ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

2

3 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο της λογικής... 7 Σύνολα Ενότητα Α: Πιθανότητες Α.1 ( 1.1) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα... 1 Α. ( 1.) Έννοια της πιθανότητας Ενότητα Β: Οι πραγματικοί αριθμοί Β.1 (.1) Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους - Δυνάμεις Β. (.) Διάταξη πραγματικών αριθμών Β.3 (.3) Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού B.4 (.4) Ρίζες πραγματικών αριθμών Ενότητα Γ: Εξισώσεις Γ.1 ( 3.1) Εξισώσεις 1ου βαθμού Γ. ( 3.) Η εξίσωση x v = α Γ.3 ( 3.3) Εξισώσεις ου βαθμού Ενότητα Δ: Ανισώσεις Δ.1 ( 4.1) Ανισώσεις 1ου βαθμού Δ. ( 4.) Ανισώσεις ου βαθμού... 9 Δ.3 ( 4.3) Ανισώσεις γινόμενο - Ανισώσεις πηλίκο... 45

4 Ενότητα Ε: Πρόοδοι Ε.1 ( 5.) Αριθμητική πρόοδος Ε. ( 5.3) Γεωμετρική πρόοδος E.3 ( 5.4) Ανατοκισμός - Ίσες καταθέσεις Ενότητα ΣΤ: Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ΣΤ.1 ( 6.1) Η έννοια της συνάρτησης ΣΤ. ( 6.) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΣΤ.3 ( 6.3) Η συνάρτηση f(x) = αx+β ΣΤ.4 ( 6.4) Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης ΣΤ.5 ( 6.5) Μελέτη συνάρτησης Ενότητα Z: Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 ( 7.1) Μελέτη της συνάρτησης f x αx Ζ. ( 7.) Μελέτη της συνάρτησης f x Ζ.3 ( 7.3) Μελέτη της συνάρτησης α χ f x αx βx γ, α Θέματα εξετάσεων

5 Eισαγωγικό Κεφάλαιο Σύνολα Το λεξιλόγιο της λογικής

6

7 Το λεξιλόγιο της λογικής 9. Συνεπαγωγή Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και συμβολίζεται με Ρ Q. Ο ισχυρισμός Ρ λέγεται υπόθεση και ο Q συμπέρασμα της συνεπαγωγής. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τους θετικούς αριθμούς α, β τότε συνεπάγεται ότι το άθροισμα τους είναι θετικός αριθμός, δηλαδή αν (α > 0 και β > 0) α + β >0 Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ο Q συνεπάγεται τον Ρ, τότε λέμε ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q και συμβολίζεται με Ρ Q. Πολλές φορές ο συμβολισμός Ρ Q διαβάζεται Ρ αν και μόνο Q. (Πολλές φορές ο συμβολισμός Ρ Q διαβάζεται Ρ αν και μόνο αν Q ). Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε δύο αριθμούς α, β τέτοιους ώστε α = β τότε ισχύει η ισοδυναμία α = β α + γ = β + γ O σύνδεσμος ή (διάζευξη) Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο όταν ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Για παράδειγμα η εξίσωση x(x + ) = 0 αληθεύει αν και μονο αν ένας από τους παράγοντες x και x + είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει η διάζευξη x = 0 ή x + = 0 Ο σύνδεσμος και (σύζευξη) Αν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο όταν και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Για παράδειγμα η ισότητα x + y = 0 αληθεύει αν και μόνο αν και οι δύο μεταβλητές x και y είναι ίσες με το μηδέν, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει η σύζευξη x = 0 και y = 0.

8 10. Το λεξιλόγιο της λογικής Ερωτήσεις κατανόησης - Ασκήσεις για Λύση 1) ) 3) 4) 5) 6) α 5 0 α 5 3x 3x x 1 α 3 α 9 α 16 α 4 α 4 α 16 0 α 0 α 4 7) α β α β 8) α β 0 α, β θετικοί αριθμοί 9) α = β και γ 0 α γ β γ 10) α < - και β < -3 α β 6 11) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ = ΒΓ ˆΓ Αˆ 1) Αν ˆω αμβλεία γωνία ημω > 0 και συνω > 0 13) x 4 και x < 0 x = -

9 Σύνολα 11. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας Θεωρία 1. α) Τι ονομάζεται σύνολο; β) Τι σημαίνουν τα σύμβολα, ; γ) Αναφέρατε παραδείγματα συνόλων. Απάντηση: α) Σύνολο ονομάζεται κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. ΠΡΟΣΟΧΗ! Σε ένα καλώς ορισμένο σύνολο, τα στοιχεία του εμφανίζονται μόνο μία φορά. β) Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του Α, γράφουμε x A και διαβάζουμε το x ανήκει στο Α, ενώ για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε x A. γ) Παραδείγματα συνόλων: Ν: Το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ: Το σύνολο των ακεραίων αριθμών Q: Το σύνολο των ρητών αριθμών R: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

10 1. Σύνολα Θεωρία. Πώς παριστάνεται ένα σύνολο; Απάντηση: Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε τους εξής τρόπους: i) Με αναγραφή Γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου, μεταξύ δύο αγκίστρων, από μία φορά το καθένα χωρίζοντάς τα με κόμμα. π.χ. A {3,5,7 }, B {1,,3,..., 0}, { 5,10,15,...} ii) Με περιγραφή Περιγράφουμε τα στοιχεία του συνόλου με μία χαρακτηριστική ιδιότητα: Ι = { x Ω/x έχει την ιδιότητα Ι } Παράδειγμα: A {x N / x 5} Το σύνολο Α, είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών που περιέχονται ανάμεσα στο και το 5. Δηλαδή, με αναγραφή Α={3,4} Θεωρία 3. α) Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β; β) Ποιες ιδιότητες ισχύουν για το σύμβολο ; Απάντηση: α) Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο το Β. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε A B. Για παράδειγμα στα σύνολα που γνωρίζουμε, ισχύει: N Z Q R β) Οι ιδιότητες που ισχύουν για το σύμβολο είναι: i) A A, για κάθε σύνολο Α, (ανακλαστικη ) ii) A B και Β Γ, τότε Α Γ, (μεταβατικη ) iii) A B και Β A, τότε Α B, (αντισυμμετρική) Θεωρία 4. Πότε δύο σύνολα Α, Β είναι ίσα; Απάντηση: Δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε: Α = Β. Ισχύει ότι Α = Β A B και Β Α. Οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω, για να δείξουμε ότι Α = Β, αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντίστροφα, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α.

11 Σύνολα 13. Θεωρία 5. Ποιο σύνολο ονομάζεται κενό; Απάντηση: Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν έχει καθόλου στοιχεία. Συμβολίζεται με ή{}. Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και είναι μοναδικό. Παράδειγμα: A {x N/ x 1 0}. Το σύνολο Α δεν έχει κανένα στοιχείο γιατί η λύση της εξίσωσης x + 1 = 0 x = 1 στο Ν. Θεωρία 6. Τι είναι διάγραμμα Venn; Απάντηση: Διάγραμμα Venn είναι μία εποπτική παρουσίαση των συνόλων που γίνεται με κλειστές γραμμές. Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. Το βασικό σύνολο σε διάγραμμα Venn συμβολίζεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου: Κάθε υποσύνολο ενός βασικού συνόλου, παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμ π ύ λ η ς : Όταν, B A η παράσταση σε διάγραμμα Venn γίνεται ως εξής:

12 14. Σύνολα Θεωρία 7. Τι ονομάζουμε: α) ένωση δύο συνόλων β) τομή δύο συνόλων γ) συμπλήρωμα ενός συνόλου Απάντηση: α) Ένωση δύο συνόλων Α,Β ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία των Α, Β. Συμβολίζουμε A B, και ισχύει: A B {x Ω/x Aήx B} β) Τομή δύο συνόλων Α,Β λέγεται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά τους στοιχεία Συμβολίζουμε A B και ισχύει: A B {x Ω/x A και x B} γ) Έστω Ω το βασικό σύνολο και Α ένα οποιοδήποτε σύνολο. Συμπλήρωμα του Α ονομάζουμε το σύνολο, που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται Α. Δηλαδή: A {x Ω / x A} Σημείωση: Στα παραπάνω διαγράμματα Venn το μπλέ τμήμα δείχνει το σύνολο που αναφερόμαστε.

13 Σύνολα 15. Ερωτήσεις κατανόησης - Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος τα παρακάτω: i) Δίνεται το σύνολο Α={1,,3,α,β} α) α A, β) 4 A, γ) {1,} A, δ) β A ii) {4}=4 iii) 4 {4} iv) { } v) Ω vi) Ω Απάντηση: i) (α) Σωστό: α είναι στοιχείο του Α. (β) Λάθος: 4 Α (γ) Λάθος: { 1, } Α. (δ) Λάθος: β είναι στοιχείο του Α, δηλαδή β Α. ii) Λάθος: Ένα σύνολο δεν είναι ίσο με αριθμό. iii) Σωστό: O αριθμός 4 είναι στοιχείο του συνόλου {4}. iv) Λάθος: Το κενό σύνολο δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το σύνολο { περιέχει ένα στοιχείο, το v) Σωστό: Το συμπλήρωμα του είναι το βασικό σύνολο Ω. vi) Σωστό: Το συμπλήρωμα του βασικού συνόλου Ω είναι το. Παράδειγμα Έστω Ω = {1,,3,4,5,6}, Α = {1,,3} και B = {3,4,5}. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) α. Α Β, β. Β Ω, γ. Β Α iii) α. Α Β {3} ii) α. Α Β 1,,4,5 β.α Β 3 γ. Α Β {6} γ. Α Β 1,,3,4,5 δ.α Β 6 iv) α. Α {3,4,5} γ. Α β. Α Β {1,,3,4,5} δ. Α Β β. Α {4,5,6} δ. Α {1,,3} Απάντηση: i) Óù óôü ôï (â): Το Ω είναι βασικό σύνολο οπότε Β Ω. ii) Σωστό το (γ): Η ένωση δύο συνόλων αποτελείται από τα κοινά και μη κοινά στοιχεία τους, μια φορά το καθένα. iii) Σωστό τα (α): Η τομή δυο συνόλων αποτελείται μόνο από τα κοινά στοιχεία. iv) Σωστό τα (β): Το Α περιέχει τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α.

14 16. Σύνολα Παράδειγμα 3 Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα. Α x N / x 6 B x N / x 1 Γ i) ii) iii) x R / x 1-1 Λύση: i) Είναι < x 6 και επειδή x Ν προκύπτει ότι x = 3 ή 4 ή 5 ή 6. Άρα: Α = {3,4,5,6}. ii) Έχουμε x 1 x 1 ή x 1 x 1 ή x 3 Επειδή x Ν η λύση x = 3 δεν είναι στοιχείο του Β. Άρα Β = {1}. iii) Επειδή x 1 0 δεν υπάρχει x R ώστε να ισχύει x 1 1 Άρα Γ =. Παράδειγμα 4 Να γραφούν με περιγραφή τα σύνολα: i) A,-1,0,1, ii) B 1, Λύση: i) Το Α γράφεται: A {x Z / x } ή μπορεί να γραφεί: Α = {x R / (x + )(x + 1)x(x 1)(x ) = 0} / ή μπορεί να γρα- ii) Το Β γράφεται: B x N 1 x φεί: B x R / x 1 x 0 Σημείωση: Παρατηρούμε ότι όταν έχουμε ένα σύνολο με αναγραφή δε γράφεται με έναν μόνο τρόπο ως σύνολο με περιγραφή. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Παράδειγμα 5 Να εξετάσετε αν A B όπου: A {x R / x 1 0} B {x N / x- 1} Λύση: Το σύνολο Α είναι το αφού η εξίσωση x + 1 = 0 δεν αληθεύει για κανένα x R. Για το σύνολο Β έχουμε: x 1 1 x 1 1 x 3. Άρα: Β = {}. Επειδή το είναι υποσύνολο κάθε συνόλου έχουμε A B. Παράδειγμα 6 Αν A B, B Γ, Γ Α να αποδείξετε ότι Α = Β = Γ. Απόδειξη: Αφού A B και B Γ τότε Α Γ (1) Όμως έχουμε Γ Α () Από (1), () προκύπτει Α = Γ (3) Επίσης A B, B Γ οπότε A B, B Α λόγω της (3), άρα και Α = Β (4) Από (3), (4) έχουμε: Α = Β = Γ

