηλίκο µιας κατάλληλης σχέσης ισοδυναµίας S επί του Z Z. Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι σχέσεις ισοδυναµίας R και S είναι συµβιβαστές µε τις πράξεις της πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού στο N και στο Z. Ασκηση 9. Εξετάστε στις παρακάτω περιπτώσεις αν η διµελής πράξη επί του συνόλου G είναι προσεταιριστική, µεταθετική, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, και αν κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. (1) G = Z και a b = ab. (2) G = Z και a b = a b. (3) G = R + και a b = ab. (4) G = Q και a b = ab. (5) G = R και a b = ab. (6) G = Z + και a b = 2 ab. (7) G = Z + και a b = a b. (8) G = C και a b = a + b. Λύση. (1) Ο πολλαπλασιασµός µεταξύ ακεραίων αριθµών είναι προσεταιριστικός. Το στοιχείο e = 1 είναι το ουδέτερο της πράξης αφού 1 x = x 1 = x, x Z. Οµως για κάθε x Z δεν υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιαµό που να ανήκει στο Z. Για παράδειγµα το 6 Z και από την εξίσωση 6 x = 1 έπεται ότι x = 1 6 και 1 6 / Z. (2) Για κάθε a, b, c Z έχουµε (a b) c = (a b) c = a b c και a (b c) = a (b c) = a b + c Συνεπώς η πράξη a b = a b δεν είναι προσεταιριστική. Εστω x G έτσι ώστε a x = a = x a για κάθε a G. Τότε από τη σχέση a x = a έχουµε ότι x = 0 ενώ από τη σχέση x a = a έπεται ότι x = 2a. Αρα ϑα έπρεπε το a = 0, που είναι άτοπο. Συνεπώς στο σύνολο G = Z η πράξη a b = a b δεν είναι προφανώς µεταθετική, δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και άρα ούτε αντίστροφο.

10 10 (3) Η προσεταιριστική και µεταθετική ιδιότητα προφανώς ισχύουν, το ουδέτερο στοιχείο είναι το e = 1 R +, και για κάθε a R + το αντίστροφο στοιχείο είναι το a = 1 a R+. (4) Η προσεταιριστική και η µεταθετική ιδιότητα ισχύουν, το ουδέτερο στοιχείο είναι το e = 1, αλλά αν κ λ Q τότε το αντίστροφο στοιχείο a = λ κ µπορεί να µην ορίζεται γιατί το κ µπορεί να είναι ίσο µε µηδέν. Αντίθετα όµως στο σύνολο Q κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο µε το πολλαπλασιαµό. (5) Πολύ εύκολα διαπιστώνουµε ότι το σύνολο G = R µε πράξη τον πολλαπλασιασµό a b = ab ικανοποίει τις Ϲητούµενες ιδιότητες. (6) Η πράξη είναι µεταθετική δίοτι a b = 2 ab = 2 ba = b a αλλά δεν είναι προσεταιριστική. Εστω x Z + έτσι ώστε a x = a = x a για κάθε a Z +. Τότε 2 ax = a και άρα 2 ax = a = (e ln 2 ) ax = a = e ax ln 2 = a = ax ln 2 = ln a = x = ln a a ln 2 Αντίστροφα έχουµε a ln a a ln 2 = 2a ln a a ln 2 = (e ln 2 ln a a ) a ln 2 ln a a ln 2. Εποµένως το ουδέτερο στοιχείο είναι το e = a a = ln a a ln 2 υπολογίζουµε το αντίστροφο στοιχείο a του a. (7) Για κάθε a, b, c Z + έχουµε ότι και (a b) c = a b c = (a b ) c = a bc a (b c) = a b c = a bc = e ln a = a Τέλος για κάθε a Z+ από τη σχέση Οµως υπάρχουν b, c Z + έτσι ώστε bc b c και άρα η πράξη δεν είναι προσεταιριστική. Επίσης η πράξη δεν είναι ούτε µεταθετική. Εστω x Z + έτσι ώστε a x = a = x a για κάθε a Z +. Τότε από τη σχέση a x = a έχουµε ότι a x = a και άρα x = 1, ενώ από τη σχέση x a = a έπεται ότι x a = a. Αρα για x = 1 έχουµε a = 1, που είναι άτοπο. Συνεπώς στο σύνολο G = Z + µε πράξη a b = a b δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και άρα ούτε αντίστροφο. (8) Η προσεταιριστική και µεταθετική ιδιότητα ισχύουν. Επίσης υπάρχει µιγαδικός αριθµός e = 0 + 0i = 0 C έτσι ώστε a e = a + 0 = a = 0 + a = e a για κάθε a C και άρα το e = 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο. Τέλος, για κάθε a = m + ni C υπάρχει ο µιγαδικός αριθµός a = a = m ni C έτσι ώστε a + ( a) = 0 και άρα κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. Ασκηση 10. Εστω G = R \ { 1} (δηλαδή G είναι το σύνολο όλων των πραγµατικών αριθµών εκτός από το 1), και ορίζουµε x, y G : x y = x + y + xy Να δείξετε ότι η παραπάνω απεικόνιση είναι µια πράξη επί του G. Να εξετασθεί αν η πράξη είναι προσεταιριστική ή µεταθετική. Να εξετασθεί αν υπάρχει στοιχείο e G έτσι ώστε : x e = x = e x, x G. Αν ένα τέτοιο στοιχείο υπάρχει, είναι µοναδικό ; Σ αυτή την περίπτωση να εξετασθεί αν για κάθε x G, υπάρχει y G έτσι ώστε : x y = e = y x. Τέλος να εξετασθεί αν η εξίσωση : έχει (µοναδική) λύση στο σύνολο G. a x = b Λύση. Εστω x, y G. Θα δείξουµε πρώτα ότι το x y G, δηλαδή ότι η είναι διµελής πράξη. Αν λοιπόν x y / G τότε x + y + xy = 1 = x (1 + y) + y + 1 = 0 = (x + 1) (y + 1) = 0 = x + 1 = 0 ή y + 1 = 0 και άρα x = 1 ή y = 1. Σε κάθε περίπτωση όµως έχουµε άτοπο διότι x, y G, δηλαδή x 1 και y 1. Εποµένως δείξαµε ότι η απεικόνιση ορίζει µια (διµελή) πράξη : G G G επί του G. Εστω x, y, z G. Εχουµε :

