Ειδικά Συστήματα Ε έ ου Π οίου ( ) Ανασκόπηση Συστημάτ ν Ε έ ου. Δρ. Γεώρ ιος Παπα άμπρου

Ειδικά Συστήματα Ε έ ου Π οίου (8.3.45.8) Ανασκόπηση Συστημάτ ν Ε έ ου Δρ. Γεώρ ιος Παπα άμπρου

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2 Δρ. Γεώρ ιος Παπα άμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Ερ αστήριο Ναυτικής Μη ανο ο ίας Σ ο ή Ναυπη ών Μη ανο ό ν Μη ανικών Ε νικό Μετσό ιο Πο υτε νείο email: george.papalambrou@lme.ntua.gr http://www.lme.ntua.gr Περιε όμενα ενημέρ ση: 3/5/24 ΓΠ XƎL A TEX Εισα ή 3 2 Μα ηματικά Μοντέ α 3 3 Προδια ραφές Μετα ατικής Απόκρισης 5 4 Κ ασσικός Έ ε ος 6 5 Βέ τιστος Έ ε ος 8 5. Βέ τιστος Έ ε ος LQG................................... 9 6 Παρατηρητές και φί τρα Kalman 7 Προσαρμοστικός Έ ε ος με Μοντέ ο Αναφοράς 7. Ιστορική Αναδρομή....................................... 7.2 Εισα ή............................................ 7.3 Απ ά συστήματα Direct MRAC................................ 2 7.4 Εύρ στος Προσαρμοστικός Έ ε ος............................. 4 7.4. Μέ οδος Dead-zone.................................. 5 7.4.2 Με όδος Leakage.................................... 6 7.5 Παράρτημα: Συναρτήσεις Lyapunov.............................. 8 8 Αυτορυ μιζόμενος Προσαρμοστικός Έ ε ος 2 8. Tοπο έτηση πό ν....................................... 2 8.2 Ε ά ιστη μετα ητότητα.................................... 22

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 Εισα ή Στο παρόν κεφά αιο ίνεται ανασκόπηση της ε ρίας συστημάτ ν ε έ ου, ώστε να είναι κατανοητές οι διαφορετικές εφαρμο ές συστημάτ ν ε έ ου π οί ν που α παρουσιαστούν στη συνέ εια. Παρα έτονται στοι εία από κ ασσικό έ ε ο και ε ε κτές PID, έ τιστο έ ε ο και ε ε κτές Linear Quadratic, παρατηρητές, αυτοπροσαρμοστικό έ ε ο (self-tuning) προσαρμοστικό έ ε ο με μοντέ ο αναφοράς (MRAC). παρουσιάζονται τα ασικά αρακτηριστικά ψηφιακών συστημάτ ν ε έ ου. Ο σ εδιασμός συστημάτ ν ε έ ου με ανατροφοδότηση εξόδου (feedback control) έ ει δύο στό ους. Ο πρώτος είναι να τροποποιήσει κατά κάποιο τρόπο την δυναμική απόκριση του συστήματος. Ο δεύτερος είναι να μειώσει την ευαισ ησία της εξόδου του συστήματος σε διαταρα ές. Για παράδει μα, πο ές φορές είναι επι υμητό η έξοδος να ακο ου εί το σήμα εισόδου με αποδεκτά ρή ορο τρόπο είτε σε μόνιμη κατάσταση, με στα ερή την είσοδο αναφοράς, η έξοδος να είναι ίση με την αναφορά, παρουσία διαταρα ών. Η εικόνα δεί νει τις διαφορετικές με όδους συστημάτ ν ε έ ου που έ ουν υιο ετη εί μέ ρι σήμερα σε προσε ίσεις προ ημάτ ν ναυπη ικής, όπ ς ship autopilots, trajectory tracking control, maneuvering, dynamic positioning, κ π. Τα στοι εία είναι από τον T. Fossen, [Fos]. Σ ήμα : Μέ οδοι συστημάτ ν ε έ ου που έ ουν υιο ετη εί στην ναυπη ική 2 Μα ηματικά Μοντέ α Ως μοντέ ο εννοούμε τη μα ηματική περι ραφή δυναμικής μετα ο ής του συστήματος που πρόκειται να ε ε εί. Τα μοντέ α μας ενδιαφέρουν από τη σκοπιά του σ εδιασμού τ ν συστημάτ ν ε έ ου και ια αυτό τον ό ο έ ουν αμη ή τάξη και μει μένη πο υπ οκότητα. Τα μοντέ α προέρ ονται από τις διαφορικές εξισώσεις που διέπουν το πρό ημα, από εφαρμο ή με όδ ν ανα νώρισης συστημάτ ν (system identification) ή και συνδιασμό τους. Τα μοντέ α έ ουν τη μορφή συναρτήσε ν μεταφοράς (transfer functions) ή εξισώσε ν στο ώρο κατάστασης (state space). Βασική απαίτηση είναι η ικανότητα τους να περι ράφουν τη δυναμική του συστήματος. Στην περίπτ ση συναρτήσε ν μεταφοράς, περι ράφεται ο ό ος της εξόδου Y (s) πρός την είσοδο U(s),

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 4 όπου s είναι ο τε εστής Laplace G(s) = Y (s) U(s) Χρησιμοποιούνται τα δια ράμματα Bode, που παριστούν την μετα ο ή του μέτρου και της φάσης σε συνάρτηση με την συ νότητα. () Παράδει μα Προκειμένου να διατηρείται η πορεία του π οίου κατά την π εύση σε επι υμητή τιμή, ρησιμοποιείται αυτόματος πι ότος πορείας (course-keeping auto-pilot). Οι απ ουστευμένες εξισώσεις που περι ράφουν την κίνηση ενός π οίου στο επίπεδο προέρ ονται από τον Nomoto [Fos94]. Η διαφορική εξίσ ση είναι και η συνάρτηση μεταφοράς είναι T ψ + ψ = Kδ (2) ψ δ (s) = K s( + T s) όπου Τ είναι η στα ερά ρόνου, Κ το κέρδος, ψ η νία διεύ υνσης με τον άξονα X (heading angle) και δ η νία του πηδα ίου (rudder angle). Η εικόνα 2 δεί νει την κίνηση του π οίου στο οριζόντιο επίπεδο. Η εξίσ ση 3 ισ ύει ια αμη ές συ νότητες και μικρές τιμές δ (μέ ρι 35 μοίρες). (3) Σ ήμα 2: Η κίνηση του π οίου στο οριζόντιο επίπεδο Ως είσοδο (μετα ητή ε έ ου) ε ρούμε τη νία του πηδα ίου και ς έξοδο (ε ε όμενη μετα ητή) τη νία διεύ υνσης. Στην περίπτ ση εξισώσε ν στο ώρο κατάστασης, ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du (4) όπου x οι καταστάσεις (states), u η είσοδος(οι), y η έξοδος(οι). A είναι ο πίνακας συστήματος, B ο πίνακας εισόδου και C ο πίνακας εξόδου. Θε ρούμε ότι ό ες οι καταστάσεις είναι δια έσιμες από μετρήσεις. Στην πράξη κάτι τέτοιο είναι δύσκο ο ό δαπάνης σε όρ ανα μέτρησης ή αδυναμίας μέτρησης του με έ ους. Παράδει μα Δίνεται η εκτρομη ανικό σύστημα, σε μορφή εξισώσε ν ώρου κατάστασης, με είσοδο ε έ ου. Το διάνυσμα μετα ητών κατάστασης είναι x(t) = [τα ύτητα επιτά υνση]. Από τις μετα ητές κατάστασης μετρούνται και οι δύο με αισ ητήρια μοναδιαίου κέρδους, ενώ δεν υπάρ ει απευ είας τροφοδότηση εισόδου στην έξοδο. A = [ 2 3 ] [.5, B = 3 ], C = [ ] (5)

