Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 1. Παράσταση Συστημάτων Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Παράσταση Συστημάτων Τρόποι παράστασης δυναµικών συστηµάτων κατάλληλοι για ανάλυση και σχεδιασµό συστηµάτων ελέγχου: Εξισώσεις Κατάστασης (State-Space Equations): Συνίστανται από: µία Διανυσµατική Διαφορική Εξίσωση 1 ης τάξης που συσχετίζει ανεξάρτητες µεταβλητές (είσοδοι) µε µεταβλητές κατάστασης, και Μία Διανυσµατική Αλγεβρική Εξίσωση που συσχετίζει µεταβλητές εξόδου που εκφράζονται συναρτήσει των εισόδων και των µεταβλητών κατάστασης. Δοµικό Διάγραµµα (Block Diagram): Γραφική παράσταση των εξισώσεων κατάστασης. Μήτρες Μεταφοράς (Transfer Matrices): είναι Πίνακες Συναρτήσεων Μεταφοράς (Matrix Transfer Functions) που συσχετίζουν τους µετασχηµατισµούς Laplace των εισόδων και των εξόδων. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Εξισώσεις Κατάστασης (State- Space Γενική µορφή παράστασης Γραµµικών Χρονικά Αµετάβλητων Συστηµάτων ΓΧΑ (Linear Time Invariant - LTI) σε µορφή εξισώσεων κατάστασης: Το n-διάστατο διάνυσµα κατάστασης (state vector) αποτελείται από n µεταβλητές κατάστασης (state variables) Τα διανύσµατα εισόδου και εξόδου είναι αντίστοιχα: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Το διάνυσµα κατάστασης x εµπεριέχει εκείνες τις (εσωτερικές) µεταβλητές που αποτελούν το ελάχιστο σύνολο µεταβλητών που απαιτείται να παραστήσουν πλήρως την εξέλιξη του συστήµατος µε βάση την επενέργηση της εισόδου και την αρχική κατάσταση Το διάνυσµα εισόδου u εµπεριέχει τις µεταβλητές που επενεργούν στο (δηλ. «οδηγούν» το) σύστηµα. Το διάνυσµα εξόδου y (θα θεωρήσουµε προς το παρόν ότι απλά) περιέχει εκείνες τις µεταβλητές που µπορούν να µετρηθούν. Δεδοµένης της δοµής Εξισώσεις Κατάστασης (State- Space Equa@ons) και των διαστάσεων των σχετικών διανυσµάτων, είναι προφανές ότι για τούς παραπάνω πίνακες ισχύει: nn nm pn pm A= a ij R B= b ij R C= c ij R D= d ij R Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Προφανώς οι (µητρωικές) εξισώσεις Κατάστασης (διαφορική) Εξόδου (αλγεβρική) Εξισώσεις Κατάστασης (State- Space είναι «συµπτυγµένες» µορφές των n διαφορικών εξισώσεων (i = 1,2,,n) κατάστασης p αλγεβρικών εξισώσεων ( j = 1,2,,p) εξόδου Οι εξισώσεις κατάστασης προκύπτουν από τις βασικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη «δυναµική» του συστήµατος. Με αυτό το τρόπο αν η δυναµική περιγράφεται από ll ΔΕ, όπου κάθε µία είναι n k = 1, 2, l, τάξεως, τότε η µητρωική µορφή αντιπροσωπεύει έναν αριθµό n= n εξισώσεων πρώτης τάξεως l k = 1 k Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Δομικά Διαγράμματα Αποτελούν ουσιαστικά γραφική παράσταση των Δ.Ε. κατάστασης και των αλγεβρικών εξισώσεων εξόδου. Συνίστανται στη διασύνδεση 3 βασικών συναρτησιακών στοιχείων: Ενισχυτή: στοιχείο πολλαπλασιασµού σηµάτων µε πίνακα σταθερών. q e R K r z R Αθροιστή: στοιχείο άθροισης (ή και αφαίρεσης) µεταξύ οµοδιάστατων q διανυσµατικών µεταβλητών e R 1 q Ολοκληρωτή: στοιχείο που ολοκληρώνει τις ΔΕ κατάστασης (1 ης τάξης) αποδίδοντας της µεταβλητές κατάστασης δεδοµένων των αρχικών συνθηκών. e = e ( ) 0 0 Σ e R 2 e= e + e R 1 2 q et!( ) ( ) ( τ) et = e+ e dτ 0 t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Δομικά Διαγράμματα Η γενική παράσταση Γραµµικών Χρονικά Αµετάβλητων Συστηµάτων (ΓΧΑΣ) σε µορφή εξισώσεων κατάστασης: παρίσταται σε µορφή Δοµικού Διαγράµµατος. D u(t) B u(t) C x(t) Α x(t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Μήτρες Μεταφοράς Σε ΓΧΑ συστήµατα µίας εισόδου µίας εξόδου (Single Input Single Output SISO), Συνάρτηση Μεταφοράς (Transfer Function TF) είναι ο λόγος των µετασχηµατισµών Laplace της εξόδου προς την είσοδο, θεωρώντας ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές. Y ( ) ( s) F s = U U s ( s ) F(s) Y( s) ( ) Παροµοίως σε ΓΧΑ συστήµατα πολλών εισόδων πολλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output MIMO) η συσχέτιση των µετασχηµατισµών Laplace των διανυσµάτων εξόδου (p-διάστατο) εισόδου (m-διάστατο), θεωρώντας ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές, γίνεται από την Μήτρα Μεταφοράς (p m-διάστατη). Y( s) = G( s) U( s) U( s ) Y( s) G(s) Προφανώς το στοιχείο G ij (s) δείχνει την επίδραση του U j (s) στο Y i (s). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

