Θέματα και λύσεις διαφόρων εξεταστικών Την ψηφιοποίηση έκανε ο Σπουδαστής Σπύρος Μπαλής Εάν διαπιστώσετε κάποιο λάθος παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου mpilk@eipir.r ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΗΜ/ΝΑ /6/9. Ένα σώμα μάζας m=k κινείται πάνω στον άξονα Χ σύμφωνα με την εξίσωση Χ()=- + 3, όπου Χ μετατόπιση σε m και χρόνος σε ec. α) να βρεθεί η κινητική του ενέργεια Έχουμε την θέση ως συνάρτηση του χρόνου. Θα πρέπει να βρούμε την ταχύτητα για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την κινητική ενεργεία Ek mu Για να βρούμε την ταχύτητα παραγωγίσουμε την συνάρτηση της θέσης ως προς τον χρόνο και έχουμε d u 3 [ m ] Αντικαθιστούμε την ταχύτητα που βρήκαμε στον τύπο της κινητικής ενεργείας και έχουμε 4 9 Ek (3 ) ( 6 ) [J] β) η επιτάχυνση του για να βρούμε την επιτάχυνση παραγωγίσουμε την συνάρτηση της ταχύτητας ως προς τον χρόνο και έχουμε du 6 [ m ] F m F 6 [N] γ) η ισχύς που καταναλώνεται ως συνάρτηση του χρόνου Για να βρούμε την ισχύ θα παραγωγίσουμε το έργο ως προς τον χρόνο και θα έχουμε dw d 3 P F Fu 6 (3 ) 8 [W] δ) Να βρεθούν η θέση και η επιτάχυνση του τη χρονική στιγμή = 3 ec. (3) 8 [ m ] (3) 3 [m]. Τροχός περιστρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση α = b - c (: χρόνος b,c σταθερές). Αν ο τροχός είχε αρχική γωνιακή ταχύτητα ωο, α) να βρεθούν οι σχέσεις της γωνιακής ταχύτητας ω=ω() και της γωνίας φ=φ() που διαγράφει., με το χρόνο αν φ ο =φ()=
H γωνιακή επιτάχυνση δίνεται ως συνάρτηση του χρόνου. Άρα θα ολοκληρώσω δυο Φορές, μια για να βρούμε την γωνιακή ταχύτητα και στη συνεχεία να βρω την γωνία. Γωνιακή ταχύτητα Θέση ( ) b c b c ( ) b c b c 3 Αλλά επειδή μας δόθηκε = θα γίνει b c 3 3 3 3. α) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κινείται ένα δορυφόρος σε απόσταση από το κέντρο της Γής.( Δίδονται Μ Γ, G, Γ ) Ο δορυφόρος κινείται υπό την επίδραση την βαρυτικής δύναμης, που δρα ως κεντρομόλος δύναμη, στην κυκλική τροχιά GM m F (σε ύψος από το κέντρο της γης ) mu GM m mu GM F u β) Δύο δορυφόροι με μάζες M, M διαγράφουν κυκλική τροχιά γύρω από πλανήτη μάζας Μ με ακτίνες και αντίστοιχα.. Ποια πρέπει να είναι η σχέση μεταξύ και, ώστε οι ταχύτητές τους να συνδέονται με τη σχέση: Χρησιμοποιούμε τη σχέση που βρήκαμε προηγουμένως GM GM u u u 4u 4 4. 4. Σώμα μάζας Μ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο. ec και μέγιστο πλάτος. m. α) Ποία είναι η εξίσωση κίνησης του σώματος. Από την περίοδο θα βρούμε την γωνιακή ταχύτητα Η εξίσωση κίνησης του σώματος είναι co( ).co( ) (ή in( )