3 ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ 5 r Σ u ẋ = Ax + Bu x C y K Σ ήμα 3: Δομικό διά ραμμα ια το π ήρες σύστημα κ ειστού ρό ου με ε ε κτή Π ήρες σύστημα κ ειστού ρό ου με ε ε κτή φαίνεται στην εικόνα 3. Θε ρούμε έ ε ο με μετα ητές κατάστασης, με μορφή u = Kx. Οι τιμές του K υπο ο ίζονται με μέ οδο Ackermann ή έ τιστο έ ε ο. 3 Προδια ραφές Μετα ατικής Απόκρισης Σε μια συνάρτηση μεταφοράς, ς πό οι (poles) ορίζονται οι ρίζες του παρονομαστή και ς μηδενιστές (zeroes) οι ρίζες του αρι μητή. Οι πό οι του συστήματος κα ορίζουν την ευστά ειά του και την μετα ατική του απόκριση. Περι ραφές εφαρμο ών με συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης κα ύπτουν τις περισσότερες εφαρμο ές συστημάτ ν ε έ ου. Για συστήματα πρώτης τάξης, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = f as + όπου f το κέρδος και a η στα ερά ρόνου, η απόκριση σε ηματική είσοδο φαίνεται στο σ ήμα 4. (6) Σ ήμα 4: Προδια ραφές μετα ατικής απόκρισης συστημάτ ν πρώτης τάξης Το αρ ικό σύστημα έ ει απόκριση σε ηματική είσοδο u(t) που σ ετίζεται με τη στα ερά ρόνου α. Ζητούμενο από ένα σύστημα ε έ ου είναι να αυξη εί η τα ύτητα απόκρισης σύμφ να με την νέα επι υμητή στα ερά ρόνου. Για συστήματα δεύτερης τάξης, με συνάρτηση μεταφοράς κ ειστού ρό ου ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζω n s + ωn 2 (7) όπου ω n είναι η φυσική συ νότητα και ζ ο ό ος απόσ εσης, η απόκριση σε ηματική είσοδο φαίνεται στο σ ήμα 5. Η απόκριση αρακτηρίζεται από τα ακό ου α με έ η. Ως ρόνος ανύψ σης (rise time), t r, ε ρείται ο ρόνος που απαιτείται ια να ανέ ει η απόκριση από % σε 9%. Ο ρόνος κορυφής (peak time), t p, είναι ο ρόνος που απαιτείται ια να φτάσει η απόκριση στην πρώτη κορυφή της καμπύ ης. Η μέ ιστη υπερακόντιση (maximum overshoot), M p, είναι η τιμή της μέ ιστης κορυφής της καμπύ ης απόκρισης

4 ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 6 Σ ήμα 5: Προδια ραφές μετα ατικής απόκρισης συστημάτ ν δεύτερης τάξης μετρούμενης από τη μονάδα. Ο ρόνος αποκατάστασης (settling time), t s, είναι ο ρόνος που απαιτείται ια να φτάσει και να παραμείνει η καμπύ η απόκρισης μέσα σε ορισμένα όρια ύρ από την τε ική τιμή, π.. 2%. Σε αυτήν την περίπτ ση ισ ύει ότι t s = 4τ = 4 ζω n, τ = /ζω n (8) Για τον ρόνο κορυφής t p ισ ύει π t p = ω n ζ 2 Επίσης στην περίπτ ση που ισ ύει.3 ζ.8, τότε ο ρόνος ανύψ σης t r είναι (9) t r = 2.6ζ +.6 ω n () Περισσότερα στοι εία ια την μετα ατική απόκριση μπορούν να ρε ούν στα [DB], [FPEN5], [WZ9]. 4 Κ ασσικός Έ ε ος Σε πο ές περιπτώσεις η συμπεριφορά μιας ε κατάστασης σε μετα ατική ή μόνιμη απόκριση δεν είναι ικανοποιητική. Η τροποποίηση τ ν αρακτηριστικών ίνεται με την εισα ή κατά η ης διάταξης ε έ ου που ονομάζεται κατευ υντής (controller). Ο πιο διαδεδομένος τύπος ιομη ανικού ε ε κτή είναι ο Ανα ο ικός-ο οκ ηρ τικός-διαφορικός (Proportional-Integral-Derivative/PID). Για ένα τέτοιο ε ε κτή, η σ έση μεταξύ εισόδου u και σφά ματος e είναι Η συνάρτηση μεταφοράς είναι u(t) = K c e(t) + K c T D de(t) dt + K c T i t e(t) dt () G c (s) = K c ( + T D s + T i s ) (2) όπου K c είναι το ανα ο ικό κέρδος, T D είναι ο ρόνος διαφόρισης και T i είναι ο ρόνος ο οκ ήρ σης. Οι στα ερές μπορούν να προσαρμόζονται ώστε να επιτυ άνεται η επι υμητή απόκριση. Β έπουμε από τη συνάρτηση μεταφοράς ότι ο ε ε κτής αυτού του τύπου περι αμ άνει δύο μηδενιστές και ένα πό ο στο. Σύστημα PID φαίνεται στο Σ ήμα 6. Παράδει μα PID Δίνεται σύστημα κεφα ής σκ ηρού δίσκου, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 7 s 2 + 5s + (3)

4 ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 7 Set Point r e u PID Plant y Output Σ ήμα 6: Σύστημα κ ειστού ρό ου με ε ε κτή PID που συνδέει τη νιακή έση (σε rad) με την εντο ή στον κινητήρα έσης (σε ma). Ζητείται να σ εδιαστεί ε ε κτής PID. Χρησιμοποιούμε ε ε κτή τύπου PI με συνάρτηση μεταφοράς K(s) = s + s Οι αποκρίσεις ε ε κτών PI, PID φαίνονται στο σ ήμα 7. Όπ ς φαίνεται στην απόκριση του συστήματος (4) Step response of system Amplitude.5..5..2.3.4.5.6.7 Time (sec) Step response of closed loop system with PI Amplitude.5..2.3.4.5.6.7.8 Time (sec) Step response of closed loop system with PID Amplitude.5.5.5..5.2.25.3 Time (sec) Σ ήμα 7: Απόκριση ε ε κτή PI, PID ανοι τού ρό ου, η συμπεριφορά είναι έντονα τα αντ τική, ό της πο ύ αμη ής απόσ εσης. Με ρήση της εντο ής damp(den) προκύπτουν οι ιδιοτιμές, ο συντε εστήςς απόσ εσης και η φυσική συ νότητα. Έτσι εδώ έ ουμε ζ = 2.37e 2, ω n = 3.6e + 2rad/s. Για το συ κεκριμένο παράδει μα έ ουμε τις παρακάτ εντο ές. den=[ 5 e5];

5 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 8 num=7; gg=tf(num,den); step(gg) % PI K=tf([ ],[ ]) L=series(gg,K) % series connection Gcl=feedback(L,); % closed-loop with negative feedback step(gcl) %PID K2=tf([.459 9.64 42857],[ ]) L2=series(gg,K2) Gcl2=feedback(L2,); step(gc2) Στην περίπτ ση ε ε κτή PID, ο ρόνος αποκατάστασης (settling time) είναι.25 sec, σε σύ κριση με τα.7 sec του συστήματος. Επίσης δεν υπάρ ουν οι τα αντώσεις υψη ής συ νότητας. Το διά ραμμα Bode ια το σύστημα κ ειστού ρό ου φαίνεται στο Σ ήμα 8. 5 Bode Diagram Magnitude (db) 5 5 2 3 Phase (deg) 3 6 2 3 Frequency (rad/sec) Σ ήμα 8: Το διά ραμμα Bode ια το σύστημα κ ειστού ρό ου Περισσότερα στοι εία σ ετικά με τα συστήματα κ ασσικού ε έ ου υπάρ ουν στα [DB], [FPEN5]. 5 Βέ τιστος Έ ε ος Ο έ τιστος έ ε ος εισή η το 96, ταυτό ρονα σε ΗΠΑ και πρώην Σο ιετική Έν ση, την επο ή που παρουσίαζε ενδιαφέρον η έρευνα ια κα οδή ηση (guidance) και ε ι μούς (maneuvering). Ο Βέ τιστος Έ ε ος (Optimal control) επιδιώκει η απόδοση να είναι εκτός από αποδεκτή και έ τιστη. Στον Κ ασσικό έ ε ο προσπα ούμε να ε α ιστοποιήσουμε το σφά μα σε κα ορισμένα ρονικά σημεία, π.. σφά μα μόνιμης κατάστασης. Στον Βέ τιστο έ ε ο ε α ιστοποιούμε το σφά μα παντού. Συνάρτηση κόστους ή δείκτης ειτουρ ικής απόδοσης (ΔΛΑ-performance index) μπορεί να είναι το ο οκ ήρ μα σφά ματος J ή το ο οκ ήρ μα από υτης τιμής σφά ματος J 2 J = tf t i e 2 (t)dt, J 2 = tf t i e(t) dt (5) Για ραμμικό μοντέ ο και τετρα νική συνάρτηση σφά ματος, το πρό ημα είναι ν στό ς Γραμμικό Τετρα νικό (Linear Quadratic-LQ). Η συνάρτηση κόστους ορίζεται ς J = 2 (x T Qx + u T Ru)dt (6)

5 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 9 Ο έ τιστος νόμος ε έ ου (Linear Quadratic Regulator-LQR) προκύπτει με ανατροφοδότηση κατάστασης u = Kx(t) (7) Το κέρδος του ε ε κτή δίνεται από K = R B T P (8) όπου P είναι συμμετρική ετικά ημιορισμένη ύση της α ε ρικής εξίσ σης Riccati A T P + P A P BR B T P + Q = (9) Οι πίνακες άρους Q,R αποτε ούν επι ο ή του μη ανικού και επιδρούν στις μετα ητές x,u. Συνή ς έ ουν δια ώνια μορφή (q ii, r ii ), και τα στοι εία τους κα ορίζουν τη συμμετο ή τ ν μετα ητών κατάστασης και εισόδ ν ε έ ου στη συνο ική συνάρτηση κόστους. Η ενέρ εια του συστήματος σ ετίζεται με τον παρά οντα x T Qx. Κατά τη μετα ατική κατάσταση, πρέπει η ενέρ εια να πέφτει ρή ορα στο μηδέν. Η μέ ιστη τιμή της σ ετίζεται με την υπερακόντιση, ενώ ο ρόνος μεί σης της ενέρ ειας στο μηδέν σ ετίζεται με τον ρόνο αποκατάστασης (settling time). Η ενέρ εια ε έ ου σ ετίζεται με τον παρά οντα u T Ru. Παράδει μα 5. Σ εδιασμός έ τιστου ε ε κτή. Δίνεται σύστημα διπ ού ο οκ ηρ τή, με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = /s 2. Θε ρούμε ότι x = [x x 2 ]. Σε μορφή εξισώσε ν ώρου κατάστασης έ ουμε ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du (2) με A = [ ; ]; B = [; ]; C = [ ]; D = []. Ζητείται να σ εδιαστεί έ τιστος ε ε κτής LQR. Ο έ τιστος ε ε κτής LQR στο MATLAB υ οποιείται με την εντο ή [k,m,e]=lqr(a,b,q,r). k είναι το κέρδος του ε ε κτή, m είναι η ύση της εξίσ σης Riccati και e οι ιδιοτιμές του συστήματος κ ειστού ρό ου. Q, R είναι πίνακες αρών ια τις καταστάσεις και τις εισόδους αντίστοι α. Για το συ κεκριμένο παράδει μα έ ουμε τις παρακάτ εντο ές. Q=[ ; ] R=.6 %R=.6,.5,.5, [k,m,e]=lqr(a,b,q,r) sys=ss(a-b*k,zeros(2,),c,zeros(,)) [y,t,x]=initial(sys,[ ]'); u=k=-k*x'; Οι αποκρίσεις και οι εντο ές ε έ ου ια διαφορετικές τιμές του R =.6,.5,.5, φαίνονται στο Σ ήμα 9. Για R =.6, το κέρδος K = [7.957 3.9764]. Για R =.5, το κέρδος K = [4.472 2.997]. Για R =.5, το κέρδος K = [.442.688]. Τέ ος, ια R =, το κέρδος K = [.362.7953]. 5. Βέ τιστος Έ ε ος LQG Στον Βέ τιστο Έ ε ο LQG ε ρούμε ραμμικό, ρονικά αμετά ητο σύστημα, με εξισώσεις ώρου κατάστασης συνε ούς ρόνου ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ew(t), y(t) = Cx(t) + v(t) (2) όπου x είναι το διάνυσμα κατάστασης, u είναι το διάνυσμα εισόδ ν ε έ ου, y είναι το διάνυσμα μετρήσιμ ν εξόδ ν. w, v είναι τυ αία διαταρα ή και τυ αίος όρυ ος στις μετρήσεις, με ν στά στατιστικά αρακτηριστικά. A, B, C, E είναι πίνακες με στα ερά στοι εία. Ο έ τιστος νόμος ε έ ου (Linear Quadratic Gaussian-LQG) προκύπτει με ανατροφοδότηση έ τιστης εκτιμούμενης κατάστασης u = Kx(t) ˆ (22)

6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΚΑΙ ΦΙΛΤΡΑ KALMAN 2 r=.6, u( ) r=.5 2 2 4 3 6 4 8 2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 r=.5 r=.5.8.6.4.5.2.2.5 2 3 4 5 6.4 2 3 4 5 6 Σ ήμα 9: Η μετα ο ή τ ν καταστάσε ν και οι εντο ές ε έ ου στον έ τιστο έ ε ο, ια διαφορετικές τιμές του R Το κέρδος K δίνεται από K = R B T P (23) όπου P είναι συμμετρική ετικά ημιορισμένη ύση της α ε ρικής εξίσ σης Riccati. Το ˆx δίνεται από φί τρο Kalman και αποτε εί την εκτίμηση της κατάστασης. Το φί τρο Kalman ονομάζεται παρατηρητής (observer) και παρέ ει την εκτίμηση της κατάστασης. Δέ εται π ηροφορίες από την είσοδο u και την παρατηρούμενη μετα ητή y. Περισσότερα στοι εία σ ετικά με συστήματα έ τιστου ε έ ου υπάρ ουν στα [?], [DB], [FPEN5], [?]. 6 Παρατηρητές και φί τρα Kalman Στην παρά ραφο αυτή παρουσιάζονται π ηροφορίες ια τους παρατηρητές και τα φί τρα Kalman Πο ές φορές οι νόμοι ε έ ου προυπο έτουν τη δια εσιμότητα τ ν καταστάσε ν (states, x) του συστήματος προς έ ε ο. Στην πράξη δεν αμ άνονται μετρήσεις από ό ες τις μετα ητές καταστάσε ν, ια ό ους κόστους (αισ ητήρια και διατάξεις δει ματο ηψίας) ή εφικτότητας, εφόσον μπορεί να μην υπάρ ει πρόσ αση στα σημεία μέτρησης. Χρησιμοποιούνται τότε παρατηρητές (observers), όπου από μετρήσεις ορισμέν ν καταστάσε ν μπορούν να ανακατασκευαστούν ά ες καταστάσεις που δεν είναι δια έσιμες. Η εικόνα 2 δεί νει τη δομή συστήματος ε έ ου με παρατηρητή. Ο παρατηρητής δέ εται τα δεδομένα από την είσοδο ε έ ου u και την έξοδο y και παρέ ει εκτίμηση x του διανύσματος κατάστασης. Στην περίπτ ση που οι μετρήσεις περιέ ουν όρυ ο, τότε ρησιμοποιούνται φί τρα Kalman. Περισσότερα στοι εία ια την εφαρμο ή της με όδου αυτή υπάρ ουν στο [Kri85].

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ r Σ u ẋ = Ax + Bu x C y K ˆx Observer Σ ήμα : Σύστημα ε έ ου με παρατηρητή 7 Προσαρμοστικός Έ ε ος με Μοντέ ο Αναφοράς 7. Ιστορική Αναδρομή Η έρευνα στον προσαρμοστικό έ ε ο (adaptive control) έ ει μακρά ιστορία έντονης δραστηριότητας και περι αμ άνει διαφ νίες ια τον ακρι ή ορισμό του προσαρμοστικού ε έ ου, παραδεί ματα με αστά ειες, αποδείξεις ευστά ειας και ευρ στότητας (robustness) κα ώς και εφαρμο ές. Ξεκινώντας στις αρ ές του 95, ο σ εδιασμός αυτόματ ν πι ότ ν ια αεροσκάφη υψη ών επιδόσε ν δημιούρ ησε το κίνητρο ια την έρευνα στον προσαρμοστικό Έ ε ο. Σε τέτοια αεροσκάφη, κατά την πτήση από το ένα σημείο ειτουρ ίας στο ά ο η δυναμική του αεροσκάφους μετα ά εται σημαντικά και δεν κα ύπτεται από ε ε κτές με στα ερές παραμέτρους (constant gain). Ένας ε ε κτής όπ ς ο προσαρμοστικός ε ε κτής μπορεί να αντιμετ πίσει τέτοιες α α ές. Προσαρμοστικός έ ε ος με μοντέ ο αναφοράς (Model Reference Adaptive Control-MRAC) προτά ηκε από τον Whitaker το 958 με ρήση του νόμου ΜΙΤ (MIT rule) και τη μέ οδο διαφορικού (gradient), όπου η υ οποίηση του μοντέ ου έ ινε με ανα ο ικό υπο ο ιστή. Η μέ οδος ΜΙΤ δεν ε υάται ότι το σφά μα e α διατηρη εί εντός ορί ν. Προτά ηκε έτσι μέ οδος MRAC με συναρτήσεις Lyapunov από τον Parks το 966. Οι επιτυ ίες συνε ίστηκαν μέ ρι το 97, με διάφορες εφαρμο ές. Ακο ού ησε αμφισ ήτηση της με όδου το 979, κα ώς παρατηρή ηκε ότι δημιουρ είται αστά εια με την παρουσία μικρών διαταρα ών ή μη-μοντε οποιημένης δυναμικής. Έτσι τη δεκαετία του 98 με ετή ηκαν α α ές, οδη ώντας π έον στη σημερινή μορφή του εύρ στου προσαρμοστικού ε έ ου (Robust Adaptive Control). Επιτυ ή παραδεί ματα MRAC στη ναυπη ική είναι ο αυτόματος πι ότος πορείας π οίου που αναπτή ηκε από τον van Amerongen [va84]. Περισσότερα στοι εία ια συστήματα MRAC υπάρ ουν στα [NA89], [IS96], [SL9]. 7.2 Εισα ή Εξετάζεται στη συνέ εια του κεφα αίου αυτού η μέ οδος MRAC με άση την ευστά εια κατά Lyapunov. Γενικά στον προσαρμοστικό έ ε ο ο σ εδιασμός αποτε είται συνή ς από τρία στάδια: επι ο ή του νόμου ε έ ου που α περι αμ άνει μετα ητές παραμέτρους επι ο ή του νόμου προσαρμο ής τ ν μετα ητών παραμέτρ ν ανά υση τ ν ιδιοτήτ ν σύ κ ισης του συστήματος ε έ ου που προκύπτει. Αυτο συνή ς ίνεται με ρήση συνάρτησης Lyapunov V, περι ράφοντας το συνο ικό σφά μα, και έ έ οντας κατόπιν πότε η παρά ος αυτής ίνεται αρνητική. Στον προσαρμοστικό έ ε ο με μοντέ ο αναφοράς (MRAC) οι παράμετροι κέρδους του ε ε κτή προσαρμόζονται αυτόματα προκειμένου να π ησιάζει η απόκριση του συστήματος την απόκριση του μοντέ ου αναφοράς. Η δομή φαίνεται στο Σ.. Η συνάρτηση μεταφοράς W m (s) του μοντέ ου αναφοράς επι έ εται έτσι ώστε ια δεδομένη είσοδο αναφοράς r(t) η έξοδος y m (t) του μοντέ ου αναφοράς παριστά την επι υμητή απόκριση που έ ουμε να ακο ου ήσει το σύστημα y p (t). Ο ε ε κτής C(θ c ) σ εδιάζεται έτσι ώστε ό α τα σήματα να είναι φρα μένα (bounded) και η συνάρτηση μεταφοράς κ ειστού ρό ου από το r στο y είναι ίση με W m (s). Περισσότερα ια συναρτήσεις Lyapunov υπάρ ουν στην παρά ραφο 7.5

