m e j ω t } ja m sinωt A m cosωt

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ IV ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 26

2 Στρεόµενα διανύσµατα Σε κυκλώµατα όπου η διέγερση είναι περιοδική και ηµιτονοειδής οι τάσεις και τα ρεύµατα αναπαρίστανται µε µιγαδικούς αριθµούς, ή όπως συνήθως λέµε µε στρεόµενα διανύσµατα. Στο σχήµα αίνεται η εναλλασσόµενη τάση της µορής V(t) V cosωt. Η τάση είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή οι τιµές της επαναλαµβάνονται ανά 2π µονάδες χρόνου. Για τη µισή περίοδο οι τιµές είναι θετικές, ενώ για την υπόλοιπη µισή οι τιµές είναι αρνητικές. Η µέγιστη τιµή της τάσης είναι ίση µε V, ονοµάζεται πλάτος και εµανίζεται τις χρονικές στιγµές t 0, π, 2π, Το µέγεθος ω ονοµάζεται κυκλική συχνότητα και συνδέεται µε τα γνωστά µεγέθη της άσης, συχνότητας f και περιόδου Τ µε τις σχέσεις d ω 2πf dt 2π. T V V(t) 0 -V 0 π t (s) Το µιγαδικό εκθετικό σήµα (t) (τάση ή ρεύµα) ορίζεται ως jωt ( t) e cos ωt+ j sinωt όπου j είναι η ανταστική µονάδα, δηλαδή ισχύει j 2 -. Τα ηµιτονοειδή σήµατα προκύπτουν ως το πραγµατικό (Re) ή το ανταστικό (I) µέρος του µιγαδικού σήµατος. 27

3 cosωt Re sinωt I jωt { e } { e j ω t } Εναλλακτικά µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το διάνυσµα Α Α e jωt περιστρέεται µε γωνιακή ταχύτητα ω και τα ηµιτονοειδή σήµατα είναι η προβολή του στον πραγµατικό και ανταστικό άξονα. I j sinωt cosωt Re Τη χρονική στιγµή t 0, το διάνυσµα Α είναι παράλληλο µε τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή έχει µόνο πραγµατικό µέρος. Στη γενική περίπτωση µπορούµε να θεωρήσουµε το διάνυσµα ( jω t+ B B ) e που προηγείται από το διάνυσµα Α κατά γωνία. Όπως αίνεται στο σχήµα τα διανύσµατα Α και Β έχουν µεταξύ τους διαορά άσης. Ι Β Α Re Τα διανύσµατα περιστρέονται µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω rad/s, πράγµα που σηµαίνει ότι αντιστοιχίζονται σε ηµιτονοειδή διέγερση 28

4 της ίδιας συχνότητας. Επειδή η κυκλική συχνότητα ω είναι δεδοµένη, µπορεί να παραληθεί και για τα διανύσµατα Α και Β να γράψουµε Α Α B B e j Ο µετασχηµατισµός αυτός όπου η παράµετρος του χρόνου παραλείπεται ονοµάζεται µετασχηµατισµός από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Η ηµιτονοειδής τάση v(t) που έχει παράσταση στο πεδίο του χρόνου v(t) V cos(ωt + ) µετασχηµατίζεται στο πεδίο της συχνότητας στο διάνυσµα V V e j. Ο αντίστροος µετασχηµατισµός του V από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου συντελείται ως εξής. Πολλαπλασιάζουµε µε την παράσταση e jωt και λαµβάνουµε το πραγµατικό µέρος. v j jωt j ( ) Re{ } Re{ ( ωt+ t V e e V e )} V cos( ωt+ ). Πράξεις µε στρεόµενα διανύσµατα Το στρεόµενο διάνυσµα µε εκθετική µορή Α Α e j έχει την ορθογώνια µορή Α Α cos + jα sin R + j I. Ιδιαίτερα χρήσιµη είναι και η πολική µορή Α Α <. Η σχέση πλάτους Α και άσης µε το πραγµατικό και ανταστικό µέρος είναι 2 2 tan + I R I. R Αντίστροα αν µας δοθεί η πολική µορή µπορούµε να συνάγουµε την ορθογώνια µορή βάσει των σχέσεων 29

