2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Transcript

1 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί:.. Για παράδειγµα άρρητοι είναι οι αριθµοί: ΑΞΟΝΑΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ: ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ: ΟΥ ΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ:. ΑΝΤΙΘΕΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ: Υπάρχει πραγµατικός αριθµός µε αντίθετο τον εαυτό του; Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ: ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ: ΟΥ ΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ: Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

3 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ: ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ: Ο αριθµός δεν έχει αντίστροφο! Υπάρχει πραγµατικός αριθµός µε αντίστροφο τον εαυτό του; Η αφαίρεση ορίζεται µε τη βοήθεια της πρόσθεσης: Η διαίρεση ορίζεται µε τη βοήθεια του πολλαπλασιασµού: ΑΛΛΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μπορούµε να προσθέτουµε δύο (ή περισσότερες) ισότητες κατά µέλη. α = β αν είναι και τότε : γ = δ Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε δύο (ή περισσότερες) ισότητες κατά µέλη. α = β αν είναι και τότε : γ = δ Μπορούµε στα δύο µέλη µιας ισότητας να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο πραγµατικό αριθµό. ηλαδή: α = β α + γ = β + γ Μπορούµε και τα δύο µέλη µιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσουµε ή να τα διαιρέσουµε µε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό. ηλαδή : αν γ 0 τότε α = β α γ = β γ Το γινόµενο δύο ή περισσότερων πραγµατικών αριθµών είναι ίσο µε το µηδέν αν και µόνον αν ένας τουλάχιστον από τους αριθµούς είναι ίσος µε το µηδέν. ηλαδή αν είναι α β γ = 0 τότε: Το γινόµενο δύο ή περισσότερων πραγµατικών αριθµών είναι διάφορο από το µηδέν αν και µόνον αν κανένας από τους αριθµούς δεν είναι ίσος µε το µηδέν. ηλαδή αν είναι α β γ 0 τότε: Προσοχή όταν διαγράφουµε από µια ισότητα της µορφής α γ = β γ τον παράγοντα γ πρέπει αυτός να είναι διάφορος του µηδέν! Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

4 ΥΝΑΜΕΙΣ Αν α πραγµατικός αριθµός και ν θετικός ακέραιος τότε ορίζουµε : ν α = α α... α ( ν παράγοντες ) µε ν > 1 1 α = α 0 α = 1, για κάθε α 0 α ν 1 =, α 0 ν α εν ορίζεται η δύναµη Ιδιότητες υνάµεων 1. α ν α µ =... ν α.... µ α = µ ν. ( α ) = ν ν α β = ( α β ) ν ν α α 5. =, β 0 ν β β ν 0 0. ν ν 1, αν ν άρτιος = = = 1, αν ν περιττός Ισχύει ότι : , ( 1) ν ν Ισχύει πάντα η συνεπαγωγή: α = β α = β (γιατί;) Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει πάντα! ν ν ηλαδή αν είναι α = β τότε όχι αναγκαία α = β (γιατί;) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. ( α β γ ) ( αβ 4 γ ) =. ( αβ ) ( α β) =.. ( 4α β ). ( αβ ) =.. Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

5 4. α β 9α β = γ β γ α γ 5. 1 β β : α α = ( αβ γ ) ( ) α β γ =.. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: 1. ( α + β ) =.... ( α β ) =... ( α + β ) =... ( α β ) =.... ( α + β ) = ( α β ) =... + = (διαφορά τετραγώνων) 5. ( α β) ( α β)... = (διαφορά κύβων) 6. α β ( ) ( ) + = (άθροισµα κύβων) 7. α β ( ) ( ) 8. ( α + β + γ ) = ( α + β γ ) = ( α β γ ) =... Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

6 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Ευθεία Απόδειξη Παράδειγµα 1 ο : Να αποδειχθεί η ταυτότητα ( α + β )( x + y ) ( α x+ β y) = ( α y β x) Απόδειξη: α + β x + y α x+ β y = 1 ο µέλος : ( )( ) ( ) Παράδειγµα ο : αν α + β + γ = 0 τότε α + β + γ = αβγ (Ταυτότητα υπό συνθήκη) Απόδειξη: Παράδειγµα ο -α + -β + -γ = α + β + γ -9 Αν είναι α+β+γ=6 να δειχθεί ότι: ( ) ( ) ( ) Απόδειξη Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 5