11 Μήτρες Μεταφοράς Αν στη γενική παράσταση Γραµµικών Χρονικά Αµετάβλητων Συστηµάτων (ΓΧΑΣ) σε µορφή εξισώσεων κατάστασης: εφαρµόσουµε το µετασχηµατισµό Laplace (µηδενικές αρχικές συνθήκες) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s X s x/ = A X s + B U s Y s = C s I A B+ D U s Y s = C X s + D U s 1 ( si A) Xs ( ) = BUs ( ) X( s) = ( si A) BUs ( ) η Μήτρα Μεταφοράς είναι 0 1 ( ) ( ) ( ) Y( s) = G( s) U( s) ( ) ( ) 1 G s = C s I A B+ D Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

12 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 1 Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το φυσικό φαινόµενο είναι: Εφόσον είναι 2 ης τάξης, αντιστοιχούν 2 µεταβλητές κατάστασης Προφανώς που οδηγεί την αρχική ΔΕ στην µορφή Εποµένως η αρχική ΔΕ 2 ης τάξης αντιστοιχεί σε 2 ΔΕ 1 ης τάξης Οι µεταβλητές κατάστασης συνδέονται µε τα στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

13 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 1 Η έξοδος είναι ενώ η είσοδος είναι Εποµένως λαµβάνουµε τις µητρωικές εξισώσεις Κατάστασης (διαφορική) Εξόδου (αλγεβρική) Έχουµε δηλαδή ένα 2-διάστατο (n=2) σύστηµα µίας εισόδου µίας εξόδου (Single Input Single Output SISO) (m=p=1) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 2 Οι µεταβλητές κατάστασης συνδέονται µε τα στοιχεία συσσώρευσης ενέργειας: Οι είσοδοι συσχετίζονται µε τις ανεξάρτητες πηγές Έστω ότι επιλέγουµε ως έξοδο την τάση του πηνίου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

15 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 2 Δεδοµένου ότι Λαµβάνουµε Από τους νόµους τάσεων και ρευµάτων του Kirchoff: Γράφοντας αυτές τις εξισώσεις σε µητρωική µορφή µε όρους που ξεχωρίζουν τις χρονικές παραγώγους, το διάνυσµα κατάστασης και το διάνυσµα εισόδου παίρνουµε... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 2... Οπότε κάνοντας τις πράξεις... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

