ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου"

Transcript

1 ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα. Αυτό το πρόγραμμα είναι αποδοτικό, ή έχει ένα σφάλμα Αυτό το πρόγραμμα δεν εκτελείται γρήγορα Αποδείξτε (χωρίς χρήση πινάκων αληθείας) ότι: Αυτό το πρόγραμμα έχει σφάλμα. [8] Απλοποιείστε (με οποιοδήποτε τρόπο) τις προτάσεις (i) [ p ( q r)] [( p q) r] και (ii) [( p q) r] [ p ( q r)]. Μετά την απλοποίηση, σε τι συμπεράσματα οδηγείστε σε σχέση με τις προτάσεις p ( q r) και ( p q) r ; Έστω Α η πρόταση Αυτό το πρόγραμμα είναι αποδοτικό, Γ: Αυτό το πρόγραμμα εκτελείται γρήγορα και Σ: Αυτό το πρόγραμμα έχει ένα σφάλμα Τα δεδομένα μας είναι: ΑΓ (1) Α Σ () Γ (3) Από (1) και (3) συμπεραίνουμε με Modus Tollens A (4) Από () και (4) συμπεραίνουμε με τον κανόνα του διαζευκτικού συλλογισμού Σ που είναι και το ζητούμενο (i) [ p ( q r)] [( p q) r] [ p ( q r)] [ ( p q) r] [ p ( q r)] [ ( p q) r] ( p q r) ( p q r) T (ii) [( p q) r] [ p ( q r)] [ ( p q) r] [ p ( q r)] ( p q r) ( p q r) T Άρα, η πιο απλοποιημένη μορφή που μπορούν να πάρουν και οι δύο προτάσεις είναι «T». Παρατηρούμε ότι οι προτάσεις (i) και (ii) είναι ταυτολογίες, συνεπώς και η πρόταση [ p ( q r)] [( p q) r] είναι ταυτολογία, ισχύει δηλαδή ότι Σελίδα 1 από 8

2 [ p ( q r)] [( p q) r], άρα οι προτάσεις (i) και (ii) είναι ισοδύναμες Θέμα : [17 μονάδες] Έστω οι προτάσεις Α=«Κάποιος φοιτητής του ΗΥ118 δεν διάβασε το βιβλίο», Β=«Όλοι οι φοιτητές του ΗΥ118 πέρασαν το μάθημα» και Γ= «Κάποιος φοιτητής του ΗΥ118 που πέρασε το μάθημα δεν διάβασε το βιβλίο». [6] Εκφράστε τις προτάσεις Α, Β και Γ σε κατηγορηματικό λογισμό. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές ορισμένες στο σύνολο όλων των φοιτητών του Τμήματος (όχι μόνο του ΗΥ118). [4] Γράψτε σε κατηγορηματικό λογισμό την άρνηση των προτάσεων Α, Β και Γ, μεταφέροντας την άρνηση όσο το δυνατόν πλησιέστερα στις προτασιακές μορφές. c. [7] Αποδείξτε ότι η πρόταση Γ προκύπτει λογικά από τις προτάσεις Α και Β. Έστω: Μ(x): O x είναι φοιτητής του ΗΥ118 Δ(x): Ο x διάβασε το βιβλίου του ΗΥ118 Π(x): O x πέρασε το ΗΥ118, με Π.Ο. του x το σύνολο των φοιτητών του Τμ. Επ. Υπολογιστών. Οι προτάσεις γράφονται ως: Α: x( M ( x) ( x)) Β: x( M ( x) Π ( x)) Γ: x( Μ( x) Π( x) ( x)) A: ( x( M ( x) ( x))) x ( M ( x) ( x)) x( M ( x) ( x)) x( M ( x) ( x)) Β: ( x( M ( x) Π( x))) x ( M ( x) Π( x))) x( M ( x) Π ( x))) Γ: ( x( Μ( x) Π( x) ( x))) x ( Μ( x) Π( x) ( x))) x( Μ( x) Π( x) ( x))) c. Από την πρόταση Α γνωρίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας φοιτητής του ΗΥ118 που δεν διάβασε το βιβλίο. Έστω ότι ο Ο είναι ένας απο αυτούς. Άρα M ( O) ( O) (1) Η πρόταση Β ισχύει για όλους τους φοιτητές του ΗΥ118, άρα και για τον Ο, οπότε M ( O) Π ( O) () Από τις (1) και () προκύπτει ότι Π(Ο) αλλά και ( O) Σελίδα από 8