5 R cos Α I Α sin. Για την πρόσθεση και ααίρεση διανυσµάτων προσέρεται η ορθογώνια έκραση. Αν Α Α R + jα I και Β Β R + jβ I, τότε η πρόσθεση (ααίρεση) γίνεται αθροίζοντας (ααιρώντας) πραγµατικά και ανταστικά µέρη. ± B ( R ± B R ) + j( I ± B I ). Στον πολλαπλασιασµό και στη διαίρεση εξυπηρετεί καλύτερα η πολική µορή. Στην πρώτη περίπτωση, πολλαπλασιάζουµε τα µέτρα και αθροίζουµε τις άσεις (ορίσµατα). Στη διαίρεση, διαιρούµε τα µέτρα και ααιρούµε τα ορίσµατα. B B B B < < + Τέλος θα εξετάσουµε την παραγώγιση και ολοκλήρωση στρεόµενων διανυσµάτων. Η χρονική παράγωγος ενός στρεόµενου διανύσµατος Α e j(ωt + ) είναι 2 2 d dt d dt j( ωt+ e ) j j e ( ωt+ ω ) jω. Εποµένως ο µετασχηµατισµός της παραγώγου του Α στο πεδίο της συχνότητας είναι jωα. είναι j(ωt + ) Το ολοκλήρωµα του στρεόµενου διανύσµατος Α e dt j( ωt+ ) j e dt e ( ωt+ ) jω jω. Ο µετασχηµατισµός του ολοκληρώµατος του Α στο πεδίο της συχνότητας είναι προανώς Α/jω. Η σηµασία των παραπάνω αποτελεσµάτων είναι ότι οι ολοκληροδιαορικές εξισώσεις που διέπουν τη λειτουργία ενός κυκλώµατος στο πεδίο του χρόνου, µετασχηµατίζονται στο πεδίο της συχνότητας σε απλούστερες αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτός είναι ο λόγος 30

6 που τα ηλεκτρικά κυκλώµατα µε εναλλασσόµενο ρεύµα επιλύονται συνήθως στο πεδίο της συχνότητας και έπειτα η λύση στο πεδίο του χρόνου προκύπτει µε πολλαπλασιασµό επί e jωt και εξαγωγή του πραγµατικού µέρους. Σχέση τάσης ρεύµατος στοιχείων δύο ακροδεκτών Θα εξετάσουµε στη συνέχεια το µετασχηµατισµό των στοιχείων αντίσταση, πηνίο, πυκνωτής στο πεδίο της συχνότητας. Αντίσταση Oh. Η σχέση τάσης ρεύµατος µιας αντίσταση διέπεται από το νόµο του Στο πεδίο της συχνότητας ισχύει v(t) i(t)r V IR όπου V και I είναι τα αντίστοιχα στρεόµενα διανύσµατα και R η τιµή της αντίστασης. Πηνίο Για ένα πηνίο αυτεπαγωγής L η τάση είναι ανάλογη της χρονικής µεταβολής του ρεύµατος. ( t) di v ( t) L dt Στο πεδίο της συχνότητας η αντίστοιχη σχέση θα είναι V jω LI jx L I όπου η παράγωγος αντικαταστάθηκε µε την παράσταση jω. Το µέγεθος jωl έχει µονάδες αντίστασης και ονοµάζεται επαγωγική αντίδραση. Είναι ανερό ότι η αντίσταση ενός πηνίου αυξάνει µε τη συχνότητα. Στο συνεχές ρεύµα (ω 0) το πηνίο ισοδυναµεί µε βραχυκύκλωµα. 3

7 Πυκνωτής Σε έναν πυκνωτή η σχέση τάσης ρεύµατος είναι v dt C ( t) i( t) Στο πεδίο της συχνότητας η παραπάνω σχέση γράεται V I jωc Το µέγεθος /jωc έχει µονάδες αντίστασης και ονοµάζεται χωρητική αντίδραση. Η αντίσταση ενός πυκνωτή ελαττώνεται µε την αύξηση της συχνότητας. Στο συνεχές ρεύµα (ω 0) ο πυκνωτής ισοδυναµεί µε ανοιχτό κύκλωµα. Παράδειγµα Στο κύκλωµα του σχήµατος είναι R 5Ω, L 0H και C 00µF. Η πηγή ρεύµατος είναι ηµιτονοειδής µε αναλυτική έκραση i s (t) 0 2cos(34t ). R i s (t) C L Η κυκλική συχνότητα είναι ω 34 rad/s (f 50Hz). Ο µετασχηµατισµός της πηγής στο πεδίο της συχνότητας είναι I s 0 <

8 Ο µετασχηµατισµός των άλλων στοιχείων είναι R, jωl και /jωc. Εόσον τα στοιχεία είναι συνδεδεµένα σε σειρά, η συνολική αντίδραση του κυκλώµατος θα είναι ίση µε Z R+ jω L+ R+ j ωl jωc ωc 5 j28,7ω. Η αντίδραση είναι µιγαδικός αριθµός µε µέτρο Z 2 2 ( 5) + ( 28,7) 29, Ω 3 και άση 28,7 0 tan 80,2. 5 Η πολική µορή της αντίδρασης Ζ είναι Ζ 29,3 < -80,2 0. Η τάση στα άκρα της πηγής µπορεί να προκύψει από το νόµο του Oh. V Z I s (29,3 < -80,2 0 ) (0 < 30 0 ) 29,3 < -50,2 0 V. Η τάση ακροδεκτών στο πεδίο του χρόνου θα είναι v(t) 29,3 2cos(34t 50,2 0 ). 33