17 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 2 Δεδοµένου ότι Λαµβάνουµε Έχουµε δηλαδή ένα 3-διάστατο (n=3) σύστηµα, δύο εισόδων (m=2) και µίας εξόδου (p=1) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

18 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 3 Αν η ΔΕ που περιγράφει ένα σύστηµα είναι (n=3): η αντίστοιχη Συνάρτηση Μεταφοράς είναι... Αν ορίσουµε τις 3 µεταβλητές κατάστασης τότε η ΔΕ γίνεται Οπότε λαµβάνουµε τις µητρωικές εξισώσεις Κατάστασης (διαφορική) Εξόδου (αλγεβρική) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

19 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 3 Η γενίκευση του προηγούµενου παραδείγµατος για Δίνει προφανώς µε Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 4 Θεωρούµε το SISO σύστηµα Αν, όπως και προηγουµένως, ορίσουµε = ( ) ( ) Y s U s τότε Εποµένως οι µεταβλητές κατάστασης πρέπει να ορισθούν διαφορετικά. Θεωρώντας Y( s) = U s όπου ( ) τότε... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 4 Και στο πεδίο του χρόνου παίρνουµε Από τη πρώτη ΣΜ... Και από τη δεύτερη... Οπότε επιλέγοντας αυτή τη φορά µεταβλητές κατάστασης... Βέβαια αυτές οι μεταβλητές κατάστασης ΔΕΝ έχουν προφανή φυσική σημασία... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

22 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 4... λαµβάνουµε τις µητρωικές εξισώσεις Κατάστασης (διαφορική) Εξόδου (αλγεβρική) Προφανώς αυτή η µεθοδολογία είναι φανερό ότι επεκτείνεται άµεσα για Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 Γ.Χ.Α.Σ. - Παράδειγμα 4 Η περαιτέρω επέκταση στην αµέσως γενικότερη περίπτωση γίνεται µέσω πολυωνυµικής διαίρεσης που οδηγεί σε όπου bˆ = b b a i= 1, 2,, n 1 i i n i Σε αυτή τη περίπτωση προχωρούµε όπως και προηγουµένως στην ανάπτυξη του µοντέλου εξισώσεων κατάστασης που οδηγεί στην ανεύρεση των πινάκων Α, Β, C. Σε αυτή την περίπτωση βεβαίως D= b n Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Συμπέρασμα για τα Παραδ. 3 & 4 Οι εξισώσεις κατάστασης είναι «υλοποίηση στο χώρο κατάστασης» (statespace realization) της συµπεριφοράς εισόδου-εξόδου ενός συστήµατος αν «αντιστοιχεί» είτε στη σχέση Y(s)=H(s) U(s) είτε στη σχετική ΔΕ που σχετίζει τα y(t) και u(t) στο πεδίο του χρόνου (µηδενικές αρχικές συνθήκες). Στα µέχρι τώρα παραδείγµατα (3, 4) που αφορούσαν συστήµατα SISO η συγκρότηση της «υλοποίησης στο χώρο κατάστασης» : έγινε µε µη συστηµατικό (γενικευµένο) τρόπο (κάτι που θα γίνει πιο µετά), και ονοµάζεται «κανονική µορφή µεταβλητών φάσης» (phase-variable canonical form) ή «κανονική µορφή τύπου ελεγκτή» (controller canonical form) Η έννοια της «υλοποίησης στο χώρο κατάστασης» θα αντιµετωπισθεί και σε επόµενη φάση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 Μη- Γραμμικά Συστήματα & Γραμμικοποίηση Γενική µορφή παράστασης (Μη-Γραµµικών, Χρονικά Μεταβλητών) Συστηµάτων σε µορφή εξισώσεων κατάστασης: όπου οι συναρτήσεις f (,, ) και h (,, ) είναι συνεχώς παραγωγίσιµες (continuously differentiable) ως προς τα ορίσµατά τους. Ορισµός: Για ένα ονοµαστικό σήµα εισόδου u! ( t) η αντίστοιχη ονοµαστική τροχιά της κατάστασης xt! ικανοποιεί την ΔΕ και η αντίστοιχη ονοµαστική τροχιά εξόδου είναι Αν υπάρχει (δηλ. σταθερά διανύσµατα) για τα οποία ισχύει (!! ) ( ) ( ), ( ) ut! = uxt!! = x! 0 = f x, u, t t τότε έχουµε την ειδική περίπτωση όπου η ισορροπίας» (equilibrium state). x! είναι «κατάσταση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Μη- Γραμμικά Συστήματα & Γραμμικοποίηση Θεωρούµε τις αποκλίσεις από τις «ονοµαστικές τροχιές»: και τις σχετικές µερικές παραγώγους: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Μη- Γραμμικά Συστήματα & Γραμμικοποίηση Αναπτύσσοντας κατά Taylor: και ορίζοντας παίρνουµε:... όπου: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Μη- Γραμμικά Συστήματα & Γραμμικοποίηση Θεωρώντας ότι η κατάσταση, η είσοδος και η έξοδος είναι «κοντά» στις ονοµαστικές τους τιµές, οι «οροι υψηλότερης τάξεως» (higher order terms h.o.t.) αγνοούνται οπότε λαµβάνεται η «γραµµικοποίηση» (linearization) του αρχικού συστήµατος Από τις εξισώσεις της προηγούµενης σελίδας γίνεται φανερό ότι αν: το αρχικό (µη-γραµµικό) σύστηµα δεν εξαρτάται από το χρόνο, και η γραµµικοποίηση γίνει γύρω από τροχιές (κατάσταση, είσοδο, έξοδο) ισορροπίας, τότε το γραµµικοποιηµένο σύστηµα είναι ΓΧΑ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Παράδειγμα 5: Γραμμικοποίηση Οι εξισώσεις της διάταξης «µπάλλας Δοκού» είναι p(t) είναι η θέση της µπάλλας, θ(t) είναι η γωνίας της δοκού, τ(t) είναι η ροπή του άξονα της δοκού (είσοδος) g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, J είναι η ροπή αδράνειας της δοκού, και m, r, J b είναι οι µάζα, ακτίνα & ροπή αδράνειας της σφαίρας. Ορίζουµε... και... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

30 Παράδειγμα 5: Γραμμικοποίηση Οι εξισώσεις Κατάστασης και Εξόδου όπου. Οπότε : (, ) = x ( t) h x u 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

31 Παράδειγμα 5: Γραμμικοποίηση Θεωρούµε την ονοµαστική τρόχιά όπου η ράβδος είναι οριζόντια & σταθερή x ( t) x ( t) η µπάλλα κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ 0 όντας, την χρονική στιγµή t 0, στη θέση p 0 οπότε προκύπτει ότι ( ) ( ) ( ) ( 3 = 4 = 0) Προφανώς δε,! yt = x! 1 t =! pt Για να προχωρήσουµε στη γραµµικοποίηση, θεωρούµε τις µεταβλητές απόκλισης από τις ονοµαστικές και προχωρούµε στον υπολογισµό των Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

32 Παράδειγμα 5: Γραμμικοποίηση όπου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Παράδειγμα 5: Γραμμικοποίηση Οι παράµετροι του γραµµικοποιηµένου συστήµατος λαµβάνονται από τις µερικές παραγώγους για τιµές επι των ονοµαστικών τροχιών Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Παράδειγμα 5: Γραμμικοποίηση Για µηδενική αρχική ταχύτητα (υ 0 = 0), οπότε η θέση της µπάλλας είναι p 0, η γραµµικοποίηση γίνεται γύρω από τη τροχιά... Οπότε οι πίνακες του ΓΧΑΣ είναι: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34