11 11 Η πράξη είναι προσεταιριστική: x (y z) = x (y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz = (x + y + xy) z = (x y) z Η πράξη είναι µεταθετική: x y = x + y + xy = y + x + yx = y x Αρα η πράξη είναι προσεταιριστική και µεταθετική. Ουδέτερο στοιχείο : Εστω στοιχείο e G έτσι ώστε x e = x = e x, x G. Τότε e (1 + x) = 0 x + e + ex = x = e + ex = 0 = = e = x 0 Το στοιχείο e = 0 G και x 0 = x x = x. Συνεπώς το e = 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης. Αντίστροφο στοιχείο : Εστω x G και υποθέτουµε ότι υπάρχει ένα y G έτσι ώστε x y = 0. Τότε Τότε έχουµε : x x + y + x y = 0 = y (1 + x) = x = y = x 1 + x = x + x 1 + x + x ( x) 1 + x = x + x2 x x x x 1 + x G = 0 = x 1 + x x Εποµένως για κάθε x G, υπάρχει y = x 1+x G έτσι ώστε : x y = 0 = y x, δηλαδή : x = Η Εξίσωση a x = b: Για κάθε a, b G έχουµε : Αρα η εξίσωση a x = b έχει µοναδική λύση την x 1 + x a x = b = a + x + ax = b = x + ax = b a = x (1 + a) = b a = x = b a 1 + a G x = b a 1 + a

12 12 Ασκηση 11. Εστω ότι K συµβολίζει ένα από τα ακόλουθα σώµατα Q, R, C, και έστω M m n (K) το σύνολο των m n πινάκων µε στοιχεία από το K. Υπενθυµίζουµε ότι δύο πίνακες A, B M m n (K) καλούνται ισοδύναµοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας P και αντιστρέψιµος m m πίνακας Q έτσι ώστε : Q 1 A P = B είξτε ότι ορίζοντας : A B ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον B αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M m n (K). Είναι η πρόσθεση, και ο πολλαπλασιασµός πινάκων (όταν m = n), συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων ; Λύση. Εστω A, B M m n (K). Εχουµε : Ανακλαστική ιδιότητα δηλαδή A A : Θεωρούµε τους πίνακες I m = M m m (K) και I n = M n n (K) Τότε Im 1 A I n = I m A I n = A και άρα A A, δηλαδή ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον εαυτό του. Συµµετρική ιδιότητα δηλαδή A B B A : Επειδή A B υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P M n n (K) και Q M m m (K) έτσι ώστε Q 1 A P = B = Q B P 1 = A = (Q 1 ) 1 B P 1 = A = B A Μεταβατική ιδιότητα δηλαδή A B και B C A C : Επειδή A B και B C, υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P 1, P 2 M n n (K) και Q 1, Q 2 M m m (K) έτσι ώστε Q 1 1 A P 1 = B Q 1 2 B P 2 = C Αρα η σχέση = Q 1 2 Q 1 1 A P 1 P 2 = C = (Q 1 Q 2 ) 1 A (P 1 P 2 ) = C είναι σχέση ισοδυναµίας στο M m n (K). Από την Γραµµική Αλγεβρα, γνωρίζουµε ότι : A B r(a) = r(b) = A C όπου r(a) είναι η ϐαθµίδα του πίνακα A. Θεωρούµε τους πίνακες : A = = B, Γ = και = Τότε A B και Γ διότι r(a) = r(b) = 1 και r(γ) = r( ) = 1. Οµως r(aγ) = 0 1 = r(b ) αφού A Γ = και B = Συνεπώς AΓ B και άρα ο πολλαπλασιασµός πινάκων (όταν m = n) δεν είναι συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων.

13 Θεωρούµε τους πίνακες A, Γ και όπως παραπάνω. Τότε A A και Γ αλλά r(a + Γ) = 1 2 = r(a + ), αφού A + Γ = και A + = Εποµένως A + Γ A + και άρα η πρόσθεση πινάκων (όταν m = n) δεν είναι συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων. 13

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή

Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας, Πράξεις και Μονοειδή 11 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία ϐασικές έννοιες και αποτελέσµατα αναφορικά µε : (α) τις σχέσεις µερικής διάταξης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη 4 εκεµβρίου m + 4Z

Τρίτη 4 εκεµβρίου m + 4Z ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 4 εκεµβρίου 202 Ασκηση. Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Ασκηση 1. 1) είξτε ότι η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός

Διαβάστε περισσότερα