15 Σύνολα 17. Ερωτήσεις κατανόησης - Ασκήσεις για Λύση 1. Nα χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) {0,,4,...}={x /x ν, ν N} ii) Aν A B τότε Α Β Β iii) ( ) Ω iv) (Ω ) = v) {0}. Ομοίως για τις προτάσεις: i) {1,} {1,,3} ii) Aν A B τότε Α Β Β iii) {1,,3} iv) x {x} v) {{}} 3. Ομοίως για τις προτάσεις: i) {1,,3}={3,,1} ii) Aν x - 1 = 0 τότε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης είναι Α={ 1,1} iii) Aν x ακέραιος και x 1 ότε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης είναι Α={ 1,0,1} iv) Aν Ω={1,,3,...,10}, Α={1,,3,4}, Β={5,6,...,10} τότε: A B A B A B A B 4. Να επιλέξετε το γράμμα της σωστής απάντησης: i) Αν Α={1,,3}, Β={3,4} τότε το σύνολο Α Β είναι ίσο με: α) {1,,3} β) {3,4} γ) {1,,3,3,4} δ) {1,,3,4} ii) Η τομή των συνόλων των λύσεων των εξισώσεων x + 1 = 0 και x 1 = 0 είναι ίση με: α) β) {1} γ) { 1} δ) {0}

16 18. Σύνολα iii) Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης x(x -4)(x +4)(x 3 +8)=0 είναι ίσο με: α) Α={0,} β) Α={-,0,) γ) A={-,0) δ) Α={-,0, 3 } iv) Το σύνολο Α={ x R (x 1) 3 0 } σε μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων είναι: α) (-,1 3) (1 3, ) β) (1 3,1 3) γ) ( 3, 3 ) δ) ( 1 3, 1 3 ) 5. Στα παρακάτω διαγράμματα Venn ποιο σύνολο παριστάνει το σκιασμένο τμήμα; i) ii) α) A B, β) A B γ) A B δ) A B α) A B, β) A B γ) (A B ) (Β Α ) δ) (A B ) A iii) iv) α) A B Γ, β) A B Γ γ) (A B) (B Ã) δ) (A B) Γ α) (A B) β) (A B) γ) A (B Γ) δ) A Ω 6. Να παρασταθούν με αναγραφή τα σύνολα: α) Α= {x N/x ψηφίο του αριθμού 1334} β)β= {x Z/ x 3} γ)γ= {x N /1 x 4}

17 Σύνολα Ομοίως τα σύνολα: α) Α= {x Z/x 9} 4 β) Β= {x Z/ x 7x 0} γ) Γ= {x N / x 1} 8. Να παρασταθούν με περιγραφή τα σύνολα: α) Α= {, 1,0,1,} β) Β= {,} γ) Γ={0,1,,3} 9. Ποιο από τα παρακάτω σύνολα είναι ; α) Α= {x R / x 3 και x 8} β) Β= {x R / x 3 ή x 8} 3 5x x 1 13x γ) Γ= {x R / } 3 6 x x x δ) Δ= {x R / 5 5 ( 1 )} Δίνονται τα σύνολα: Α={0,1,,3} Β={, 1,0,1,,3,4}. Να βρεθούν: α) Η σχέση του συνόλου Α με το σύνολο Β. β) Τα A B, A B γ) Το συμπλήρωμα του Α ως προς το σύνολο αναφοράς Β 11. Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α={1,,3} 1. Να προσδιορισθεί ο α, ώστε να είναι ίσα τα σύνολα Α={1,α ), Β={α,1}

18