3 Υπάρχει λοιπόν τουλάχιστον ένας (ο Ο) για τον οποίο ισχύει M ( O) ( O) Π( Ο ) που είναι ακριβώς η πρόταση Γ. Θέμα 3: [16 μονάδες] [8] Αποδείξτε με δύο διαφορετικούς τρόπους ότι «αν ο n είναι άρτιος τότε και ο n -4n+6 είναι άρτιος». [8] Έστω το εξής θεώρημα: Για κάθε φυσικό αριθμό n, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι από αυτόν δεν είναι ίσο με n. Έστω επίσης και η παρακάτω επιχειρούμενη απόδειξη: Με αντίφαση: Ας υποθέσουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι από αυτών είναι ίσο με n. Παρατηρώ ωστόσο ότι = 10. Αντίφαση. Επομένως το θεώρημα ισχύει. Είναι η παραπάνω απόδειξη ορθή; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Άμεση απόδειξη: Έστω n άρτιος. Τότε n = k για κάποιον ακέραιο k n -4n+6 = (k) -4(k)+6 = (k -4k+3). O k είναι ακέραιος, άρα και ο m=k -4k+3 είναι ακέραιος και τελικώς ο n -4n+6=m είναι άρτιος. ο.ε.δ. Απαγωγή σε άτοπο Έστω n άρτιος και n -4n+6 περιττός. Υπάρχουν δηλαδή k και m Z τέτοιοι που: n=k και n -4n+6=m+1. n -4n+6=m+1 n -4n+4+=m+1 (n-) =m-1 (k-) =m-1 (k-1) =m-1 Το πρώτο μέλος της ισότητας είναι άρτιος αριθμός ενώ το ο είναι περιττός. Άτοπο. Άρα η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη Έμμεση απόδειξη Έστω ότι ο n -4n+6 είναι περιττός. Υπάρχει δηλαδή k Z τέτοιο που n -4n+6 = k+1 n -4n+4+ = k+1 (n-) =k-3. O k-3 είναι περιττός άρα και ο (n-) είναι περιττός, οπότε και ο n- είναι περιττός και τελικά ο n είναι επίσης περιττός Με μαθηματική επαγωγή Βάση της επαγωγής Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε επαγωγική απόδειξη. Ωστόσο, χρειάζεται προσοχή! Η πρόταση, όπως είναι διατυπωμένη, αναφέρεται σε όλους τους άρτιους n. Επομένως, θα πρέπει η επαγωγή να γίνει για όλους τους ακεραίους k, με n=k. Για k=1, n= κι επομένως, n -4n+6=4-8+6= Ισχύει Επαγωγική Υπόθεση Σελίδα 3 από 8