7 Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο Παράδειγµα: Να αποδειχθεί ότι ένας ρητός αριθµός (ρ) και ένας άρρητος αριθµός (α) δίνουν άθροισµα νέο άρρητο. Απόδειξη: ΜΕΘΟ ΟΣ ΓΙΑ ΙΑ ΟΧΙΚΟΥΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ Αν είναι α, β, γ διαδοχικοί ακέραιοι τότε συνήθως τους θέτουµε: β-1, β, β+1 Αν είναι α, β, γ, δ διαδοχικοί ακέραιοι τότε συνήθως τους θέτουµε : α, α+1, α+, α+ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ο Αν οι αριθµοί α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί ακέραιοι τότε να δειχθεί ότι: βγ αδ = ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Αν α και β διαδοχικοί ακέραιοι να δειχθεί ότι η παράσταση α + β + α β είναι τετράγωνο ακεραίου. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 6

8 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ο Αν οι αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί ακέραιοι να δειχθεί ότι α + γ = β ( β + ) ΛΥΣΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΓΙΑ ΑΡΤΙΟΥΣ ΠΕΡΙΤΤΟΥΣ Αν α ένας άρτιος αριθµός τότε η µορφή του είναι α = κ, κ Z Αντίστροφα αν ένας αριθµός α µπορεί να πάρει τη µορφή α = κ, κ Z, τότε ο α είναι άρτιος αριθµός. Αν α ένας περιττός αριθµός τότε η µορφή του είναι α = κ + 1, κ Z Αντίστροφα αν ένας αριθµός α µπορεί να πάρει τη µορφή α = κ + 1, κ Z, τότε ο α είναι περιττός αριθµός. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να αποδειχθεί ότι το τετράγωνο ενός περιττού αριθµού είναι επίσης περιττός. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν το άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι πολλαπλάσιο του να δειχθεί ότι και ο τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του. ΛΥΣΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 7

9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Ο Αν είναι α+β=5 και αβ=- να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α = α + β B = α + β Γ = α + β = + α β ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ο 1 Αν είναι α+ = α να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: 1 Α = α + α 1 B = α + α Γ = α + α = α -α ΛΥΣΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 8

10 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: α γ Στην αναλογία =, β, δ 0 β δ Οι όροι α και γ λέγονται:.. Οι όροι β και δ λέγονται:.. Οι όροι α και δ λέγονται:.. Οι όροι β και γ λέγονται:. Ιδιότητες Αναλογιών α β γ δ 1. = α δ = β γ, ( β, δ 0) α γ α β β δ γ δ. = =, ( β, γ, δ 0) α γ α + β γ + δ β δ β δ. = =, ( β, δ 0) α γ α + γ β δ β + δ 4. = =, ( β, δ, β + δ 0) Βασική µέθοδος για ασκήσεις µε ανάλογα ποσά. Παράδειγµα 1 ο : Τρία αδέλφια ο Άρης (10 ετών), ο Βασίλης (8 ετών) και η Γεωργία (7 ετών) πρόκειται να µοιραστούν ένα χρηµατικό ποσό 700 ανάλογα µε την ηλικία τους. Να βρεθεί το ποσό που αναλογεί στον καθένα. Λύση: Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 9

11 Παράδειγµα ο : Οι γωνίες Α, Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες µε τους αριθµούς, 7 και 8 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι γωνίες. Λύση: Παράδειγµα ο : x y Έστω ότι, α, β 0 α β Λύση: x y 4x+ y =,, α β 4α + β =. Να δειχθεί ότι ( α β ) ( α β ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να απλοποιηθεί η παράσταση : α + β α β α : β ( α+ β) β α Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 10

12 ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ αν α > 0 και β > 0 τότε α + β 0 αν α < 0 και β < 0 τότε α + β 0 α αν α, β οµ όσηµοι τότε α β 0 και β 0 α αν α, β ετερόσηµοι τότε α β 0 και β 0 Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει: α 0 Πότε ισχύει η ισότητα;.. Αν είναι α + β = 0 τότε. Αν είναι α + β > 0 τότε. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ 1. Αν είναι α>β και β>γ τότε θα είναι και α>γ (µεταβατική ιδιότητα). Μπορούµε στα δύο µέλη µιας ανισότητας να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο πραγµατικό αριθµό. ηλαδή: α > β α + γ > β + γ. Μπορούµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας να τα πολλαπλασιάσουµε ή να τα διαιρέσουµε µε τον ίδιο θετικό αριθµό και η φορά της να µην αλλάξει. ηλαδή : αν γ > 0 τότε α > β α γ > β γ 4. Μπορούµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας να τα πολλαπλασιάσουµε ή να τα διαιρέσουµε µε τον ίδιο αρνητικό αριθµό και η φορά της να αλλάξει. ηλαδή : αν γ < 0 τότε α > β α γ < β γ 5. Για τους θετικούς αριθµούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: ν ν α > β α > β Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 11

13 6. Για τους θετικούς αριθµούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: ν ν α = β α = β 7. Μπορώ να προσθέτω οµόστροφες ανισότητες κατά µέλη. α > β ηλαδή αν είναι και τότε : γ > δ 8. Μπορώ να πολλαπλασιάζω οµόστροφες ανισότητες κατά µέλη όταν όλοι οι όροι τους είναι θετικοί. α > β ηλαδή αν είναι και και α, β, γ, δ > 0 τότε : γ > δ Αν α και β οµόσηµοι τότε ισχύει α < β > α β (δηλαδή µπορούµε να αντιστρέφουµε τους όρους µιας ανισότητας µε οµόσηµους όρους και η φοράς της να αλλάξει) Ποτέ δεν αφαιρούµε ούτε διαιρούµε ανισότητες κατά µέλη έστω και αν είναι οµόστροφες! ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Η (Εφαρµογή της ιδιότητας : α + β = 0 α = 0 και β = 0) ΛΥΣΗ 1. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει: x y x y = 0. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει: ΛΥΣΗ α β α β = 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

14 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η ( Απόδειξη ανισότητας) α + β x + y α x+ β y Να αποδειχθεί ότι : ( )( ) ( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η Να αποδειχθεί ότι : ( Απόδειξη ανισότητας) α + α + > για κ θε α R 1 0, ά ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4 Η ( Απόδειξη ανισότητας) Να αποδειχθεί ότι : α 6α + 10 > 0, για κάθε α R ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5 Η ( Απόδειξη ανισότητας) Να δειχθεί ότι : α + α + 1> 0, για κάθε α R ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

15 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6 Η ( Απόδειξη ανισότητας) 1 Να αποδειχθεί ότι : α +, για κάθε α > 0. Πότε ισχύει η ισότητα; α ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7 Η ( Άσκηση Μέθοδος) Αν για τους αριθµούς α και β ισχύουν 1< α < και < β < 4, να βρεθούν τα όρια των τιµών των παραστάσεων: Α = α + β, α 1 Β = α + β, Γ = 5α β, = α β + α 5, Ε = β ΛΥΣΗ 1< α < i < β < 4 i 1< α < < β < 4 1< α < i < β < 4 5 ( ) i 1< α < < β < 4 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 14

16 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 1 5 =..., =..., =..., 5 =..., =..., =... Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ηλαδή αν α>0 τότε α = Η απόλυτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι.. ηλαδή αν α<0 τότε α = Η απόλυτη τιµή του 0 είναι: 0 = ΟΡΙΣΜΟΣ:.., αν α 0 α =, αν α < =.. =.. =.. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 15

17 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. α β = α β ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΓΕΝΙΚΑ ΙΣΧΥΕΙ: α... 1 α αν = ν Επίσης είναι : α = α α. =, β 0 β β. α + β α + β ΑΠΟ ΕΙΞΗ Η ισότητα ισχύει όταν.... ΓΕΝΙΚΑ ΙΣΧΥΕΙ : α1 + α αν Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 16

18 ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση Α = α 5 + α 6 α 7 + α, αν 5< α < 6 5 < α < 6 5 < α < 6 5 < α < 6 5 < α < 6 Άρα είναι : ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση Α = π + π π = π 4 = 5 = 5 = Άρα είναι Α= ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η :Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση διάφορες τιµές των µη µηδενικών αριθµών α και β. Α = α β α β για τις ΛΥΣΗ Αν α > 0 και β > 0 τότε Α = = Αν α > 0 και β < 0 τό τε Α = = Ανα < 0 και β > 0 τό τε Α = = Ανα < 0 και β < 0 τό τε Α = = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 17

19 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση α + π = Α = α + π α α + + π α 4α + 4 = π 4 = Άρα είναι Α= ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 5 Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση x x + 1 = Α = x x x + 1 x =,, αν αν Άρα είναι Α = Λαµβάνοντας υπόψη ότι α 0 και β 0 για κά θε α, β R Πότε ισχύει η ισότητα α + β = 0 ;... Πότε ισχύει η ανισότητα α + β > 0; ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να βρεθούν οι αριθµοί α και β αν είναι α β + α + β 6 = 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 18

