ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων Νίκος Καραμπετάκης
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Ενότητας Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή. Υπολογισμός ελεγκτή.
Σκοποί Ενότητας Περιγραφή της διαδικασίας επανατοποθέτησης πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων (κατασκευή ελεγκτή). 5
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή () Έστω το σύστημα x t = Ax t + Bu t Βήμα. Ορίζουμε μετασχηματισμό: x t = T x t x t = Tx t, τέτοιον ώστε να πάρουμε το σύστημα στην ελέγξιμη μορφή: x t = Ax t + Bu t Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή 7 9 5 5 7 5 Α = 6 8, Β = 8 9 7 5 6
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή () b =, rankb = 7 9 5 7 Ab = 6 8 8 9 7 5 = rank b Ab = rank = 7
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή (3) A b = 7 9 5 7 6 8 8 9 7 5 rank b Ab A b = rank = 8 5 8 5 = 3 8
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή () A 3 b = 7 9 5 7 6 8 8 9 7 5 3 rank b Ab A b A 3 b = rank Άρα μ = 3. = 8 6 8 8 8 5 8 6 8 8 = 3 9
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή (5) b = 5 5 rank b Ab A b b = rank 8 5 5 5 =
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή (6) Ab = 7 9 5 7 6 8 8 9 7 5 5 5 = 9 8 rank b Ab A b b Ab = rank Άρα μ =. 8 5 5 5 9 8 = 5
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή (7) Ορίζουμε τον πίνακα 5 9 8 5 Μ = 8 5 Μ = Μ = 5 9 8 5 8 5 5 6 6 5 6 3 5
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή (8) Επιλέγουμε την 3 η γραμμή (μ = 3) έστω e 3 και την 5 η γραμμή (μ + μ =5) έστω e 5 και σχηματιζούμε τον πίνακα e 3 e 3 A T = e 3 A = 7 e 5 3 5 e 5 A 3 8 8 = 3
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή (9) e 3 = 7 9 5 7 e 3 Α = 6 8 8 9 = 7 5 7 9 5 7 e 3 A = 6 8 8 9 = 7 7 5 = =
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή () e 5 = 3 5 7 9 5 7 e 5 A = 3 5 6 8 8 9 = 7 5 = 5
Μετατροπή σε ελέγξιμη μορφή () Α = Τ ΑΤ = Β = Τ Β = 8 6 6
Υπολογισμός ελεγκτή () Βήμα.Υπολογίζουμε τον ελεγκτή (controller) για το σύστημα στην κανονική μορφή u t = Kx t F = A + BK = = 8 6 = + k k k 3 k k 5 7
Υπολογισμός ελεγκτή () = k + 8 k k 3 + 6 f, f, f, k k 5 k k 5 + x y f, f, 8
Υπολογισμός ελεγκτή (3) Επιθυμητά πολυώνυμα: s 5 + i s 5 i = s s + 9 = s + f, s + f, s + 3 s + i s + + i = s 3 + 7s + 7s + 5 = s 3 + f, s + f, s + f, f, = 5 = k + 8 f, = 7 = k f, = 7 = k 3 + 6 k = 3 k = 5 k 3 = 3 9
Υπολογισμός ελεγκτή () f, = 9 = k f, = = k 5 + k = 8 k 5 = 8 K = 3 5 3 8 8
Υπολογισμός ελεγκτή (5) Επιθυμητά πολυώνυμα: s 5 + i s 5 i = s s + 9 s + 3 s + i s + + i = s 3 + 7s + 7s + 5 8 6 = + 5 7 7 3 5 3 8 8 = 56 6 9
Υπολογισμός ελεγκτή (6) Βήμα 3. Ο ελεγκτής που ψάχνουμε έχει την μορφή: u t = Kx t + v t = KT x t + v t K = KT = 3 5 3 8 8 Κ = K 7 3 5 5 6 9 8 68 8
Υπολογισμός ελεγκτή (7) Βήμα 3. Ο ελεγκτής που ψάχνουμε έχει την μορφή: u t K = KT = = KT K x t + v t 5 6 9 8 68 8 3
Άσκηση Άσκηση. Προσπαθήστε να επανατοποθετήσετε τους πόλους του παρακάτω συστήματος (αν αυτό είναι εφικτό), με ανάδραση κατάστασης στο - με αλγεβρική πολλαπλότητα 3. x t = Ax t + Bu t όπου A = 6 5, B = 3 8 3
Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ.,, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 97, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 98, Linear Systems, Prentice Hall. 5
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων». Έκδοση:.. Θεσσαλονίκη. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs3/ 6
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/./ 7
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 8
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο -5