Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Κυκλώµατα δύο ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας

Transcript

1 Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Κυκλώµατα δύο ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας από το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργαρη Πρόβληµα Ένα κύκλωµα δύο ακροδεκτών αποτελείται από δύο στοιχεία δύο ακροδεκτών που συνδέονται εν σειρά. Το ρεύµα η τάση ακροδεκτών είναι αντίστοιχα i( t) 50 συν( 34 t 60 ) A v( t) 50 συν( 34 t 30 ) Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση η σύνθετη αγωγιµότητα εισόδου του κυκλώµατος να προσδιοριστεί η φύση το µέγεθος των στοιχείων του κυκλώµατος. Ακόµη, να βρεθούν οι συµφασικές οι κάθετες συνιστώσες της τάσης του ρεύµατος ακροδεκτών αντίστοιχα. i(t) v(t) K K (α) (β) Σχήµα Στο ρεύµα στην τάση ακροδεκτών αντιστοιχούν τα στρεφόµενα διανύσµατα Α Έτσι, η σύνθετη αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος προκύπτει Από την Εξ.() έχουµε Z eq Ω () Z e{ Z } m{ Z } j 3συν30 j3ηµ j. 5 () eq eq eq q Η σύνθετη αγωγιµότητα εισόδου του κυκλώµατος είναι

2 Από την Εξ.(3) έχουµε S Y (3) eq Yeq e{ Yeq } m{ Yeq } j q συν30 j ηµ j (4) Πρόβληµα Ένα κύκλωµα αποτελείται από µιαν αντίσταση 5Ω µιαν άγνωστη χωρητικότητα. Τα δύο στοιχεία συνδέονται εν σειρά το ρεύµα ακροδεκτών προηγείται της τάσης ακροδεκτών κατά 60. Αν η γωνιακή συχνότητα της τάσης είναι 000 rad/, ποια είναι η τιµή της χωρητικότητας ; v (t) v(t) /jω - - (α) Σχήµα (β) Αν η τάση ακροδεκτών είναι το ρεύµα ακροδεκτών προκύπτει φ () Ι φ 60 () Η σύνθετη αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος δύο ακροδεκτών δίνεται από τη σχέση από την Εξ.(3) προκύπτει ότι Zeq j ω 60 εφ ω ω (3) (4) Εξισώνοντας τα ορίσµατα των δύο µελών της Εξ.(4) έχουµε οπότε εφ60 (5) ω

3 F µf (6) ωεφ Πρόβληµα 3 Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος δύο ακροδεκτών K του Σχ.3, αν είναι γνωστό ότι: X 0Ω, vα ( t ) 0 ηµ ( 00t 60 ) vβ ( t ) 5 ηµ ( 00t 45 ). v β (t) v (t) v α (t) v(t) K Σχήµα 3 Η τάση το ρεύµα ακροδεκτών δίνoνται αντίστοιχα από τις σχέσεις α β () β A () jx j0 β - α -jx K Έτσι, η σύνθετη αντίσταση εισόδου προκύπτει Σχήµα 3(α)

4 Z eq α β jx j5. 8 (3) β Πρόβληµα 4 Οι απώλειες σ ένα πραγµατικό πηνίο αποδίδονται µε µιαν αντίσταση τοποθετη- µένη εν σειρά ή εν παραλλήλω προς την αυτεπαγωγή, όπως φαίνεται στα κυκλωµατικά σύµβολα του πηνίου του Σχ.4. Να βρεθούν οι σχέσεις ισοδυναµίας των δύο κυκλωµατικών συµβόλων του πραγµατικού πηνίου. L L (α) Σχήµα 4 Αν είναι γνωστά τα εν σειρά στοιχεία, τα εν παραλλήλω στοιχεία δίνονται από τις εξισώσεις (β) Έτσι, προκύπτει X X X ( ) X ( ) X Lω ( ) Lω( ) L ω () () (3) (4) L L ( ) L ω (5)

5 Πρόβληµα 5 Να βρεθούν οι σύνθετες αντιστάσεις εισόδου των κυκλωµάτων δύο ακροδεκτών του Σχ.5 να βρεθεί η σχέση ισοδυναµίας µεταξύ τους. L L (α) Σχήµα 5 Η σύνθετη αντίσταση εισόδου του εν σειρά συνδυασµού η σύνθετη αγωγιµότητα εισόδου του παράλληλου συνδυασµού είναι αντίστοιχα (β) Z( jω) j( Lω ) () ω Y( jω) j( ω ) () Lω Από τις Εξ.() () προκύπτει Lω ω Y( jω) j (3) Z( jω) j( Lω ) ( Lω ) ( Lω ) ω ω ω οπότε (4) ( Lω ) ω Lω ω ω (5) Lω ( Lω ) ω Από την Εξ.(4) έχουµε ( Lω ) ( ) ω Αντικαθιστώντας την Εξ.(6) στην Εξ.(5) καταλήγουµε στη σχέση (6)

6 ω ( Lω ) (7) Lω ω Πρόβληµα 6 Ένα κύκλωµα δύο ακροδεκτών µε στοιχεία L εν παραλλήλω συνδέεται µε µια πραγµατική πηγή ηµιτονοειδούς τάσης, η οποία παρουσιάζει εσωτερική σύνθετη αντίσταση Z(jω). Να βρεθεί η συνθήκη, ώστε το ρεύµα που διαρρέει την πηγή να είναι συµφασικό µε την τάση της πηγής. Z L Σχήµα 6 Για να είναι το ρεύµα η τάση της πηγής συµφασικές ποσότητες, πρέπει η πηγή να «βλέπει», συµπεριλαµβανοµένης της εσωτερικής της σύνθετης αντίστασης, µια οµική αντίσταση. Αν η εσωτερική σύνθετη αντίσταση της πηγής του παράλληλου συνδυασµού L είναι αντίστοιχα Z( jω) ( ω) jx ( ω) () Z ( jω) ( ω) jx ( ω) () η συνθήκη συγγραµµικότητας των διανυσµάτων της τάσης του ρεύµατος της πηγής είναι X ( ω) X ( ω) (3) Η σύνθετη αντίσταση του παράλληλου συνδυασµού L είναι Από την Εξ.(4) προκύπτει ότι Z j ( ) X XL ( jω) Υ ( jω) j( ) ( ) X X X X L L (4)

7 Άρα, σύµφωνα µε την Εξ.(3) έχουµε ( ) X XL X ( ω) ( ) X X X ( ) X XL ( ω) ( ) X X L Πρόβληµα 7 Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου του κλιµακωτού κυκλώµατος του Σχ.7. Ω Ω Ω L (5) (6) jω jω jω Σχήµα 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Z eq.6 j Ω Πρόβληµα 8 Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου του κλιµακωτού κυκλώµατος του Σχ.8. -j4ω Ω -j4ω j4ω Σχήµα 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Z eq 8 j8,3 45 Ω

8 Πρόβληµα 9 Το κύκλωµα του Σχ.9 διεγείρεται µε ηµιτονοειδές σήµα γωνιακής συχνότητας ω34rad/. Αν είναι 0,0<0 A, να βρεθεί το ρεύµα. Επίσης, αν είναι <-30 Α, να βρεθεί το ρεύµα. 40µF H 400Ω Σχήµα 9 -j79.6ω j34ω 400Ω Σχήµα 9(α) Από την εξίσωση του διαιρέτη ρεύµατος προκύπτει j j Y YL Y 79, ,0 0 0, A Y 400 Y ,5 Y j j YL Y 05 79, A

9 Πρόβληµα 0 Να βρεθούν τα ρεύµατα οι τάσεις κλάδων του κυκλώµατος του Σχ.0 µε τη µέθοδο ανάλυσης των κλιµακωτών κυκλωµάτων. Ω 3Ω 5Ω 0 Ω 4Ω 6Ω Σχήµα 0 i Ω 3Ω 5Ω i 3 i 5 i i4 i6 0 Ω 4Ω 6Ω Σχήµα 0(α) Υποθέτουµε ότι το ρεύµα i 6 είναι γνωστό ίσο µε Α. Μετά από αυτό έχουµε i 4 i5 i6 A, v6 6i6 6 v5 5i5 5 v4 v5 v6 v4.75 A i 3 i 4 i v 3 3i v v v3 v i.5 A i i i A v i v v v ιαιρώντας την πραγµατική µε την υπολογισθείσα τιµή της πηγής τάσης προκύπτει ο συντελεστής κλίµακας λ 0 0, 68 37, 5 Πολλαπλασιάζοντας τις υπολογισθείσες τιµές των µεταβλητών του κυκλώµατος επί τον παραπάνω συντελεστή κλίµακας προκύπτουν οι πραγµατικές τιµές των µεταβλητών

10 i 3.98 A, i.98 A, i3 0.3 A, i A, i A, i A v 3.98, v 5.963, v3 3.05, v4.948, v5.34, v6.6 Πρόβληµα Το ίδιο για το κύκλωµα του Σχ.. Επιπλέον, να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς τάσης H o του κυκλώµατος. jω jω jω 0<0 o -jω -jω -jω o Σχήµα 3 5 jω jω 4 jω 6 0<0 o -jω -jω -jω o Σχήµα (α) Υποθέτουµε ότι το ρεύµα 6 είναι γνωστό ίσο µε <0 o Α. Μετά από αυτό έχουµε A, 6 j 6 j, 5 j 5 j, j j A, A, 3 j j j j, j A j j 3 0 A, j j 0

11 ιαιρώντας την πραγµατική µε την υπολογισθείσα τιµή της πηγής τάσης προκύπτει ο συντελεστής κλίµακας 0 λ j0 j Πολλαπλασιάζοντας τις υπολογισθείσες τιµές των µεταβλητών του κυκλώµατος επί τον παραπάνω συντελεστή κλίµακας προκύπτουν οι πραγµατικές τιµές των µεταβλητών 0 A, j0 A, j0 A, 0 A, j0 A, j0 A , 0, 0, 0, 0, Τέλος, η συνάρτηση µεταφοράς τάσης προκύπτει H o 6 ( jω) 0 0 0