20 ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ 1. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α x β, λέγεται. διάστηµα από α µέχρι β και συµβολίζεται µε [ α, β]. Γραφική απεικόνιση. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α < x < β, λέγεται διάστηµα από α µέχρι β και συµβολίζεται µε ( α, β ). Γραφική απεικόνιση Οι αριθµοί α και β λέγονται. των διαστηµάτων αυτών και κάθε αριθµός µεταξύ των α και β λέγεται αυτών.. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α < x β, λέγεται.. διάστηµα και συµβολίζεται µε ( α, β ]. Γραφική απεικόνιση 4. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α x < β, λέγεται.. διάστηµα και συµβολίζεται µε [ α, β ). Γραφική απεικόνιση 5. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε x α, συµβολίζεται µε Γραφική απεικόνιση (, α ]. Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 19

21 6. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε < α Γραφική απεικόνιση x, συµβολίζεται µε ( α),. 7. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε x α, συµβολίζεται µε [ α, + ). Γραφική απεικόνιση 8. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε > α Γραφική απεικόνιση x, συµβολίζεται µε ( α + ),. Τα σύµβολα και + διαβάζονται «συν άπειρο» και «πλην άπειρο» αντίστοιχα και δεν παριστάνουν πραγµατικούς αριθµούς. ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η Να παραστήσετε γραφικά τα παρακάτω σύνολα πραγµατικών αριθµών και να γράψετε τα αντίστοιχα διαστήµατα. 1. x 5 διάστηµα :. 0 < x < 6 διάστηµα :. < x < 0 ή < x < 7 διάστηµα : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 0

22 4. 1 x 1 ή x > διάστηµα : 5. x 0 ή < x 5 διάστηµα : 6. x < ή x > διάστηµα : 7. x 5 και x > 4 διάστηµα : 8. x < 1 και x διάστηµα : 9. x < 4 και < x 6 διάστηµα : 10. x 0 και < x 5 διάστηµα : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

23 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης Β. 1 ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β < x < Α x [,) x ή x > Β x (,] x Γ x (,) < 4 < > x ή x x [,] 5 x Ε x (, ] (, + ) < 6 x ή x ΣΤ x (, ) (, + ) 7 x < ή x Ζ x (, ] [, + ) 8 x Η x (, ) [, + ) ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να γραφούν µε τη µορφή διαστήµατος ή ένωσης διαστηµάτων οι παρακάτω εκφράσεις : 1 1< x < 5 x ή x > 0 4 x < 8 4 x < ή x > 5 5 < x 1 6 x 0 ή x 6 7 x < 4 ή x 8 x 1 9 x και 6 < x Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

24 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η Να γραφούν µε ανισότητες οι παρακάτω σχέσεις : 1 x [ 1,) x (, 1] (, + ) x (,7] 4 x (,0) ( 4, + ) 5 x ( 4, 1) 6 x (, 4] [0, + ) 7 x [ 5,5] 8 x (,4) [8, + ) 9 x (,0) [, 4] 10 x (,] [5,10) ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 5 Η Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στο διάστηµα [,). Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στο διάστηµα ( 5,]. Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στην ένωση των διαστηµάτων : ( 4, 1) (,6 ). Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στην ένωση των διαστηµάτων : [ 1,1] (,4 ). Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

25 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ Έστω δύο αριθµοί α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα µε τα σηµεία Α και Β αντιστοίχως. Το µήκος του τµήµατος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθµών α και β και συµβολίζεται d α, β. µε ( ) Προφανώς είναι d (, ) d (, ) α β = β α α β = β α Στην περίπτωση όπου είναι α < β η απόσταση των αριθµών α και β είναι d ( α, β ) = β α και λέγεται µήκος του διαστήµατος [ α, β]. Έστω ένα διάστηµα [ α, β] και έστω Α και Β τα σηµεία που παριστάνουν τα άκρα α και β αντίστοιχα. Αν είναι Μ το µέσον του τµήµατος ΑΒ τότε ο αριθµός που αντιστοιχεί στο Μ είναι :... και λέγεται... του [ α, β]. Ο αριθµός... λέγεται.. του διαστήµατος [ α, β]. Ως µήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστηµάτων ( α, β ), ( α, β] και [ α, β ) ορίζουµε το µήκος το κέντρο και την ακτίνα του [ α, β]. ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η Να βρεθεί το µήκος το κέντρο και η ακτίνα των παρακάτω διαστηµάτων : ΙΑΣΤΗΜΑ ΜΗΚΟΣ ΚΕΝΤΡΟ ΑΚΤΙΝΑ [, ] [,8 ] ( 7, 1 ) (,10] [ 4,7) [,6) Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

26 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να βρεθούν οι παρακάτω αποστάσεις : 1. ( 4,5) d =. d ( 7, ) =. d (,11) =. 4. d ( 8,) = 5. d ( 9,) =.. 6. d (, 1) = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να βρεθούν οι τιµές του αριθµού x για τις οποίες ισχύει : 1 d ( x,) = 4 d ( x ), = 5 d ( x,) = 7 4 d ( x ), 1 = 1 5 d ( x, ) = d ( x,8) 6 d ( x, ) = d ( x, 6) Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 5

