Η3 Μετρήσεις µε βαττόµετρο 1. Σκοπός Στην άσκηση χρησιµοποιούµε το βαττόµετρο ως µετρητικό όργανο της καταναλισκόµης ισχύος σε κυκλώµατα αλλασσόµου ρεύµατος που περιλαµβάνουν διαδοχικά ωµική αντίσταση, πηνίο και πυκνωτή. Με βάση τις µετρήσεις αυτές οδηγού- µαστε στον υπολογισµό της διαοράς άσης ρεύµατος τάσης και στη συνέχεια στον καθορισµό των στοιχείων του κυκλώµατος (συντελεστής αυτεπαγωγής - χωρητικότητα).. Θεωρία.1 Κύκλωµα αλλασσόµου ρεύµατος µε ωµική αντίσταση, πηνίο και πυκνωτή σε σειρά Το κύκλωµα του Σχήµατος 1 περιλαµβάνει ωµική αντίσταση, πηνίο αυτεπαγωγής L L C V L V C V Σχήµα 1 V AC και πυκνωτή χωρητικότητας C συνδεδεµένα σε σειρά. Η τάση που εαρµόζεται είναι: V = V sinωt (1) Εαρµόζοντας το δεύτερο κανόνα του Kirchoff έχουµε: V + V L + V C = i () ή di idt V sin ω t L = i dt C Ντρίβας Ν. 1
η οποία µετά από παραγώγιση γίνεται d i 1 di ω V cosωt L = ή dt C dt d i di 1 + + i = ωv cosωt (3) dt dt C L Η λύση της διαορικής αυτής εξίσωσης είναι: i = i sin( ωt ) (4) όπου η διαορά άσης ρεύµατος τάσης για την οποία ισχύει: 1 Lω tan = Cω (5) και το πλάτος του ρεύµατος: i = V + Lω 1 Cω (6) Η εµπέδηση (σύνθετη αντίσταση) Ζ του κυκλώµατος είναι: V Z = i = 1 + Lω (7) Cω Επειδή τα στιγµιαία µεγέθη i, V είναι αρµονικά (ηµιτονοειδώς µεταβαλλόµα) µπορούν να παρασταθούν διαµέσου των στρεοµένων διανυσµάτων των αντίστοιχων y V ω ωt ωt - Σχήµα x t = πλατών τους i, V µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Προανώς οι προβολές των V, i στον άξονα των y εκράζουν τις στιγµιαίες τιµές V, i της τάσης και του ρεύµατος αντίστοιχα (σχέσεις 1 και 4), όπως αίνονται στο Σχήµα. Στις ειδικές περιπτώσεις όπου το κύκλωµα περιλαµβάνει: Ντρίβας Ν.
α. Μόνο αντίσταση Η σχέση γράεται: i = i sin ωt όπου V i = το πλάτος του ρεύµατος, δηλαδή η ένταση του ρεύµατος είναι συµασική µε την τάση στα άκρα της αντίστασης β. Μόνο ιδανικό πηνίο Η σχέση γράεται: di V L =, από την οποία προκύπτει τελικά: dt π i = i sin( ωt ) (8) V όπου i = και η επαγωγική αντίσταση του πηνίου είναι: Lω Z L = Lω (9) γ. Μόνο ιδανικό πυκνωτή Η σχέση γράεται: Q V = ή Q = CV και επειδή C i = i όπου dq i = προκύπτει τελικά: dt π sin ω t + (1) i = CV ω και η χωρητική αντίσταση του πυκνωτή είναι: 1 Z C = (11) Cω Από τις σχέσεις 8 και 1 αίνεται ότι η άση του ρεύµατος στο πηνίο υστερεί κατά π/ της άσης της τάσης και προηγείται κατά π/ στον πυκνωτή της άσης της τάσης. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει το διάγραµµα τάσης έντασης (Σχήµα 3) και το διάγραµµα των εµπεδήσεων (Σχήµα 4). Ντρίβας Ν. 3
V L, V L, - V C, V 1/Cω Lω V C, i V, t = Z Lω 1/Cω Σχήµα 4 Σχήµα 3. Ισχύς Ε.Ρ Σε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα εαρµόζεται αλλασσόµη τάση στη γική περίπτωση η ένταση του ρεύµατος θα είναι: V = V sin ωt, οπότε i = i sin( ωt ) όπου η διαορά άσης µεταξύ ρεύµατος και τάσης Η ισχύς που καταναλώνει το κύκλωµα σε κάποια χρονική στιγµή t (στιγµιαία ισχύς) είναι: P = Vi = V i sin ωtsin( ωt ) (1) Επειδή το µέγεθος αυτό δ έχει καµιά πρακτική σηµασία, ορίζουµε τη µέση ισχύ P ως το πηλίκο της έργειας που καταναλώνεται σε χρόνο µιας περιόδου δια της περιόδου αυτής, δηλαδή w P = (13) T Από τη σχέση χρόνο τ ως w P = υπολογίζεται η έργεια W που καταναλώνει το κύκλωµα σε T V i = V i cos τ = cos τ ή W W = V i cos τ (14) όπου V, i οι εργές τιµές της τάσης και της έντασης του ρεύµατος αντίστοιχα, ώ το µέγεθος cos ονοµάζεται συντελεστής ισχύος Ντρίβας Ν. 4
Έτσι η σχέση 13 γίνεται: P = V i cos (15) επειδή V = ι Z και Z = (Σχήµα 4), η σχέση 15 γίνεται: cos P = i (16) δηλαδή στο κύκλωµα LC η καταναλισκόµη έργεια µετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε θερµότητα στην ωµική αντίσταση. 3. Πειραµατική διαδικασία Το όργανο που χρησιµοποιείται στην άσκηση για τη µέτρηση της ισχύος ονοµάζεται βαττόµετρο. Αποτελείται από το σταθερό πηνίο Π 1 που καλείται πηνίο ρεύµατος και χαρακτηρίζεται από µικρή αντίσταση και το κινητό πηνίο Π (πηνίο τάσης) που αποτελείται από πολλές σπείρες σύρµατος µικρής διατοµής. Π 1 Π i V in i 1 Κ V i Σχήµα 5 Το πηνίο Π συνδέεται σε σειρά µε µεγάλη αντίσταση, έτσι ώστε το ρεύµα i που διαρρέει το Π και η τάση στην κατανάλωση V έχουν µηδική διαορά άσης (Σχήµα 5). Αν τα ρεύµατα που διαρρέουν τα πηνία Π 1 και Π είναι αντιστοίχως i 1, i η ροπή που ασκείται στο πηνίο Π θα είναι Μ = c(i 1 i ) και λόγω του ότι το i είναι ανάλογο του V, θα έχουµε: M 1 1 1 = c (i V ) (17) όµως i1 i επειδή η έχει µεγάλη τιµή και συνεπώς η σχέση 17 γίνεται: M = c1 (i1v 1) = c1p (18) όπου P η ισχύς που καταναλώνεται στον καταναλωτή Κ Στην περίπτωση αλλασσόµου ρεύµατος αναερόµαστε σε µέσες τιµές µεγεθών, δηλαδή η σχέση 18 γίνεται: Ντρίβας Ν. 5
M 1 = c P Επειδή M = κ όπου η γωνία στροής του κινητού πεδίου, θα έχουµε εποµένως c1 = P = c P (19) κ δηλαδή η γωνία στροής είναι ανάλογη της ροπής. Αυτό δικαιολογεί γιατί η κλίµακα του βαττοµέτρου είναι διαιρεµένη σε ισαπέχουσες δείξεις. 4. Εργασίες 1. Συναρµολογούµε το κύκλωµα του Σχήµατος 5 τοποθετώντας αντίσταση =.. στη θέση του καταναλωτή και µετρούµε την ισχύ που καταναλώνεται P =.. (W). Μετρούµε την ένταση του ρεύµατος i =.. (A) και της τάσης V =. (volts) και υπολογίζουµε την καταναλισκόµη από την αντίσταση ισχύ P. 3. Αντικαθιστούµε την αντίσταση µε πηνίο και µετρούµε την ισχύ P από το βαττόµετρο, την ένταση i και την τάση V. 4. Υπολογίζουµε τη διαορά άσης από τα µετρηθέντα µεγέθη και τη σύνθετη αντίσταση Z του πηνίου. 5. Με βάση τη γωνία και τη σύνθετη αντίσταση Z βρίσκουµε γραικά (χρησι- µοποιώντας µιλιµετρέ) την επαγωγική αντίσταση του πηνίου Z L και στη συνέχεια το συντελεστή αυτεπαγωγής L. 6. Επαναλαµβάνουµε την εργασία 3 χρησιµοποιώντας πυκνωτή. 7. Υπολογίζουµε τα µεγέθη και Z. 8. Γραικά βρίσκουµε τη χωρητική αντίσταση Z C του πυκνωτή και ακολούθως τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. Ντρίβας Ν. 6