4 Υποθέτω ότι πρόταση για κάποιο k, δηλαδή ότι (k) -4(k)+6= 4k -8k+6 είναι άρτιος (έστω m) Επαγωγικό βήμα Θα αποδείξω ότι ισχύει για k+1. Τότε, n=(k+1)=k+ n -4n+6= (k+) -4(k+)+6=4k +8k+4-8k-8+6=(4k -8k+6)+8k-4 = m+(4k-) που είναι άρτιος ακέραιος. Έστω P(n) η πρόταση: «Το άθροισμα όλων των φυσικών που είναι μικρότεροι από το n ισούται με n με Π.Ο του n το. Το θεώρημα μας λέει ότι η πρόταση n P( n) ισχύει Για να χρησιμοποιήσουμε την αποδεικτική διαδικασία με αντίφαση πρέπει να υποθέσουμε ότι το θεώρημα δεν ισχύει και να καταλήξουμε σε άτοπο. Να υποθέσουμε δηλαδή ότι ισχύει η πρόταση ( n P( n)) και με βάση αυτό να καταλήξουμε σε άτοπο. Αλλά ( n P( n)) np( n) (1) Ωστόσο, το θεώρημα απλώς υποστηρίζει ότι n P( n) που προφανώς δεν είναι ισοδύναμο με το (1). Επομένως, η αποδεικτική διαδικασία είναι εσφαλμένη. Θέμα 4: [16 μονάδες] [8] Τρία νέα μοντέλα κινητών τηλεφώνων (τα A, B και C) δοκιμάστηκαν σε 40 άτομα προκειμένου να διαπιστωθεί η χρηστικότητά τους. Τα τεστ έδωσαν τα εξής αποτελέσματα: 3 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από το κινητό A. 18 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από το κινητό B. 31 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από το κινητό C. 11 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα δύο κινητά A και B. 19 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα δύο κινητά A και C. 14 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα δύο κινητά B και C. 37 άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από τουλάχιστον ένα από τα κινητά. 1. Πόσα άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι και από τα τρία κινητά;. Πόσα άτομα δήλωσαν ικανοποιημένοι από ακριβώς ένα κινητό; [8] Έστω σύνολο X={(ø, a)} και το σύνολο Y={a, (c,ø)}. Υπολογίστε (1) τα δυναμοσύνολα P(X) και P(Y) των συνόλων X και Y, αντίστοιχα () το καρτεσιανό γινόμενο P(X)x P(X). Έστω Α,Β και Γ τα σύνολα των ανθρώπων που ικανοποιήθηκαν από τα κινητά Α, Β και C αντίστοιχα. Γνωρίζουμε ότι: Α =3 Β =18 Γ =31 Α Β =11 Α Γ =19 Β Γ =14 Α Β Γ =37 Σελίδα 4 από 8

5 1. Ζητείται το Α Β Γ Ξέρουμε ότι Α Β Γ = Α + Β + Γ - Α Β - Α Γ - Β Γ + Α Β Γ 37= Α Β Γ Α Β Γ =9. Για ευκολία χρησιμοποιούμε διάγραμμα Venn Θέλουμε να υπολογίσουμε τον πληθικό αριθμό του τμήματος που είναι σκιασμένο (α+β+γ) Γνωρίζουμε ότι α+ε+δ+η=3 β+ε+η+ζ=18 δ+η+ζ+γ=31 δ+η=19 ε+η=11 η+ζ=14 και από το προηγούμενο ερώτημα η=9 Από το παραπάνω σύστημα εξισώσεων προκύπτει ότι α=, β=, γ=7 και τελικά το ζητούμενο α+β+γ=11 X={(,a)}, Y={a,(c, )} P(X)={, {(,a)}} P(Y)= {, {a}, {(c, )}, {a,(c, )}} Σελίδα 5 από 8

6 P(X) P(X) = {(, ), (,{(,a)}), ({(,a)}, ), ({(,a)}, {(,a)})} Θέμα 5: [16 μονάδες] [8] Η αρχή του περιστερώνα διατυπώνεται ως εξής: «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από n αντικείμενα σε n θέσεις, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση». Αποδείξτε επαγωγικά την αρχή αυτή για όλους τους ακεραίους n> 0. [8] Αποδείξτε επαγωγικά ότι για όλους τους ακεραίους n> 1 ισχύει ότι: Βάση της επαγωγής Για n=1 η αρχή διατυπώνεται «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από 1 αντικείμενα σε 1 θέση, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση» που προφανώς ισχύει Επαγωγική υπόθεση (για n=k) Έστω ότι ισχύει η αρχή: «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από k αντικείμενα σε k θέσεις, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση». Επαγωγικό Βήμα (για n=k+1) Θέλω να αποδείξω ότι «Αν τοποθετήσεις περισσότερα από k+1 αντικείμενα σε k+1 θέσεις, τότε αναγκαστικά θα τοποθετήσεις τουλάχιστον δύο αντικείμενα σε μία θέση» Ας αριθμήσουμε τις θέσεις από 1 έως k+1. Για την πληρότητα της απόδειξης θα εξετάσω όλες τις περιπτώσεις (ακόμη και τις τετριμμένες) - Αν στη θέση k+1 τοποθετήσω περισσότερα από 1 αντικείμενα η αρχή ισχύει - Αν στη θέση k+1 τοποθετήσω 1 μόνο αντικείμενο από τα m>k+1 αντικείμενα μου μένουν m-1 αντικείμενα να τα τοποθετήσω στις υπόλοιπες k θέσεις. Αλλά m>k+1 m-1>k Το πρόβλημα λοιπόν ανάγεται στην τοποθέτηση περισσότερων από k αντικειμένων σε k θέσεις, οπότε από την υπόθεση η αρχή ισχύει. - Αν στη θέση k+1 δεν τοποθετήσω αντικείμενο, τότε πάλι στις υπόλοιπες k θέσεις θα πρέπει να τοποθετήσω m>k+1>k αντικείμενα, που επαληθεύει την αρχή από την υπόθεση. Βάση της επαγωγής Για n= (1 ) = 1 = = ο.ε.δ. i= i 4 Επαγωγική υπόθεση Σελίδα 6 από 8

7 Έστω ότι για n=k k i= 1 k+ 1 (1 ) = i k Επαγωγικό Βήμα ο.ε.δ. Θα αποδείξω ότι ισχύει και για n=k+1 k+ 1 k (1 ) = (1 ) (1 ) = ( από υπόθεση ) i= i i= i ( k+ 1) k+ 1 1 k+ 1 ( k+ 1) 1 k+ 1 k + k (1 ) = = = k ( k+ 1) k ( k+ 1) k ( k+ 1) k+ 1 k( k+ ) k+ = ( k+ 1) + k ( k 1) Θέμα 6: [14 μονάδες] [7] Για δύο οποιαδήποτε σημεία ( a, b ) και ( a, b) ( c, d) a + b = c + d. (, ) c d R ορίζουμε τη σχέση ως εξής: 1. Αποδείξτε ότι η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας επί του R.. Βρείτε όλα τα στοιχεία του συνόλου {( x, y) R : ( x, y) (0,0)}. 3. Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της κλάσης ισοδυναμίας του σημείου (3, 4). [7] Πόσες είναι όλες οι σχέσεις ισοδυναμίας που μπορούμε να ορίσουμε επί του συνόλου Α = {1,, 3}; 1. (a,b) (a,b) μια και προφανώς a +b = a +b. Άρα ισχύει η ανακλαστική ιδιότητα. (a,b) (b,a) μια και λόγω της αντιμεταθετικότητας της πρόσθεσης a +b = b +a.άρα ισχύει η συμμετρική ιδιότητα. Αν (a,b) (c,d) και (c,d) (e,f) τότε a +b = c +d = e +f οπότε (a,b) (e,f). Άρα ισχύει και η μεταβατική ιδιότητα. Επομένως η είναι σχέση ισοδυναμίας.. (x,y) (0,0) x +y =0 x=0 και y=0. Το ζητούμενο σύνολο είναι το {(0,0)} 3. [(3,4)] = {(x,y) R x +y = 3 +4 =5} Τα ζητούμενα σημεία είναι εκείνα για τα οποία ισχύει x +y =5 και γεωμετρικά ανήκουν σε ένα κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα 5. Σελίδα 7 από 8