27 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η 1. Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x,0)< 4 Γενικά αν θ ένας θετικός αριθµός είναι : d ( x,0 ) < θ x Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x,0)> 5 Γενικά αν θ ένας θετικός αριθµός είναι : d ( x,0 ) > θ x Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x,)< 6 Γραφική επίλυση: Αλγεβρική επίλυση : 4. Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x ) Γραφική επίλυση:, > Αλγεβρική επίλυση : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 6

28 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Η : Να αποδειχθεί ότι: α β + β α α β + α β ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η : Να δειχθεί ότι: α + β αβ Έπειτα να δειχθεί ότι αν α + β = 1 και x + y = 1 τότε ισχύει α x+ β y 1 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η Αν είναι x και y να δειχθεί ότι: i) x+ y 1 ii) x+ y-5 17 ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 7

29 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Στηριζόµαστε κυρίως στις γνωστές ιδιότητες: x = θ x = θ ή x = θ (1) και x = y x = y ή x = y (), όπου θ θετικός αριθµός. 1. Να λυθεί η εξίσωση : x+ = 9 Σύµφωνα µε την ιδιότητα (1) έχουµε : 6 ή x+ = 9 x = 6 x = x = 1 ή x+ = 9 x = 1 x = x = 6 Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x 11 = ή ή. Να λυθεί η εξίσωση : x 9 = x+ Σύµφωνα µε την ιδιότητα () έχουµε : ή x 9 = x+ x x = 9+ x = 1 ή 6 x 9 = x x+ x = 9 x = 6 x = x = Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x 15 = x 5 ή ή. Να λυθεί η εξίσωση : x 5 = 4 ή ή ή x = 9 x 5 = 4 x = 9 ή x = 9 ή x = 1 x 5 = 4 x = 1 ή x = 1 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 8

30 4. Να λυθεί η εξίσωση : x = 7 ή x = 10 x = 1 x = 7 x = 10 ή x = 10 x = 8 x = 7 x = 4 ( αδύνατη ) Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x 1 4 = ή ή x x + x Να λυθεί η εξίσωση : = Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους της εξίσωσης µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών που είναι το 1 ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονοµαστών και ισοδύναµα έχουµε : x x + x = ( x + + 5) ( x + ) = ( x + + 1) x x = x x + x + x + = ή x + = x = 0 x + = ή x + = x = 6 6. Να λυθεί η εξίσωση x 5 = x 1 Επειδή οι απόλυτες τιµές είναι µη αρνητικοί αριθµοί θα πρέπει αρχικά να θέσουµε τον περιορισµό : x 1 0 x 1 Τότε έχουµε : ή x 5 = x 1 x = 4 x = δεκτή x 5 = x 1 6 ή x 5 = x + 1 4x = 6 x = x = δεκτή 4 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 9

31 Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x + 7 = x Να λυθεί η εξίσωση : x 5 x + = x 5 Έχουµε ισοδύναµα : x 5 x + = x 5 x 5 x + x 5 = 0 ( ) x 5 x + = 0 ή x 5 = 0 x 5 = 0 x = 5 ή x + = x = 1 ή x + = 0 x + = ή x + = x = 5 8. Να λυθεί η εξίσωση : x 4 + x x = 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 0

32 ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Στηριζόµαστε κυρίως στις γνωστές ιδιότητες: x θ θ x θ (1) και x θ ή x θ ή x θ () όπου θ θετικός αριθµός. 1. Να λυθεί η ανίσωση : x Σύµφωνα µε την ιδιότητα (1) έχουµε : 5 > 0 x x x 6 8 x x [ 8, ]. Να λυθεί η ανίσωση : x 11 > Σύµφωνα µε την ιδιότητα () έχουµε : ή x 11 > x > 14 x > 7 x 11 > ή x 11< x < 8 x < 4 x (,4) ( 7, + ). Να λυθεί η ανίσωση x + 6 < 5 x + 6 < 5 5 < x + 6 < 5 1 < x + < x+ < 11 11< x+ < 11 1< x < 9 Και ή x+ > 1 x > 1 x+ > 1 ή x+ < 1 x < ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΣΗ : x ( 1, ) ( 1,9) Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

33 4. Να λυθεί η ανίσωση : 1< x+ 1 7 Η διπλή ανίσωση «σπάει» σε δύο απλές. x+ 1 7 x+ 1 > 1 ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΣΗ 5 x + 5 x x 5 5. Να λυθεί η ανίσωση : Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους της εξίσωσης µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών που είναι το 1 ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονοµαστών και ισοδύναµα έχουµε : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