3 β)να βρεθεί σε ποία απόσταση από το σημείο ισορροπίας θα έχουμε 3Εδυν=Εκιν. Θα χρησιμοποιούμε το θεώρημα διατήρησης μηχανικής ενεργείας: m EMHX E D E E 3E 4E MHX 4 D () D.5 [m] 5. Ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας Μ και μήκους L μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το άκρο Α. Η ράβδος είναι αρχικά ακίνητη με το σημείο Β ψηλά. Αν της δώσουμε μια μικρή ώθηση, να βρεθεί με ποιά γωνιακή ταχύτητα θα περάσει από την οριζόντια θέση. Δίδεται η ροπή αδρανείας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της I ΚΜ = / M L. Χρησιμοποιούμε Θ.Seiner και υπολογίζουμε ροπή αδρανείας ως προς σημείο Α Χρησιμοποιούμε ότι L L και ότι ( ) A I M A ML 3 Θα πάρουμε το θεώρημα διατήρησης μηχανικής ενεργείας και θα έχουμε E E E MHX () MHX () MHX E EMHX () L 3 M ml 3 L L m ML 3 3 L (γωνιακή ταχύτητα με την όποια θα περάσει την οριζόντια θέση ()) ΗΜ/ΝΑ 5//3 Θέματα A+B Θέμα. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση δίδεται από τη σχέση α = 4k-λ, όπου k, λ σταθερές. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του σώματος φ=φ() και η γωνιακή του ταχύτητα ω() αν η αρχική γωνία φ= rd και η αρχική γωνιακή ταχύτητα ωο =. Ποιες οι μονάδες των k και λ 3
4 Αφού έχουμε την επιτάχυνση θα ολοκληρώσουμε δυο φορές. Την πρώτη θα βρούμε την γωνιακή ταχύτητα και την δεύτερη την εξίσωση της κίνησης. Άρα θα έχουμε 4 [ rd ] α) γωνιακή ταχύτητα (4 ) 4 [ rd ] β) εξίσωση της κίνησης () (4 ) 3 () [rd] 6 Οι μονάδες των k και λ. Από την σχέση της γωνιακής επιτάχυνσης προκύπτει : k [ rd ]. [ rd ] [ rd 3] Θέμα Τηλεπικοινωνιακός δορυφόρος μάζας m διαγράφει κυκλική τροχιά σε ύψος Η= 4 Γ πάνω από την επιφάνεια της Γης. Δίδονται G, Γ, Μ Γ. Να βρεθούν α) η Δυναμική Ενεργεία Γενική σχέση: G ( 4 ) ώ G G 4 5 β) η κινητική ενέργεια Ξέρουμε ότι η κυκλική τροχιά οφείλεται στο γεγονός ότι η βαρύτικη δύναμη δρα ως κεντρομόλος δύναμη για το δορυφόρο Άρα έχουμε 4
5 F u K mu G FB 5 (5 ) G G u 5 5 G G EKIN mu m 5 γ) Να βρεθεί ο λόγος G EKIN G5 5 G G 5. Θέμα 3 Εξηγείστε αν θα μεταβληθεί (και πως) η επιμήκυνση ενός συστήματος μάζας-ελατηρίου αν το μεταφέρω Βόρειο Πόλο στον Ισημερινό. Σε ένα σύστημα μάζα ελατήριο εφόσον ισορροπεί ισχύει m D Έστω I, :επιτάχυνση βαρύτητας στον Ισημερινό και Β.Πόλο αντίστοιχα. Και Χ I, Χ π :η επιμήκυνση στον Ισημερινό και Β.Πόλο αντίστοιχα. Άρα m D m D m D I I I I I GM και I GM Επειδή η γη είναι πεπλατυσμένη έχουμε άρα I Από τις παραπάνω σχέσεις ισχύει ότι I I Δηλαδή η επιμήκυνση στους πόλους θα είναι μεγαλύτερη από αυτή στο ισημερινό. Θέμα 4 Ένα μεγάλο φορτηγό και ένα μικρό αυτοκίνητο κινούνται έχοντας με ΙΣΗ ΟΡΜΗ κάτω από τις ίδιες συνθήκες οδοστρώματος. Α) Ποιο χρειάζεται περισσότερο έργο για να σταματήσει (μηδενισμός ταχύτητας) 5
6 Έστω m μάζα μεγάλου φορτηγού και m μάζα αυτοκινήτου. Άρα έχουμε P m u m u u m m m u m Τα οχήματα έχουν ίση ορμή. Από το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενεργείας Μεταβολή κινητικής ενεργείας = έργο δύναμης που δρα για να σταματήσουν W W P m u m P W W m Β) Ποιό χρειάζεται μεγαλύτερη δύναμη για να σταματήσει σε δοσμένη απόσταση S? Για το έργο θα έχουμε W FS το S είναι δεδομένο Επειδή W W θα έχουμε F S F S F F Άρα το αυτοκίνητο χρειάζεται μεγαλύτερη δύναμη για να σταματήσει σε σχέση με το φορτηγό. Θέμα 5 Ηχητική πηγή εκπέμπει ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις. α) Αν στην θέση = m η ένταση είναι J, σε ποιά απόσταση από την πηγή χ η ένταση θα μειωθεί σε J χ = J /4. β) Πόση θα γίνει η ένταση στη θέση αν η ισχύς της πηγής μειωθεί στο μισό; γ) Να δοθεί γραφικά η σχέση έντασης σφαιρικού κύματος απόστασης P α) Γνωρίζουμε ότι J [ W ] 4 m [m] J J P 4 P 4 Ρ:ισχύς και :απόσταση J J J ( ) 4 6 J J J 4 [m] 4 β) η ένταση στη θέση όταν η ισχύς γίνει P 6
7 J P P J 4 4 γραφικά η σχέση έντασης σφαιρικού κύματος απόστασης Θέμα 6 Ράβδος μάζας m και μήκους l περιστρέφεται γύρω από το Κέντρο μάζας της με συχνότητα ν. Αν η θερμοκρασία της μεταβληθεί κατά Δθ ποια από τα παρακάτω μεγέθη θα επηρεαστούν και πώς (αιτιολόγηση) ; (Θεωρώ ότι έχω μηδενικές απώλειες) α) μήκος l, Αν η θερμοκρασία αυξηθεί κατά Δθ δηλαδή ( ) Άρα έχουμε αύξηση μήκους β) Ροπή αδρανείας Ι, Η ροπή αδρανείας ως προς το άκρο της ράβδου γίνεται αυξηθεί ( ) II l επομένως θα γ) στροφορμή L Η στροφορμή είναι L I. Επειδή δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές η στροφορμή διατηρείται! δ) συχνότητα περιστροφής ν. Γνωρίζουμε ότι αφού Έχουμε ακόμα ότι Θα ελαττωθεί η συχνότητα περιστροφής 7
8 ΗΜ/ΝΑ 5//3 Θέματα B Θέμα: Η γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση δίδεται από τη σχέση α = λ-4κ, όπου k, λ σταθερές. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του σώματος φ=φ() και η γωνιακή του ταχύτητα ω() αν η αρχική γωνία φ=5 rd και η αρχική γωνιακή ταχύτητα ωο =. Ποιες οι μονάδες των k και λ. 4 [ rd ]. γωνιακή ταχύτητα ( 4 ) 4 [ rd ]. εξίσωση της κίνησης φ=φ() ( 4 ) 3 () 5 [rd] 6 Οι μονάδες των k και λ είναι (από την σχέση 4 ). k [ rd ] [ rd ] [ rd 3] Θέμα 3 Εξηγείστε αν θα μεταβληθεί (και πως) η περίοδος α) απλού εκκρεμούς αν το μεταφέρω από τον Βόρειο Πόλο (π) στον Ισημερινό ( Ι ) Απάντηση η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς L Η επιτάχυνση της βαρύτητας στον Ισημερινό ( I ) και στον ΒΠ ( π ) γράφονται: Επειδή I Επομένως I GM και I GM (η γη είναι πεπλατυσμένη), από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι 8
9 L L Δηλαδή η περίοδος στο ισημερινό είναι μεγαλύτερη από αυτή στους πόλους ΗΜ/ΝΑ /9/3 Θέματα A+B. Να διατυπωθεί α) το θεώρημα της μεταβολής της κινητικής ενέργειας β) η αρχή διατήρησης της ορμής και να αποδειχθεί ένα από τα δύο. (Σε οποιοδήποτε βιβλίο θεωρίας) α) το θεώρημα της μεταβολής της κινητικής ενέργειας Διατύπωση: Θεώρημα Έργου Ενέργειας: το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη εξωτερική δύναμη σε ένα σώμα ισούται με την μεταβολή στην κινητική ενέργεια του σώματος Απόδειξη = W F d m d d d d d d d v d W m d md m m d v *Εναλλακτικά Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος (ΔΚ) ισούται με το Αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων που δρουν πάνω του ή, ισοδύναμα, είναι ίση με το έργο της συνισταμένης δύναμης: β) η αρχή διατήρησης της ορμής Διατύπωση: Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) το διανυσματικό άθροισμα των ορμών ενός συστήματος σωμάτων παραμένει πάντα σταθερό, αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν. ( Η ορμή ενός σώματος είναι διανυσματικό 9
μέγεθος πού είναι ίσο με το γινόμενο της μάζας ενός σώματος επί την στιγμιαία ταχύτητά του.). α) Να δοθεί ο ορισμός και οι μονάδες της έντασης κύματος που εκπέμπεται από σημειακή πηγή ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις Η Ένταση κύματος ορίζεται ως η ενέργεια που διαπερνά μία επιφάνεια ΔS κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας. Δηλαδή είναι η ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας που διέρχεται από την επιφάνεια ΔS. P J [ W ] Για σφαιρικά κύματα ΔS=4π. Έτσι η σχέση γίνεται: S m J P W 4 m [ ] β) Να δοθεί γραφικά η σχέση έντασης απόστασης () 3. Ένας δέκτης βρίσκεται στη θέση Δ και καταγράφει ένταση J που προέρχεται από την πηγή Π ισχύος P = mw που βρίσκεται σε απόσταση = m από το δέκτη. Μια δεύτερη πηγή Π ισχύος P απέχει από το δέκτη απόσταση = m. =m Π Δ =m Π α) Πόση είναι η J στο σημείο Δ που οφείλεται στην πηγή Π αν P =P P Γενικά J [ W ] S m
J P J 4 6 PP [ mw ] [ mw ] m β) Πόση πρέπει να είναι η ισχύς P της πηγής Π ώστε η ένταση J (που οφείλεται στην πηγή Π) στο Δ να γίνει ίση με την ένταση J. () Η ισχύς της πηγής Π είναι P P J J P P 4 [ mw ] 4 4 (*Άλλη περίπτωση P =mw με τα ίδια δεδομένα. Έτσι θα έχουμε διπλασιασμό των J, P για τα αντίστοιχα ερωτήματα α και β.) 4. α) Πώς ορίζεται και ποιες οι μονάδες της ειδικής θερμότητας. Απάντηση: Η ειδική θερμότητα είναι η θερμότητα Q που χρειάζεται να προσφερθεί σε ένα σώμα για να αυξηθεί η θερμοκρασία του Τ κατά ΔΤ ανά μονάδα μάζας και θερμοκρασίας. (Εξαρτάται από το υλικό και τη θερμοκρασία) c dq md [ j] Οι μονάδες μέτρησης είναι :[] c [ kr. rd] *Εναλλακτικά Η ειδική θερμότητα είναι το πηλίκο της θερμοχωρητικότητας Κ προς τη μάζα ενός σώματος C=K/m. Η θερμοχωρητικότητα ορίζεται ως το πηλίκο K dq και d εξαρτάται από τη μάζα, το υλικό και τη θερμοκρασία) β) Αν η μεταβολή της ειδικής θερμότητας (ενός υποθετικού) σώματος μάζας m με τη θερμοκρασία δίνεται από τη σχέση C() = λτ όπου λ=σταθερά. Να υπολογίσετε το συνολικό ποσό θερμότητας που απαιτείται για μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος από Τ σε Τ. Το ποσό της θερμότητας που χρειάζεται είναι: m 3m Q mc m m[ ] (4 ) 5. Ένα σώμα μάζας m = K κινείται στον άξονα χ και η εξίσωση θέσης του δίδεται από τη σχέση Χ() = λ κ. (λ, κ σταθερές, χρόνος). α) Να βρεθούν η ταχύτητα και η δύναμη που ασκείται πάνω του σε συνάρτηση με το χρόνο. Λύση: Για να βρούμε την ταχύτητα και την δύναμη που ασκείται πάνω του θα παραγωγίσουμε δυο φορές την Χ(). Θα έχουμε
() d u du F m b) Σε ποια χρονική στιγμή μηδενίζεται η ταχύτητα αν τα λ και κ είναι ίσα με ένα. Στη σχέση u( ) θέτουμε λ=κ= και θα έχουμε: [ec] γ) Τι μονάδες έχουν οι σταθερές λ, κ. Από τη σχέση () (Διαστατική ανάλυση) m [ k] [m] [k] [ m ] [ ] [m] [ ] [ ]. α) Πώς ορίζεται, από τι εξαρτάται και ποιες οι μονάδες της ειδικής θερμότητας. (*Έχει ήδη δοθεί η απάντηση σε άλλο σημείο) β) Αν η μεταβολή της ειδικής θερμότητας (ενός υποθετικού) σώματος μάζας m με τη θερμοκρασία δίνεται από τη σχέση C() = Τ. Να υπολογίσετε το συνολικό ποσό θερμότητας που απαιτείται για μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος από Τ σε Τ.() Το ποσό της θερμότητας που χρειάζεται υπολογίζεται: Q mc m m[ ] m(( ) ) 3m (*Διαφορετική περίπτωση με C() = λτ, λ:σταθερά λύνεται με ανάλογο τρόπο.). Ένα σώμα μάζας m = K κινείται στον άξονα χ και η εξίσωση θέσης του δίδεται από τη σχέση Χ() = λ - κ (λ, κ σταθερές, χρόνος). α) Να βρεθούν η ταχύτητα και η δύναμη που ασκείται πάνω του σε συνάρτηση με το χρόνο. Λύση:
3 Για να βρούμε την ταχύτητα και την δύναμη που ασκείται πάνω του θα παραγωγίσουμε δυο φορές την Χ(). Θα έχουμε () d u du F m b) Σε ποια χρονική στιγμή μηδενίζεται η ταχύτητα αν το λ= και κ=. Στη σχέση u( ) αντικαθιστούμε τις τιμές λ, κ και θα έχουμε: 4.5 ec γ) Τι μονάδες έχουν οι σταθερές λ, κ. Από τη σχέση Χ() [ ] [m] [ ] [ m ] m [ k ] [m] [k] [ ] ΗΜ/ΝΑ //4 Θέματα A+B Ομάδα Α Θέμα : Σώμα μάζας Μ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο ec και μέγιστο πλάτος.5 m α)ποια είναι η εξίσωση κίνησης του σώματος. β)ποια η μέγιστη ταχύτητα γ)σε ποια απόσταση από το σημείο ισορροπίας θα έχουμε ΛΥΣΕΙΣ α)η εξίσωση κίνησης του σώματος από τα δεδομένα της άσκησης είναι (γωνιακή ταχύτητα 3,4 rd/) β).5in(3,4) ( u() Aco(3,4 ) με το A μέγιστο πλάτος) Η μεγίστη ταχύτητα είναι um A 3,4.5,57 [ m ] γ) Από το θεώρημα διατήρησης της ενεργείας Ισχύει ότι E DA 3
4 όμως έχουμε ότι Άρα E Και δεδομένου ότι 3 E 3 A DA D 3 DA A 5 5 A 3 3 3 3 6.66.4 [m] Θέμα : Σώμα μάζας k κινείται σε ευθεία με την επίδραση της δύναμης F 6 [N] (λ=σταθερά) α) Αν τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα έχει ταχύτητα u [ m ] και βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Χ=, να βρεθούν η ταχύτητα και η θέση του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο β) Πόση πρέπει να είναι η τιμή του λ ώστε για = ec να βρεθεί στη θέση χ=3 m Για να βρούμε την ταχύτητα και την θέση του σώματος θα βρούμε αρχικά την επιτάχυνση θα ολοκληρώσουμε δυο φορές την πρώτη για να βρούμε την ταχύτητα και την δεύτερη για να βρούμε θέση. Έτσι έχουμε : α) m [k] F 6 [N] F m 6 m 3 [ m ]. Ολοκληρώνουμε επιτάχυνση για να βρούμε ταχύτητα : 3 3 u u (3 ) u u. Ολοκληρώνουμε την ταχύτητα για να βρούμε τη θέση : 3 3 ( u ) u 6 β) Για = και =3 το λ θα είναι : 3 3 3 3 3N 4
5 Θέμα 3: Οι συντεταγμένες ενός δρομέα που κινητέ στο επίπεδο y δίδοντα ως συναρτήσεις του χρόνου από τις σχέσεις 3 και y 6 Να υπολογιστεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ως συνάρτηση του χρόνου Λύση Βρίσκουμε τις συνιστώσες ταχύτητας και επιτάχυνσης με παραγώγιση. α γραφούμε σε διανυσματική μορφή και βρίσκουμε το μετρό τους. Eτσι έχουμε: 3 d u u 3 [ m ] y 6 dy uy uy ο διάνυσμα της ταχύτητας για = συμπίπτει με τον άξονα των χ. u n 4 rcn( 4 ) u 3 y Για > η γωνία που θα σχηματίσει η ταχύτητα με τον άξονα των χ θα είναι ανάμεσα στο 3 και στο Το μετρό της ταχύτητας ισούται με u u u u 9 44 y Επιτάχυνση du duy [ m y y ] y [ m ] Το διάνυσμα της επιτάχυνσης θα σχηματίσει γωνία 9 μοιρών με τον άξονα των Χ και το μετρό του είναι ίσο με [ m ] Θέμα 4: Εξηγείστε σύντομα με επιστημονικό τρόπο το φαινόμενο της θερμικής διαστολής μιας ράβδου Απάντηση Θερμική διαστολή. Με την αύξηση της θερμοκρασίας, αυξάνει το πλάτος ταλάντωσης των ατόμων/μορίων οπότε η μέση απόσταση μεταξύ των ατόμων αυξάνει με αποτέλεσμα την αύξηση των διαστάσεων του σώματος. 5
6 Θέμα 5: Έστω δυο σφαιρικοί πλάνητες με ακτίνες αντίστοιχα και ίδια πυκνότητα ( V ) μάζας. Να βρεθεί ο λόγος των επιταχύνσεων της βαρύτητας / στην επιφάνια των διαστάσεων του σώματος Λύση Με δεδομένο ότι βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ των μαζών M M M M V 4 V 3 4 3 3 3 M M M 3 3 8M 8 Μετά βρίσκουμε των λόγο των επιταχύνσεων GM GM GM / που είναι 4 4 M 8M GM GM GM 4M 4M Θεμα 6: Αν η μεταβολή της ειδικής θερμότητας (ενός υποθετικού) σώματος μάζας m με τη θερμοκρασία δίνεται από τη σχέση C() = κτ 3 όπου κ=σταθερά. Να υπολογίσετε το συνολικό ποσό θερμότητας που απαιτείται για μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος από Τ σε Τ. Λύση Το ποσό της θερμότητας που χρειάζεται είναι : 4 4 4 3 8 mc m m m 4 4 4 Q [ ] ( ) 4 5 5 m m 4 4 Ομάδα Β 4 Θέμα : Σώμα μάζας k κινείται σε ευθεία με την επίδραση δύναμης F k (β= σταθερά και κ= σταθερά ) Αν την χρονική στιγμή μηδέν το σώμα έχει ταχύτητα u [ m ] και βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Χ= να βρεθούν α) η ταχύτητα και η θέση του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο β) πόση πρέπει να είναι η τιμή του β ώστε για = ec να σταματήσει στιγμιαία. Δίνεται κ=ν/ Λύση α) Η επιτάχυνση εξαρτάται από χρόνο άρα θα ολοκληρώσω για να βρω την ταχύτητα η οποία επίσης εξαρτάται από χρόνο. Έτσι για να βρω τη θέση Χ πρέπει να ολοκληρώσω την ταχύτητα. Λαμβάνω υπόψη τις αρχικές τιμές! Θα σταματήσει στιγμιαία όταν η ταχύτητα μηδενιστεί.. Βρίσκουμε την επιτάχυνση 6
7 F F / m m K. Ταχύτητα 3. Θέση u() ( ) u() () u() ( ) 6 β) Η τιμή του β για να σταματήσει το σώμα στιγμιαία όταν = ec u() u() 3 3 N 4 3 Θέμα : Οι συντεταγμένες ενός ποδηλάτη που κινητέ στο επίπεδο y δίδοντα ως συναρτήσεις του χρόνου από τις σχέσεις και y 6 Να υπολογιστεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ως συνάρτηση του χρόνου Λύσεις Βρίσκουμε τις συνιστώσες ταχύτητας και επιτάχυνσης με παραγώγιση και τα γραφούμε σε διανυσματική μορφή και βρίσκουμε το μετρό τους. έτσι έχουμε: d u u 4 [ m ] y 6 u y dy uy 6 [ m ] Το μετρό της ταχύτητας ισούται με u 4 4 n rcn( ) u 6 6 y Επιτάχυνση: u u u u 37 8 6 y 7
8 du 4 [ m ] duy y y Το διάνυσμα της επιτάχυνσης θα σχηματίσει γωνία μοιρών με τον άξονα των Χ 4[ m ] και το μετρό του είναι ίσο με Θέμα 3: Εξηγείστε σύντομα με επιστημονικό τρόπο τη διάδοση της θερμότητας με αγωγή Απάντηση Η διάδοση θερμότητας με αγωγή εξηγείτε από το γεγονός ότι το πλάτος των ταλαντώσεων στη θερμότερη περιοχή του υλικού είναι μεγαλύτερο από αυτό στην ψυχρότερη. Τα άτομα που ταλαντώνονται με μεγαλύτερο πλάτος έχουν μεγαλύτερη κινητική ενέργεια. Επειδή τα άτομα αλληλεπιδρούν με τα γειτονικά τους, μέρος της ενέργειας μεταφέρεται στα γειτονικά άτομα με αποτέλεσμα να ταλαντώνονται και αυτά με μεγαλύτερο πλάτος. Δηλαδή αποκτούν μεγαλύτερη κινητική ενέργεια άρα αυξάνεται η θερμοκρασίας τους. Στα μέταλλα στη θερμική αγωγιμότητα συνεισφέρουν και τα ελεύθερα ηλεκτρόνια τους. Θέμα 5: Σώμα μάζας Μ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο. ec και μέγιστο πλάτος.3m α) Ποια είναι η εξίσωση κίνησης του σώματος β) Ποια η μεγίστη ταχύτητα γ)σε ποια απόσταση από το σημείο ισορροπίας θα ισχύει 3 Λύση α)η εξίσωση κίνησης του σώματος από τα δεδομένα της άσκησης είναι βρίσκουμε πρώτα την γωνιακή ταχύτητα.3in(6.8) β)η μεγίστη ταχύτητα είναι 6.8. um 6.8.3 8.8 [ m ] γ)το σημείο που θα ισχύει 3 είναι E 4 D 4 D Θέμα 6: Ένας πύραυλος εκτοξεύεται προς τα πάνω με u 3 o κοντά στην επιφάνεια της γης. Ο πύραυλος θα διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της γης ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας Λύση Υπολογίζω ταχύτητα διαφυγής χρησιμοποιώντας το ΘΔΕ ( θεωρία ).Συγκρίνω με την ταχύτητα που δόθηκε. Άρα έχουμε 8
9 GMm m Άρα η ταχύτητα είναι u GM (πρώτη εξίσωση ) GM GM o o ( δεύτερη εξίσωση ) Από τις παραπάνω εξισώσεις έχουμε u Μας δίνεται o u 3 o Άρα uu επομένως θα διαφύγει 9