8 Μια σχέση ισοδυναμίας διαμερίζει το σύνολο επί του οποίου είναι ορισμένη σε κλάσεις ισοδυναμίας. Πιο συγκεκριμένα, γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση μεταξύ κλάσεων ισοδυναμίας και διαμερίσεων του συνόλου στο οποίο είναι ορισμένη η σχέση ισοδυναμίας. Επομένως, για να μετρήσουμε όλες τις δυνατές σχέσεις ισοδυναμίας, αρκεί να μετρήσουμε όλες τις δυνατές διαμερίσεις. Όλες οι δυνατές διαμερίσεις του Α είναι οι παρακάτω: {{1}, {}, {3}} {{1,}, {3}} {{1}, {,3}} {{1,3}, {}} {{1,,3}} Επομένως, δεδομένου ότι υπάρχουν 5 δυνατές διαμερίσεις, υπάρχουν και 5 δυνατές σχέσεις ισοδυναμίας. Θέμα 7: [15 μονάδες] Έστω το σύνολο A = {a, b, c, d, e, f} επί του οποίου ορίζουμε τη σχέση R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f), (a, b), (a, c), (a, d), (d, e), (e, f), (a, e), (a, f), (d, f)}. [5] Αποδείξτε ότι η R είναι σχέση μερικής διάταξης [5] Σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse της R. c. [5] Βρέστε μια μέγιστη αλυσίδα και μια μέγιστη αντιαλυσίδα της R. H σχέση έχει την ανακλαστική ιδιότητα (όλα τα ζεύγη της μορφής (x,x) x A, ανήκουν στην R, την αντισυμμετρική (η μόνη περίπτωση που ζεύγη tης μορφής (x,y) και (y,x) ανήκουν στην R είναι για x=y και τη μεταβατική ιδιότητα (για όλα τα (x,y) και (y,z) που ανήκουν στην R παρατηρώ ότι και το (x,z) ανήκει στην R). Άρα είναι σχέση μερικής διάταξης c. Μια μέγιστη αλυσίδα είναι το σύνολο {a,d,e,f } Μια μέγιστη αντιαλυσίδα είναι το { b,c,f} Σελίδα 8 από 8

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 018 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. b. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6.

a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 4 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 4.1 [1 μονάδα] Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στη σχέση R από το Α={0,1,2,3} στο Β={0,1,2,3,4} όπου (a,b) R αν και μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i): Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018

Φροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018 Φροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018 Άσκηση Φ5.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 13/3/2018

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 13/3/2018 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 1//018 Σημείωση: Όλες οι παρακάτω αποδείξεις ακολουθούν την επαγωγική μέθοδο. Κάποια από τα παραδείγματα έχουν αποδειχθεί και με άλλες μεθόδους στο Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2019 1 η Σειρά Ασκήσεων (Προτασιακός Λογισμός) Παράδοση: Τρίτη 26/2/2019, μέχρι το τέλος του φροντιστηρίου Σημείωση: Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι τεκμηριωμένες

Διαβάστε περισσότερα

(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c

(β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c Λύσεις Ασκήσεων στα Θεμέλια των Μαθηματικών II Ρωμανός-Διογένης Μαλικιώσης Παρασκευή, 29 Οκτωβρίου 2010 Άσκηση 1. Απλοποιήστε τις ακόλουθες εκφράσεις (α ) (D c F ) c (D F ) (β ) ((X c Y ) (X c Y c )) c

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Μάθημα 7α Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2017-2018 Μια Ενοποιητική Προσέγγιση στην ΥΝ Η Θεωρία Πλεγμάτων στην ΥΝ. Υπολογιστικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018

Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018 Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018 Άσκηση 9.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I

LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2018

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2018 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [1.5 μονάδα] Έστω Τ(x): O x έχει σταθερό υπολογιστή, L(x): O x έχει laptop, S(x): O x έχει smartphone, με τη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

( ( )) ( 3 1) 2( 3 1)

( ( )) ( 3 1) 2( 3 1) Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 7/4/2017 ΜΕΡΟΣ Α: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις f : A B, g : B διάγραμμα. C και h : C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Πρόλογος 13. Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17

Πρόλογος. Πρόλογος 13. Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17 Πρόλογος Πρόλογος 13 Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17 1 Η λογική σκέψη 19 1.1 Τυπική λογική 20 1.1.1 Διερευνητικά προβλήματα 21 1.1.2 Σύνδεσμοι και προτάσεις 21 1.1.3 Οι πίνακες αλήθειας 23 1.1.4 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα