Ρευστομηχανική Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης
Κινηματική και Δυναμική των Ρευστών 4 ο Μάθημα
Πρόβλημα Ροή ρευστών Μελέτη ροής ρευστών Γενική αντιμετώπιση Κίνηση σωματιδίων ρευστών Μακροσκοπική ανάλυση Διαφορική Ανάλυση Διαστατική Ανάλυση Νόμοι Μηχανικής Πως Με τι Δηλαδή Μελέτη όγκων ελέγχου ρευστού (πεπερασμένων διαστάσεων) Όγκοι ελέγχου απειροστών διαστάσεων Θεωρητική η/και μαθηματική επίλυση (όχι ευχερής) Διατμητικές Δύναμη τάσεις, πιέσεις ταχύτητα, επιτάχυνση Εξισώσεις συνέχειας-μάζας Μέσες τιμές Εξισώσεις ορμής παραμέτρων Εξισώσεις ενέργειας Αρχή Διατήρησης Διαφορικές μάζας εξισώσεις Αρχή Μάζας, Διατήρησης Ορμής, ορμής Ενέργειας Αρχή (κατανομή και Διατήρησης μέσες τιμές) ενέργειας Πειραματική μελέτη (φυσικά και γεωμετρικά μεγέθη) σε αριθμό αδιάστατων ομάδων για συσχέτιση Δυναμική ρευστών Κινηματική ρευστών ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 3
Διαφορές μεταξύ μακροσκοπικών και διαφορικών εξισώσεων ροής ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 4
Ορισμοί Πεδίο : Συγκεκριμένη περιοχή του χώρου, σε κάθε σημείο της οποίας κάθε φυσικό μέγεθος έχει μια ορισμένη τιμή (σταθερή ή μεταβλητή). Έστω φυσικό μέγεθος Α το πεδίο των Α είναι μια συνάρτηση της μορφής A x, y, zt, ( ) Βαθμωτό Πεδίο π.χ. το πεδίο της πυκνότητας = ( xyzt) Διανυσματικό πεδίο π.χ. το πεδίο της ταχύτητας U = U x, y, z, t, μέτρο, δ / νση, φορά ( )( ) ρ ρ,,, ( μέτρο) Πεδίο ροής : Ο χώρος μέσα στον οποίο κινείται ένα ρευστό. Είναι καθορισμένο όταν δίνονται οι τιμές των μεταβλητών του (πυκνότητα, ταχύτητα) σε κάθε σημείο του και σε κάθε στιγμή. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 5
Τροχιά - Pathline A Pathline is the actual path traveled by an individual fluid particle over some time period. Same as the fluid particle's material position vector ( xparticle ( t), y particle ( t), zparticle ( t) ) Particle location at time t: t r = start + r t r x x Vdt start ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 6
Ροϊκή γραμμή - Streamline A Streamline is a curve that is everywhere tangent to the instantaneous local velocity vector. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 7
Streamlines NASCAR surface pressure contours and streamlines Airplane surface pressure contours, and streamlines ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 8
Ινώδης φλέβα- Streakline A Streakline is the locus of fluid particles that have passed sequentially through a prescribed point in the flow. Easy to generate in experiments: dye in a water flow, or smoke in an airflow. Ροϊκός σωλήνας: Κάθε κλειστή επιφάνεια που σχηματίζεται από ένα άπειρο αριθμό ροϊκών γραμμών. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 9
Συγκρίσεις Για σταθερή ροή, τροχιά, ροϊκή γραμμή και ινώδης φλέβα είναι ίδιες Για μη σταθερή ροή μπορεί να είναι πολύ διαφορετικές Οι ροϊκές γραμμές είναι μια στιγμιαία φωτογραφία του πεδίου ροής Οι τροχιές και η ινώδης φλέβα είναι η μορφή και το αχνάρι της ροής συνδεδεμένα με τη χρονική τους ιστορία Ινώδης φλέβα: στιγμιαία απεικόνιση μιας ροής ολοκληρωμένης χρονικά (instantaneous snapshot of a time-integrated flow pattern) Τροχιά: time-exposed flow path of an individual particle. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 10
2 μέθοδοι 2 μέθοδοι για την περιγραφή του πεδίου ροής : Μέθοδος Lagrance : Ο παρατηρητής παρακολουθεί την κίνηση ενός συγκεκριμένου στοιχείου του ρευστού καθώς αυτό κινείται στο πεδίο ροής. Μέθοδος Euler : Ο παρατηρητής καταγράφει τις ιδιότητες του ρευστού σε μια συγκεκριμένη στοιχειώδη περιοχή του χώρου, καθώς το ρευστό διέρχεται από αυτήν. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 11
Lagrangian Description Lagrangian description of fluid flow tracks the position and velocity of individual particles. Based upon Newton's laws of motion. Difficult to use for practical flow analysis. Fluids are composed of billions of molecules. Interaction between molecules hard to describe/model. However, useful for specialized applications Sprays, particles, bubble dynamics, rarefied gases. Coupled Eulerian-Lagrangian methods. Named after Italian mathematician Joseph Louis Lagrange (1736-1813). ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 12
Eulerian Description Eulerian description of fluid flow: a flow domain or control volume is defined by which fluid flows in and out. We define field variables which are functions of space and time. Pressure field, P=P(x,y,z,t) r r Velocity field, V = V( x, y, z, t) Acceleration field, r r a = a x y z t (,,, ) r r r r V = u( x, y, z, t) i + v( x, y, z, t) j + w( x, y, z, t) k r r r r a = a x, y, z, t i + a x, y, z, t j + a x, y, z, t k ( ) ( ) ( ) x y z These (and other) field variables define the flow field. Named after Swiss mathematician Leonhard Euler (1707-1783). ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 13
Velocity Field: Eulerian and Lagrangian Eulerian: the fluid motion is given by completely describing the necessary properties as a function of space and time. We obtain information about the flow by noting what happens at fixed points. Lagrangian: following individual fluid particles as they move about and determining how the fluid properties of these particles change as a function of time. Eulerian Measurement of Temperature Lagrangian If we have enough information, we can obtain Eulerian from Lagrangian or vice versa. Eulerian methods are commonly used in fluid experiments or analysis a probe placed in a flow. Lagrangian methods can also be used if we tag fluid particles in a flow. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 14
Example: Coupled Eulerian-Lagrangian Method Forensic analysis of Columbia accident: simulation of shuttle debris trajectory using Eulerian CFD for flow field and Lagrangian method for the debris. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 15
Example: Coupled Eulerian-Lagrangian Method Global Environmental MEMS Sensors (GEMS) Simulation of micron-scale airborne probes. The probe positions are tracked using a Lagrangian particle model embedded within a flow field computed using an Eulerian CFD code. http://www.ensco.com/products/atmospheric/gem/gem_ovr.htm ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 16
Ρυθμοί ροής μάζας και όγκου The amount of mass flowing through a control surface per unit time is called the mass flow rate and is denoted m& The dot over a symbol is used to indicate time rate of change. Flow rate across the entire crosssectional area of a pipe or duct is obtained by integration m& = δm= ρv da A c A While this expression for is exact, it is not always convenient for engineering analyses. c n c m& ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 17
Μέση ταχύτητα και ογκομετρική παροχή Integral in can be replaced with average values of r and V n 1 Vavg = VndAc A For many flows variation of r is very small: Volume flow rate is given by Note: many textbooks use Q instead of V & for volume flow rate. Mass and volume flow rates are related by & ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 18 m& c A V & V& = VndAc = VavgAc = VAc A c c m= ρv A avg c m& = ρv&
2 y Ux = U0 1 2 R y = R U = 0 y = 0 U = U x x 0 da = 2π ydy r 1 rr r 1 u = unda u = u 2 xda A π R A r 1 2 2 u = U ydy = y dy = = πr R R R R R 2 3 2 4 R R R 0 0 0 2 0 1 y π 2 U y U y y 0 U 2 π 2 2 2 2 π 2 4 2 0 0 ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 19
Είδη ροής Μονοδιάστατη (u=u(x,t)), τρισδιάστατη (u=u(x,y,z,t)) π.χ. καπνός καμινάδας Ατριβή ροή (ιξώδες ρευστού=0, ιδανικά ρευστά) Ιξώδης ροή (ροή των πραγματικών ρευστών, το ιξώδες έχει τιμή) Oριακό στρώμα: Η περιοχή του ρευστού εντός της οποίας παρατηρείται μεταβολ της ταχύτητας από u = 0 έως u = 0.99u ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 20
Είδη ροής Ασυμπίεστη ροή : Όταν η πυκνότητα του ρευστού σε κάθε σημείο του παραμένει σταθερή με το χρόνο (μεταβολή < 1%) Συμπιεστή ροή : Όταν οι μεταβολές της πυκνότητας με το χρόνο είναι σημαντικές ( > 1%). Συμπιεστότητα στα αέρια σημαντική σε υψηλές πιέσεις & υψηλές ταχύτητες. Αν Mach = u c u ταχύτητα ρευστού και u < 0,3 Mach ασυμπίεστη ροή c ταχύτητα ήχου u > 0,3 Mach συμπιεστή ροή ϑu Μόνιμη ροή : όταν = 0 για κάθε σημείο του πεδίου ροής ϑ t ( περισσότερα προβλήματα μηχανικού) (σταθερή σε συγκεκριμένο σημείο, μπορεί να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο ) Μη μόνιμη ροή : Το διάνυσα της ταχύτητας σε ένα τυχαίο σημείο μεταβάλλεται με το χρόνο. (π.χ. κίνηση ρευστού σε σωλήνα με μεταβαλλόμενη παροχή ). ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 21
Είδη ροής Ομοιόμορφη ροή : Tο διάνυσμα της ταχύτητας είναι το αυτό σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής ροής του ρευστού σε μια τυχαία χρονική στιγμή (οι γραμμές ροής ευθείες και παράλληλες μεταξύ τους ). Ανομοιόμορφη ροή : Αν μεταβάλλεται το διάνυσα της ταχύτητας από σημείο σε σημείο του ρευστού Στρωτή ροή : Όταν τα σωματίδια του ρευστού κινούνται με σταθερή ταχύτητα κατά στρώματα. Όλα τα σωματίδια του ρευστού του ίδιου στρώματος κινούνται με την ίδια ταχύτητα κατά τη διεύθυνση της ροής και μόνο. ΟΧΙ ανάμιξη των γειτονικών στρωμάτων. Ανταλλαγή ορμής μόνο σε μοριακό επίπεδο με διάχυση Τάσεις για αστάθεια & στροβιλισμούς εξισορροπούνται από ιξώδεις / διατμητικές τάσεις Τυρβώδης ροή : Η ιξώδης ροή με ακανόνιστες & τυχαίες κινήσεις των σωματιδίων του ρευστού προς όλες τις κατευθύνσεις ακανόνιστη & τυχαία μεταφορά ορμής Συνεχής μεταβολή των ιδιοτήτων του ρευστού Στατιστική περιγραφή των φυσικών ιδιοτήτων (μέσες τιμές) Μεταβατική ροή : Ενδιάμεσο τμήμα ροής από την στρωτή στην τυρβώδη ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 22
Είδος της ροής: εξάρτηση από αριθμό Reynolds Δυνάμειςαδράνειας δυν άμειςτριβής ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 23
Πλήρως ανεπτυγμένη ροή Περιοχή εισόδου: Αυξάνει συνεχώς το οριακό στρώμα σε πάχος, μέχρις ότου η ροή να καταστεί πλήρως αναπτυγμένη. Πλήρως αναπτυγμένη: οπότε τα ιξώδη φαινόμενα επικρατούν σε όλη τη διατομής του σωλήνα και η κατανομή ταχυτήτων δεν μεταβάλλεται κατά μήκος της ροής. ϑu κριτήριο : x = 0 ή ϑ p x =σταθ. ϑ ϑ Μήκος περιοχή εισόδου (Χ) = x d = 0,05 Re (Στρωτή ροή) Χ > 10d (Τυρβώδης ροή) π.χ. δειγματοληψία αερίων καμινάδας ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 24