34 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ :... Άρα ισχύει : α = x x = α, α 0, x 0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ Ισχύει για κάθε µη αρνητικό αριθµό α ότι : ( α ) = α Γενικά δεν ισχύει α + β = α + β (σε ποια περίπτωση ισχύει;) ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η : Βασικές τετραγωνικές ρίζες = 0 = 1 = = = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 1 = 1 = 14 = 15 = 16 = 17 = 18 = = 900 = 1600 = 500 = 65 = 0,16 = 0,09 = 1,44 =,5 = 0,0001= Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

35 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η : Απλοποίηση ριζικού 8 = 4 = 4 = 1 = 18 = 7 = = 48 = 50 = 75 = 7 = 00 = 98 = 0 = 00 = 45 = = 8 = 15 = 6 = 500 = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η : Ρητοποίηση του παρονοµαστή κλάσµατος = = = = = 6 = = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = + Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

36 10 7 = = = = 5 = = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η παραστάσεις µε ριζικά και µεταβλητό υπόριζο. Να βρεθούν οι τιµές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση ( x x 4)( x x 4) Α = Και να δειχθεί ότι Α = 6. ΛΥΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 5 Η υπολογισµός παραστάσεων µε ριζικά. 1. Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης : Α = ( 11 ) + ( 11 4) ( 11 ) = ( 11 4) = Άρα είναι : Α = ( 11 ) + ( 11 4) =. Αν είναι < x < 5 να βρεθεί η τιµή της παράστασης : x 10x 5 x 6x 9 Α = x x = x x = Α = x 10x+ 5 + x 6x + 9= Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 5

37 . Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης : 11 7 Β = Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης ( Α Β)( Α+Β ) όπου : Α = και Β = Να απλοποιηθεί η παράσταση : Α = ( + ) ( 7 )( 7 + ) + ( ) 6. Να απλοποιηθεί η παράσταση : A = = = Άρα είναι Α = = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 6

38 ΟΡΙΣΜΟΣ ν-στησ ΡΙΖΑΣ :.... Άρα ισχύει : ν α = x x ν = α, α 0, x 0 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ν-στης ΡΙΖΑΣ ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η Να υπολογιστούν οι ρίζες και να αιτιολογηθεί το αποτέλεσµα. 1 =... διότι: 8 =... διό τι: 15 =... διό τι: 4 1 =... διό τι: 7 =... διό τι: 4 16 =... διό τι: 5 1 =... διό τι: 64 =... διό τι: 4 81 =... διό τι: 4 16 =... διό τι: 4 65 =... διό τι: 5 4 =... διό τι: ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης : A = = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 7

39 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να απλοποιηθεί η παράσταση: 4 Α = α α α = ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1 = 1 4 = = 1 = = 4 5 = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η Να απλοποιηθεί η παράσταση: 4 α α α Α = = α α Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 8

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) α + 1 α 1 = α 1 + α α Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ( α + β + γ ) + ( α β) + ( β γ ) + ( γ α) = ( α + β + γ ) Αν είναι α + β + γ = 0, α, β, γ 0 να δειχθεί ότι : α + + β + + γ + = β γ α γ β α Να γίνουν οι πράξεις: Α) 1 1 α + α + α α α α ( 1) Απ : α 1 α 1 α + 1 α + α α 1 α 1 Β) Απ : 1 α Γ) αβ α β β α β : + + α + β α + β α ( Α π : α) Αν είναι α + β = 5 και αβ = 6 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: 4 4 Α = α + β, Β = α + β, Γ = α + β Αν είναι 1 α + = 5, α 0 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: α Α = α +, Β = α +, Γ = α + α α α 4 4 Αν το άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι πολλαπλάσιο του 9 να δειχθεί ότι και ο τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν είναι α-β=-4 και αβ=5 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α = α + β B = α -β Γ = α + β = α β 1 Αν είναι α- = 5 α να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: 1 Α = α + α = 1 4 B α - Γ = α + α 1 4 α = α -5α Να αποδειχθεί ότι : ν x y w 6 τό τε ( ) + ( ) + ( ) + 9 = + + Α + + = x y w x y w Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 9

41 Να δειχθεί ότι: ( -x) + ( 5-x) + ( x-8) = ( -x)( 5-x)( x-8 ) Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) ( ) -x + 5-x + x-8 = 0 Να δειχθεί ότι: ( x + 4)( y + 9) = ( xy+ 6) + ( x-y ) α -β -βγ β -γ -αγ γ -α -βα Αν είναι α+β+γ=0 να δειχθεί ότι: + + = 0 α+ β β+ γ α+ γ Αν οι αριθµοί α και β είναι θετικοί και ισχύει α + β = 1, να δειχθεί ότι 1 1 Αν ισχύει α + β = 1, να δειχθεί ότι αβ και α + β 4 Να δειχθεί ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει: Πότε ισχύει η ισότητα; Να δειχθεί ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει: α + β + γ αβ + βγ + αγ Πότε ισχύει η ισότητα; Έστω α>β>0. Να αποδειχθεί ότι: α β > ( α β) Αν είναι α - να αποδειχθεί ότι α + 7 α + 9α Αν είναι < < α β να αποδειχθεί ότι ( ) α+ β 4+ αβ 1 1 α+ + 4 α Αν α θετικός αριθµός να δειχθεί ότι ( ) 6α Αν είναι 0 < α < να αποδειχθεί ότι α < < α+ Να δειχθεί ότι ( ) ( ) Να δειχθεί ότι α -4α+ 4 > 0 α + 9 α+ Πότε ισχύει η ισότητα; α β 4 4 α + β α β + αβ Να δειχθεί ότι α + 4β + 5 4( α-β ) Πότε ισχύει η ισότητα; Να δείξετε ότι ισχύει : ( ) α β + 8β 4αβ για κάθε α,β R. Να δειχθεί ότι 9α -1α+ 5 > 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 40

42 Αν είναι α - να αποδειχθεί ότι α α α Αν είναι α-β = να αποδειχθεί ότι: i) 1+ αβ 0 ii) α + 4β Αν είναι 1< α < και < β < 4 να βρεθεί µεταξύ ποιών αριθµών περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παραστάσεις: α-β i) Α = α+ β ii) Β = α + β - iii) Γ = α-β+ 1 iv) = α + Αν είναι α+ β+ γ 0 να αποδειχθεί ότι α + β + γ αβγ Πότε ισχύει η ισότητα; Αν είναι α > και β > να αποδειχθεί ότι αβ > α+ β Αν x,y,z θετικοί αριθµοί να δειχθεί ότι ( )( )( ) x + 1 y + 1 z + 1 8xyz Αν 0 < α,β,γ < 1 να δειχθεί ότι: i) ( 1-α)( 1-β) > 1-α-β ii) ( 1-α)( 1-β)( 1-γ) > 1-α-β-γ Να δειχθεί ότι ( α + β )( γ + δ ) ( αγ+ βδ ) Να δειχθεί ότι ( αβ+ βγ+ αγ) αβγ( α+ β+ γ ) Αν α,β,γ θετικοί αριθµοί να δειχθεί ότι ( ) Αν είναι α>0 να δειχθεί ότι α + 1 α + 1 α α α+ β+ γ α β γ Αν α,β,γ θετικοί αριθµοί να δειχθεί ότι α + β + γ αβγ α β γ Έπειτα να δειχθεί ότι + + β γ α Να αποδειχθεί ότι: ( α ) α 5 όπου α ένας θετικός αριθµός Να βρεθούν οι αριθµοί α και β αν ισχύει: Να βρεθούν οι αριθµοί α και β αν ισχύει: α + β + 10α 4β + 9= 0 α + β 6α + 8β + 5= 0 ίνεται ότι < α < και 1< β < να βρεθεί µεταξύ ποιών αριθµών βρίσκονται οι τιµές των 1 παραστάσεων: Α= 5α + β Β= β α Γ= α β + Αν α<β<γ να απλοποιηθεί η παράσταση: A= 4 α -β -1 - a -γ - - γ -β + Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 41

43 Αν είναι α και β να αποδειχθεί ότι : Α) α + β 1 Β) 5α β Να λυθούν οι εξισώσεις i) x-5 = 7 ii) x+ 1 = x-5 iii) x+ = x-4 Να λυθούν οι εξισώσεις i) x + 1 x - x = 5 10 ii) x- + 1 x- -4 x- - = -1 6 iii) x- + 1 x- -1 -x + - = -1 6 Να λυθούν οι εξισώσεις i) x -5 = ii) x + 1 = x + 5 iii) x - = x + 5 Να λυθούν οι εξισώσεις i) x-5 = x- ii) x+ 1 = x+ 1 iii) x+ = 1-x Να λυθούν οι εξισώσεις i) x + = - x-4 ii) x + 1 = x + -x iii) x-1 = x- 5-x Να λυθούν οι ανισώσεις i) x+ 5 9 ii) x- 7 iii) 7-x 9 Να λυθούν οι ανισώσεις i) x -7 ii) x -5 1 iii) x Να λυθούν οι ανισώσεις i) x + 1 x -4 x ii) x x+ 1 - x iii) x x x - > 6 Να λυθούν οι ανισώσεις i) x+ 5 9 ii) 1 -x 5 iii) 1< x -5 < 9 iv) < 1 x 7 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

44 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις x i) A = x- + x-5 ii) B = x-1 + -x -x- iii) Γ = - x+ x Να λυθεί η εξίσωση: x = Να λυθεί η εξίσωση: x+ + x+ x+ 1 = 5 10 Να λυθεί η εξίσωση: x 5 = x 4 Να λυθεί η ανίσωση: x Να λυθεί η ανίσωση: 1 x x 1 x Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α,β,γ για τους οποίους ισχύει: i) = 4 α+ 1 + β+ + γ- = 0 α 1 β-1 γ 0 ii) ( ) ( ) Να αποδειχθεί ότι Να αποδειχθεί ότι x+ y- 5-7 x+ y- x+ 1 y- - 5 x+ 1 y- Αν α<β<γ να απλοποιηθεί η παράσταση: A = α-β - β-γ + 4 γ-α Αν α<β<γ να απλοποιηθεί η παράσταση: A = 5 α-β-1 -β-γ- + γ-α+ 1 Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση A = x- - x+ 1-5-x Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση A = x+ - x x Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση A = x+ x+ - x α β Αν x = και y = α + β α + β να δειχθεί ότι x + y = 1 α-4 α R- 1 και = α-1 Αν { } και να δειχθεί ότι α = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

45 Αν είναι α+ β α+ β α < 1 να δειχθεί ότι < 1 β α β Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και β να δειχθεί ότι: = α = β 1+ α 1+ β 1 Για κάθε α 0 να δειχθεί ότι α+ α Να λυθεί η εξίσωση: x 5 = x 4 Να λυθεί η ανίσωση: x Να λυθεί η ανίσωση: 1 x x x Έστω ότι x y < και x y <.Να αποδειχθεί ότι x y < 1 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: Α = 6 + (Απ: Α=6) Β = (Απ: Β=) Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α = (Απ: Α=4) Β = (Απ: Β=6) Να δειχθεί ότι = Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: i) A = ii) B = Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: i) A α 15 81α, α 0 = + + < ii) ( ) B = x + x 10x+ 5, < x < 5 Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση ( ) A = x+ x 6x+ 9 + x Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 44

46 Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση 4 4 A = x + x y + y + 1 Αν είναι α = 5 + και β = 5 να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων i) A = α 4αβ+ β ii) B = 5α αβ β Aν είναι α + β = 1 να δειχθεί ότι 4 4 α + 4β + β + 4α = Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού x ορίζονται οι παραστάσεις i) A = x 1+ x ii) B = x 1 + x Nα βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: 4 ( )( 4 4 )( 4 ) A = α + β α + β α β, α,β 0 B = ( )( 7 5 ) i) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις ( + ) και ( ) ii) Να απλοποιηθεί η παράσταση A = Να απλοποιηθεί η παράσταση x + x + 1 x 4x + 4 A = +, αν 1< x < x + 1 x Να υπολογιστούν οι παραστάσεις i) ii) Να βρεθούν τα εξαγόµενα: i) 4 6 x x x, x 0 ii) 5 x 10 x x, x 0 iii) 4 x x x, x > x x Να µετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ρητό εκθέτη: i) A =, ii) 5 10 B =, iii) 5 Γ = 7 7 +, iv) = 5 + 5, v) 1 E = Να γίνουν οι πράξεις: Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 45

47 Να απλοποιηθούν τα ριζικά: i) 7+ 10, ii) , iii) α+ β αβ, α,β > 0 iv) 7+ 4, v) 4+ Να υπολογιστεί η παράσταση: A = Να υπολογιστεί η παράσταση: A 5 5 Να υπολογιστεί η παράσταση: A Να συγκριθούν οι αριθµοί: i) 5 και +, ii) και 5 +, iii) 5 και = + ( A = ) = + ( A = ) Aν είναι x = + 1 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων i) 1 A = x+, ii) x 1 B = x + x Αν á 0, â 0 να δειχθεί ότι : á+ â á+ â Αν á> 0 να δείξετε ότι : á 1 + á Αν είναι α = 5 + και β = 5 να βρεθεί η τιµή της παράστασης A = α 4αβ+ β. Να γίνουν οι πράξεις: i) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις ( + ) και ( ) ii) Να απλοποιηθεί η παράσταση A = Να απλοποιηθεί η παράσταση x + x + 1 x 4x + 4 A = +, αν 1< x < x + 1 x Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 46