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 2 r(t) Reference Model Controller u y m (t) Plant y p (t) + Σ e (t) Adaptation law Σ ήμα : Διάταξη Προσαρμοστικού Ε έ ου με Μοντέ ο Αναφοράς. Η ομοιότητα αυτή στη συνάρτηση μεταφοράς ε υάται ότι ια κά ε είσοδο αναφοράς r το σφά μα e = y p y m, που παριστά την απόκ ιση της εξόδου του συστήματος από την επι υμητή τρο ιά της, συ κ ίνει στο μηδέν με την πάροδο του ρόνου. Η ομοιότητα της συνάρτησης μεταφοράς είναι δυνατή με ακύρ ση τ ν μηδενιστών της συνάρτησης μεταφοράς (zeros cancellation) και αντικατάστασή τους με αυτούς της W m (s), μέσ του ε ε κτή C(θ c ). Η ακύρ ση μηδενιστών δημιουρ εί περιορισμό στον τύπο του συστήματος, ώστε αυτό να είναι ε ά ιστης φάσης (minimum phase), έ οντας ευστα είς μηδενιστές (stable zeros). Εάν το σύστημα είναι αστα ές, η ακύρ ση α οδη ήσει σε σήματα μη-φρα μένα. Ο σ εδιασμός του C(θ c ) απαιτεί την νώση τ ν συντε εστών του συστήματος G(s). Αν θ c είναι διάνυσμα που περι αμ άνει ό ους τους συντε εστές της G(s) = G(s, θ ), τότε το διάνυσμα παραμέτρ ν θ c υπο ο ίζεται ύνοντας την α ε ρική εξίσ ση θ c = F (θ ) (24) Η μέ οδος MRAC με ευστά εια κατά Lyapunov προυπο έτει την εύρεση συνάρτησης Lyapunov, V [e(t)], που α εξαρτάται από τις παραμέτρους του συστήματος που ε έ εται, του μοντέ ου αναφοράς και του νόμου ε έ ου. Διακρίνουμε δύο τύπους ε έ ου MRAC: τον ευ ύ (direct), όπου το διάνυσμα παραμέτρ ν θ, του ε ε κτή C(θ) ενημερώνεται απευ είας από ένα νόμο προσαρμο ής κα ώς και τον έμμεσο(indirect), όπου το θ υπο ο ίζεται από σ έση που το συνδέει με τις εκτιμούμενες σε πρα ματικό ρόνο παραμέτρους του συστήματος (plant parameters). Στο παρόν κεφά αιο εξετάζεται η πρώτη περίπτ ση, δη. direct MRAC. Υπάρ ουν διάφορες περιπτώσεις MRAC, ανά ο α με τον τύπο του συστήματος. Η πιό απ ή περίπτ ση αφορά σύστημα πρώτης τάξης ραμμικό α ά και μη ραμμικό. Γενικεύοντας εδώ, έ ουμε περιπτώσεις συστήματος με π ήρες διανύσμα κατάστασης, με την προυπό εση ότι αυτό μετράται. Κατόπιν έ ουμε περιπτώσεις εισόδου-εξόδου, ανά ο α με τον σ ετικό α μό (relative degree) n (διαφορά πό ν-μηδενιστών). 7.3 Απ ά συστήματα Direct MRAC Θε ρούμε την απ ή περίπτ ση scalar adaptive tracking, δη. έ ε ο όπου σύστημα πρώτης τάξης προσπα εί να ακο ου ήσει την είσοδο. Θε ρούμε σύστημα πρώτης τάξης ẋ = αx + bu (25) με α, b ά ν στες στα ερές, με ν στό το πρόσημο της b. Στό ος του συστήματος ε έ ου είναι να κα ορίσει νόμο ε έ ου u ώστε ό α τα σήματα στο σύστημα κ ειστού ρό ου να είναι φρα μένα και το x να ακο ου εί την κατάσταση x m του μοντέ ου αναφοράς που δίνεται από την ẋ m = α m x m + b m r x m = b m r (26) s + α m

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 3 με τα α m >, b m ν στά και τα x m (t), r(t) μετρημένα σε κά ε ρονική στι μή t. Νόμος Ε έ ου (control law). Για να ακο ου εί το x την τιμή του x m ια κά ε είσοδο αναφοράς r(t), τότε ο νόμος ε έ ου α πρέπει να επι ε εί έτσι ώστε η συνάρτηση μεταφοράς κ ειστού ρό ου από την είσοδο r στην έξοδο x να είναι ίδια με αυτή του μοντέ ου αναφοράς. Προτείνεται ς νόμος ε έ ου ο με τα k, l υπο ο ισμένα έτσι ώστε Η (28) ικανοποιείται αν έσουμε x(s) r(s) = u = k x + l r (27) bl s α + bk = b m = x m(s) s + a m r(s) l = b m b, k = a m + a b Εφόσον τα α, b είναι ά ν στα, τότε η (27) δεν μπορεί να υ οποιη εί. Μπορούμε τότε να έσουμε (28) (29) u = k(t)x + l(t)r (3) αντικα ιστώντας τα k, l με τις εκτιμήσεις τους k, l, αναζητώντας π έον νόμο προσαρμο ής ια να τα υπο ο ιζει on-line. Νόμος Προσαρμο ής (adaptation law). Θε ρούμε την εξίσ ση σφά ματος που συνδέει τα σφά ματα παραμέτρ ν k = k k, l = l l με το σφά μα εκτίμησης ϵ = x, δη. Θε ρούμε τη συνάρτηση ϵ = α m ϵ + b( kx + lr), ϵ = e = x x m (3) V (ϵ, k, l) = ϵ2 2 + k 2 2γ b + l 2 2γ 2 b (32) με γ, γ 2 > ς συνάρτηση Lyapunov. Παρα ίζοντας αμ άνουμε την V ς V = α m ϵ 2 b kϵ x + b lϵ r + b k γ f + b l γ 2 f 2 (33) Επειδή b = b sgn(b), οι μη-ορισμένοι όροι της (33) φεύ ουν αν επι έξουμε f = γ ϵ x sgn(b), f 2 = γ 2 ϵ r sgn(b). Έτσι ια το νόμο πρσαρμο ής k = γ ϵ x sgn(b), l = γ 2 ϵ r sgn(b) (34) έ ουμε V = α m ϵ 2 (35) Υ οποίηση Ο προσαρμοστικός ε ε κτής δίνεται από τις εξισώσεις (3), (34). Το δομικό του διά ραμμα φαίνεται στο Σ. 2. Τα προσαρμοζόμενα κέρδη γ, γ 2 είναι παράμετροι σ εδιασμού και επηρεάζουν τη μετα ατική απόκριση του συστήματος κ ειστού ρό ου. Επίσης επι έ ονται οι αρ ικές τιμές τ ν ο οκ ηρ τών l(), k(). Παράδει μα 7. Σ εδιασμός ε ε κτή MRAC συστήματος ης τάξης Σ εδιάζεται με άση τις (3), (34) ε ε κτής MRAC ια σύστημα ης τάξης έ οντας μοντέ ο αναφοράς ẋ = x + 3u (36) ẋ m = 4x m + 4r (37) ια είσοδο αναφοράς r(t) = 4 και r(t) = 3 + 3sin(t). Θε ρούμε γ = γ 2 = 2. Τα αποτε έσματα της προσομοί σης φαίνονται στο Σ. 3. Μετα ο ή της συνάρτησης Lyapunov ια r(t) = 4 φαίνεται στο Σ. 4.

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 4 x m bm s+am Σ ɛ = ɛ r(t) l(t) u Σ s a x + s l() k(t) X γ 2 sgn(b) s k() X γ sgn(b) Σ ήμα 2: Δομικό διά ραμμα που υ οποιεί τον προσαρμοστικό ε ε κτή τ ν (3), (34). 7.4 Εύρ στος Προσαρμοστικός Έ ε ος Στην ιδανική περίπτ ση το μοντέ ο ενός συστήματος περι ράφει ικανοποιητικά την δυναμική του, ώστε να μπορεί να ρησιμοποιη εί σε εφαρμο ές σ εδιασμού ενός συστήματος ε έ ου. Στην πράξη όμ ς οι διάφορες ασάφειες (uncertainties) κατά την μοντε οποίηση δημιουρ ούν αποκ ίσεις του μοντέ ου από την πρα ματική συμπεριφορά του συστήματος. Γενικά διακρίνουμε δύο ειδών ασάφειες: α) παραμετρικές (parametric), με διάφορες αποκ ίσεις στις παραμέτρους του μοντέ ου, όπ ς ια παράδει μα στις τιμές τ ν πό ν ή/και του μέτρου όταν το μοντέ ο εκφράζεται σε μορφή συνάρτησης μεταφοράς ή στις τιμές τ ν μητρών A, B όταν το μοντέ ο εκφράζεται σε μορφή εξισώσε ν ώρου κατάστασης, ) μη-παραμετρικές (non-parametric) όπ ς μη-μοντε οποιημένη δυναμική σε αμη ές ή/και υψη ές συ νότητες, όρυ ος (παρεμ ο ές) στις μετρήσεις, παρά οντες κα υστέρησης στη δυναμική ή/και στη δει ματο ηψία κα. Μέ ρι τώρα εξετάσαμε περιπτώσεις με παραμετρικές ασάφειες όπου μπορούσε να επιτευ εί σύ κ ιση στην εκτίμηση παραμέτρ ν και συνεπώς ικανοποιητική συμπεριφορά του συστήματος ε έ ου. Στην περίπτ ση όμ ς που υπάρ ουν διαταρα ές, σφά ματα στη μοντε οποίηση και μετα ο ές παραμέτρ ν, οι ιδιότητες ευστά ειας που παρουσιάστηκαν ς τώρα παύουν να ισ ύουν. Τη δεκαετία του 98 νέοι σ εδιασμοί προτά ηκαν και ανα ύ ηκαν, κατα ή οντας στο σημερινό εύρ στο προσαρμοστικό έ ε ο (robust MRAC). Σήμερα υπάρ ουν αρκετοί μέ οδοι εύρ στου MRAC, που είτε τροποποιούν τον νόμο προσαρμο ής όπ ς leakage, dead-zone, dynamic normalization, parameter projection, ή τροποποιούν την είσοδο αναφοράς. Στη συνέ εια παρουσιάζονται οι μέ οδοι dead-zone και leakage. Πρώτα όμ ς ας δούμε π ς μη-παραμετρικές ασάφειες οδη ούν ένα σύστημα MRAC σε αστά εια, εξετάζοντας το ν στό παράδει μα του Rohr, από το [SL9]. Παράδει μα 7.2 Αστά εια ε ε κτή MRAC. Εδώ ένα σύστημα πρώτης τάξης που περιέ ει μη-μοντε οποιημένη δυναμική και όρυ ο στις μετρήσεις έ ει σύστημα ε έ ου MRAC. Το ασικό (nominal) μοντέ ο του συστήματος ε ρείται ς H(s) = k p s + a p (38) Το μοντέ ο αναφοράς είναι M(s) = k m = 3 s + a m s + 3 (39)

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 5 Σ ήμα 3: MRAC συστήματος ης τάξης με r(t) = 3 + 3sin(t) και r(t) = 4. Το πρα ματικό σύστημα έ ει συνάρτηση μεταφοράς y(s) = 2 229 s + s 2 + 3s + 229 u (4) οπότε έπουμε ότι είναι τρίτης τάξης σε αντί εση με το ασικό μοντέ ο που ε ρήσαμε ότι είναι 229 πρώτης τάξης. Η μη-μοντε οποιημένη δυναμική προκύπτει ότι είναι s 2 +3s+229, δη. πό οι σε υψη ή συ νότητα με μικρή απόσ εση στα ( 5 +j) and ( 5 j). Επιπ έον υπάρ ει όρυ ος στις μετρήσεις, n(t), ίσος με n(t) =.5 sin(6.t). Το π ήρες σύστημα προσαρμοστικού ε έ ου φαίνεται στο Σ. 5. Αποτε έσματα ια είσοδο αναφοράς r = 2, φαίνoνται στο Σ. 6, επάν. Η έξοδος y(t) αρ ικά συ κ ίνει στην περιο ή y = 2, κατόπιν εμφανίζεται μικρή τα άντ ση στο σφά μα ό του ορύ ου και τε ικά αποκ ίνει στο άπειρο. 7.4. Μέ οδος Dead-zone Η μέ οδος Dead-zone ε ρεί ότι μικρά σφά ματα στην έξοδο (tracking errors) περιέ ουν τις πιο πο ές φορές όρυ ο και διαταρα ές, οπότε μπορεί να σταματήσει ο μη ανισμός προσαρμο ής όταν αυτά τα σφά ματα ίνουν μικρά. Α άζουμε τον νόμο προσαρμο ής της μορφής â = γ v e (4) κατά με το μέ ε ος της dead-zone. â = { γ v e, e >, e <

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 6 Σ ήμα 4: Μετα ο ή της συνάρτησης Lyapunov ια r(t) = 4. Reference model 3 s+3 noise n(t) y m (t) Σ e (t) r(t) k(t) Σ Nominal model Unmodelled dynamics u(t) Σ 2 s+ 229 s 2 +3s+229 + y p (t) θ T Σ ήμα 5: MRAC με μη-μοντε οποιημένη δυναμική και όρυ ο στις μετρήσεις. Οπ ς φαίνεται και στο ακό ου ο παράδει μα, αυτή η απ ή μετατροπή μειώνει δραστικά την επίδραση διαταρα ών. Παράδει μα 7.3 Αντιμετώπιση αστά ειας ε ε κτή MRAC Θε ρώντας πά ι το παράδει μα του Rohr, α άζουμε το νόμο προσαρμο ής έτοντας dead-zone =.7. Τα αποτε έσματα φαίνoνται στο Σ. 6, κάτ. Το σφά μα εξόδου μένει κοντά στην ιδεατή απόκριση y = 2, με τά αντ ση ό του ορύ ου μέτρησης. Οι παράμετροι τώρα δεν παρουσιάζουν ένδειξη απόκ ισης. Η τα άντ ση είναι ρή ορη εφόσον η κ ίμακα ρόνου στην εικόνα είναι με ά η και ο όρυ ος έ ει υψη ή συ νότητα. Το Σ. 7 παρουσιάζει το επίπεδο τ ν φάσε ν. 7.4.2 Με όδος Leakage Στη μέ οδο Leakage, η ιδέα είναι να τροποιη εί ο νόμος προσαρμο ής ώστε η ρονική παρά ος της συνάρτησης Lyapunov ίνεται αρνητική στο διάστημα εκτιμησης παραμέτρ ν, όταν οι παράμετροι αυτοί ξεπερνούν ορισμένα όρια. Θε ρούμε αρ ικό νόμο προσαρμο ής ς θ = γϵ u, ϵ = y θu (42) Στη μέ οδο Leakage ίνεται α α ή του αρ ικού νόμου προσαρμο ής ς θ = γϵ u γ wθ, ϵ = y θu (43) όπου ο όρος wθ, με w >, μετατρέπει την αρ ική ο οκ ηρ τική δράση του νόμου (42) σε δράση με διαρροή (leakage). Υπάρ ουν διάφορες επι ο ές ια τον όρο w(t) ς εξής.

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 7 Σ ήμα 6: Επάν : Αστά εια και απόκ ιση τ ν παραμέτρ ν σε σύστημα MRAC με μη-μοντε οποιημένη δυναμική. Κάτ : Εύρ στος προσαρμοστικός έ ε ος με dead-zone.. Α α ή στο σ (σ-modification). Η πιό απ ή μορφή leakage, όπ ς προτά ηκε από τους Ioannou και Kokotovic, είναι w(t) = σ >, t (44) με σ μια μικρή στα ερά. Ο νόμος ε έ ου τώρα ίνεται θ = γϵ u γ σθ (45) 2. Ενα α ή στο σ (switching σ). Η παράμετρος σ δεν α είναι ενερ ή όταν οι εκτιμούμενοι παράμετροι ρίσκονται εντός αποδεκτών ορί ν. Έτσι τώρα το σ α άζει ς w(t) = σ s, {, θ < M σ s = σ, θ M 3. Α α ή στο ϵ (ϵ -modification). 4. Φρα μός στο θ. Άσκηση 7.4 Θε ρούμε σύστημα ε έ ου διατήρησης τα ύτητας ο ήματος (cruise control). Η σ έση τα ύτητας ο ήματος, V, και νίας πεντά καζιού, θ, είναι V = b θ + d, (46) s + α

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 8 Σ ήμα 7: Το επίπεδο τ ν φάσε ν. όπου d είναι διαταρα ή ό φορτίου. Οι τιμές τ ν α, b είναι ά ν στες. Εξετάζεται η ρήση εύρ στου ε έ ου MRAC, με μοντέ ο αναφοράς όπου b m =.5, α m =.5. Ζητούνται: V m =. Σ εδιάστε σύστημα direct MRAC, με τις τιμές τ ν α, b, d ά ν στες. 2. Κάντε προσομοί ση του συστήματος, με V setpoint =35 km/h, με τιμές (αʹ) α =.2, b =.3, d = ( ʹ) α =.2(2 + sin(.t)), b =.3, d = sin(.2t) b m s + α m V setpoint (47) 3. Προσ έστε στο σύστημα (plant) κα υστέρηση ς παρά οντα Pade πρώτης τάξης.25 sec. Επανα ά ατε την προσομοί ση όπ ς πρίν, ρυ μίζοντας πά ι τα κέρδη του MRAC. 4. Α άξτε το αρ ικό σύστημα ώστε τώρα να περι αμ άνει δυναμική που δεν εί ε αρ ικά ηφ εί υπόψη (unmodeled dynamics), προκα ώνας έτσι αστά εια κατά τον έ ε ο με MRAC. 5. Εφαρμόστε τις με όδους robust MRAC leakage και deadzone, κάνοντας το σύστημα κ ειστού ρό ου ευστα ές. Δείξτε τα residuals και το ρυ μό προσαρμο ής (adaptation rate). 7.5 Παράρτημα: Συναρτήσεις Lyapunov Ο Al. Lyapunov (857-98) ήταν Ρώσσος μα ηματικός και μη ανικός, που συνέ α ε στη με έτη ευστά ειας μη- ραμμικών συστημάτ ν, ασιζόμενος στις διαφορικές τους εξισώσεις. Η δεύτερη μέ οδος του Lyapunov (ή απευ είας μέ οδος) περι ράφεται ς εξής. Αν ένα σύστημα ρίσκεται σε ευστα ή κατάσταση ισορροπίας x e,τότε η απο ηκευμένη ενέρ εια του συστήματος εξασ ενεί κα ώς ο ρόνος αυξάνει, μέ ρι η ενέρ εια φ άσει στην ε ά ιστή της τιμή στην κατάσταση ισορροπίας x e. Ο προσδιορισμός της ευστά ειας ενός ραμμικού ή μη- ραμμικού συστήματος με τη δεύτερη μέ οδο του Lyapunov απαιτεί τον προσιορισμό μιας ειδικής α μ τής συνάρτησης που ονομάζεται συνάρτηση Lyapunov, ρίς να απαιτεί τη ακρι ή νώση τ ν ύσε ν τ ν ΔΕ του συστήματος. Ένα μη ραμμικό σύστημα έ ει τη μορφή dx dt = F (x), x Rn (48)

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 9 Θεώρημα 7.5 Ευστά εια Lyapunov. Έστ V μια μη-αρνητική συνάρτηση στο R n και V η παρά ος στο ρόνο της V κατά μήκος τ ν τρο ιών του συστήματος 48. V (x) = V dx x dt = V F (x) (49) x Έστ B r = B r () μία σφαίρα ακτίνας r ύρ από την αρ ή. Αν υπάρ ει r > ώστε η V είναι ετικά ορισμένη και η V είναι αρνητικά ημι-ορισμένη ια κά ε x B r, τότε το x = είναι τοπικά ευστα ές κατά Lyapunov. Αν η V είναι ετικά ορισμένη και η V είναι αρνητικά ορισμένη στο B r, τότε το x = είναι τοπικά ασυμπτ τικά ευστα ές. Αν η V ικανοποιεί μία από τις παραπάν συν ήκες, ονομάζουμε την V συνάρτηση Lyapunov του συστήματος. Η συνάρτηση V δεν είναι μοναδική και παρουσιάζει δυσκο ίες κατα τον προσδιορισμό της. Γενικά ια συστήματα της μορφής ẋ = Ax, μία συνάρτηση Lyapunov μπορεί να είναι η V (x) = x T P x, όπου P είναι ετικά ορισμένος πρα ματικός συμμετρικός πίνακας. Αρκεί τότε να ισ ύει η σ έση όπου Q είναι ετικά ορισμένος πρα ματικός συμμετρικός πίνακας. A T P + P A = Q (5)

8 ΑΥΤΟΡΥΘΜΙΖΟΜΕΝΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2 8 Αυτορυ μιζόμενος Προσαρμοστικός Έ ε ος Σε αντί εση με τον κ ασσικό έ ε ο, όπου ό ες οι παράμετροι του ε ε κτή είναι στα ερές ( ρονικά αμετά ητες) και προεπι ε μένες, στον αυτορυ μιζόμενο προσαρμοστικό έ ε ο (self-tuning control, STC) οι παράμετροι προασαρμόζονται αυτόματα αμ άνοντας υπόψη μετρήσεις σε πρα ματικό ρόνο τ ν μετα ητών της διερ ασίας ή τ ν διαταρα ών. Η ανά κη ια προσαρμο ή τ ν παραμέτρ ν του ε ε κτή προκύπτει σε περιπτώσεις με ά ης μετα ο ής του σημείου ειτουρ ίας. Ο κ ασσικός ε ε κτής ρυ μίζεται μόνον ια συ κεκριμένο σημείο ειτουρ ίας. Θε ρούμε τη διάταξη αυτορυ μιζόμενου προσαρμοστικού ε έ ου του Σ. 8. Σε σ έση με ένα συμ ατικό σύστημα ε έ ου, υπάρ ουν δύο επιπ έον α όρι μοι υπο ο ισμού. Ο α όρι μος εκτίμησης (estimator) τ ν παραμέτρ ν του συστήματος, ρησιμεύει στην ανα νώριση παραμέτρ ν του μοντέ ου και αμ άνει ς είσοδο την απόκριση του συστήματος και την εντο ή ε έ ου. Σε κά ε ρονική στι μή δει ματο ηψίας, οι πιο πρόσφατες εκτιμούμενες παράμετροι δίνονται στον α όρι μο σ εδιασμού του ε ε κτή (controller synthesis), ο οποίος συν έτει με ορισμένους κανόνες τις παραμέτρους του ε ε κτή. Οι ενημερ μένες παράμετροι του ε ε κτή δίνονται στον ε ε κτή και με άση αυτές υπο ο ίζει την επόμενη εντο ή ε έ ου. Η απ ούστερη μέ οδος εκτίμησης παραμέτρ ν (system identification) είναι τα ε ά ιστα τετρά να (least squares). Για τον σ εδιασμό του ε ε κτή, ρησιμοποιούνται κριτήρια ε α ιστοποίησης όπ ς ε ά ιστη μετα ητότητα (minimum variance-mv), ή ραμμικός τετρα νικός νόμος ε έ ου (linear quadratic) ή και τοπο έτηση πό ν συστήματος κ ειστού ρό ου σε επιι υμητές έσεις (pole assignment). Σ ήμα 8: Διάταξη αυτοπροσαρμοστικόυ ε έ ου. Στα συστήματα αυτορυ μιζόμενου προσαρμοστικού ε έ ου ρησιμοποιείται συ νά μοντέ ο ε κατάστασης σε διακριτό ρόνο, της μορφής CARMA: Controlled Auto Regressive Moving Average όπου A(z )y(t) = B(z )u(t) + C(z )e(t) (5) y(t) = B(z ) A(z ) u(t) + C(z ) A(z e(t) (52) ) A(z ) = + a z +... + a na z n a (53) B(z ) = b + b z +... + b nb z n b (54) Οι τιμές τ ν πο υ νύμ ν A(z ), B(z ) προκύπτουν απο τον μετασ ηματισμό Ζ της συνάρτησης μεταφοράς, περιέ οντας παρά οντα zero order hold (ZOH). 8. Tοπο έτηση πό ν Με τη μέ οδο τοπο έτησης πό ν (pole assignment), προσπα ούμε να π ησιάζουμε την μορφή αρακτηριστικής εξίσ σης συστήματος κ ειστού ρό ου.

8 ΑΥΤΟΡΥΘΜΙΖΟΜΕΝΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2 Θε ρούμε το σύστημα όπου ο ε ε κτής έ ει τη μορφή Ay(t) = Bz u(t) + Ce(t) (55) F u(t) = Hr(t) Gy(t) (56) Οι δύο παραπάν εξισώσεις δίνουν (F A + z BG)y(t) = z BHr(t) + CF e(t) (57) Οι πό οι συστήματος κ ειστού ρό ου που αντιστοι ούν στις επι υμητές έσεις και ορίζονται από το πο υώνυμο T, προκύπτουν από τις τιμές τ ν F, G απο την ισότητα (Diophantine) Τα πο υώνυμα F, G, H ορίζονται ς F A + z BG = T C (58) F = + f z +... + f nf z n f (59) G = g + g z +... + g ng z n g (6) H = h + h z +... + h nh z n h (6) Ο αντιστα μιστής (precompensator) H επι έ εται ς [ ] T H = C B z= (62) Κατά την τοπο έτηση πό ν συστήματος κ ειστού ρό ου σε επι υμητές έσεις, αμ άνονται συνή ς υπόψη συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης. Σε συστήματα πρώτης τάξης, η επι υμητή έση πό ν σ ετίζεται με τον μηδενιστή του πο υ νύμου T = t (z ), t = exp( τ s /b) (63) όπου β είναι η επι υμητή στα ερά ρόνου. Στα συστήματα δεύτερης τάξης, οι τιμές επι υμητών πό ν σ ετίζεται με τους δύο μηδενιστές του πο υ νύμου T = t (z ) + t 2 (z ) (64) όπου ( ) t = 2 exp( ζω n τ s ) cos τ s ω n ζ 2, t 2 = exp( 2ζω n τ s ) (65) με ω n τη φυσική συ νότητα και ζ το ό ο απόσ εσης. Παράδει μα Για το ακό ου ο σύστημα διακριτού ρόνου σ εδιάζεται σύστημα αυτοπροσαρμοστικόυ ε έ ου με τοπο έτηση πό ν συστήματος κ ειστού ρό ου σε επιι υμητές έσεις. ( +.5z +.7z 2 )y(t) = (z +.2z 2 )u(t) (66) με επι υμητές έσεις πό ν T =.6(z ) (67) Τυ αίες αρ ικές τιμές δό ηκαν στις παραμέτρους του μοντέ ου, ενώ οι αρ ικές τιμές ια τις παραμέτρους του ε ε κτή ήταν f =.5, g =.25, g =.525. Η έξοδος και το τετρα νικό σήμα αναφοράς κα ώς και το σήμα ε έ ου φαίνονται στο Σ. 9, η ανα νώριση παραμέτρ ν φαίνονται στο σ ήμα 2.

ΑΝΑΦΟΡΕΣ 22 3 2 output & ref 2 2 3 4 5 6 7 8 9 time steps 4 3 control input 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 time steps Σ ήμα 9: Εξοδος, σήμα αναφοράς και σήμα ε έ ου. 8.2 Ε ά ιστη μετα ητότητα Με τον ε ε κτή ε ά ιστης μετα ητότητας (MV), προσπα ούμε να έσουμε την έξοδο ενός στο αστικού συστήματος σε ένα στα ερό (μηδενικό) σημείο αναφοράς. Έτσι σε κά ε ρονική στι μή, επι έ ουμε την είσοδο ε έ ου έτσι ώστε να μηδενίζεται η μετα ητότητα της εξόδου με k την κα υστέρηση. Για ένα σύστημα της μορφής J = E[y 2 (t + k)] (68) y(t) = ay(t ) + bu(t ) + e(t) + ce(t) (69) ο ε ε κτής MV έ ει την μορφή (a + c) u(t) = y(t) (7) b Διάφορες μορφές αυτοπροσαρμοστικόυ ε έ ου με ετή ηκαν από τον Kalman το 958, τους Astrom και Wittenmark το 973, τους Clarke και Gawthrop το 975 και τον Wellstead και την ομάδα του το 979. Περισσότερα στοι εία σ ετικά με τα συστήματα αυτοπροσαρμοστικόυ ε έ ου υπάρ ουν στα [WZ89], [WZ9], [AW73], [WEPZ79]. Αναφορές [AW73] K. Astrom and B. Wittenmark. On self tuning regulators. Automatica, 9(), 973. [DB] R. Dorf and R. Bishop. Modern Control Systems. Ninth edition, Prentice Hall, 2. [Fos94] T. Fossen. Guidance and Control of Ocean Vehicles. John Wiley and Sons, 994. [Fos] T. Fossen. TTK 49 Guidance and Control. NTNU Lecture Notes, 2. [FPEN5] G. Franklin, D. Powel, and A. Enami-Naeimi. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison Wesley Longman, 5th edition, 25.

ΑΝΑΦΟΡΕΣ 23.5 parameter estimates 2 controller parameters.5 b a2.5 a b2.5 f h.5 g.5 g 2 4 6 8 time steps.5 2 4 6 8 time steps Σ ήμα 2: Ανα νώριση παραμέτρ ν. [IS96] P. Ioannou and J. Sun. Robust Adaptive Control. Prentice-Hall, 996. [Kri85] N. Krikelis. Modeling and Optimal Control of Systems. (in greek) Plaisio, 985. [NA89] K. Narendra and A. Annaswammy. Stable Adaptive Control. Prentice Hall, 989. [SL9] Jean-Jacques Slotine and Weiping Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, 99. [va84] J. van Amerongen. Adaptive steering of ships-a model reference approach. Automatica, 2(), 984. [WEPZ79] P.E. Wellstead, J. Edmunds, D. Prager, and P. Zanker. Self-tuning pole/zero assignment regulators. International Journal of Control, 3(), 979. [WZ89] P. Wellstead and P. Zanker. Application of self-tuning to engine control. Billings, S. and Harris, C. (Eds) Peter Peregrinus, 989. [WZ9] P. Wellstead and M. Zarrop. Self-tuning systems. John Wiley, 99.